QCM : Définitions et types de matrices

[enonce]
Ce QCM porte sur les définitions et les différents types de matrices. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 0 & 3 & -4 \end{pmatrix}$. Quelle est sa dimension ?
[qcm]
[option]$3 \times 2$[/option]
[option correct="true"]$2 \times 3$[/option]
[option]$2 + 3 = 5$[/option]
[option]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La matrice $A$ a $2$ lignes et $3$ colonnes. Sa dimension est donc $2 \times 3$ (le nombre de lignes en premier, puis le nombre de colonnes).[/reponse]
[reponse motif="$3 \times 2$"]Non.
La convention est d'écrire le nombre de lignes en premier, puis le nombre de colonnes. Recompter les lignes et les colonnes de $A$.[/reponse]
[reponse motif="$2 + 3 = 5$"]Non.
La dimension d'une matrice ne s'obtient pas en additionnant lignes et colonnes : il faut donner les deux nombres séparément, sous la forme $n \times p$.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6$ est le nombre total de coefficients de la matrice ($2 \times 3 = 6$), pas sa dimension. La dimension s'écrit toujours sous la forme $n \times p$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compter le nombre de lignes (horizontales), puis le nombre de colonnes (verticales), et écrire la dimension sous la forme $n \times p$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Parmi les matrices suivantes, laquelle est une matrice colonne ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Une matrice colonne possède une seule colonne. La matrice $\begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ est de dimension $3 \times 1$ : c'est bien une matrice colonne.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$"]Non.
Cette matrice possède une seule ligne (et trois colonnes) : c'est une matrice ligne, pas colonne. Une matrice colonne doit avoir plusieurs lignes empilées verticalement.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$"]Non.
Cette matrice est de dimension $2 \times 2$ : c'est une matrice carrée. Une matrice colonne n'a qu'une seule colonne.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$"]Non.
Il s'agit de la matrice unité $I_2$, qui est carrée d'ordre $2$. Une matrice colonne doit n'avoir qu'une seule colonne.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une matrice colonne est une matrice de dimension $n \times 1$ : elle ne contient qu'une seule colonne.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $A = \begin{pmatrix} 5 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 7 \\ -4 & 6 & 8 \end{pmatrix}$. Que vaut le coefficient $a_{23}$ ?
[qcm]
[option]$3$[/option]
[option]$6$[/option]
[option]$-4$[/option]
[option correct="true"]$7$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le coefficient $a_{ij}$ se trouve à la $i$-ième ligne et à la $j$-ième colonne. Ici $i = 2$ et $j = 3$ : on cherche donc le coefficient situé à la $2$ᵉ ligne et à la $3$ᵉ colonne, c'est-à-dire $7$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
$3$ est le coefficient $a_{21}$ ($2$ᵉ ligne, $1$ᵉ colonne). Attention à l'ordre : dans $a_{ij}$, le premier indice désigne la ligne et le second la colonne.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6$ est le coefficient $a_{32}$ ($3$ᵉ ligne, $2$ᵉ colonne). Les indices ont été lus dans le mauvais ordre : l'indice de ligne vient toujours en premier.[/reponse]
[reponse motif="$-4$"]Non.
$-4$ est le coefficient $a_{31}$ ($3$ᵉ ligne, $1$ᵉ colonne). Repérer correctement la $2$ᵉ ligne et la $3$ᵉ colonne.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $a_{ij}$ : $i$ donne la ligne, $j$ donne la colonne. Repérer la ligne $2$ puis se déplacer jusqu'à la colonne $3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
À quoi est égale la matrice unité $I_3$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La matrice unité $I_n$ est la matrice carrée d'ordre $n$ qui contient des $1$ sur la diagonale principale (du coin haut-gauche au coin bas-droit) et des $0$ partout ailleurs.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$"]Non.
La matrice unité ne contient pas que des $1$ : seuls les coefficients de la diagonale principale valent $1$, les autres valent $0$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$"]Non.
Les $1$ sont placés sur l'anti-diagonale (du coin haut-droit au coin bas-gauche). La matrice unité utilise la diagonale principale, qui va du coin haut-gauche au coin bas-droit.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$"]Non.
Cette matrice est diagonale d'ordre $3$, mais ses coefficients diagonaux valent $3$, pas $1$. La matrice unité a uniquement des $1$ sur la diagonale principale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La matrice unité d'ordre $n$ est carrée, avec des $1$ sur la diagonale principale et des $0$ partout ailleurs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quels sont les coefficients de la diagonale principale de $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 5 & -3 & 4 \\ -1 & 7 & 6 \end{pmatrix}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$2,\ -3,\ 6$[/option]
[option]$0,\ -3,\ -1$[/option]
[option]$2,\ 1,\ 0$[/option]
[option]$2,\ 5,\ -1$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
La diagonale principale relie le coin haut-gauche au coin bas-droit. Elle contient les coefficients $a_{11} = 2$, $a_{22} = -3$ et $a_{33} = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$0,\ -3,\ -1$"]Non.
Il s'agit de l'anti-diagonale (du coin haut-droit au coin bas-gauche). La diagonale principale part du coin haut-gauche.[/reponse]
[reponse motif="$2,\ 1,\ 0$"]Non.
Ces trois nombres forment la première ligne de la matrice, pas une diagonale. La diagonale principale est constituée des coefficients $a_{ii}$ situés à la même ligne et même colonne.[/reponse]
[reponse motif="$2,\ 5,\ -1$"]Non.
Ces trois nombres forment la première colonne de la matrice. La diagonale principale traverse la matrice en oblique, du coin haut-gauche au coin bas-droit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La diagonale principale d'une matrice carrée est constituée des coefficients $a_{ii}$ : $a_{11}$, $a_{22}$, $a_{33}$, etc.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Parmi les matrices suivantes, laquelle est une matrice diagonale ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients situés en dehors de la diagonale principale sont nuls. Ici, les coefficients hors diagonale sont tous nuls : c'est bien une matrice diagonale.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$"]Non.
Cette matrice a des coefficients $0$ sur la diagonale principale et des $1$ en dehors : c'est exactement l'inverse d'une matrice diagonale. Les coefficients hors diagonale principale doivent être nuls.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}$"]Non.
Cette matrice n'est pas carrée (elle est $2 \times 3$). Une matrice diagonale doit d'abord être carrée. De plus, le coefficient $3$ se trouve en dehors de la diagonale.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$"]Non.
Tous les coefficients valent $1$ : ceux en dehors de la diagonale principale ne sont pas nuls. Une matrice diagonale impose des $0$ en dehors de la diagonale principale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une matrice diagonale est carrée et tous ses coefficients hors de la diagonale principale sont nuls.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]