QCM Bilan : Primitives et intégrales

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : primitives, calcul d'intégrales, propriétés (linéarité, Chasles), interprétation graphique et valeur moyenne. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $F$ une primitive de $f$ sur un intervalle $I$. Si $G$ est une autre primitive de $f$ sur $I$, alors :
[qcm]
[option]$G = F$[/option]
[option correct="true"]$G = F + k$ avec $k$ une constante réelle[/option]
[option]$G = k\,F$ avec $k$ une constante réelle[/option]
[option]$G$ peut être n'importe quelle fonction[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante. C'est une propriété fondamentale qui découle du fait que $(G - F)^{\prime} = f - f = 0$ sur $I$, donc $G - F$ est constante.[/reponse]
[reponse motif="$G = F$"]Non.
Les primitives ne sont pas uniques : on peut toujours ajouter une constante. Par exemple, $x \mapsto x^2$ et $x \mapsto x^2 + 7$ sont toutes deux des primitives de $2x$.[/reponse]
[reponse motif="$G = k\,F$ avec $k$ une constante réelle"]Non.
La différence est additive ($+k$), pas multiplicative ($\times k$). Une multiplication changerait la dérivée et donc la fonction primitivée.[/reponse]
[reponse motif="$G$ peut être n'importe quelle fonction"]Non.
$G$ doit être une primitive de la même fonction $f$ : elle est donc très contrainte (à une constante près).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = (x^2 + 1)^3$. Quelle est sa dérivée ?
[qcm]
[option]$3(x^2 + 1)^2$[/option]
[option correct="true"]$6x(x^2 + 1)^2$[/option]
[option]$2x(x^2 + 1)^3$[/option]
[option]$(2x)^3$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On dérive une fonction composée : $F = u^3$ avec $u(x) = x^2 + 1$.
$F^{\prime} = 3\,u^{\prime}\,u^{2}$ avec $u^{\prime}(x) = 2x$.
Donc $F^{\prime}(x) = 3 \times 2x \times (x^2 + 1)^2 = 6x(x^2 + 1)^2$.[/reponse]
[reponse motif="$3(x^2 + 1)^2$"]Non.
Le facteur $u^{\prime} = 2x$ a été oublié dans la dérivée d'une fonction composée. La règle est $(u^n)^{\prime} = n\,u^{\prime}\,u^{n-1}$.[/reponse]
[reponse motif="$2x(x^2 + 1)^3$"]Non.
L'exposant n'a pas été abaissé : la dérivée de $u^3$ donne $u^2$ (puissance $-1$), et le coefficient $3$ apparaît.[/reponse]
[reponse motif="$(2x)^3$"]Non.
On ne peut pas dériver « à l'intérieur » et « à l'extérieur » séparément en élevant à la puissance. C'est la règle de la fonction composée qui s'applique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dériver une fonction composée $u^n$ : $(u^n)^{\prime} = n\,u^{\prime}\,u^{n-1}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On donne $\displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x = 8$. Que vaut $\displaystyle\int_{0}^{3} \big(f(x) + 4\big)\,\mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$12$[/option]
[option correct="true"]$20$[/option]
[option]$32$[/option]
[option]$8$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Par linéarité : $\displaystyle\int_{0}^{3}(f + 4) = \displaystyle\int_{0}^{3} f + \displaystyle\int_{0}^{3} 4\,\mathrm{d}x$.
$\displaystyle\int_{0}^{3} 4\,\mathrm{d}x = 4 \times (3 - 0) = 12$.
Total : $8 + 12 = 20$.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12$ est la contribution du terme constant $4$ seul ; il ne faut pas oublier d'y ajouter $\displaystyle\int_0^3 f = 8$.[/reponse]
[reponse motif="$32$"]Non.
$32 = 8 \times 4$ correspond à un produit. Or la linéarité fait apparaître une somme : $\displaystyle\int(f + c) = \displaystyle\int f + c \times (b - a)$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
La constante $4$ ajoutée à $f$ contribue à l'intégrale par $4 \times (b - a) = 12$. Cette contribution ne peut pas être ignorée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Linéarité : $\displaystyle\int(f + c)\,\mathrm{d}x = \displaystyle\int f\,\mathrm{d}x + c \times (b - a)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $\displaystyle\int_{1}^{4} \dfrac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x$ ?

(Indication : $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$.)
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$4$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
$\dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$. Une primitive est $\dfrac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}$.
$\displaystyle\int_{1}^{4} \dfrac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x = \left[2\sqrt{x}\right]_{1}^{4} = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 4 - 2 = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$1 = 4 - 3$ ou similaire : vérifier les valeurs $\sqrt{4} = 2$ et $\sqrt{1} = 1$, et le facteur $2$ devant $\sqrt{x}$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$4 = 2\sqrt{4}$ : la valeur en $1$ a été oubliée ($2\sqrt{1} = 2$).[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
La primitive de $x^{-1/2}$ est $2\sqrt{x}$ (avec un facteur $2$, pas $\dfrac{1}{2}$). Vérifier la règle $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ avec $n = -\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Primitive de $x^{-1/2}$ : $\dfrac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}$. Évaluer en $4$ et en $1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[2\,;\,6]$. On note $\mathcal{A}$ l'aire (en u.a.) du domaine sous la courbe de $f$ entre $x = 2$ et $x = 6$. Quelle est la valeur moyenne de $f$ sur $[2\,;\,6]$ ?
[qcm]
[option]$\mathcal{A}$[/option]
[option]$\dfrac{\mathcal{A}}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{\mathcal{A}}{4}$[/option]
[option]$4\mathcal{A}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Comme $f$ est positive, $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{2}^{6} f(x)\,\mathrm{d}x$.
La valeur moyenne vaut $\mu = \dfrac{1}{6 - 2} \times \mathcal{A} = \dfrac{\mathcal{A}}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathcal{A}$"]Non.
$\mathcal{A}$ est l'aire (l'intégrale), pas la moyenne. Diviser par la longueur de l'intervalle.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\mathcal{A}}{2}$"]Non.
La longueur de l'intervalle $[2\,;\,6]$ est $6 - 2 = 4$, pas $2$. C'est par $4$ qu'il faut diviser.[/reponse]
[reponse motif="$4\mathcal{A}$"]Non.
On divise par $b - a$, on ne multiplie pas. La valeur moyenne est plus petite (ou égale) au maximum de $f$ ; la multiplier par $4$ irait dans le mauvais sens.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f$ ; ici $b - a = 4$ et $\displaystyle\int_a^b f = \mathcal{A}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ continue sur $[0\,;\,1]$ avec $f(x) \geqslant 0$ et $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x = 0$. Que peut-on en déduire sur $f$ ?
[qcm]
[option]$f$ vaut $0$ aux extrémités $0$ et $1$ uniquement[/option]
[option correct="true"]$f$ est identiquement nulle sur $[0\,;\,1]$[/option]
[option]$f$ est strictement positive sur $[0\,;\,1]$[/option]
[option]On ne peut rien en déduire sur $f$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Si $f$ est continue, positive et d'intégrale nulle sur un intervalle $[a\,;\,b]$ avec $a < b$, alors $f$ est identiquement nulle sur cet intervalle.
Sinon, en un point $x_0$ où $f(x_0) > 0$, par continuité $f$ resterait strictement positive sur un petit intervalle autour de $x_0$, ce qui rendrait l'intégrale strictement positive.[/reponse]
[reponse motif="$f$ vaut $0$ aux extrémités $0$ et $1$ uniquement"]Non.
Une fonction qui ne s'annulerait qu'aux extrémités tout en étant positive aurait une intégrale strictement positive (l'aire sous la courbe sur l'intérieur).[/reponse]
[reponse motif="$f$ est strictement positive sur $[0\,;\,1]$"]Non.
Si $f > 0$ sur tout l'intervalle, l'intégrale serait strictement positive (par continuité), pas nulle.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut rien en déduire sur $f$"]Non.
La conjonction « $f \geqslant 0$, continue et intégrale nulle » est très restrictive : elle force $f$ à être identiquement nulle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Propriété : pour $f$ continue positive sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$, $\displaystyle\int_a^b f = 0$ équivaut à $f$ identiquement nulle.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]