1. Pour chacun des nombres suivants, dire s'il est premier ou non. Si le nombre n'est pas premier, donner un de ses diviseurs autre que $ 1 $ et lui-même.

   1. $ 59 $
   2. $ 87 $
   3. $ 119 $
   4. $ 131 $
2. Camille affirme : « $ 143 $ est un nombre premier car il n'est divisible ni par $ 2 $, ni par $ 3 $, ni par $ 5 $, ni par $ 7 $. » A-t-elle raison ? Justifier.

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les nombres premiers, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Tous les nombres premiers sont impairs.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le nombre $2$ est pair et premier (ses seuls diviseurs sont $1$ et $2$). C'est même le seul nombre premier pair, mais il existe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au cas particulier de $2$. Tous les autres nombres pairs sont divisibles par $2$ (donc non premiers), mais $2$ lui-même n'a que $1$ et $2$ comme diviseurs.
$2$ est donc le seul nombre premier pair.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $2$ est pair et premier. C'est le seul nombre premier pair.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $1$ est le plus petit nombre premier.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Par convention, $1$ n'est pas premier : un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs distincts. Or $1$ n'en a qu'un seul (lui-même). Le plus petit nombre premier est $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de retenir que $1$ « ne se divise que par $1$ et lui-même ». Mais ces deux diviseurs sont identiques.
La définition exige deux diviseurs distincts. $1$ n'en a qu'un, donc il n'est pas premier. Le plus petit nombre premier est $2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $1$ n'est pas premier (un seul diviseur). Le plus petit nombre premier est $2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $91$ est un nombre premier.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$91 = 7 \times 13$. Les critères de divisibilité par $2$, $3$ et $5$ ne s'appliquent pas, ce qui peut induire en erreur. Mais en testant $7$, on trouve $91 = 7 \times 13$. Donc $91$ n'est pas premier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : $91$ est impair, sa somme des chiffres ($10$) n'est pas multiple de $3$, et il ne se termine pas par $0$ ou $5$. Mais il faut continuer avec $7$ : $\sqrt{91} \approx 9{,}5$, donc on doit tester $2$, $3$, $5$ et aussi $7$.
$91 = 7 \times 13$, donc $91$ n'est pas premier.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $91 = 7 \times 13$. Il faut penser à tester aussi $7$ après $2$, $3$ et $5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour vérifier que $200$ est ou non premier, il suffit de tester sa divisibilité par les nombres premiers inférieurs ou égaux à $14$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On a $\sqrt{200} \approx 14{,}1$. Le test de primalité dit qu'il suffit de tester les nombres premiers inférieurs ou égaux à $\sqrt{n}$, donc à $14$. (En pratique, $200$ se termine par $0$, on conclut très vite : non premier.)[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour tester si $n$ est premier, on s'arrête à $\sqrt{n}$. Tout diviseur de $n$ supérieur à $\sqrt{n}$ correspond à un autre diviseur inférieur à $\sqrt{n}$.
Ici, $\sqrt{200} \approx 14{,}1$, donc tester les premiers jusqu'à $14$ suffit.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\sqrt{200} \approx 14{,}1$ : tester les premiers $\leqslant 14$ suffit pour conclure.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La somme de deux nombres premiers est toujours un nombre premier.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Contre-exemple : $3 + 5 = 8$, qui n'est pas premier. La somme de deux nombres premiers (autres que $2$) est toujours paire (donc divisible par $2$), donc non premier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre avec une règle inventée. Tester quelques exemples : $3 + 5 = 8$ (non premier), $5 + 7 = 12$ (non premier), $11 + 13 = 24$ (non premier).
La somme de deux premiers impairs est toujours paire, donc divisible par $2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Contre-exemple : $3 + 5 = 8$ n'est pas premier. La somme de deux nombres premiers impairs est toujours paire.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Il existe une infinité de nombres premiers.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est un résultat célèbre démontré par Euclide il y a plus de $2\,000$ ans. Il existe $25$ nombres premiers inférieurs à $100$, mais ils continuent indéfiniment au-delà : $101$, $103$, $107$, $109$, $113$, etc.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On ne connaît pas tous les nombres premiers, mais on sait qu'il y en a une infinité. Au-delà de $100$, il y a encore $101$, $103$, $107$, $109$, $113$… et la liste ne s'arrête jamais.
Ce résultat a été démontré par Euclide.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Il existe une infinité de nombres premiers (résultat démontré par Euclide).
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les nombres premiers. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Parmi les nombres suivants, lequel est premier ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$9$[/option]
[option correct="true"]$23$[/option]
[option]$21$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$23$ n'est divisible que par $1$ et par lui-même : il est premier. On peut vérifier qu'il n'est divisible ni par $2$, ni par $3$ ($2 + 3 = 5$), ni par aucun premier inférieur à $\sqrt{23} \approx 4{,}8$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Par convention, $1$ n'est pas premier : un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs distincts. Or $1$ n'a qu'un seul diviseur (lui-même).[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9 = 3 \times 3$ : il est divisible par $3$, donc il a au moins trois diviseurs ($1$, $3$, $9$). Ce n'est pas un nombre premier.[/reponse]
[reponse motif="$21$"]Non.
$21 = 3 \times 7$ : il a quatre diviseurs ($1$, $3$, $7$, $21$). Ce n'est pas un nombre premier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un nombre premier a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même. Tester chaque proposition.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Combien y a-t-il de nombres premiers inférieurs à $20$ ?
[qcm]
[option]$6$[/option]
[option]$7$[/option]
[option correct="true"]$8$[/option]
[option]$9$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les nombres premiers inférieurs à $20$ sont : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$. Cela fait $8$ nombres premiers.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
Tu en as oublié deux. Lister tous les premiers : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
Il en manque un. La liste complète est $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$. As-tu pensé à $2$ ?[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
Tu as compté un nombre en trop. Vérifier que $1$ n'est pas premier, et que $9$ ($= 3 \times 3$) et $15$ ($= 3 \times 5$) ne le sont pas non plus.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il y a exactement $8$ nombres premiers inférieurs à $20$ : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour vérifier que $61$ est premier, jusqu'à quel nombre faut-il tester les diviseurs premiers ?
[qcm]
[option]Jusqu'à $61$[/option]
[option]Jusqu'à $30$[/option]
[option]Jusqu'à $11$[/option]
[option correct="true"]Jusqu'à $7$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On a $\sqrt{61} \approx 7{,}8$. Il suffit donc de tester les nombres premiers inférieurs ou égaux à $7$ : $2$, $3$, $5$ et $7$.[/reponse]
[reponse motif="Jusqu'à $61$"]Non.
Tester tous les nombres jusqu'à $61$ serait très long et inutile. Le critère utilise la racine carrée : $\sqrt{61} \approx 7{,}8$.[/reponse]
[reponse motif="Jusqu'à $30$"]Non.
$30$ correspond environ à $61 \div 2$ : ce n'est pas le critère. Le critère utilise la racine carrée : $\sqrt{61} \approx 7{,}8$.[/reponse]
[reponse motif="Jusqu'à $11$"]Non.
$\sqrt{61}$ vaut environ $7{,}8$ : on peut s'arrêter à $7$. Tester $11$ serait inutile car $11 \times 11 = 121 > 61$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On peut s'arrêter à $\sqrt{n}$ pour tester si $n$ est premier. Ici $\sqrt{61} \approx 7{,}8$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le nombre $51$ est-il premier ?
[qcm]
[option]Oui, car il est impair[/option]
[option correct="true"]Non, car il est divisible par $3$[/option]
[option]Oui, car il ne se termine ni par $0$ ni par $5$[/option]
[option]Non, car il est divisible par $7$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La somme des chiffres de $51$ vaut $5 + 1 = 6$, multiple de $3$. Donc $51 = 3 \times 17$ : ce n'est pas un nombre premier.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car il est impair"]Non.
Être impair ne suffit pas pour être premier. $9$, $15$, $21$, $25$, $27$… sont impairs et pas premiers. Tester avec d'autres critères.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car il ne se termine ni par $0$ ni par $5$"]Non.
Ne pas être divisible par $5$ ne suffit pas. Il faut aussi tester $3$ : la somme des chiffres de $51$ vaut $6$, donc $51$ est divisible par $3$.[/reponse]
[reponse motif="Non, car il est divisible par $7$"]Non.
$51 \div 7 = 7{,}28…$ : ce n'est pas un nombre entier. Donc $51$ n'est pas divisible par $7$. Mais le diviseur correct est plus petit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester la divisibilité par les premiers : $5 + 1 = 6$ multiple de $3$, donc $51 = 3 \times 17$. Pas premier.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel nombre premier est compris entre $40$ et $50$ ?
[qcm]
[option]$45$[/option]
[option correct="true"]$47$[/option]
[option]$49$[/option]
[option]$51$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$\sqrt{47} \approx 6{,}9$ : on teste $2$, $3$, $5$. $47$ est impair, $4 + 7 = 11$ (pas multiple de $3$), ne finit pas par $0$ ou $5$. Donc $47$ est premier.[/reponse]
[reponse motif="$45$"]Non.
$45 = 9 \times 5$ : il est divisible par $3$, $5$, $9$. Il a beaucoup de diviseurs et n'est pas premier.[/reponse]
[reponse motif="$49$"]Non.
$49 = 7 \times 7 = 7^2$ : il a trois diviseurs ($1$, $7$, $49$), donc il n'est pas premier.[/reponse]
[reponse motif="$51$"]Non.
D'abord, $51$ n'est pas entre $40$ et $50$. De plus, $51 = 3 \times 17$ n'est pas premier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Parmi les propositions, seul $47$ est premier : $45 = 9 \times 5$, $49 = 7^2$ et $51 = 3 \times 17$ ne le sont pas.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Avec le crible d'Ératosthène, juste après avoir entouré $5$, quels nombres barre-t-on ?
[qcm]
[option]Tous les nombres pairs[/option]
[option]$15$, $20$, $25$, $30$, …[/option]
[option correct="true"]$25$, $35$, $55$, $65$, $85$, $95$ (les multiples de $5$ encore non barrés)[/option]
[option]Uniquement $25$ et $50$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les multiples $10$, $15$, $20$, $30$, $40$, $45$, $50$, $60$, $70$, $75$, $80$, $90$, $100$ ont déjà été barrés (multiples de $2$ ou de $3$). Il reste $25$, $35$, $55$, $65$, $85$, $95$.[/reponse]
[reponse motif="Tous les nombres pairs"]Non.
Les nombres pairs sont barrés à l'étape de $2$, pas à celle de $5$. À l'étape de $5$, on s'occupe uniquement des multiples de $5$.[/reponse]
[reponse motif="$15$, $20$, $25$, $30$, …"]Non.
Ces nombres ont déjà été barrés aux étapes précédentes ($15 = 3 \times 5$, $20 = 4 \times 5$ multiple de $2$, $30 = 6 \times 5$ multiple de $2$ et $3$). On ne re-barre pas.[/reponse]
[reponse motif="Uniquement $25$ et $50$"]Non.
$50$ est multiple de $2$ et a déjà été barré. Mais il y a beaucoup d'autres multiples de $5$ à barrer ($35$, $55$, $65$, $85$, $95$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
À chaque étape du crible, on barre les multiples du nombre entouré non encore barrés. Pour $5$, ce sont $25$, $35$, $55$, $65$, $85$, $95$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]