[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur le théorème de Gauss et ses applications, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si $a$ divise $bc$, alors $a$ divise $b$ ou $a$ divise $c$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Sans hypothèse de primalité, c'est faux. Contre-exemple : $a = 6$, $b = 4$, $c = 9$. Alors $bc = 36$ et $6 \mid 36$. Pourtant $6 \nmid 4$ et $6 \nmid 9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Cette propriété n'est vraie que si $a$ est premier (ou plus généralement si $a$ est premier avec $b$ ou avec $c$). Contre-exemple : $a = 6$ divise $4 \times 9 = 36$, mais $6 \nmid 4$ et $6 \nmid 9$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La propriété nécessite que $a$ soit premier (ou premier avec l'un des facteurs). Contre-exemple : $a = 6$ divise $4 \times 9$ sans diviser ni $4$ ni $9$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $p$ est un nombre premier qui divise $bc$, alors $p$ divise $b$ ou $p$ divise $c$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est un corollaire du théorème de Gauss : si $p$ est premier et $p \nmid b$, alors $\text{PGCD}(p\,;\,b) = 1$, donc $p \mid c$. Cette propriété distingue les nombres premiers parmi tous les entiers.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : si $p$ est premier et ne divise pas $b$, alors $p$ et $b$ sont premiers entre eux. Le théorème de Gauss appliqué à $p \mid bc$ donne alors $p \mid c$. C'est ce qui caractérise les nombres premiers.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Si $p$ premier divise $bc$, alors soit $p \mid b$, soit $p \nmid b$ ; dans le second cas, $p$ et $b$ sont premiers entre eux et le théorème de Gauss donne $p \mid c$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $a$ et $b$ divisent un même entier $c$, alors $ab$ divise $c$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Cette propriété n'est valable que si $a$ et $b$ sont premiers entre eux. Contre-exemple : $a = 4$, $b = 6$, $c = 12$. Alors $4 \mid 12$ et $6 \mid 12$, mais $24 \nmid 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'hypothèse manquante : $a$ et $b$ doivent être premiers entre eux. Sinon, on ne peut conclure qu'à $\text{PPCM}(a\,;\,b) \mid c$, qui peut être strictement plus petit que $ab$. Contre-exemple : $a = 4$, $b = 6$, $c = 12$ ; $4 \mid 12$, $6 \mid 12$ mais $24 \nmid 12$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La propriété exige que $a$ et $b$ soient premiers entre eux. Sans cette hypothèse, on a seulement $\text{PPCM}(a\,;\,b) \mid c$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $5$ divise un produit $5n$, alors $5$ divise $n$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Le piège : $5n$ est toujours multiple de $5$, donc $5 \mid 5n$ pour tout $n$, sans que $n$ ait besoin d'être lui-même multiple de $5$. Par exemple $5 \times 3 = 15$ est divisible par $5$, mais $3$ ne l'est pas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
$5n$ est trivialement divisible par $5$, sans aucune condition sur $n$. La conclusion « $5 \mid n$ » serait fausse pour la plupart des $n$. Par exemple, $5 \times 3 = 15$ : $5$ divise $15$ mais $5 \nmid 3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $5n$ est multiple de $5$ pour tout $n$, donc $5 \mid 5n$ ne donne aucune information sur $n$. Contre-exemple : $5 \times 3 = 15$ ; $5 \mid 15$ mais $5 \nmid 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $a$, $b$, $c$ sont des entiers naturels non nuls avec $a$ premier avec $b$, et si $a$ divise $bc + 5a$, alors $a$ divise $c$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$a$ divise $bc + 5a$ et $a$ divise évidemment $5a$, donc $a$ divise leur différence $bc$. Avec $\text{PGCD}(a\,;\,b) = 1$, le théorème de Gauss donne $a \mid c$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Étape par étape : $a$ divise $bc + 5a$ et $a$ divise $5a$, donc $a$ divise $(bc + 5a) - 5a = bc$. Avec $a$ premier avec $b$, le théorème de Gauss donne immédiatement $a \mid c$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $a \mid bc + 5a$ et $a \mid 5a$ entraînent $a \mid bc$. Comme $a$ est premier avec $b$, le théorème de Gauss donne $a \mid c$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Si $ab$ divise un entier $n$, alors $a$ divise $n$ et $b$ divise $n$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Si $ab \mid n$, alors $n = ab \times k$ pour un entier $k$. Donc $a \mid n$ (avec quotient $bk$) et $b \mid n$ (avec quotient $ak$). C'est immédiat sans même invoquer Gauss : c'est la simple divisibilité par un produit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
$ab \mid n$ signifie $n = abk$ : $a$ divise alors $n$ (quotient $bk$) et $b$ divise $n$ (quotient $ak$). Aucune hypothèse particulière n'est nécessaire pour cette implication ; ce sont les implications réciproques qui demandent la primalité mutuelle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Si $ab \mid n$, alors $n = abk$ pour un entier $k$ ; donc $a \mid n$ et $b \mid n$ trivialement. La réciproque, elle, exigerait $\text{PGCD}(a\,;\,b) = 1$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur le PGCD et ses propriétés, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls. Si $b$ divise $a$, alors $\text{PGCD}(a\,;\,b) = b$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Si $b \mid a$, alors $b$ est un diviseur commun à $a$ et $b$. Or aucun diviseur commun ne peut être plus grand que $b$ lui-même : c'est donc le plus grand.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention au cas où l'un divise l'autre : c'est précisément la situation la plus simple. Dès lors que $b \mid a$, $b$ est diviseur de $a$ et de $b$, et c'est le plus grand de ses propres diviseurs, donc $\text{PGCD}(a\,;\,b) = b$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Si $b$ divise $a$, alors $b$ est un diviseur commun et c'est aussi le plus grand diviseur de $b$, donc $\text{PGCD}(a\,;\,b) = b$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tous entiers naturels non nuls $a$ et $b$, $\text{PGCD}(a\,;\,b)$ divise $a + b$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Tout diviseur commun à $a$ et $b$ divise leur somme. En particulier, $\text{PGCD}(a\,;\,b)$ divise $a + b$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : si un nombre $d$ divise $a$ et divise $b$, il divise toute combinaison linéaire $\alpha a + \beta b$. En particulier $\text{PGCD}(a\,;\,b)$ divise $a + b$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le PGCD divise $a$ et $b$, donc il divise leur somme $a + b$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'algorithme d'Euclide appliqué à deux entiers $a$ et $b$ (avec $a > b > 0$) se termine toujours en un nombre fini d'étapes.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La suite des restes est strictement décroissante dans $\mathbb{N}$ : elle ne peut pas décroître indéfiniment et atteint donc $0$ en un nombre fini d'étapes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est peut-être de penser à des cas extrêmes (très grands nombres). Mais à chaque itération, le reste est strictement plus petit que le diviseur précédent : la suite des restes est strictement décroissante dans $\mathbb{N}$, donc finie.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La suite des restes successifs est strictement décroissante dans $\mathbb{N}$ ; elle atteint nécessairement $0$ en un nombre fini d'étapes.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $\text{PGCD}(a\,;\,b) = d$, alors $a + b$ est nécessairement un multiple de $2d$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$a + b$ est multiple de $d$ (puisque $d \mid a$ et $d \mid b$), mais pas nécessairement de $2d$. Contre-exemple : $a = 3$, $b = 6$, $d = \text{PGCD}(3\,;\,6) = 3$ : $a + b = 9$, qui est bien multiple de $d = 3$ mais pas de $2d = 6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre le multiple du PGCD (toujours vrai) et le multiple du double du PGCD (faux en général). Contre-exemple : $a = 3$, $b = 6$, $d = 3$ ; $a + b = 9 = 3 \times 3$, qui n'est pas multiple de $2d = 6$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $a + b$ est multiple de $d = \text{PGCD}(a\,;\,b)$, mais pas nécessairement de $2d$ : prendre $a = 3$, $b = 6$ donne $d = 3$ et $a + b = 9$, non multiple de $6$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $\text{PGCD}(a\,;\,b) = d$, alors les entiers $\dfrac{a}{d}$ et $\dfrac{b}{d}$ sont premiers entre eux.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On peut écrire $a = d a'$ et $b = d b'$. Si $a'$ et $b'$ avaient un diviseur commun $k > 1$, alors $kd$ serait un diviseur commun à $a$ et $b$ supérieur à $d$, contredisant la maximalité du PGCD.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Diviser par le PGCD revient justement à « extraire » tout ce qui est commun. Ce qui reste, $a' = a/d$ et $b' = b/d$, ne peut plus avoir de facteur commun (sinon le PGCD initial n'était pas le plus grand).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Si $\text{PGCD}(a\,;\,b) = d$, écrire $a = da'$ et $b = db'$ ; alors $\text{PGCD}(a'\,;\,b') = 1$ par définition de la maximalité du PGCD.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $\text{PGCD}(a\,;\,b) = 6$, alors $\text{PGCD}(2a\,;\,2b) = 6$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Quand on multiplie les deux nombres par $2$, le PGCD est multiplié par $2$ aussi : $\text{PGCD}(2a\,;\,2b) = 2 \times \text{PGCD}(a\,;\,b) = 12$, pas $6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de croire que multiplier les deux nombres par un facteur ne change pas leur PGCD. Au contraire : pour tout entier $k > 0$, $\text{PGCD}(ka\,;\,kb) = k \times \text{PGCD}(a\,;\,b)$. Ici, $\text{PGCD}(2a\,;\,2b) = 2 \times 6 = 12$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour tout $k > 0$, $\text{PGCD}(ka\,;\,kb) = k \times \text{PGCD}(a\,;\,b)$. Donc $\text{PGCD}(2a\,;\,2b) = 12$, pas $6$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur le théorème de Bézout et l'identité $au + bv$, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors il existe deux entiers naturels $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le théorème de Bézout garantit l'existence d'entiers relatifs $u$ et $v$, c'est-à-dire pouvant être négatifs. Avec uniquement des entiers naturels, l'égalité $au + bv = 1$ serait souvent impossible (par exemple $a = 7$, $b = 5$ : aucun couple positif ne convient car $7u + 5v \geqslant 5$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au mot « naturels » : le théorème de Bézout utilise des entiers relatifs. Restreindre aux entiers naturels rend l'égalité souvent impossible. Par exemple pour $a = 7$, $b = 5$ : tout couple $(u\,;\,v)$ d'entiers naturels donne $7u + 5v \geqslant 0$, et il n'existe aucun couple positif tel que $7u + 5v = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le théorème de Bézout exige des entiers relatifs $u$ et $v$, donc autorisant des valeurs négatives. Avec des entiers naturels, l'égalité est souvent impossible.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tous entiers naturels non nuls $a$ et $b$, il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au + bv = \text{PGCD}(a\,;\,b)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est l'identité de Bézout généralisée : pour tout couple d'entiers $a$ et $b$, leur PGCD s'exprime comme combinaison linéaire à coefficients entiers relatifs. C'est ce que produit l'algorithme d'Euclide étendu.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : l'algorithme d'Euclide étendu fournit explicitement des coefficients $u$ et $v$ tels que $au + bv = \text{PGCD}(a\,;\,b)$. Cette propriété généralise Bézout au cas où le PGCD vaut autre chose que $1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est l'identité de Bézout généralisée : il existe toujours des entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au + bv = \text{PGCD}(a\,;\,b)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'égalité $6 \times 4 + 8 \times (-2) = 8$ permet de conclure que $\text{PGCD}(6\,;\,8) = 8$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La réciproque de l'identité de Bézout généralisée est fausse : avoir $au + bv = d$ ne permet pas de conclure que $d = \text{PGCD}(a\,;\,b)$. On peut seulement dire que le PGCD divise $d$. Ici, $\text{PGCD}(6\,;\,8) = 2$, et $2 \mid 8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La réciproque du théorème de Bézout est fausse en général. Si $au + bv = d$, on peut seulement déduire que $\text{PGCD}(a\,;\,b)$ divise $d$, pas qu'il vaut $d$. Ici, $\text{PGCD}(6\,;\,8) = 2$, qui divise bien $8$ mais ne lui est pas égal.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'égalité $au + bv = d$ implique seulement que $\text{PGCD}(a\,;\,b)$ divise $d$. Ici, $\text{PGCD}(6\,;\,8) = 2$, pas $8$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors pour tout entier relatif $k$, l'équation $au + bv = k$ admet des solutions en entiers relatifs.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Si $\text{PGCD}(a\,;\,b) = 1$, alors il existe $u_{0}$, $v_{0}$ tels que $a u_{0} + b v_{0} = 1$. En multipliant par $k$, on obtient $a (k u_{0}) + b (k v_{0}) = k$ : un couple solution existe pour tout $k$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est peut-être de croire que la combinaison $au + bv$ ne peut atteindre que des valeurs particulières. Mais quand $\text{PGCD}(a\,;\,b) = 1$, multiplier l'identité $a u_{0} + b v_{0} = 1$ par $k$ produit immédiatement une solution de $au + bv = k$, et ce pour tout entier relatif $k$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, à partir d'une solution de $au + bv = 1$, on en déduit une solution de $au + bv = k$ pour tout entier $k$ (en multipliant les coefficients par $k$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux et si $au + bv = 1$ pour des entiers relatifs $u$ et $v$, alors le couple $(u\,;\,v)$ est unique.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Il existe une infinité de couples solutions. Si $(u_{0}\,;\,v_{0})$ est solution, alors $(u_{0} + b\,;\,v_{0} - a)$ est aussi solution puisque $a(u_{0}+b) + b(v_{0}-a) = au_{0} + ab + bv_{0} - ab = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il y a une infinité de couples solutions. À partir de $(u_{0}\,;\,v_{0})$, on en construit d'autres en posant $(u_{0} + b\,;\,v_{0} - a)$ : on vérifie facilement que la somme reste $1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Il y a une infinité de couples $(u\,;\,v)$ vérifiant $au + bv = 1$ : à partir d'une solution, on obtient les autres en remplaçant $(u\,;\,v)$ par $(u + b\,;\,v - a)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soit $n$ un entier naturel. Alors $2n + 1$ et $4n + 3$ sont premiers entre eux.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On cherche une combinaison linéaire à coefficients entiers : $2(2n + 1) - 1 \times (4n + 3) = 4n + 2 - 4n - 3 = -1$, donc $(-2)(2n + 1) + 1 \times (4n + 3) = 1$. C'est une identité de Bézout : les deux nombres sont premiers entre eux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La méthode standard est de chercher une combinaison linéaire à coefficients entiers donnant $1$ ou $-1$. Ici, $2(2n + 1) - (4n + 3) = -1$, donc $(-2)(2n + 1) + (4n + 3) = 1$ : identité de Bézout, donc primalité mutuelle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'égalité $(-2)(2n + 1) + 1 \times (4n + 3) = 1$ est une identité de Bézout, donc $2n + 1$ et $4n + 3$ sont premiers entre eux pour tout $n$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur le théorème de Bézout et son utilisation pour caractériser les couples d'entiers premiers entre eux. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls. Quelle équivalence traduit le théorème de Bézout ?
[qcm]
[option]$a$ et $b$ sont premiers entre eux $\iff$ il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $au + bv = \text{PGCD}(a\,;\,b)$.[/option]
[option correct="true"]$a$ et $b$ sont premiers entre eux $\iff$ il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$.[/option]
[option]$a$ et $b$ sont premiers entre eux $\iff$ pour tous entiers relatifs $u$ et $v$, $au + bv = 1$.[/option]
[option]$a$ et $b$ sont premiers entre eux $\iff$ il existe deux entiers naturels $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le théorème de Bézout équivaut à l'existence de deux entiers relatifs (positifs ou négatifs) qui combinent linéairement $a$ et $b$ pour donner $1$.[/reponse]
[reponse motif="$a$ et $b$ sont premiers entre eux $\iff$ il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $au + bv = \text{PGCD}(a\,;\,b)$."]Non.
La relation $au + bv = \text{PGCD}(a\,;\,b)$ est toujours vérifiée (propriété de Bézout généralisée), pas seulement quand $a$ et $b$ sont premiers entre eux. Elle ne caractérise donc pas la primalité.[/reponse]
[reponse motif="$a$ et $b$ sont premiers entre eux $\iff$ pour tous entiers relatifs $u$ et $v$, $au + bv = 1$."]Non.
Le quantificateur « pour tous » est faux : il suffit qu'il existe un couple $(u\,;\,v)$ qui convient, pas que tous le fassent.[/reponse]
[reponse motif="$a$ et $b$ sont premiers entre eux $\iff$ il existe deux entiers naturels $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$."]Non.
Avec uniquement des entiers naturels, $au + bv \geqslant 1$ mais on ne peut pas toujours trouver un couple convenant. C'est l'usage de relatifs (donc autorisant des valeurs négatives) qui rend la caractérisation correcte.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le théorème de Bézout : $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On a vérifié l'égalité $7 \times 3 - 5 \times 4 = 1$. Que peut-on en déduire ?
[qcm]
[option]$7$ et $5$ sont des nombres premiers.[/option]
[option correct="true"]$7$ et $5$ sont premiers entre eux.[/option]
[option]$\text{PGCD}(7\,;\,5) = 7 \times 3 - 5 \times 4$.[/option]
[option]$5$ divise $7$.[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On a écrit $7u + 5v = 1$ avec $u = 3$ et $v = -4$. D'après le théorème de Bézout, $7$ et $5$ sont donc premiers entre eux.[/reponse]
[reponse motif="$7$ et $5$ sont des nombres premiers."]Non.
La conclusion porte uniquement sur leur primalité mutuelle (PGCD = $1$). Bien sûr, $7$ et $5$ sont aussi premiers individuellement, mais ce n'est pas ce que le calcul démontre.[/reponse]
[reponse motif="$\text{PGCD}(7\,;\,5) = 7 \times 3 - 5 \times 4$."]Non.
Cela signifierait que le PGCD vaut $1$ seulement si on calcule $7 \times 3 - 5 \times 4 = 1$. C'est une lecture confuse : retenir plutôt que l'existence d'un couple $(u\,;\,v)$ vérifiant $au + bv = 1$ caractérise la primalité mutuelle.[/reponse]
[reponse motif="$5$ divise $7$."]Non.
Aucune divisibilité de l'un par l'autre ne se déduit d'une identité de Bézout. Au contraire, avoir $au + bv = 1$ exprime que les deux nombres n'ont pas de diviseur commun autre que $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'identité $au + bv = 1$ pour $a = 7$, $b = 5$, $u = 3$, $v = -4$ permet d'appliquer la réciproque du théorème de Bézout : $7$ et $5$ sont premiers entre eux.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $n$ un entier naturel non nul. À l'aide d'une identité de Bézout, que peut-on affirmer sur $n$ et $n+1$ ?
[qcm]
[option]Leur PGCD vaut $n$.[/option]
[option]Leur PGCD vaut $2$ si $n$ est pair.[/option]
[option correct="true"]Ils sont premiers entre eux.[/option]
[option]Ils sont divisibles par tout diviseur de $n+1$.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On a $1 \times (n+1) - 1 \times n = 1$, soit une identité de Bézout. Donc $n$ et $n+1$ sont premiers entre eux quel que soit $n$.[/reponse]
[reponse motif="Leur PGCD vaut $n$."]Non.
Si c'était le cas, $n$ devrait diviser $n+1$, ce qui forcerait $n$ à diviser $1$, donc $n = 1$. La conclusion ne peut donc pas être générale.[/reponse]
[reponse motif="Leur PGCD vaut $2$ si $n$ est pair."]Non.
Si $n$ est pair, alors $n+1$ est impair : $2$ ne peut pas diviser un nombre impair, donc $2$ ne peut pas être un diviseur commun.[/reponse]
[reponse motif="Ils sont divisibles par tout diviseur de $n+1$."]Non.
Cela signifierait par exemple que $n$ est divisible par $n+1$ lui-même, ce qui est impossible quand $n \geqslant 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'identité $1 \times (n+1) + (-1) \times n = 1$ est une identité de Bézout : $n$ et $n+1$ sont donc premiers entre eux.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour quel entier $b$ l'égalité $14u + bv = 1$ admet-elle une solution $(u\,;\,v)$ en entiers relatifs ?
[qcm]
[option]$b = 7$[/option]
[option]$b = 21$[/option]
[option]$b = 28$[/option]
[option correct="true"]$b = 9$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
$\text{PGCD}(14\,;\,9) = 1$ (les seuls diviseurs communs à $14$ et $9$ sont $1$). L'identité de Bézout est donc possible.[/reponse]
[reponse motif="$b = 7$"]Non.
$\text{PGCD}(14\,;\,7) = 7$. Or si une identité $14u + 7v = 1$ existait, alors $7$ diviserait $1$, ce qui est impossible.[/reponse]
[reponse motif="$b = 21$"]Non.
$\text{PGCD}(14\,;\,21) = 7$. Tout couple $(u\,;\,v)$ donnerait $14u + 21v$ multiple de $7$, donc différent de $1$.[/reponse]
[reponse motif="$b = 28$"]Non.
$14$ divise $28$, donc $\text{PGCD}(14\,;\,28) = 14$. Aucun couple ne peut donner $14u + 28v = 1$ car le résultat est toujours multiple de $14$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'égalité $14u + bv = 1$ a une solution si et seulement si $14$ et $b$ sont premiers entre eux. Parmi les valeurs proposées, seul $b = 9$ vérifie cela.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls de PGCD $d$. Quelle propriété est correcte ?
[qcm]
[option]Pour tous entiers relatifs $u$ et $v$, $au + bv = d$.[/option]
[option correct="true"]Il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au + bv = d$.[/option]
[option]Si $au + bv = d$ pour deux entiers relatifs $u$ et $v$, alors $a$ et $b$ sont premiers entre eux.[/option]
[option]Tout entier $k$ s'écrit $k = au + bv$ avec $u$ et $v$ entiers relatifs.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
C'est l'identité de Bézout généralisée : il existe toujours un couple d'entiers relatifs $(u\,;\,v)$ vérifiant $au + bv = d$, où $d = \text{PGCD}(a\,;\,b)$.[/reponse]
[reponse motif="Pour tous entiers relatifs $u$ et $v$, $au + bv = d$."]Non.
La propriété est une existence, pas une universalité. Pour la grande majorité des couples $(u\,;\,v)$, $au + bv \neq d$.[/reponse]
[reponse motif="Si $au + bv = d$ pour deux entiers relatifs $u$ et $v$, alors $a$ et $b$ sont premiers entre eux."]Non.
La réciproque de l'identité de Bézout est fausse en général. On ne peut conclure à la primalité mutuelle que lorsque le second membre vaut spécifiquement $1$.[/reponse]
[reponse motif="Tout entier $k$ s'écrit $k = au + bv$ avec $u$ et $v$ entiers relatifs."]Non.
Seuls les multiples de $d = \text{PGCD}(a\,;\,b)$ peuvent s'écrire ainsi. Les autres entiers ne sont pas atteignables comme combinaisons linéaires de $a$ et $b$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'identité de Bézout généralisée affirme l'existence (pas l'universalité) d'entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au + bv = \text{PGCD}(a\,;\,b)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On suppose que $a$ et $b$ sont premiers entre eux et qu'il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au + bv = 5$. Que peut-on en déduire sur le couple $(u\,;\,v)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]Rien de particulier : $u$ et $v$ existent dès lors que $a$ et $b$ sont premiers entre eux.[/option]
[option]$u$ et $v$ sont nécessairement premiers entre eux.[/option]
[option]L'égalité est impossible si $a > 5$ ou $b > 5$.[/option]
[option]$5$ doit être un multiple de $a + b$.[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Si $\text{PGCD}(a\,;\,b) = 1$, alors pour tout entier $k$ il existe un couple $(u\,;\,v)$ tel que $au + bv = k$. Le cas $k = 5$ ne donne donc aucune information supplémentaire sur $u$ ou $v$.[/reponse]
[reponse motif="$u$ et $v$ sont nécessairement premiers entre eux."]Non.
La primalité mutuelle de $u$ et $v$ n'est pas garantie. Par exemple, on peut avoir $u = 10$ et $v = -10$ pour certaines valeurs de $a$ et $b$ : ils ont alors un facteur commun.[/reponse]
[reponse motif="L'égalité est impossible si $a > 5$ ou $b > 5$."]Non.
$u$ et $v$ peuvent prendre des valeurs négatives ou très grandes en valeur absolue. Par exemple $7 \times 3 + 5 \times (-2) = 11$ : aucun problème même si $a = 7 > 5$.[/reponse]
[reponse motif="$5$ doit être un multiple de $a + b$."]Non.
Aucun lien direct entre $a + b$ et $5$ n'est imposé. Ce qui compte, c'est que $\text{PGCD}(a\,;\,b)$ divise le second membre, donc ici que $1$ divise $5$ — toujours vrai.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand $a$ et $b$ sont premiers entre eux, l'égalité $au + bv = k$ admet des solutions pour tout entier $k$. L'existence pour $k = 5$ n'apporte donc aucune information particulière.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur le théorème de Gauss et ses applications à la divisibilité. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Le théorème de Gauss s'énonce ainsi : si $a$ divise $bc$ et si...
[qcm]
[option]$a < bc$, alors $a$ divise $c$.[/option]
[option correct="true"]$a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $c$.[/option]
[option]$a$ et $c$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $b$.[/option]
[option]$a$ et $bc$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $1$.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le théorème de Gauss demande deux conditions : $a$ divise le produit $bc$, et $a$ est premier avec l'un des deux facteurs ($b$). Il en déduit que $a$ divise l'autre ($c$).[/reponse]
[reponse motif="$a < bc$, alors $a$ divise $c$."]Non.
Une condition de taille $a < bc$ n'a aucun rapport avec la divisibilité. L'hypothèse essentielle de Gauss est la primalité mutuelle.[/reponse]
[reponse motif="$a$ et $c$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $b$."]Non.
C'est presque la bonne formulation, mais il faut conclure sur l'autre facteur que celui qui apparaît dans l'hypothèse de primalité. Si $a$ est premier avec $c$, alors $a$ divise $b$ (et non l'inverse).[/reponse]
[reponse motif="$a$ et $bc$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $1$."]Non.
Si $a$ et $bc$ étaient premiers entre eux alors que $a$ divise $bc$, on aurait $a = 1$. C'est une situation triviale qui n'est pas l'objet du théorème de Gauss.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Théorème de Gauss : si $a$ divise $bc$ et si $a$ est premier avec $b$, alors $a$ divise $c$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $7$ divise le produit $12k$. Quelle hypothèse supplémentaire permet, par le théorème de Gauss, de conclure que $7$ divise $k$ ?
[qcm]
[option]$7 < 12$.[/option]
[option correct="true"]$7$ et $12$ sont premiers entre eux.[/option]
[option]$7$ divise $k$.[/option]
[option]$12$ et $k$ sont premiers entre eux.[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$7$ divise le produit $12k$. Or $7$ et $12$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$ : ils sont premiers entre eux. Le théorème de Gauss permet alors d'« éliminer » le facteur $12$ et de conclure $7 \mid k$. C'est l'hypothèse de primalité mutuelle qui débloque la conclusion.[/reponse]
[reponse motif="$7 < 12$."]Non.
La taille relative des nombres n'intervient pas dans Gauss. L'hypothèse cruciale est la primalité mutuelle entre $a$ et le facteur que l'on veut « éliminer » du produit.[/reponse]
[reponse motif="$7$ divise $k$."]Non.
C'est précisément la conclusion à atteindre ; ce n'est pas une hypothèse que l'on a le droit de supposer.[/reponse]
[reponse motif="$12$ et $k$ sont premiers entre eux."]Non.
La primalité mutuelle utile dans Gauss porte sur $a$ et le facteur que l'on veut éliminer du produit (ici $7$ et $12$), pas sur les deux facteurs du produit entre eux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour appliquer Gauss, il faut $\text{PGCD}(7\,;\,12) = 1$. C'est cette hypothèse qui permet, à partir de $7 \mid 12k$, de conclure $7 \mid k$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $n$ un entier divisible par $4$ et par $9$. Que peut-on en déduire ?
[qcm]
[option]$n$ est divisible par $13$.[/option]
[option]$n$ est divisible par $36$ uniquement si $n$ est positif.[/option]
[option correct="true"]$n$ est divisible par $36$.[/option]
[option]$n$ est divisible par $4 + 9 = 13$.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\text{PGCD}(4\,;\,9) = 1$ : ils sont premiers entre eux. La propriété « si $a$ et $b$ premiers entre eux divisent $c$, alors $ab$ divise $c$ » donne donc $4 \times 9 = 36 \mid n$.[/reponse]
[reponse motif="$n$ est divisible par $13$."]Non.
La somme $4 + 9$ n'a aucune raison de diviser $n$. C'est le produit $4 \times 9 = 36$ qui le divise, à condition que $4$ et $9$ soient premiers entre eux.[/reponse]
[reponse motif="$n$ est divisible par $36$ uniquement si $n$ est positif."]Non.
La conclusion ne dépend pas du signe de $n$. La propriété s'applique aux entiers relatifs : si $4$ et $9$ divisent $n$ et sont premiers entre eux, alors $36$ divise $n$ pour tout $n$.[/reponse]
[reponse motif="$n$ est divisible par $4 + 9 = 13$."]Non.
On confond addition et multiplication. La propriété fait intervenir le produit des deux nombres premiers entre eux, pas leur somme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comme $4$ et $9$ sont premiers entre eux et divisent tous deux $n$, leur produit $4 \times 9 = 36$ divise aussi $n$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère l'égalité $5m = 3n$ avec $m$ et $n$ entiers naturels. Que peut-on en déduire ?
[qcm]
[option]$m$ est nécessairement multiple de $3$ uniquement.[/option]
[option]$n$ est nécessairement multiple de $5$ uniquement.[/option]
[option correct="true"]$m$ est multiple de $3$ et $n$ est multiple de $5$.[/option]
[option]$m$ et $n$ sont nécessairement égaux.[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$5m = 3n$ signifie que $5$ divise $3n$. Or $5$ et $3$ sont premiers entre eux : par Gauss, $5$ divise $n$. De même $3$ divise $5m$ et $3$ premier avec $5$, donc $3$ divise $m$.[/reponse]
[reponse motif="$m$ est nécessairement multiple de $3$ uniquement."]Non.
Si on raisonne dans les deux sens (Gauss appliqué deux fois), on obtient des contraintes sur les deux inconnues, pas seulement sur l'une.[/reponse]
[reponse motif="$n$ est nécessairement multiple de $5$ uniquement."]Non.
La symétrie de la relation $5m = 3n$ fait que Gauss s'applique aux deux côtés : il y a une contrainte sur $m$ comme sur $n$.[/reponse]
[reponse motif="$m$ et $n$ sont nécessairement égaux."]Non.
Par exemple, $m = 3$ et $n = 5$ vérifient $5 \times 3 = 3 \times 5$ sans être égaux. La conclusion correcte porte sur les divisibilités.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer Gauss à $5m = 3n$ dans les deux sens : $5 \mid 3n$ avec $\text{PGCD}(5\,;\,3) = 1$ donne $5 \mid n$ ; $3 \mid 5m$ avec $\text{PGCD}(3\,;\,5) = 1$ donne $3 \mid m$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pourquoi l'argument suivant est-il incorrect : « $90$ est divisible par $6$ et par $10$, donc $90$ est divisible par $6 \times 10 = 60$ » ?
[qcm]
[option]Parce que $6$ et $10$ ne divisent pas $90$.[/option]
[option correct="true"]Parce que $6$ et $10$ ne sont pas premiers entre eux.[/option]
[option]Parce que $6 \times 10 \neq 60$.[/option]
[option]Parce que la propriété ne s'applique qu'aux entiers premiers.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La propriété « si $a$ et $b$ divisent $c$, alors $ab \mid c$ » exige que $a$ et $b$ soient premiers entre eux. Or $\text{PGCD}(6\,;\,10) = 2 \neq 1$, l'hypothèse fait défaut.[/reponse]
[reponse motif="Parce que $6$ et $10$ ne divisent pas $90$."]Non.
$90 = 6 \times 15$ et $90 = 10 \times 9$ : $6$ et $10$ divisent bel et bien $90$. Le problème est ailleurs.[/reponse]
[reponse motif="Parce que $6 \times 10 \neq 60$."]Non.
$6 \times 10 = 60$ est correct. Le défaut du raisonnement n'est pas une erreur de calcul, mais un usage abusif d'un théorème dont une hypothèse manque.[/reponse]
[reponse motif="Parce que la propriété ne s'applique qu'aux entiers premiers."]Non.
La propriété ne demande pas que $a$ ou $b$ soient des nombres premiers, mais qu'ils soient premiers entre eux (PGCD = $1$). Ce sont deux choses différentes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La propriété « $a \mid c$ et $b \mid c$ et $\text{PGCD}(a\,;\,b) = 1$ entraîne $ab \mid c$ » exige la primalité mutuelle. Comme $\text{PGCD}(6\,;\,10) = 2$, l'hypothèse fait défaut et la conclusion peut tomber en défaut, ce qui est le cas ici.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On suppose que $a$ divise $bc$ et que $a$ et $b$ ne sont pas premiers entre eux. Que peut-on dire de la divisibilité de $c$ par $a$ ?
[qcm]
[option]$a$ divise toujours $c$.[/option]
[option]$a$ ne divise jamais $c$.[/option]
[option correct="true"]On ne peut rien conclure sans information supplémentaire.[/option]
[option]$a$ divise nécessairement $b - c$.[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Sans l'hypothèse de primalité mutuelle, le théorème de Gauss ne s'applique pas. On peut avoir des cas où $a \mid c$ (ex : $a = 4$, $b = 6$, $c = 4$) et d'autres où $a \nmid c$ (ex : $a = 4$, $b = 6$, $c = 2$). Aucune conclusion générale.[/reponse]
[reponse motif="$a$ divise toujours $c$."]Non.
Contre-exemple : prendre $a = 4$, $b = 6$ et $c = 2$. Alors $bc = 12$ et $4 \mid 12$, mais $4 \nmid 2$. La conclusion de Gauss tombe quand l'hypothèse manque.[/reponse]
[reponse motif="$a$ ne divise jamais $c$."]Non.
Contre-exemple inverse : $a = 4$, $b = 6$, $c = 4$. Alors $bc = 24$ et $4 \mid 24$ et bien sûr $4 \mid 4$. Sans la primalité, les deux situations sont possibles.[/reponse]
[reponse motif="$a$ divise nécessairement $b - c$."]Non.
Aucune relation systématique entre $a$ et $b - c$ ne se déduit des hypothèses énoncées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'hypothèse $\text{PGCD}(a\,;\,b) = 1$ est essentielle dans Gauss. Sans elle, deux cas opposés sont possibles selon les valeurs choisies : aucune conclusion générale ne peut être tirée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Déterminer tous les couples d'entiers naturels $ (m~;~n ) $ tels que $ 3^m - 2^n=1 $

Indication : On pourra utiliser des congruences modulo 8.

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat :

"Si $ p $ est un nombre premier et $ q $ un entier naturel premier avec $ p $, alors

$ q^{p - 1}\equiv 1 $ (modulo $ p $)".

On considère la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie pour tout entier naturel $ n $ non nul par :

$ u_{n}=2^{n}+3^{n}+6^{n} - 1 $.

1. Calculer les six premiers termes de la suite.
2. Montrer que, pour tout entier naturel $ n $ non nul, $ u_{n} $ est pair.

3. Montrer que, pour tout entier naturel $ n $ pair non nul, $ u_{n} $ est divisible par 4.

   On note (E) l'ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite $ \left(u_{n}\right) $.

4. Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l'ensemble (E) ?

5. Soit $ p $ un nombre premier strictement supérieur à 3.

   1. Montrer que : $ 6 \times 2^{p - 2}\equiv 3\ \ (\text{modulo}\ p) $ et $ 6 \times 3^{p - 2}\equiv 2 \ \ (\text{modulo}\ p) $.
   2. En déduire que $ 6u_{p - 2}\equiv 0 \ \ (\text{modulo}\ p) $.
   3. Le nombre $ p $ appartient-il à l'ensemble (E) ?

Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe un entier naturel $ n $ dont l'écriture décimale du cube se termine par 2009, c'est-à-dire tel que $ n^{3}\equiv 2009 \pmod{10\,000} $.

Partie A

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de $ 2009^{2} $ par $ 16 $.
2. En déduire que $ 2009^{8001}\equiv 2009 \pmod{16} $.

Partie B

On considère la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie sur $ \mathbb{N} $ par :

$ u_{0}=2009^{2} - 1 $ et, pour tout entier naturel $ n, u_{n+1}=\left(u_{n}+1\right)^{5} - 1 $.

1. 1. Démontrer que $ u_{0} $ est divisible par 5.

   2. Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier naturel $ n $

      $ u_{n+1}=u_{n}\left[u_{n}^{4}+5\left(u_{n}^{3}+2u_{n}^{2} +2u_{n}+1\right)\right] $

   3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $ n $, $ u_{n} $ est divisible par $ 5^{n+1} $.
2. 1. Vérifier que $ u_{3}=2009^{250} - 1 $ puis en déduire que $ 2009^{250}\equiv 1 \pmod{625} $.
   2. Démontrer alors que $ 2009^{8001}\equiv 2009 \pmod{625} $.

Partie C

1. En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que $ 2009^{8001} - 2009 $ est divisible par 10 000.
2. Conclure, c'est-à-dire déterminer un entier naturel dont l'écriture décimale du cube se termine par 2009.