[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la fonction logarithme népérien, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $\ln(1) = 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La valeur particulière $\ln(1) = 0$ est l'une des propriétés fondamentales du logarithme népérien.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappelle-toi des valeurs remarquables de $\ln$.
Par définition, $\ln(1) = 0$ car $e^0 = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La fonction $\ln$ est la réciproque de l'exponentielle, et puisque $e^0 = 1$, on a bien $\ln(1) = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\ln(e) = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est l'autre valeur remarquable à connaître par cœur : $\ln(e) = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le nombre $e$ est précisément défini comme l'unique réel dont le logarithme népérien vaut $1$.
On a donc $\ln(e) = 1$, ce qui équivaut à $e^1 = e$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par définition de la constante d'Euler, $\ln(e) = 1$ (équivalent à $e^1 = e$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fonction $\ln$ est définie sur $\mathbb{R}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La fonction $\ln$ n'est définie que pour les réels strictement positifs : son ensemble de définition est $]0\,;\,+\infty[$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à l'ensemble de définition du logarithme.
La fonction $\ln$ n'est définie que sur $]0\,;\,+\infty[$ : on ne peut pas calculer $\ln$ d'un nombre négatif ou nul.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction $\ln$ est définie uniquement sur $]0\,;\,+\infty[$, donc seulement pour les réels strictement positifs.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout $x>0$, $e^{\ln(x)} = x$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est l'une des deux relations clés traduisant que $\ln$ et $\exp$ sont des fonctions réciproques l'une de l'autre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pense au lien entre $\ln$ et $\exp$.
Comme $\ln$ et $\exp$ sont réciproques, on a $e^{\ln(x)} = x$ pour tout $x>0$ (et $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les fonctions $\ln$ et $\exp$ étant réciproques l'une de l'autre, on a $e^{\ln(x)} = x$ pour tout $x>0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\ln(-1)$ est défini et vaut $-\ln(1) = 0$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La fonction $\ln$ n'est pas définie sur les réels négatifs : $\ln(-1)$ n'existe pas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Vérifie d'abord si l'expression a un sens.
La fonction $\ln$ n'est définie que sur $]0\,;\,+\infty[$, donc $\ln(-1)$ n'existe pas. La règle $\ln(-x) = -\ln(x)$ est par ailleurs incorrecte.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le nombre $-1$ n'appartient pas à $]0\,;\,+\infty[$, donc $\ln(-1)$ n'est pas défini.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout $x \in ]0\,;\,1[$, on a $\ln(x) > 0$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Sur $]0\,;\,1[$, la fonction $\ln$ est strictement négative. Elle ne s'annule qu'en $1$ et devient positive sur $]1\,;\,+\infty[$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Pense au signe de $\ln$ selon la position de $x$ par rapport à $1$.
Pour $0<x<1$, on a $\ln(x) < 0$ ; pour $x>1$, on a $\ln(x) > 0$ ; et $\ln(1) = 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Sur $]0\,;\,1[$, le logarithme népérien est strictement négatif : $\ln(x) < 0$. Il devient positif uniquement pour $x > 1$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur la définition de la fonction logarithme népérien : son ensemble de définition, ses valeurs particulières, et son lien avec la fonction exponentielle. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Quel est l'ensemble de définition de la fonction $\ln$ ?
[qcm]
[option]$\mathbb{R}$[/option]
[option]$[0\,;+\infty[$[/option]
[option correct="true"]$]0\,;+\infty[$[/option]
[option]$\mathbb{R}^*$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La fonction $\ln$ est définie uniquement pour les réels strictement positifs. Son ensemble de définition est $]0\,;+\infty[$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R}$"]Non.
La fonction $\ln$ n'est pas définie sur tout $\mathbb{R}$ : il existe des réels pour lesquels $\ln$ n'a pas de sens. Réfléchis aux valeurs interdites.[/reponse]
[reponse motif="$[0\,;+\infty[$"]Non.
Attention à la borne $0$ : est-ce que $\ln(0)$ est défini ? La borne doit-elle être incluse ou exclue ?[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R}^*$"]Non.
$\mathbb{R}^*$ contient aussi les réels strictement négatifs. Or $\ln$ n'est pas défini pour les nombres négatifs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Revois la définition de la fonction $\ln$ et la nature des réels pour lesquels elle a un sens.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $\ln(1)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[option]$\text{e}$[/option]
[option]non défini[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On a $\ln(1)=0$ car $\text{e}^{0}=1$. C'est une valeur particulière à connaître par cœur.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Tu confonds peut-être avec une autre valeur. Rappelle-toi que $\ln$ est la réciproque de l'exponentielle : cherche l'exposant $y$ tel que $\text{e}^{y}=1$.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}$"]Non.
$\text{e}$ est la base de l'exponentielle, pas une valeur de $\ln(1)$. Cherche l'exposant $y$ tel que $\text{e}^{y}=1$.[/reponse]
[reponse motif="non défini"]Non.
$1$ appartient bien à l'ensemble de définition de $\ln$, donc $\ln(1)$ existe. C'est même une valeur remarquable.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pense à la relation $\ln(x)=y \Leftrightarrow \text{e}^{y}=x$ (avec $x>0$) et applique-la pour $x=1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $\ln(\text{e})$ ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$\text{e}$[/option]
[option correct="true"]$1$[/option]
[option]$\text{e}^{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On a $\ln(\text{e})=1$ car $\text{e}^{1}=\text{e}$. C'est l'autre valeur particulière fondamentale du logarithme népérien.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$\ln(0)$ n'a pas de sens, mais ici on calcule $\ln(\text{e})$, et $\text{e}\neq 1$. Cherche l'exposant $y$ tel que $\text{e}^{y}=\text{e}$.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}$"]Non.
La fonction $\ln$ ne renvoie pas son argument. Cherche l'exposant $y$ tel que $\text{e}^{y}=\text{e}$.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}^{2}$"]Non.
Cette valeur correspondrait à $\ln(\text{e}^{?})$ avec un autre exposant. Cherche simplement $y$ tel que $\text{e}^{y}=\text{e}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise l'équivalence $\ln(x)=y \Leftrightarrow \text{e}^{y}=x$ avec $x=\text{e}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $\ln(x)=2$ ?
[qcm]
[option]$x=2$[/option]
[option]$x=\dfrac{\text{e}}{2}$[/option]
[option]$x=\ln(2)$[/option]
[option correct="true"]$x=\text{e}^{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'équation $\ln(x)=2$ équivaut à $x=\text{e}^{2}$, par définition de la fonction $\ln$ comme réciproque de l'exponentielle.[/reponse]
[reponse motif="$x=2$"]Non.
$\ln(2)\neq 2$. La fonction $\ln$ ne renvoie pas son argument : elle renvoie un exposant.[/reponse]
[reponse motif="$x=\dfrac{\text{e}}{2}$"]Non.
Cette expression ne provient d'aucune manipulation correcte de l'équation $\ln(x)=2$. Pense à utiliser la réciproque de $\ln$.[/reponse]
[reponse motif="$x=\ln(2)$"]Non.
Tu as appliqué $\ln$ à $2$, mais il fallait au contraire « défaire » le $\ln$ : utilise sa fonction réciproque.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise l'équivalence $\ln(x)=y \Leftrightarrow x=\text{e}^{y}$ valable pour $x>0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour tout réel $x$, à quoi est égal $\ln(\text{e}^{x})$ ?
[qcm]
[option]$\text{e}$[/option]
[option correct="true"]$x$[/option]
[option]$x^{2}$[/option]
[option]$\text{e}^{x}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Pour tout réel $x$, $\ln(\text{e}^{x})=x$. C'est l'une des deux relations fondamentales entre $\ln$ et $\exp$, qui exprime qu'elles sont réciproques l'une de l'autre.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}$"]Non.
Le résultat doit dépendre de $x$ : il varie quand $x$ varie. Une constante ne peut donc pas convenir.[/reponse]
[reponse motif="$x^{2}$"]Non.
Tu confonds peut-être avec une autre relation. Rappelle-toi que $\ln$ et $\exp$ sont réciproques l'une de l'autre.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}^{x}$"]Non.
Si on avait $\ln(\text{e}^{x})=\text{e}^{x}$, cela signifierait que $\ln$ ne fait rien : ce n'est pas le cas. $\ln$ « défait » l'exponentielle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise le fait que $\ln$ est la fonction réciproque de $\exp$ : pour tout réel $x$, $\ln(\text{e}^{x})=\,?$[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\ln(x-3)$ ?
[qcm]
[option]$]-3\,;+\infty[$[/option]
[option]$\mathbb{R}\setminus\{3\}$[/option]
[option correct="true"]$]3\,;+\infty[$[/option]
[option]$]-\infty\,;3[$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$f(x)$ est définie si et seulement si $x-3>0$, c'est-à-dire $x>3$. L'ensemble de définition est donc $]3\,;+\infty[$.[/reponse]
[reponse motif="$]-3\,;+\infty[$"]Non.
Attention au signe : la condition est $x-3>0$, pas $x+3>0$. Résous correctement l'inéquation.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R}\setminus\{3\}$"]Non.
$\ln$ n'est pas définie pour les valeurs strictement négatives, pas seulement pour $0$. Tu sembles confondre avec la condition $x-3\neq 0$.[/reponse]
[reponse motif="$]-\infty\,;3[$"]Non.
Tu as inversé le sens de l'inéquation. La condition à imposer est $x-3>0$, et non $x-3<0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\ln(u)$ est définie si et seulement si $u>0$. Applique cette condition à $u=x-3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]