[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Toute suite convergente est bornée.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors à partir d'un certain rang, tous les termes sont proches de $\ell$, donc bornés. Comme il n'y a qu'un nombre fini de termes avant ce rang, la suite entière est bornée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La convergence implique automatiquement la bornitude : une suite ne peut pas avoir de limite finie tout en prenant des valeurs arbitrairement grandes en valeur absolue. La réciproque, en revanche, est fausse.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si une suite $(u_n)$ est croissante et majorée, alors elle converge.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est le théorème de convergence monotone : toute suite croissante et majorée converge vers une limite finie (égale à sa borne supérieure).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
C'est l'un des théorèmes-clés du chapitre : une suite croissante et majorée est nécessairement convergente. Symétriquement, une suite décroissante et minorée converge également.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite convergeant vers $\ell$ avec $\ell > 0$.

Affirmation : À partir d'un certain rang, tous les termes $u_n$ sont strictement positifs.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Comme $\ell > 0$, en choisissant par exemple l'intervalle $\left]\dfrac{\ell}{2}\,;\dfrac{3\ell}{2}\right[$ centré autour de $\ell$, à partir d'un certain rang tous les termes appartiennent à cet intervalle, donc sont strictement supérieurs à $\dfrac{\ell}{2} > 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le signe de la limite « impose » le signe des termes à partir d'un certain rang : si $\ell > 0$, les termes finissent par être tous positifs. Avant ce rang, ils peuvent encore être négatifs ou nuls, mais en nombre fini.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Toute suite bornée est convergente.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Contre-exemple : la suite $(u_n)$ définie par $u_n = (-1)^n$ est bornée (entre $-1$ et $1$) mais ne converge pas (ses termes oscillent indéfiniment).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La bornitude ne suffit pas pour la convergence : il faut aussi un comportement « stable » des termes. Une suite peut être bornée tout en oscillant sans tendre vers aucune valeur, comme $(-1)^n$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Une suite arithmétique de raison $r$ strictement positive est convergente.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Une suite arithmétique $u_n = u_0 + nr$ avec $r > 0$ est strictement croissante et non majorée : elle diverge vers $+\infty$, donc n'est pas convergente (au sens d'une limite finie).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Avec une raison $r > 0$, la suite augmente de $r$ à chaque pas et croît sans borne : sa limite est $+\infty$. Une suite arithmétique de raison non nulle est donc toujours divergente.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que, pour tout entier naturel $n$, $v_n \geqslant u_n$, et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

Affirmation : $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
C'est le théorème de comparaison : si $v_n \geqslant u_n$ et $u_n \to +\infty$, alors $v_n \to +\infty$ également (la suite plus grande est forcée vers $+\infty$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le théorème de comparaison s'applique ici : une suite minorée par une suite tendant vers $+\infty$ ne peut faire autrement que tendre elle aussi vers $+\infty$. Symétriquement, une suite majorée par une suite tendant vers $-\infty$ tend vers $-\infty$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si $u_{n+1} - u_n > 0$ pour tout entier naturel $n$, alors la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La définition de la stricte croissance est exactement : $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n$, ce qui équivaut à $u_{n+1} - u_n > 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La méthode standard pour étudier la monotonie consiste précisément à étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ : un signe strictement positif partout caractérise la stricte croissance.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}^*$ par $u_n = \dfrac{1}{n}$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est croissante.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Plus $n$ augmente, plus le dénominateur grandit et plus la fraction $\dfrac{1}{n}$ diminue. Plus précisément, $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n} = \dfrac{-1}{n(n+1)} < 0$ : la suite est strictement décroissante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Penser à un piège fréquent : comme $n$ croît, la suite $\dfrac{1}{n}$ ne croît pas pour autant. C'est même le contraire : $u_1 = 1$, $u_2 = 0{,}5$, $u_3 \approx 0{,}33$... la suite décroît.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite à termes strictement positifs.

Affirmation : Si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} > 1$ pour tout entier naturel $n$, alors la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Comme $u_n > 0$, multiplier les deux membres de $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} > 1$ par $u_n$ donne $u_{n+1} > u_n$, donc la suite est strictement croissante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La méthode du quotient s'applique aux suites à termes de signe constant. Avec $u_n > 0$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} > 1$ signifie bien $u_{n+1} > u_n$. Attention : si les termes étaient négatifs, l'inégalité changerait de sens.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = n^2 - 4n$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est croissante sur $\mathbb{N}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On a $u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 4(n+1) - n^2 + 4n = 2n - 3$.
Cette différence est négative pour $n = 0$ et $n = 1$ ($u_0 = 0$, $u_1 = -3$, $u_2 = -4$), donc la suite n'est pas croissante sur $\mathbb{N}$ entier. Elle ne devient croissante qu'à partir du rang $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de penser que $n^2$ écrase tout : pour de petites valeurs de $n$, le terme $-4n$ peut dominer. Calculer $u_{n+1} - u_n$ et étudier son signe selon les valeurs de $n$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si une suite $(u_n)$ est croissante, alors tous ses termes sont positifs.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Une suite croissante peut commencer par des valeurs négatives. Par exemple, $u_n = n - 5$ est croissante, mais $u_0 = -5$, $u_1 = -4$, $u_2 = -3$ sont tous négatifs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Ne pas confondre croissance et positivité : la croissance impose seulement que chaque terme soit supérieur ou égal au précédent, sans préjuger de leur signe. Une suite peut être croissante en partant de valeurs négatives.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \dfrac{2^n}{n+1}$.

Affirmation : Pour étudier la monotonie de cette suite, la méthode du quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est plus simple que celle de la différence $u_{n+1} - u_n$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La présence d'une puissance $2^n$ rend la différence pénible à factoriser, alors que le quotient se simplifie facilement : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2^{n+1}}{n+2} \times \dfrac{n+1}{2^n} = \dfrac{2(n+1)}{n+2}$. De plus, tous les termes sont strictement positifs, donc la méthode du quotient est applicable.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand une suite contient une puissance et une fraction, le quotient simplifie souvent les calculs : la puissance se réduit (par division des $2^n$) et il reste une fraction rationnelle plus simple à étudier.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Une suite numérique est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ ou sur une partie de $\mathbb{N}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est la définition d'une suite numérique : à chaque entier $n$ (ou à partir d'un certain rang), on associe un nombre réel $u_n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une suite numérique est bien une fonction de $\mathbb{N}$ (ou d'une partie de $\mathbb{N}$, par exemple $\mathbb{N}^*$) dans $\mathbb{R}$. Le terme $u_n$ est l'image de $n$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = 2n + 3$.

Affirmation : $u_5 = 11$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On remplace $n$ par $5$ : $u_5 = 2 \times 5 + 3 = 10 + 3 = 13$.
Donc $u_5 \neq 11$ : l'affirmation est fausse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au calcul : $u_5 = 2 \times 5 + 3 = 13$, et non $11$. Il a sans doute été oublié que la formule contient un facteur $2$ devant le $n$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 4$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n - 2$.

Affirmation : $u_3 = -2$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule de proche en proche :
$u_1 = 4 - 2 = 2$.
$u_2 = 2 - 2 = 0$.
$u_3 = 0 - 2 = -2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Reprendre la récurrence en partant de $u_0 = 4$ et en soustrayant $2$ trois fois : $u_1 = 2$, $u_2 = 0$, puis $u_3 = -2$. Penser que la suite peut prendre des valeurs négatives.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ et $(u_n)$ la suite définie par $u_n = f(n)$.

Affirmation : Si $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$, alors la suite $(u_n)$ est croissante.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Si $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$, alors pour tout $n$ : $n + 1 > n$ entraîne $f(n+1) \geqslant f(n)$, soit $u_{n+1} \geqslant u_n$. La suite est donc croissante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La monotonie d'une fonction $f$ se transmet à la suite $u_n = f(n)$ : la croissance de $f$ implique celle de la suite. Attention : la réciproque est fausse (la suite peut être croissante sans que $f$ le soit, par exemple si $f$ varie entre les entiers).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = (-1)^n$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est croissante.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les premiers termes sont $u_0 = 1$, $u_1 = -1$, $u_2 = 1$, $u_3 = -1$ : la suite alterne entre $1$ et $-1$, elle n'est donc ni croissante ni décroissante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La suite $u_n = (-1)^n$ alterne entre $1$ et $-1$ : $u_{n+1} - u_n$ change de signe à chaque pas, donc la suite n'est pas monotone.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n + n$.

Affirmation : $u_3 = 4$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On calcule :
$u_1 = u_0 + 0 = 1 + 0 = 1$.
$u_2 = u_1 + 1 = 1 + 1 = 2$.
$u_3 = u_2 + 2 = 2 + 2 = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention : la relation $u_{n+1} = u_n + n$ utilise l'indice $n$ courant, pas $n + 1$. Pour calculer $u_3$ à partir de $u_2$, on ajoute $2$ et non $3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur le sens de variation d'une suite. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = 4 - 2n$. Quel est son sens de variation ?
[qcm]
[option]Croissante[/option]
[option correct="true"]Décroissante[/option]
[option]Constante[/option]
[option]Ni croissante, ni décroissante[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On calcule $u_{n+1} - u_n = (4 - 2(n+1)) - (4 - 2n) = -2$.
La différence est négative pour tout $n$, donc la suite est strictement décroissante.[/reponse]
[reponse motif="Croissante"]Non.
Le coefficient devant $n$ est négatif ($-2$). Penser à étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ avant de conclure.[/reponse]
[reponse motif="Constante"]Non.
La suite varie : entre deux termes consécutifs, l'écart vaut $-2$, donc différent de $0$.[/reponse]
[reponse motif="Ni croissante, ni décroissante"]Non.
La différence $u_{n+1} - u_n$ a un signe constant (négatif) pour tout $n$, donc la suite est monotone.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $u_{n+1} - u_n$ et étudier son signe pour conclure sur le sens de variation.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2 - 5n$. Que vaut $u_{n+1} - u_n$ ?
[qcm]
[option]$u_{n+1} - u_n = 2n - 5$[/option]
[option correct="true"]$u_{n+1} - u_n = 2n - 4$[/option]
[option]$u_{n+1} - u_n = -5$[/option]
[option]$u_{n+1} - u_n = 2n + 1 - 5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On développe : $(n+1)^2 - 5(n+1) - (n^2 - 5n) = n^2 + 2n + 1 - 5n - 5 - n^2 + 5n = 2n - 4$.[/reponse]
[reponse motif="$u_{n+1} - u_n = 2n - 5$"]Non.
Une erreur de calcul : $(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$, et le $+1$ a été oublié dans la simplification finale.[/reponse]
[reponse motif="$u_{n+1} - u_n = -5$"]Non.
Seule la partie $-5n$ a été traitée. Reprendre le développement de $(n+1)^2$.[/reponse]
[reponse motif="$u_{n+1} - u_n = 2n + 1 - 5$"]Non.
Bonne idée pour le développement, mais $-5(n+1) - (-5n) = -5$ et il manque la simplification finale avec $+1 - 5 = -4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Développer $(n+1)^2$ avec une identité remarquable, soustraire $5(n+1)$, puis retrancher $u_n = n^2 - 5n$ et simplifier.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = \dfrac{n+1}{n+2}$. Le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est-il bien adapté pour étudier la monotonie ?
[qcm]
[option correct="true"]Oui, car tous les termes sont strictement positifs[/option]
[option]Oui, mais cela donne le sens de variation de $-u_n$[/option]
[option]Non, il faut toujours utiliser la différence $u_{n+1} - u_n$[/option]
[option]Non, car la suite n'est pas géométrique[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La méthode du quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ s'applique quand tous les termes sont strictement de même signe. Ici $n + 1 > 0$ et $n + 2 > 0$, donc $u_n > 0$ pour tout $n$ : le quotient est utilisable.[/reponse]
[reponse motif="Oui, mais cela donne le sens de variation de $-u_n$"]Non.
Le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ donne le sens de variation de $u_n$ lui-même, à condition que $u_n > 0$.[/reponse]
[reponse motif="Non, il faut toujours utiliser la différence $u_{n+1} - u_n$"]Non.
La différence est une méthode parmi d'autres. Le quotient est valide quand tous les termes sont strictement de même signe.[/reponse]
[reponse motif="Non, car la suite n'est pas géométrique"]Non.
La méthode du quotient ne nécessite pas que la suite soit géométrique : il suffit que tous les termes aient le même signe strict.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Vérifier le signe des termes $u_n$ pour savoir si la méthode du quotient est applicable.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite à termes strictement positifs telle que $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3}{4}$ pour tout entier naturel $n$. Quel est son sens de variation ?
[qcm]
[option]Croissante[/option]
[option]Constante[/option]
[option correct="true"]Décroissante[/option]
[option]Le sens de variation dépend de $u_0$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Comme $u_n > 0$ et $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3}{4} < 1$, on a $u_{n+1} < u_n$ pour tout $n$ : la suite est strictement décroissante.[/reponse]
[reponse motif="Croissante"]Non.
Le quotient $\dfrac{3}{4}$ est plus petit que $1$ : multiplier par un nombre inférieur à $1$ (avec termes positifs) fait diminuer la suite.[/reponse]
[reponse motif="Constante"]Non.
Une suite constante a un quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 1$. Ici le quotient vaut $\dfrac{3}{4}$, donc la suite varie.[/reponse]
[reponse motif="Le sens de variation dépend de $u_0$"]Non.
L'énoncé précise que tous les termes sont strictement positifs : le sens de variation est entièrement déterminé par la position du quotient par rapport à $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ : pour une suite à termes positifs, cela donne directement le sens de variation.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n + n - 2$. À partir de quel rang la suite devient-elle strictement croissante ?
[qcm]
[option]À partir de $n = 0$[/option]
[option]À partir de $n = 1$[/option]
[option]À partir de $n = 2$[/option]
[option correct="true"]À partir de $n = 3$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On a $u_{n+1} - u_n = n - 2$.
Cette différence est strictement positive lorsque $n - 2 > 0$, c'est-à-dire $n \geqslant 3$. La suite est donc strictement croissante à partir de $n = 3$.[/reponse]
[reponse motif="À partir de $n = 0$"]Non.
Pour $n = 0$, la différence vaut $0 - 2 = -2 < 0$. Identifier les valeurs de $n$ pour lesquelles $n - 2 > 0$.[/reponse]
[reponse motif="À partir de $n = 1$"]Non.
Pour $n = 1$, la différence vaut $1 - 2 = -1 < 0$. La suite décroît encore à ce rang.[/reponse]
[reponse motif="À partir de $n = 2$"]Non.
Pour $n = 2$, la différence vaut $2 - 2 = 0$ : la suite est stationnaire entre $u_2$ et $u_3$, pas strictement croissante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n = n - 2$ pour repérer le rang à partir duquel cette différence est strictement positive.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite définie sur $\mathbb{N}^*$ telle que $u_{n+1} - u_n = (-1)^n$. Quel est son sens de variation ?
[qcm]
[option]Croissante[/option]
[option]Décroissante[/option]
[option correct="true"]Ni croissante, ni décroissante[/option]
[option]Constante[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La différence $u_{n+1} - u_n = (-1)^n$ vaut alternativement $+1$ et $-1$ : elle change de signe à chaque pas. La suite n'est donc ni croissante ni décroissante.[/reponse]
[reponse motif="Croissante"]Non.
Pour être croissante, la différence $u_{n+1} - u_n$ doit être positive pour tout $n$. Ici, elle est négative quand $n$ est impair.[/reponse]
[reponse motif="Décroissante"]Non.
Pour être décroissante, la différence doit être négative pour tout $n$. Ici, elle est positive quand $n$ est pair.[/reponse]
[reponse motif="Constante"]Non.
Une suite constante a $u_{n+1} - u_n = 0$ pour tout $n$. Ici la différence vaut $\pm 1$, donc différente de $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Examiner les valeurs prises par $(-1)^n$ selon la parité de $n$ et conclure sur le signe de la différence.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul des premiers termes d'une suite, qu'elle soit définie par une formule explicite ou par une relation de récurrence. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \dfrac{2n+1}{n+3}$. Combien vaut $u_2$ ?
[qcm]
[option]$u_2 = \dfrac{2}{5}$[/option]
[option]$u_2 = \dfrac{3}{5}$[/option]
[option]$u_2 = \dfrac{4}{5}$[/option]
[option correct="true"]$u_2 = 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On remplace $n$ par $2$ dans la formule : $u_2 = \dfrac{2 \times 2 + 1}{2 + 3} = \dfrac{5}{5} = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$u_2 = \dfrac{2}{5}$"]Non.
La fraction a été inversée. Le numérateur est $2n+1$ et le dénominateur $n+3$, pas l'inverse.[/reponse]
[reponse motif="$u_2 = \dfrac{3}{5}$"]Non.
Le facteur $2$ devant $n$ a été oublié : il faut calculer $2 \times 2 = 4$ puis ajouter $1$ au numérateur.[/reponse]
[reponse motif="$u_2 = \dfrac{4}{5}$"]Non.
Le $+1$ du numérateur a été oublié : reprendre le calcul de $2 \times 2 + 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour calculer $u_2$, remplacer $n$ par $2$ au numérateur et au dénominateur, puis simplifier la fraction.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 2u_n - 3$. Combien vaut $u_3$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$u_3 = -13$[/option]
[option]$u_3 = -1$[/option]
[option]$u_3 = -5$[/option]
[option]$u_3 = -7$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On calcule de proche en proche :
$u_1 = 2 \times 1 - 3 = -1$.
$u_2 = 2 \times (-1) - 3 = -5$.
$u_3 = 2 \times (-5) - 3 = -13$.[/reponse]
[reponse motif="$u_3 = -1$"]Non.
Le calcul s'est arrêté à $u_1$. La question demande $u_3$ : il reste deux applications de la relation à effectuer.[/reponse]
[reponse motif="$u_3 = -5$"]Non.
Le calcul s'est arrêté à $u_2$. Il manque une dernière application de la relation pour atteindre $u_3$.[/reponse]
[reponse motif="$u_3 = -7$"]Non.
Erreur de signe sur le terme constant : la relation est $u_{n+1} = 2u_n - 3$ et non $u_{n+1} = 2u_n + 3$. Vérifier le signe à chaque pas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la relation $u_{n+1} = 2u_n - 3$ trois fois en partant de $u_0 = 1$, en notant $u_1$, $u_2$ puis $u_3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Parmi les définitions suivantes, laquelle définit la suite $(u_n)$ par récurrence ?
[qcm]
[option]$u_n = 5 \times 2^n$[/option]
[option]$u_n = \ln(n+1)$[/option]
[option correct="true"]$u_0 = 3$ et $u_{n+1} = u_n^2 + 1$[/option]
[option]$u_n = \dfrac{n}{n+1}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Une suite est définie par récurrence lorsqu'on donne son premier terme et une relation exprimant chaque terme en fonction du précédent. Ici $u_{n+1}$ est exprimé en fonction de $u_n$.[/reponse]
[reponse motif="$u_n = 5 \times 2^n$"]Non.
Cette formule donne $u_n$ directement à partir de $n$ : c'est une définition explicite, pas par récurrence.[/reponse]
[reponse motif="$u_n = \ln(n+1)$"]Non.
Cette formule exprime $u_n$ comme une fonction de $n$ uniquement. Une définition par récurrence fait intervenir le terme précédent.[/reponse]
[reponse motif="$u_n = \dfrac{n}{n+1}$"]Non.
Cette formule donne $u_n$ en fonction du rang $n$ : c'est une définition explicite. Une récurrence relie $u_{n+1}$ à $u_n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repérer la définition qui donne $u_0$ et exprime $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ : c'est elle qui est définie par récurrence.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = \dfrac{v_n}{2} + 1$. Combien vaut $v_2$ ?
[qcm]
[option]$v_2 = 2{,}5$[/option]
[option]$v_2 = 5$[/option]
[option]$v_2 = 6$[/option]
[option correct="true"]$v_2 = 3{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On calcule de proche en proche :
$v_1 = \dfrac{8}{2} + 1 = 4 + 1 = 5$.
$v_2 = \dfrac{5}{2} + 1 = 2{,}5 + 1 = 3{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="$v_2 = 2{,}5$"]Non.
Le $+1$ a été oublié au dernier pas. Après avoir divisé $v_1$ par $2$, ne pas oublier d'ajouter $1$.[/reponse]
[reponse motif="$v_2 = 5$"]Non.
Le calcul s'est arrêté à $v_1$. La question demande $v_2$ : il reste à appliquer une fois encore la relation à partir de $v_1$.[/reponse]
[reponse motif="$v_2 = 6$"]Non.
La division par $2$ a été oubliée au dernier pas : la relation est $v_{n+1} = \dfrac{v_n}{2} + 1$, pas $v_{n+1} = v_n + 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $v_1$ à partir de $v_0$, puis $v_2$ à partir de $v_1$, en appliquant à chaque fois la relation $v_{n+1} = \dfrac{v_n}{2} + 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$. Combien vaut $u_3$ ?
[qcm]
[option]$u_3 = \dfrac{1}{3}$[/option]
[option correct="true"]$u_3 = -\dfrac{1}{3}$[/option]
[option]$u_3 = -3$[/option]
[option]$u_3 = -\dfrac{1}{9}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On remplace $n$ par $3$ : $u_3 = \dfrac{(-1)^3}{3} = \dfrac{-1}{3} = -\dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$u_3 = \dfrac{1}{3}$"]Non.
Le signe a été oublié. Comme $3$ est impair, $(-1)^3 = -1$, ce qui rend le résultat négatif.[/reponse]
[reponse motif="$u_3 = -3$"]Non.
La fraction a été inversée. Le numérateur est $(-1)^n = -1$ et le dénominateur est $n = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$u_3 = -\dfrac{1}{9}$"]Non.
Au dénominateur, c'est $n$ et non $n^2$. Reprendre la formule sans élever $n$ au carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer séparément $(-1)^n$ pour $n = 3$ (selon la parité), puis diviser par $n$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_1 = -3$ et, pour tout entier $n \geqslant 1$, $u_{n+1} = -2u_n + 5$. Combien vaut $u_2$ ?
[qcm]
[option]$u_2 = -3$[/option]
[option]$u_2 = 1$[/option]
[option correct="true"]$u_2 = 11$[/option]
[option]$u_2 = -1$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On applique la relation pour $n = 1$ : $u_2 = -2 \times u_1 + 5 = -2 \times (-3) + 5 = 6 + 5 = 11$.[/reponse]
[reponse motif="$u_2 = -3$"]Non.
C'est la valeur de $u_1$, donnée dans l'énoncé. La relation de récurrence n'a pas été appliquée.[/reponse]
[reponse motif="$u_2 = 1$"]Non.
Erreur de signe sur la constante $+5$ : la relation est $u_{n+1} = -2u_n + 5$, pas $u_{n+1} = -2u_n - 5$.[/reponse]
[reponse motif="$u_2 = -1$"]Non.
Erreur dans le produit de deux nombres négatifs : $-2 \times (-3)$ donne un résultat positif, pas négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le premier terme est $u_1$, pas $u_0$. Appliquer la relation avec $n = 1$ pour obtenir $u_2$ à partir de $u_1 = -3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]