Vrai/Faux : Synthèse — pièges sur les lois à densité

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante de synthèse sur les lois à densité, indiquer si elle est Vraie ou Fausse. Vérifier les calculs et les hypothèses avec attention.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour une loi exponentielle, $P(X > 10 \mid X > 4) = P(X > 6)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Loi sans mémoire : $P_{X > 4}(X > 4 + 6) = P(X > 6)$.
Vérification : $\dfrac{P(X > 10)}{P(X > 4)} = \dfrac{\text{e}^{- 10\lambda}}{\text{e}^{- 4\lambda}} = \text{e}^{- 6\lambda} = P(X > 6)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Propriété d'absence de mémoire : la conditionnelle se ramène à $P(X > 6)$ (la durée restante).
$10 - 4 = 6$ est la durée demandée au-delà du temps déjà écoulé.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la propriété sans vieillissement : $P(X > 4 + 6 \mid X > 4) = P(X > 6)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Sur $[0\,;\,2]$, la fonction $f(x) = 1{,}5 - 0{,}5x$ est une densité de probabilité.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$f$ est continue et positive sur $[0\,;\,2]$ (car $f(0) = 1{,}5$ et $f(2) = 0{,}5$, donc $f \geqslant 0{,}5 > 0$).
Mais $\displaystyle\int_{0}^{2}(1{,}5 - 0{,}5 x)\,dx = \left[1{,}5 x - 0{,}25 x^{2}\right]_{0}^{2} = 3 - 1 = 2 \neq 1$.
La condition de normalisation n'est pas vérifiée : ce n'est pas une densité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Vérification de l'intégrale : $\displaystyle\int_{0}^{2}(1{,}5 - 0{,}5 x)\,dx = 3 - 1 = 2 \neq 1$.
La fonction est continue et positive, mais la condition de normalisation n'est pas vérifiée.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'intégrale vaut $2$, pas $1$ : ce n'est pas une densité.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit la loi uniforme sur $[0\,;\,4]$, alors la médiane (le réel $m$ vérifiant $P(X \leqslant m) = \dfrac{1}{2}$) est $m = 2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est ça !
Pour la loi uniforme sur $[0\,;\,4]$, $P(X \leqslant m) = \dfrac{m - 0}{4 - 0} = \dfrac{m}{4}$.
$\dfrac{m}{4} = \dfrac{1}{2}$ donne $m = 2$, qui est aussi le milieu de l'intervalle (médiane = moyenne pour la loi uniforme).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Loi uniforme : la médiane coïncide avec l'espérance (le milieu de l'intervalle), soit ici $2$.
Cela vient de la symétrie de la densité (constante).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour la loi uniforme sur $[0\,;\,4]$, médiane $= 2 =$ milieu de l'intervalle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors $P(X > E(X)) = \dfrac{1}{2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$, donc $P(X > E(X)) = \text{e}^{- \lambda \times 1/\lambda} = \text{e}^{- 1} \approx 0{,}37$, et non $\dfrac{1}{2}$.
La loi exponentielle est asymétrique : la médiane est strictement inférieure à l'espérance, donc moins de $50\,\%$ de la masse est à droite de l'espérance.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Piège classique : pour une loi symétrique (par exemple la loi uniforme), médiane = espérance et $P(X > E(X)) = \dfrac{1}{2}$.
Mais la loi exponentielle est asymétrique : $P(X > E(X)) = \text{e}^{- 1} \approx 0{,}37$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $P(X > E(X)) = \text{e}^{- 1} \approx 0{,}37$, et non $\dfrac{1}{2}$ (la loi exponentielle est asymétrique).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soit $X$ une variable aléatoire continue. Alors $P(X \leqslant 3) + P(X \geqslant 3) = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
$P(X \leqslant 3) + P(X > 3) = 1$ (événements contraires) et comme $P(X = 3) = 0$ en continu, $P(X > 3) = P(X \geqslant 3)$.
Donc $P(X \leqslant 3) + P(X \geqslant 3) = 1$.
Remarque : dans le cas discret, cette somme aurait été $1 + P(X = 3)$, mais en continu $P(X = 3) = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
En continu, $P(X = 3) = 0$ donc $P(X \geqslant 3) = P(X > 3)$, et la somme $P(X \leqslant 3) + P(X > 3) = 1$ (événements contraires).
Cela ne marcherait pas en discret où $P(X = 3)$ pourrait être non nulle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En continu, $P(X = 3) = 0$, donc $P(X \leqslant 3) + P(X \geqslant 3) = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : On considère $X$ et $Y$ deux variables aléatoires de loi exponentielle de paramètres respectifs $\lambda_{X} = 1$ et $\lambda_{Y} = 2$. Alors la durée de vie moyenne de $X$ est plus grande que celle de $Y$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$E(X) = \dfrac{1}{1} = 1$ et $E(Y) = \dfrac{1}{2}$. Donc $E(X) > E(Y)$.
Plus $\lambda$ est grand, plus la durée moyenne est courte (l'inverse du paramètre). Ici $\lambda_{Y} > \lambda_{X}$, donc $E(Y) < E(X)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Méthode : $E = \dfrac{1}{\lambda}$ pour la loi exponentielle.
$E(X) = 1$ et $E(Y) = 0{,}5$, donc $E(X) > E(Y)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $E(X) = 1 > E(Y) = 0{,}5$ : $X$ a une durée de vie moyenne plus grande.
[/solution]
[/etape]