Vrai/Faux : Transformations associées à un complexe
[enonce]
Soit $f$ une transformation du plan associée à un nombre complexe ($z \mapsto f(z)$ envoie $z$ sur l'affixe de l'image). Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : L'application $z \mapsto z + 2 - i$ est la translation de vecteur d'affixe $2 - i$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Si $z$ est l'affixe d'un point $M$ et $z'$ celle de son image $M'$, alors $z' - z = 2 - i$ : l'affixe du vecteur $\overrightarrow{MM'}$ est constante et vaut $2 - i$. C'est exactement la définition de la translation de vecteur d'affixe $2 - i$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une transformation de la forme $z \mapsto z + b$ (où $b$ est un complexe fixé) ajoute le même vecteur à tout point : c'est la translation de vecteur d'affixe $b$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La transformation $z \mapsto z + b$ est la translation de vecteur d'affixe $b$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : L'application $z \mapsto 3z$ est l'homothétie de centre $O$ et de rapport $3$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$z' = 3z$ équivaut à $\overrightarrow{OM'} = 3\overrightarrow{OM}$, ce qui est la définition de l'homothétie de centre $O$ et de rapport $3$. Les points $O$, $M$ et $M'$ sont alignés avec $OM' = 3 \cdot OM$ et même sens.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Multiplier l'affixe par un réel $k > 0$ revient à multiplier le vecteur $\overrightarrow{OM}$ par $k$ : c'est l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La transformation $z \mapsto kz$ avec $k$ réel est l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ (ou symétrie centrale si $k = -1$).
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : L'application $z \mapsto e^{i\pi/2}z$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Multiplier par $e^{i\theta}$ revient à conserver le module et à ajouter $\theta$ à l'argument. Géométriquement, $OM' = OM$ et l'angle $(\overrightarrow{OM}\,;\, \overrightarrow{OM'}) = \dfrac{\pi}{2}$ : c'est la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
On vérifie : pour $z = 1$, $z' = e^{i\pi/2} = i$, ce qui correspond bien à un quart de tour direct.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Multiplier par $e^{i\theta}$ ne change pas la distance à $O$ et ajoute $\theta$ à l'argument : c'est exactement la rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $z \mapsto e^{i\theta}z$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : L'application $z \mapsto -z$ est l'identité du plan.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$z \mapsto -z$ envoie $z$ sur son opposé : $\overrightarrow{OM'} = -\overrightarrow{OM}$, c'est-à-dire la symétrie centrale de centre $O$ (ou rotation d'angle $\pi$).
L'identité serait $z \mapsto z$, qui laisse chaque point fixe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
$z \mapsto -z$ envoie chaque point sur son symétrique par rapport à $O$ (sauf $O$ lui-même qui est fixe). Ce n'est pas l'identité, mais la symétrie centrale de centre $O$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $z \mapsto -z$ est la symétrie centrale de centre $O$ (ou rotation de centre $O$ et d'angle $\pi$), pas l'identité.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : L'application $z \mapsto \overline{z}$ est la symétrie d'axe $(O\vec{u})$ (axe des abscisses).
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Pour $z = a + ib$, on a $\overline{z} = a - ib$. Le point $M(a\,;\, b)$ devient $M'(a\,;\, -b)$ : seule l'ordonnée change de signe. C'est exactement la symétrie d'axe $(Ox)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le passage au conjugué change le signe de la partie imaginaire (donc de l'ordonnée) sans toucher à la partie réelle (l'abscisse) : c'est la symétrie par rapport à l'axe horizontal.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le conjugué transforme $(a\,;\, b)$ en $(a\,;\, -b)$ : c'est la symétrie d'axe $(O\vec{u})$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : L'application $f$ définie par $f(z) = (1 + i)z$ est une homothétie de centre $O$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On écrit $1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$ : multiplier par $1 + i$ revient à multiplier les distances à $O$ par $\sqrt{2}$ et à ajouter $\dfrac{\pi}{4}$ à l'argument (rotation). Une homothétie ne change que les distances, sans rotation, donc $f$ n'est pas une homothétie : c'est la composée d'une homothétie de rapport $\sqrt{2}$ et d'une rotation d'angle $\dfrac{\pi}{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Multiplier par un complexe non réel ajoute aussi une rotation (l'argument change), ce qui sort du cadre des homothéties. $f$ est ici la composée d'une homothétie et d'une rotation.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$ a un argument non nul : $f$ combine une homothétie de rapport $\sqrt{2}$ et une rotation d'angle $\dfrac{\pi}{4}$, ce n'est donc pas une simple homothétie.
[/solution]
[/etape]