[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : suites de matrices colonnes, suites couplées, chaînes de Markov et distribution invariante. Choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ et $U_0 = \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \end{pmatrix}$ avec $U_{n+1} = A\,U_n$. Quelle est l'expression de $U_n$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 2\times 3^n \\ 8\times 2^n \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 2\times 3^n \\ 8\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 3^n \\ \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 2 \\ 8 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$A$ étant diagonale, $A^n = \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \end{pmatrix}$. Donc $U_n = A^n\,U_0 = \begin{pmatrix} 2\times 3^n \\ 8\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 2\times 3^n \\ 8\times 2^n \end{pmatrix}$"]Non.
Erreur sur le coefficient diagonal $\dfrac{1}{2}$ : sa puissance $n$ vaut $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n = \dfrac{1}{2^n}$, et non $2^n$. La suite décroît, elle ne croît pas.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 3^n \\ \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \end{pmatrix}$"]Non.
Le facteur multiplicatif $U_0$ a été oublié. La formule générale est $U_n = A^n\,U_0$ : il faut multiplier $A^n$ par les coordonnées de $U_0$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 2 \\ 8 \end{pmatrix}$"]Non.
Cela serait $U_0$, ce qui contredit la récurrence (la matrice $A$ n'est pas l'identité). Il faut tenir compte des puissances.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une matrice diagonale, les puissances et le produit par $U_0$ s'enchaînent simplement.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère la chaîne de Markov de matrice $P = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ avec $X_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$. Que vaut $X_2$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 0{,}25 & 0{,}75 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$X_1 = X_0\,P = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$, puis $X_2 = X_1\,P = \begin{pmatrix} 0{,}5 \times 0{,}5 + 0{,}5 \times 0{,}5 & 0{,}5 \times 0{,}5 + 0{,}5 \times 0{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$"]Non.
Cela signifierait que la chaîne reste figée, ce qui n'est pas cohérent avec une matrice de transition non triviale (les coefficients hors diagonale sont non nuls).[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 0{,}25 & 0{,}75 \end{pmatrix}$"]Non.
Erreur de calcul : $X_2$ a deux coordonnées de somme $1$, mais ici l'égalité des deux composantes vient de la symétrie de $P$. Refaire le produit ligne par colonne.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}$"]Non.
Cela serait $X_0$ en partant de l'état $2$, ce qui n'est pas le cas. Reprendre le calcul $X_2 = X_0\,P^2$ avec $X_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour cette matrice de transition « équilibrée », $X_n$ se stabilise rapidement à $\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ dès $n = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit la suite définie par $U_{n+1} = A\,U_n + C$ avec $A = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Que vaut le point fixe $L$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On résout $L = A\,L + C$, soit $\begin{cases} x = \dfrac{1}{2}x + 1 \\ y = \dfrac{1}{2}y + 2 \end{cases}$, ce qui donne $\dfrac{1}{2}x = 1$ et $\dfrac{1}{2}y = 2$, d'où $x = 2$ et $y = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$"]Non.
$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ est la matrice $C$, pas $L$. Vérifier en calculant $A\,L + C$ : si $L = C$, on obtiendrait $L = A\,C + C \ne C$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}$"]Non.
Cette valeur est $A\,C$, pas le point fixe. Bien isoler $L$ dans l'équation $L - A\,L = C$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$"]Non.
La matrice nulle ne vérifie pas l'équation : $A \times 0 + C = C \ne 0$. Donc $0$ n'est pas un point fixe ici.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre $L = A\,L + C$ : on obtient $L = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour $P = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$, quelle est la distribution invariante ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 0{,}75 & 0{,}25 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 0{,}25 & 0{,}75 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On résout $X\,P = X$ avec $X = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$ : $0{,}9\,a + 0{,}3\,b = a$ donne $0{,}3\,b = 0{,}1\,a$, soit $b = \dfrac{a}{3}$. Avec $a + b = 1$, $a + \dfrac{a}{3} = 1$, donc $a = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$ et $b = 0{,}25$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$"]Non.
La distribution équilibrée n'est pas invariante en général. Vérifier : $\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix} \times P = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \end{pmatrix}$"]Non.
La première ligne de $P$ n'est pas la distribution invariante. Bien résoudre le système $X\,P = X$ avec la condition $a + b = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 0{,}25 & 0{,}75 \end{pmatrix}$"]Non.
Inversion entre $a$ et $b$ : la coordonnée associée à l'état $1$ (où le « rester » est plus probable, $0{,}9$) doit être plus grande, pas plus petite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre le système donne $X = \begin{pmatrix} 0{,}75 & 0{,}25 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $P$ la matrice de transition d'une chaîne de Markov à $3$ états. Combien de coefficients indépendants suffit-il pour la déterminer entièrement ?
[qcm]
[option]$9$[/option]
[option]$3$[/option]
[option correct="true"]$6$[/option]
[option]$2$[/option]
[reponse statut="correct"]Tout à fait !
$P$ est une matrice $3 \times 3$, soit $9$ coefficients. Mais chaque ligne doit sommer à $1$ : cela donne $3$ contraintes indépendantes (une par ligne). Reste donc $9 - 3 = 6$ coefficients libres.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
Cela ne tient pas compte des contraintes de somme par ligne (égales à $1$), qui réduisent le nombre de coefficients libres.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Trois coefficients seraient insuffisants pour décrire toutes les transitions entre $3$ états. Compter les contraintes : il y en a $3$ (une par ligne) sur les $9$ coefficients.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$2$ coefficients suffiraient pour une chaîne à $2$ états (où il y a $4$ coefficients et $2$ contraintes). Pour $3$ états, le décompte est $9 - 3 = 6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Sur $9$ coefficients, $3$ sont déterminés par la contrainte « somme de la ligne = $1$ » : il reste $6$ coefficients indépendants.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $P$ une matrice de transition à coefficients tous strictement positifs. La suite $\left(X_n\right)$ converge vers la distribution invariante $X$. Cette limite dépend-elle de la distribution initiale $X_0$ ?
[qcm]
[option]Oui, fortement.[/option]
[option correct="true"]Non, elle est indépendante de $X_0$.[/option]
[option]Cela dépend de la matrice $P$, pas de $X_0$.[/option]
[option]Cela dépend du nombre d'étapes considérées.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Lorsque tous les coefficients de $P$ sont strictement positifs, la limite de $\left(X_n\right)$ est l'unique distribution invariante de $P$, qui ne dépend que de $P$ et pas de $X_0$.[/reponse]
[reponse motif="Oui, fortement."]Non.
À court terme, $X_n$ dépend de $X_0$. Mais sous l'hypothèse de positivité stricte, l'effet de $X_0$ s'estompe complètement à long terme.[/reponse]
[reponse motif="Cela dépend de la matrice $P$, pas de $X_0$."]Pas tout à fait.
La limite dépend bien de $P$ (qui détermine la distribution invariante), mais l'option correcte va plus loin : dans le cadre des coefficients tous strictement positifs, elle est indépendante de $X_0$.[/reponse]
[reponse motif="Cela dépend du nombre d'étapes considérées."]Non.
La « limite » est par définition la valeur atteinte quand $n \to +\infty$ : elle ne dépend pas du nombre fini d'étapes, mais de la matrice $P$ (et pas de $X_0$ sous nos hypothèses).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Sous l'hypothèse que tous les coefficients de $P$ sont strictement positifs, la limite est indépendante de $X_0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]