Vrai/Faux : Modélisation et problèmes avec la loi binomiale

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante issue d'une situation concrète, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Une chaîne de production fabrique des pièces dont $2\,\%$ sont défectueuses. On prélève au hasard $50$ pièces dans une grande quantité (assimilable à un tirage avec remise). On note $X$ le nombre de pièces défectueuses parmi les $50$.

Affirmation : La probabilité que toutes les pièces soient conformes est $p(X = 0) = 0{,}02^{50}$.

[qcm]
[option]Vrai
[option correct="true"]Faux
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$X$ suit $\mathscr{B}(50~;~0{,}02)$. La probabilité d'aucune défectueuse est $p(X = 0) = (1 - 0{,}02)^{50} = 0{,}98^{50}$, et non $0{,}02^{50}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de confondre la probabilité d'un succès (pièce défectueuse, $p = 0{,}02$) avec celle de l'événement contraire (pièce conforme, $1 - p = 0{,}98$).
$p(X = 0) = (1-p)^n = 0{,}98^{50}$, ce qui correspond à $50$ pièces conformes consécutives. La valeur $0{,}02^{50}$, elle, correspond à $50$ défectueuses, soit l'événement opposé.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$p(X = 0) = 0{,}98^{50}$, c'est-à-dire $(1-p)^{50}$, et non $0{,}02^{50}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un test de dépistage a une sensibilité de $95\,\%$ : pour un individu malade, le test renvoie un résultat positif avec probabilité $0{,}95$. On teste $20$ individus malades, indépendamment les uns des autres. On note $X$ le nombre de tests positifs.

Affirmation : $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(20~;~0{,}95)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai
[option]Faux
[reponse statut="correct"]Exactement !
On répète $20$ fois, de manière identique et indépendante, la même épreuve de Bernoulli (« le test est positif »), de paramètre $p = 0{,}95$. La variable $X$ compte le nombre de succès, donc $X \sim \mathscr{B}(20~;~0{,}95)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour reconnaître une loi binomiale, il faut $n$ épreuves identiques, indépendantes, à deux issues, et une variable qui compte le nombre de succès.
Tester un individu malade revient à une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}95$ ; les $20$ tests étant indépendants, $X$ suit bien $\mathscr{B}(20~;~0{,}95)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$20$ tests indépendants, chacun positif avec probabilité $0{,}95$ : $X \sim \mathscr{B}(20~;~0{,}95)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On répète, de manière indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}1$. On note $X_n$ le nombre de succès après $n$ répétitions.

Affirmation : Le plus petit entier $n$ tel que $p(X_n \geqslant 1) > 0{,}99$ est $n = 44$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai
[option]Faux
[reponse statut="correct"]Bravo !
$p(X_n \geqslant 1) = 1 - p(X_n = 0) = 1 - 0{,}9^n$.
On résout $1 - 0{,}9^n > 0{,}99$, soit $0{,}9^n < 0{,}01$. Comme $\ln(0{,}9) < 0$ :

$n > \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}9)} \approx 43{,}71$

Donc le plus petit entier convenant est $n = 44$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour minorer $p(X \geqslant 1)$, on passe par le complémentaire $p(X = 0) = (1-p)^n$, puis on résout l'inéquation par logarithme.
$1 - 0{,}9^n > 0{,}99 \Leftrightarrow 0{,}9^n < 0{,}01 \Leftrightarrow n > \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}9)} \approx 43{,}71$. Le plus petit entier qui convient est donc $44$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$0{,}9^n < 0{,}01 \Leftrightarrow n > \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}9)} \approx 43{,}71$, donc le plus petit entier est $44$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B}(10~;~0{,}3)$.

Affirmation : $p(X = 0) + p(X = 10) = 1$.

[qcm]
[option]Vrai
[option correct="true"]Faux
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les événements $\{X = 0\}$ et $\{X = 10\}$ ne couvrent pas tout l'univers : $X$ peut prendre toutes les valeurs intermédiaires $1, 2, \ldots, 9$. Numériquement :

$p(X=0) + p(X=10) = 0{,}7^{10} + 0{,}3^{10} \approx 0{,}0282 + 0{,}0000059 \approx 0{,}0282$

Très loin de $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas réduire l'univers à ses deux extrémités.
$X$ prend ses valeurs dans $\{0, 1, 2, \ldots, 10\}$, donc la somme totale des probabilités est $\sum_{k=0}^{10} p(X = k) = 1$. Les deux extrêmes $X=0$ et $X=10$ ne représentent qu'une petite partie de cette somme.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$X$ peut prendre toutes les valeurs entre $0$ et $10$ : $p(X=0) + p(X=10) \approx 0{,}028 \neq 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Dans une très grande population, $60\,\%$ des personnes déclarent être favorables à un projet. On interroge au hasard $30$ personnes (l'effectif total étant supposé suffisamment grand pour assimiler les tirages à des tirages avec remise). On note $X$ le nombre de personnes favorables parmi les $30$ interrogées.

Affirmation : On peut modéliser $X$ par la loi binomiale $\mathscr{B}(30~;~0{,}6)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai
[option]Faux
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La grande taille de la population rend les choix successifs quasi-indépendants : chaque interrogation est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}6$, les $30$ étant indépendantes. Donc $X \sim \mathscr{B}(30~;~0{,}6)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : un sondage dans une très grande population permet d'assimiler les tirages sans remise à des tirages avec remise (l'effet du retrait d'un individu sur la composition est négligeable).
Dans ces conditions, les $30$ interrogations forment un schéma de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}6$, donc $X \sim \mathscr{B}(30~;~0{,}6)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Population grande $\Rightarrow$ tirages quasi-indépendants : $X \sim \mathscr{B}(30~;~0{,}6)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un QCM de $50$ questions indépendantes propose à chaque question $4$ choix dont un seul correct. Un élève répond entièrement au hasard et est déclaré « reçu » s'il obtient au moins $25$ bonnes réponses. On note $X$ le nombre de bonnes réponses.

Affirmation : La probabilité d'être reçu est $p(X \geqslant 25)$ avec $X \sim \mathscr{B}\!\left(50~;~\dfrac{1}{4}\right)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai
[option]Faux
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Chaque question est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = \dfrac{1}{4}$ (probabilité d'une bonne réponse au hasard). Les $50$ questions sont indépendantes, donc $X \sim \mathscr{B}\!\left(50~;~\dfrac{1}{4}\right)$, et la condition « au moins $25$ bonnes réponses » s'écrit $X \geqslant 25$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour modéliser un QCM en répondant au hasard, on utilise une loi binomiale dont le paramètre $p$ est l'inverse du nombre de propositions par question.
Ici $p = \dfrac{1}{4}$ et $n = 50$, donc $X \sim \mathscr{B}\!\left(50~;~\dfrac{1}{4}\right)$. Être reçu signifie $X \geqslant 25$, donc la probabilité cherchée est bien $p(X \geqslant 25)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$X \sim \mathscr{B}\!\left(50~;~\dfrac{1}{4}\right)$ et la condition de réussite s'écrit $X \geqslant 25$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Reconnaître un schéma de Bernoulli

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur la reconnaissance d'un schéma de Bernoulli, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles, traditionnellement appelées « succès » et « échec ».

[qcm]
[option correct="true"]Vrai
[option]Faux
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est exactement la définition : une épreuve de Bernoulli ne possède que deux issues, $S$ (succès) de probabilité $p$ et $\overline{S}$ (échec) de probabilité $1-p$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : on parle d'épreuve de Bernoulli pour toute expérience aléatoire qui ne distingue que deux issues, le succès et l'échec.
La probabilité du succès est notée $p$, celle de l'échec $1-p$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès (probabilité $p$) et échec (probabilité $1-p$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
On tire successivement et sans remise $5$ cartes d'un jeu de $52$ cartes.
On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'as obtenus.

Affirmation : $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}\!\left(5~;~\dfrac{4}{52}\right)$.

[qcm]
[option]Vrai
[option correct="true"]Faux
[reponse statut="correct"]Exactement !
Sans remise, les tirages ne sont pas indépendants : la probabilité de tirer un as au deuxième tirage dépend du résultat du premier. La condition d'indépendance des épreuves n'est donc pas vérifiée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est d'oublier qu'une loi binomiale exige des épreuves indépendantes et identiques.
Sans remise, la composition du jeu change après chaque tirage, donc la probabilité de tirer un as varie. Les épreuves ne sont pas identiques ni indépendantes : $X$ ne suit pas une loi binomiale.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
Sans remise, les tirages ne sont pas indépendants : $X$ ne suit pas une loi binomiale.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On répète $10$ fois, de manière indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}3$.
Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'échecs obtenus.

Affirmation : $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(10~;~0{,}3)$.

[qcm]
[option]Vrai
[option correct="true"]Faux
[reponse statut="correct"]Bravo !
$X$ compte les échecs et non les succès. En considérant l'échec comme un nouveau « succès », sa probabilité vaut $1 - 0{,}3 = 0{,}7$. Ainsi $X$ suit $\mathscr{B}(10~;~0{,}7)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à bien identifier ce que compte la variable aléatoire.
Lorsque $X$ compte les échecs, le second paramètre de la binomiale est la probabilité d'un échec, c'est-à-dire $1 - p = 0{,}7$. Donc $X$ suit $\mathscr{B}(10~;~0{,}7)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$X$ compte les échecs : $X \sim \mathscr{B}(10~;~0{,}7)$, pas $\mathscr{B}(10~;~0{,}3)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour qu'une variable aléatoire $X$ suive une loi binomiale, il suffit que les épreuves répétées soient identiques et indépendantes, et que $X$ compte le nombre de succès.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai
[option]Faux
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
C'est précisément la définition d'un schéma de Bernoulli : on répète $n$ fois, de manière identique et indépendante, la même épreuve de Bernoulli, et $X$ compte le nombre de succès.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : un schéma de Bernoulli est défini par trois conditions : épreuves identiques, épreuves indépendantes, et variable aléatoire qui compte le nombre de succès.
Si ces trois conditions sont réunies, $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(n~;~p)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Un schéma de Bernoulli demande des épreuves identiques, indépendantes et que $X$ compte les succès.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance $8$ fois un dé équilibré à six faces.
Soit $X$ la variable aléatoire égale à la somme des points obtenus sur les huit lancers.

Affirmation : $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}\!\left(8~;~\dfrac{1}{6}\right)$.

[qcm]
[option]Vrai
[option correct="true"]Faux
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$X$ est une somme de points, pas un nombre de succès. Elle prend ses valeurs dans $\{8, 9, \ldots, 48\}$, alors qu'une variable binomiale $\mathscr{B}(8~;~p)$ prend ses valeurs dans $\{0, 1, \ldots, 8\}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « nombre de succès » et « somme des résultats ».
Une variable binomiale compte un nombre de succès et prend ses valeurs dans $\{0, 1, \ldots, n\}$. Or $X$ vaut au minimum $8$ (que des $1$) et au maximum $48$ (que des $6$) : ce ne peut pas être une loi binomiale.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$X$ est la somme des points, pas un nombre de succès : $X$ ne suit pas une loi binomiale.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Une urne contient $4$ boules vertes et $6$ boules rouges, indiscernables au toucher.
On effectue $5$ tirages successifs avec remise et on note $X$ le nombre de boules vertes obtenues.

Affirmation : $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(5~;~0{,}4)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai
[option]Faux
[reponse statut="correct"]Correct !
Avec remise, chaque tirage est une épreuve de Bernoulli identique de paramètre $p = \dfrac{4}{10} = 0{,}4$ (probabilité d'obtenir une boule verte). Les tirages sont indépendants, et $X$ compte le nombre de succès : $X \sim \mathscr{B}(5~;~0{,}4)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La clé est de vérifier les trois conditions du schéma de Bernoulli.
Avec remise, les tirages sont identiques (même composition de l'urne) et indépendants. La probabilité d'un succès (boule verte) vaut $\dfrac{4}{10} = 0{,}4$, et $X$ compte les succès : $X \sim \mathscr{B}(5~;~0{,}4)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Tirage avec remise, $5$ épreuves identiques et indépendantes, $p = 0{,}4$ : $X \sim \mathscr{B}(5~;~0{,}4)$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Reconnaître un schéma de Bernoulli

[enonce]
Ce QCM porte sur la reconnaissance d'un schéma de Bernoulli et l'identification des paramètres $n$ et $p$ d'une loi binomiale. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Parmi les expériences aléatoires suivantes, laquelle est une épreuve de Bernoulli ?
[qcm]
[option]Lancer un dé équilibré à six faces et noter le numéro obtenu.[/option]
[option correct="true"]Lancer une pièce équilibrée et noter si l'on obtient « pile » ou « face ».[/option]
[option]Tirer 3 cartes successivement, sans remise, dans un jeu de 32 cartes.[/option]
[option]Lancer 10 fois une pièce équilibrée et compter le nombre de « pile ».[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à exactement deux issues (succès/échec). Le lancer d'une pièce vérifie cette condition.[/reponse]
[reponse motif="Lancer un dé équilibré à six faces et noter le numéro obtenu."]Non.
Cette expérience admet six issues différentes ($1, 2, 3, 4, 5, 6$), or une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues possibles.[/reponse]
[reponse motif="Tirer 3 cartes successivement, sans remise, dans un jeu de 32 cartes."]Non.
Il s'agit ici d'une suite de 3 expériences (et chacune admet 32 issues, pas 2). Une épreuve de Bernoulli est une unique expérience à deux issues.[/reponse]
[reponse motif="Lancer 10 fois une pièce équilibrée et compter le nombre de « pile »."]Non.
Cette expérience est une répétition d'épreuves de Bernoulli (un schéma de Bernoulli), pas une épreuve de Bernoulli isolée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles : un succès et un échec.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une urne contient $5$ boules vertes et $3$ boules noires. On effectue $4$ tirages successifs et on s'intéresse au nombre de boules vertes obtenues. Dans quel cas obtient-on un schéma de Bernoulli ?
[qcm]
[option]Tirages sans remise.[/option]
[option correct="true"]Tirages avec remise.[/option]
[option]Dans les deux cas.[/option]
[option]Dans aucun des deux cas.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Avec remise, la composition de l'urne est restaurée à chaque tirage : les épreuves sont identiques et indépendantes.[/reponse]
[reponse motif="Tirages sans remise."]Non.
Sans remise, la composition de l'urne change après chaque tirage, donc les probabilités évoluent : les épreuves ne sont ni identiques, ni indépendantes.[/reponse]
[reponse motif="Dans les deux cas."]Non.
Le tirage sans remise modifie la composition de l'urne, donc les épreuves ne sont pas identiques. Seul le tirage avec remise convient.[/reponse]
[reponse motif="Dans aucun des deux cas."]Non.
Le tirage avec remise garantit l'indépendance et l'identité des épreuves, ce qui correspond bien à un schéma de Bernoulli.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un schéma de Bernoulli requiert des épreuves identiques et indépendantes : une seule des deux situations vérifie ces conditions.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On lance $12$ fois un dé équilibré à six faces et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où l'on obtient un nombre pair. Quels sont les paramètres de la loi binomiale suivie par $X$ ?
[qcm]
[option]$n = 12$ et $p = \dfrac{1}{6}$[/option]
[option]$n = 6$ et $p = \dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$n = 12$ et $p = \dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$n = 12$ et $p = \dfrac{1}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On répète $12$ épreuves identiques et indépendantes ($n = 12$). À chaque lancer, le succès « obtenir un pair » a pour probabilité $p = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$n = 12$ et $p = \dfrac{1}{6}$"]Non.
$\dfrac{1}{6}$ correspondrait à la probabilité d'obtenir une face précise (par exemple « obtenir un $6$ »). Ici le succès est « obtenir un pair » : recompter le nombre de faces favorables sur $6$.[/reponse]
[reponse motif="$n = 6$ et $p = \dfrac{1}{2}$"]Non.
$n$ représente le nombre d'épreuves (le nombre de lancers), pas le nombre de faces du dé.[/reponse]
[reponse motif="$n = 12$ et $p = \dfrac{1}{3}$"]Non.
$\dfrac{1}{3}$ correspondrait à $\dfrac{2}{6}$ : recompter les faces paires d'un dé à six faces ($2$, $4$, $6$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$n$ est le nombre de répétitions (lancers) et $p$ est la probabilité du succès « obtenir un pair » lors d'un lancer.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On tire successivement et avec remise $8$ cartes dans un jeu de $32$ cartes. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de cœurs obtenus. Quelle est la loi suivie par $X$ ?
[qcm]
[option]$\mathscr{B}\!\left(8~;~\dfrac{1}{8}\right)$[/option]
[option correct="true"]$\mathscr{B}\!\left(8~;~\dfrac{1}{4}\right)$[/option]
[option]$\mathscr{B}\!\left(32~;~\dfrac{1}{4}\right)$[/option]
[option]$\mathscr{B}\!\left(8~;~\dfrac{1}{32}\right)$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On répète $8$ épreuves identiques et indépendantes ($n = 8$). Le succès « obtenir un cœur » a pour probabilité $p = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}$ ($8$ cartes de cœur dans un jeu de $32$).[/reponse]
[reponse motif="$\mathscr{B}\!\left(8~;~\dfrac{1}{8}\right)$"]Non.
$\dfrac{1}{8}$ ne correspond pas à la proportion de cœurs : il y a $8$ cartes de cœur sur $32$ cartes au total. Vérifier la simplification de $\dfrac{8}{32}$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathscr{B}\!\left(32~;~\dfrac{1}{4}\right)$"]Non.
$n$ est le nombre de tirages effectués (ici $8$), pas le nombre de cartes du jeu.[/reponse]
[reponse motif="$\mathscr{B}\!\left(8~;~\dfrac{1}{32}\right)$"]Non.
$\dfrac{1}{32}$ serait la probabilité de tirer une carte précise. La probabilité de tirer un cœur est $\dfrac{\text{cœurs}}{\text{cartes totales}}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$n$ est le nombre de tirages et $p$ est la proportion de cartes favorables (cœurs) parmi les $32$ cartes du jeu.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un sac contient $100$ jetons numérotés de $1$ à $100$. On effectue $5$ tirages successifs sans remise et $X$ compte le nombre de jetons portant un numéro pair. La variable $X$ suit-elle une loi binomiale ?
[qcm]
[option]Oui, $X$ suit $\mathscr{B}\!\left(5~;~\dfrac{1}{2}\right)$.[/option]
[option]Oui, $X$ suit $\mathscr{B}\!\left(100~;~\dfrac{1}{2}\right)$.[/option]
[option correct="true"]Non, car les épreuves ne sont pas indépendantes.[/option]
[option]Non, car il y a plus de deux issues possibles.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Sans remise, la composition du sac change à chaque tirage : la probabilité de tirer un pair au $2^{\text{ème}}$ tirage dépend du résultat du $1^{\text{er}}$. Les épreuves ne sont donc pas indépendantes : ce n'est pas un schéma de Bernoulli.[/reponse]
[reponse motif="Oui, $X$ suit $\mathscr{B}\!\left(5~;~\dfrac{1}{2}\right)$."]Non.
La proportion de pairs ($\dfrac{50}{100} = \dfrac{1}{2}$) est correcte au premier tirage, mais elle change ensuite : sans remise, les épreuves ne restent pas identiques.[/reponse]
[reponse motif="Oui, $X$ suit $\mathscr{B}\!\left(100~;~\dfrac{1}{2}\right)$."]Non.
$n$ représente le nombre de tirages effectués ($5$), pas le nombre total de jetons. De plus, l'absence de remise empêche d'utiliser la loi binomiale.[/reponse]
[reponse motif="Non, car il y a plus de deux issues possibles."]Non.
À chaque tirage, on regroupe les issues en deux catégories : « pair » (succès) ou « impair » (échec). Le problème vient d'ailleurs : penser à l'effet du tirage sans remise.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour qu'une loi binomiale s'applique, les épreuves doivent être identiques et indépendantes. Vérifier ce que change l'absence de remise.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On lance $4$ fois un dé équilibré à six faces. À chaque lancer, on gagne $5$€ si l'on obtient un $6$, sinon on perd $1$€. On note $Y$ la variable aléatoire égale au gain algébrique total à l'issue des $4$ lancers. La variable $Y$ suit-elle une loi binomiale ?
[qcm]
[option]Oui, $Y$ suit $\mathscr{B}\!\left(4~;~\dfrac{1}{6}\right)$.[/option]
[option]Oui, $Y$ suit $\mathscr{B}\!\left(4~;~\dfrac{5}{6}\right)$.[/option]
[option correct="true"]Non, car $Y$ peut prendre des valeurs négatives.[/option]
[option]Non, car les lancers ne sont pas indépendants.[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Une variable aléatoire qui suit une loi binomiale ne prend que des valeurs entières dans $\{0, 1, \dots, n\}$. Or $Y$ représente un gain algébrique qui peut être négatif (par exemple $-4$ si l'on perd quatre fois) : $Y$ ne suit donc pas une loi binomiale.[/reponse]
[reponse motif="Oui, $Y$ suit $\mathscr{B}\!\left(4~;~\dfrac{1}{6}\right)$."]Non.
La variable $X$ qui compte le nombre de $6$ obtenus suit bien $\mathscr{B}\!\left(4~;~\dfrac{1}{6}\right)$, mais $Y$ représente un gain qui peut être négatif : ce n'est pas la même variable.[/reponse]
[reponse motif="Oui, $Y$ suit $\mathscr{B}\!\left(4~;~\dfrac{5}{6}\right)$."]Non.
Une loi binomiale ne prend que des valeurs entières positives, ce qui est incompatible avec un gain pouvant être négatif. De plus, $\dfrac{5}{6}$ correspondrait à la probabilité d'échec, pas à celle du succès « obtenir un $6$ ».[/reponse]
[reponse motif="Non, car les lancers ne sont pas indépendants."]Non.
Les $4$ lancers d'un dé sont bien indépendants. Le problème vient des valeurs prises par $Y$, pas des conditions sur les épreuves.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Vérifier les valeurs possibles d'une variable binomiale, et les comparer aux valeurs que peut prendre $Y$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Loi binomiale

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On lance $4$ fois un dé équilibré à six faces.

Affirmation : La probabilité d'obtenir au moins un « 6 » est égale à $1 - \dfrac{5^4}{6^4}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On note $A$ l'événement « obtenir au moins un 6 ». L'événement contraire $\overline{A}$ est « n'obtenir aucun 6 » :

$p(\overline{A}) = \binom{4}{0}\left(\dfrac{1}{6}\right)^0\left(\dfrac{5}{6}\right)^4 = \dfrac{5^4}{6^4}$

Donc $p(A) = 1 - \dfrac{5^4}{6^4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention, il ne faut pas chercher à calculer directement $p(\text{au moins un 6})$, ce qui est complexe. Il est plus simple de passer par le complémentaire : $p(\text{aucun 6}) = \left(\dfrac{5}{6}\right)^4$.
Par complémentarité : $p(\text{au moins un 6}) = 1 - p(\text{aucun 6}) = 1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^4 = 1 - \dfrac{5^4}{6^4}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Par complémentarité : $p(\text{au moins un 6}) = 1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^4 = 1 - \dfrac{5^4}{6^4}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On tire trois fois de suite et avec remise une boule d'un sac contenant $2$ boules rouges et $3$ boules noires.
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules noires tirées.

Affirmation : $p(X = 1) = \dfrac{36}{125}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}\!\left(3~;~\dfrac{3}{5}\right)$, donc :

$p(X=1) = \binom{3}{1}\left(\dfrac{3}{5}\right)^1\left(\dfrac{2}{5}\right)^2 = 3 \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{25} = \dfrac{36}{125}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas oublier le coefficient binomial $\binom{3}{1} = 3$ qui compte le nombre de façons d'obtenir exactement une boule noire parmi trois tirages.
$X \sim \mathscr{B}\!\left(3~;~\dfrac{3}{5}\right)$, donc $p(X=1) = \dbinom{3}{1}\left(\dfrac{3}{5}\right)\left(\dfrac{2}{5}\right)^2 = \dfrac{36}{125}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$X \sim \mathscr{B}\left(3~;~\dfrac{3}{5}\right)$ : $p(X=1) = 3 \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{25} = \dfrac{36}{125}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance $30$ fois un dé équilibré à six faces. Soit $X$ le nombre de « 6 » obtenus.

Affirmation : En moyenne, le nombre de « 6 » obtenus sera égal à $5$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}\!\left(30~;~\dfrac{1}{6}\right)$, donc :

$E(X) = np = 30 \times \dfrac{1}{6} = 5$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la moyenne se calcule avec la formule de l'espérance $E(X) = np$, et non en utilisant directement la probabilité $\dfrac{1}{6}$.
$X \sim \mathscr{B}\!\left(30~;~\dfrac{1}{6}\right)$ et $E(X) = np = 30 \times \dfrac{1}{6} = 5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$E(X) = np = 30 \times \dfrac{1}{6} = 5$ : en moyenne, on obtient 5 fois le chiffre 6.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance six fois une pièce de monnaie bien équilibrée (lancers indépendants).
À chaque lancer, on gagne $2$€ si le résultat est « Pile », on perd $3$€ sinon.
On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue des six lancers.

Affirmation : $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}\!\left(6~;~\dfrac{1}{2}\right)$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$X$ ne compte pas le nombre de succès : elle représente un gain algébrique qui prend des valeurs négatives.
Une variable binomiale ne prend que des valeurs entières positives, ce qui n'est pas le cas de $X$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre le nombre de « Pile » (qui suit bien $\mathscr{B}\left(6~;~\dfrac{1}{2}\right)$) avec le gain algébrique $X$, qui prend des valeurs dans $\{-18, -13, \ldots, 12\}$ et peut être négatif.
$X$ n'est pas le nombre de Pile obtenus mais le gain algébrique : elle peut être négative.
Une loi binomiale ne prend que des valeurs dans $\{0, 1, \ldots, n\}$, donc $X$ ne suit pas $\mathscr{B}\left(6~;~\dfrac{1}{2}\right)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$X$ représente un gain algébrique pouvant être négatif, ce qui est incompatible avec une loi binomiale.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B}(10~;~0{,}5)$.

Affirmation : $p(X = 5) = \dbinom{10}{5} \times 0{,}5^{10}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !

$p(X=5) = \binom{10}{5} \times 0{,}5^5 \times 0{,}5^5 = \binom{10}{5} \times 0{,}5^{10}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention à ne pas écrire $p(X=5) = \dbinom{10}{5} \times 0{,}5^5$ en oubliant le facteur $(1-p)^{n-k} = 0{,}5^5$, qui vaut aussi $0{,}5^5$ ici car $p = 0{,}5$.
$p(X=5) = \dbinom{10}{5} \times 0{,}5^5 \times (1-0{,}5)^5 = \dbinom{10}{5} \times 0{,}5^{10}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Comme $p = 1 - p = 0{,}5$, les deux facteurs $p^5$ et $(1-p)^5$ se combinent en $0{,}5^{10}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale $\mathscr{B}(n~;~p)$.

Affirmation : La variance $V(X)$ est toujours inférieure ou égale à l'espérance $E(X)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p) = E(X) \times (1-p)$.
Comme $1-p \leqslant 1$, on a bien $V(X) \leqslant E(X)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La clé est d'exploiter la relation $V(X) = E(X) \times (1-p)$ au lieu de traiter variance et espérance comme des quantités indépendantes.
$V(X) = np(1-p) = E(X)(1-p)$.
Puisque $0 \leqslant p \leqslant 1$, le facteur $(1-p) \leqslant 1$, donc $V(X) \leqslant E(X)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$V(X) = E(X) \times (1-p) \leqslant E(X)$ car $1-p \leqslant 1$.
[/solution]
[/etape]