Résoudre une équation simple : la tirelire de Léa

[enonce]
Léa met de côté son argent dans une tirelire. Pour son anniversaire, elle y ajoute les $ 15 $ euros que lui ont offerts ses grands-parents. Elle compte alors le contenu de sa tirelire : il y a $ 42 $ euros.

On souhaite retrouver la somme qui se trouvait dans la tirelire avant son anniversaire.
[/enonce]

[etape]
Pour traduire cette situation par une égalité, il faut d'abord décider ce que représente l'inconnue $ x $. Que choisir ?
[qcm]
[option]Les $ 15 $ euros offerts par les grands-parents[/option]
[option correct="true"]La somme présente dans la tirelire avant l'anniversaire[/option]
[option]Les $ 42 $ euros comptés à la fin[/option]
[option]Le nombre de pièces dans la tirelire[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La grandeur cherchée est la somme de départ : c'est elle que l'on note $ x $.
Une fois ce choix fait, on pourra écrire ce que devient cette somme après l'anniversaire.[/reponse]
[reponse motif="Les $ 15 $ euros offerts par les grands-parents"]Cette somme est déjà connue : elle figure dans l'énoncé, ce n'est donc pas l'inconnue.
Relire la dernière phrase pour repérer la grandeur réellement cherchée.[/reponse]
[reponse motif="Les $ 42 $ euros comptés à la fin"]Ce montant est lui aussi déjà connu : c'est le total après l'anniversaire.
On choisit comme inconnue ce que le problème demande de retrouver.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Repérer dans la dernière phrase de l'énoncé la grandeur que l'on cherche à retrouver.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On note donc $ x $ la somme de départ. Quelle égalité traduit la situation décrite ?
[qcm]
[option]$ x - 15 = 42 $[/option]
[option]$ 15x = 42 $[/option]
[option correct="true"]$ x + 15 = 42 $[/option]
[option]$ x + 42 = 15 $[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
À la somme de départ $ x $, on ajoute les $ 15 $ euros reçus, ce qui donne le total de $ 42 $ euros.[/reponse]
[reponse motif="$ x - 15 = 42 $"]Léa ne retire pas d'argent de sa tirelire, elle en ajoute.
Quelle opération traduit le fait d'ajouter $ 15 $ euros ?[/reponse]
[reponse motif="$ 15x = 42 $"]Les $ 15 $ euros sont ajoutés une seule fois, ils ne multiplient pas la somme de départ.
Distinguer « ajouter $ 15 $ » de « multiplier par $ 15 $ ».[/reponse]
[reponse motif="$ x + 42 = 15 $"]Le total compté à la fin est $ 42 $ euros, pas $ 15 $ : ces deux nombres ne sont pas à la même place.
Repérer quel nombre est le total obtenu après l'ajout.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Partir de la somme de départ $ x $, traduire l'ajout des $ 15 $ euros, puis écrire le total obtenu.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'égalité à résoudre est $ x + 15 = 42 $. Déterminer la valeur de $ x $ : $ x = $ [[sol1]]
[math id="sol1" attendu="27"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On cherche le nombre qui, ajouté à $ 15 $, donne $ 42 $ : c'est $ 42 - 15 = 27 $.
La tirelire contenait donc $ 27 $ euros avant l'anniversaire.[/reponse]
[reponse motif="57"]Ici on n'ajoute pas $ 15 $ : il est déjà ajouté dans l'égalité.
Quelle opération permet de revenir en arrière, c'est-à-dire d'annuler un ajout de $ 15 $ ?[/reponse]
[reponse motif="630"]Dans cette situation $ 15 $ est ajouté à $ x $, il ne le multiplie pas.
L'opération qui annule une addition n'est pas la division.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Chercher quel nombre, augmenté de $ 15 $, donne $ 42 $. L'opération qui annule un ajout est la soustraction.[/reponse]
[aide essai="2"]L'opération réciproque de l'addition est la soustraction : il faut retrancher $ 15 $ à $ 42 $.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer $ 42 - 15 $.[/aide]
[/math]
[solution]On cherche le nombre qui, ajouté à $ 15 $, donne $ 42 $. L'opération réciproque de l'addition étant la soustraction, on calcule $ 42 - 15 = 27 $. Donc $ x = 27 $.[/solution]
[/etape]

[etape]
Pour vérifier que $ x = 27 $ est bien solution, quelle valeur prend le membre de gauche $ x + 15 $ ? [[verif]]
[math id="verif" attendu="42"]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On obtient $ 27 + 15 = 42 $, qui est bien égal au membre de droite. La valeur $ x = 27 $ est donc la bonne solution.[/reponse]
[reponse motif="27"]Il ne faut pas oublier d'ajouter les $ 15 $ euros au nombre trouvé.
Reprendre le calcul du membre de gauche en entier.[/reponse]
[reponse motif="12"]Vérifier le sens du calcul : dans le membre de gauche, $ 15 $ est ajouté, pas retranché.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Remplacer $ x $ par $ 27 $ dans $ x + 15 $, puis effectuer l'opération indiquée.[/reponse]
[aide essai="2"]Vérifier une solution, c'est calculer le membre de gauche après avoir remplacé $ x $ par la valeur trouvée.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer $ 27 + 15 $.[/aide]
[/math]
[solution]En remplaçant $ x $ par $ 27 $ dans le membre de gauche : $ 27 + 15 = 42 $. On retrouve bien le membre de droite, donc $ x = 27 $ est la solution.[/solution]
[/etape]

[etape]
Quelques jours plus tard, Léa achète des paquets de décorations tous identiques pour préparer une fête. Chaque paquet coûte $ 4 $ euros et elle dépense en tout $ 36 $ euros. On note $ x $ le nombre de paquets achetés.

Quelle égalité traduit cette nouvelle situation ?
[qcm]
[option correct="true"]$ 4x = 36 $[/option]
[option]$ x + 4 = 36 $[/option]
[option]$ 36x = 4 $[/option]
[option]$ 4 + x = 36 $[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Chaque paquet coûte $ 4 $ euros, donc $ x $ paquets coûtent $ 4 \times x $ euros, soit $ 4x $, et cette dépense vaut $ 36 $ euros.[/reponse]
[reponse motif="$ x + 4 = 36 $"]Le prix d'un paquet ne s'ajoute pas une seule fois : il se paie pour chaque paquet acheté.
Comment écrire le prix de $ x $ paquets à $ 4 $ euros l'unité ?[/reponse]
[reponse motif="$ 36x = 4 $"]Les deux nombres ne sont pas à la bonne place : $ 36 $ est la dépense totale, $ 4 $ le prix d'un paquet.
Repérer ce qui multiplie le nombre de paquets.[/reponse]
[reponse motif="$ 4 + x = 36 $"]Ici $ 4 $ multiplie le nombre de paquets, il ne s'ajoute pas une seule fois.
Distinguer « $ 4 $ euros par paquet » d'un ajout unique de $ 4 $ euros.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Exprimer le prix de $ x $ paquets à $ 4 $ euros l'unité, puis traduire le fait que ce prix vaut $ 36 $ euros.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'égalité à résoudre est $ 4x = 36 $. Déterminer le nombre de paquets : $ x = $ [[sol2]]
[math id="sol2" attendu="9"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On cherche le nombre qui, multiplié par $ 4 $, donne $ 36 $ : c'est $ 36 \div 4 = 9 $.
Léa a donc acheté $ 9 $ paquets de décorations.[/reponse]
[reponse motif="32"]Ici $ 4 $ ne s'ajoute pas à $ x $ : il le multiplie.
L'opération qui annule une multiplication n'est pas la soustraction.[/reponse]
[reponse motif="144"]On cherche à retrouver $ x $, donc on ne multiplie pas davantage par $ 4 $.
Quelle opération permet d'annuler une multiplication par $ 4 $ ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Chercher quel nombre, multiplié par $ 4 $, donne $ 36 $. L'opération qui annule une multiplication est la division.[/reponse]
[aide essai="2"]L'opération réciproque de la multiplication est la division : il faut diviser $ 36 $ par $ 4 $.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer $ 36 \div 4 $.[/aide]
[/math]
[solution]On cherche le nombre qui, multiplié par $ 4 $, donne $ 36 $. L'opération réciproque de la multiplication étant la division, on calcule $ 36 \div 4 = 9 $. Donc $ x = 9 $ : Léa a acheté $ 9 $ paquets.[/solution]
[/etape]