Géométrie dans l’espace – Bac S Pondichéry 2017
On considère un cube ABCDEFGH fourni en annexe (ci-dessous).
L'espace est rapporté au repère $ \left(A~;~ \overrightarrow{AB},~ \overrightarrow{AD},~ \overrightarrow{AE}\right) $.
On note $ \mathscr{P} $ le plan d'équation $ x+\dfrac{1}{2} y +\dfrac{1}{3}z - 1 = 0 $.
Construire, sur la figure fournie en annexe, la section du cube par le plan $ \mathscr{P} $.
La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques.
ANNEXE à compléter et à remettre avec la copie
La première chose à faire est d'essayer de représenter le plan $ \mathscr P $.
Pour définir un plan, il suffit de trois points non alignés de ce plan.
On pourrait choisir « au hasard » trois points dont les coordonnées vérifient l'équation $ x+\dfrac{1}{2} y +\dfrac{1}{3}z - 1 = 0 $ mais la construction risquerait d'être alors difficile.
Le plus simple, ici, est de déterminer les points du plan $ \mathscr P $ situés sur les axes $ (AB) $, $ (AD) $ et $ (AE) $, c'est à dire les points d'intersection de $ \mathscr P $ avec ces axes.
Les points de l'axe $ (AB) $ ont une ordonnée et une cote nulles ($ y=0 $ et $ z=0 $). Le point de cet axe appartenant à $ \mathscr P $ vérifie, de plus, l'équation $ x+\dfrac{1}{2} y +\dfrac{1}{3}z - 1 = 0 $. C'est donc le point de coordonnées $ (1~;~0~;~0) $ c'est à dire le point $ B $.
Par un raisonnement similaire, le point d'intersection de $ \mathscr P $ avec l'axe $ (AD) $ est le point $ I(0~;~2~;~0) $ (voir figure ci-dessous).
De même, le point d'intersection de $ \mathscr P $ avec l'axe $ (AE) $ est le point $ J(0~;~0~;~3) $.
Le plan $ \mathscr P $ est donc le plan $ (BIJ) $.
Il est alors assez simple de tracer la section demandée. On commence par tracer le triangle $ (BIJ) $(qui permet de visualiser le plan $ \mathscr P $).
- l'intersection de $ \mathscr P $ et de la face $ ABFE $ est le segment $ [BK] $ (voir figure ci-dessous)
- l'intersection de $ \mathscr P $ et de la face $ ABCD $ est le segment $ [BL] $ (voir figure ci-dessous)
- il suffit ensuite de tracer les parallèles à $ (BK) $ et $ (BL) $ passant respectivement par $ L $ et $ K $ pour terminer la section (car un plan coupe deux plans parallèles selon deux droites parallèles).
La section du cube par le plan $ \mathscr{P} $ est donc le parallélogramme $ BLMK $
Section plane d’un cube (2)
$ ABCDEFGH $ est un cube. $ J $ est un point de la face $ ABFE $, K un point de la face $ EFGH $ et $ L $ un point de la face $ BCGF $
Pour chaque question, on justifiera la construction.
- Construire l'intersection des plans $ \left(BJL\right) $ et $ \left(EFGH\right) $. En déduire l'intersection de la droite $ \left(JL\right) $ avec le plan $ \left(EFGH\right) $.
- Construire la trace du plan $ \left(JKL\right) $ sur la face $ \left(EFGH\right) $.
- Tracer la section du cube $ ABCDEFGH $ par le plan $ \left(JKL\right) $
Les points P et P' n'ont pu être tracés sur la figure ci-dessus car P est très éloigné du cube.
- On cherche deux points communs aux plans $ (BJL) $ et $ (EFGH) $. L'un est le point $ M $, intersection des droites $ (BL) $ et $ (FG) $. L'autre est le point $ N $, intersection des droites $ (BJ) $ et $ (EF) $. La droite $ (MN) $ est l'intersection des plans $ (BJL) $ et $ (EFGH) $.
On en déduit que l'intersection de la droite $ (JL) $ avec le plan $ (EFGH) $ est le point $ P $, intersection des droites $ (JL) $ et $ (MN) $.
- Le point $ K $ appartient à la fois aux plans $ (JKL) $ et $ (EFGH) $. Il en va de même du point $ P $. La droite $ (PK) $ est donc l'intersection des plans $ (JKL) $ et $ (EFGH) $. Soient $ V $ et $ W $ les points d'intersections de la droite $ (PK) $ avec respectivement les arêtes $ [GH] $ et $ [HE] $ du cube. $ [VW] $ représente la trace du plan $ (JKL) $ sur la face $ EFGH $.
La droite $ (P'J) $, où $ P' $ est la projection de $ P $ sur la face $ ABFE $, est l'intersection des plans $ (JKL) $ et $ (ABFE) $. Le segment $ [ST] $ sur la droite $ (P'J) $ (avec $ S $ sur $ [BF] $ et $ T $ sur $ [AE] $) est la trace du plan $ (JKL) $ sur la face $ ABFE $.
On obtient la trace du plan $ (JKL) $ sur la face $ BCGF $ en reliant $ S $ à $ U $ sur l'arête $ [CG] $.
La section du cube $ ABCDEFGH $ par le plan $ (JKL) $ est alors le pentagone $ STUVW $.
Section plane d’un cube
$ ABCDEFGH $ est un cube. $ M $ désigne le centre de la face $ CDHG $ et $ N $ le centre de la face $ BCGF $.
Figure 1 : Cube $ABCDEFGH$ avec points $M$ et $N$
- Montrer que la droite $ \left(MN\right) $ est parallèle à la droite $ \left(BD\right) $
- Construire (en justifiant la construction) l'intersection du plan $ \left(AMN\right) $ avec le plan $ \left(ABCD\right) $
- Déterminer et construire l'intersection du plan $ \left(AMN\right) $ avec la droite $ \left(DC\right) $
- Construire (en justifiant la construction) la trace du plan $ \left(AMN\right) $ sur la face $ CDHG $
- Tracer la section du cube $ ABCDEFGH $ par le plan $ \left(AMN\right) $
Figure 2 : Construction de la section du cube par le plan $(AMN)$
Dans le triangle $ GDB $, $ M $ est le milieu de $ [GD] $ et $ N $ est le milieu de $ [GB] $. On a donc, d'après le théorème des milieux :
$ \overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB} $
ce qui démontre que la droite $ \left(MN\right) $ est parallèle à la droite $ \left(BD\right) $.
- Traçons dans le plan $ \left(ABCD\right) $ la droite $ (d) $ passant par $ A $ et parallèle à la droite $ \left(BD\right) $. $ (d) $ est aussi parallèle à la droite $ \left(MN\right) $, ce qui implique qu'elle appartient au plan $ \left(AMN\right) $. $ (d) $ représente donc l'intersection du plan $ \left(AMN\right) $ avec le plan $ \left(ABCD\right) $.
- L'intersection du plan $ \left(AMN\right) $ avec la droite $ \left(DC\right) $ est le point $ I $ qui se trouve à l'intersection des droites $ (d) $ et $ \left(DC\right) $.
- Le point $ I $ se trouve dans les plans $ \left(AMN\right) $ et $ \left(CDHG\right) $. Il en va de même du point $ M $. La droite $ \left(IM\right) $ est donc l'intersection des plans $ \left(AMN\right) $ et $ \left(CDHG\right) $, ce qui permet de construire la trace $ [PQ] $ du plan $ \left(AMN\right) $ sur la face $ CDHG $.
- Les points $ Q $ et $ N $ étant communs aux plans $ \left(AMN\right) $ et $ \left(BCGF\right) $, on peut de même construire la trace $ [QR] $ du plan $ \left(AMN\right) $ sur la face $ BCGF $. Le quadrilatère $ APQR $ représente la section du cube $ ABCDEFGH $ par le plan $ \left(AMN\right) $.
NB. On peut démontrer que $ APQR $ est un losange dont le côté mesure $ \dfrac{a\sqrt{10}}{3} $, $ a $ étant la longueur de l'arête du cube $ ABCDEFGH $.
Intersection d’une droite et d’un plan
$ ABCD $ est un tétraèdre. $ M $ est un point de l'arête $ \left[AD\right] $ et $ N $ est un point de la face $ BCD $. La droite $ \left(MN\right) $ n'est pas parallèle au plan $ \left(ABC\right) $.
- Construire le point $ K $ intersection des droites $ \left(DN\right) $ et $ \left(BC\right) $
- Utiliser le point $ K $ pour construire le point $ I $ intersection de la droite $ \left(MN\right) $ et du plan $ \left(ABC\right) $
Les points $ B, C, D $ et $ N $ sont situés sur la même face du tétraèdre donc sont coplanaires.
Il suffit alors de tracer la droite $ \left(DN\right) $ pour obtenir le point $ K $ intersection des droites $ \left(DN\right) $ et $ \left(BC\right) $
Les points $ A, M, D, N, K $ sont coplanaires car ils sont situés sur les droites sécantes $ \left(AD\right) $ et $ \left(DK\right) $,
On prolonge les droites $ \left(MN\right) $ et $ \left(AK\right) $ qui se coupent en $ I $.
$ I $ appartient à la droite $ \left(MN\right) $ par construction. Il appartient également à la droite $ \left(AK\right) $ donc au plan $ \left(ABC\right) $ qui contient $ \left(AK\right) $. C'est donc bien l'intersection de la droite $ \left(MN\right) $ et du plan $ \left(ABC\right) $
