QCM Bilan : Triangles et cas d’égalité
[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : somme des angles, inégalité triangulaire, cas d'égalité et démonstration. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ avec $\widehat{BAC} = 110^{\circ}$. La hauteur issue de $A$ coupe $[BC]$ en $H$. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{BAH}$ ?
[qcm]
[option]$70^{\circ}$[/option]
[option correct="true"]$55^{\circ}$[/option]
[option]$35^{\circ}$[/option]
[option]$45^{\circ}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Dans un triangle isocèle en $A$, la hauteur issue de $A$ est aussi axe de symétrie : elle partage l'angle au sommet en deux angles égaux.
Donc $\widehat{BAH} = \dfrac{110^{\circ}}{2} = 55^{\circ}$.[/reponse]
[reponse motif="$70^{\circ}$"]Non.
$70^{\circ}$ correspond à la somme des deux angles à la base ($180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$).
On te demande $\widehat{BAH}$ : la hauteur partage l'angle au sommet en deux parts égales.[/reponse]
[reponse motif="$35^{\circ}$"]Non.
$35^{\circ}$ est la mesure de chaque angle à la base ($\widehat{ABC}$ ou $\widehat{ACB}$).
On te demande $\widehat{BAH}$, c'est-à-dire la moitié de l'angle au sommet partagée par la hauteur.[/reponse]
[reponse motif="$45^{\circ}$"]Non.
$45^{\circ}$ correspondrait à la moitié d'un angle droit ; ce n'est pas le contexte ici.
La hauteur d'un triangle isocèle issue du sommet partage l'angle au sommet en deux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet partage l'angle au sommet en deux angles égaux.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Un menuisier veut découper un triangle de bois dont les côtés mesurent $35$ cm, $50$ cm et $90$ cm. Le triangle est-il réalisable ?
[qcm]
[option]Oui, car $35 + 50 + 90 = 175$[/option]
[option correct="true"]Non, car la plus grande longueur dépasse la somme des deux autres[/option]
[option]Oui, car les trois longueurs sont strictement positives[/option]
[option]Non, car la somme des trois côtés n'est pas un multiple de $10$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le plus grand côté est $90$ cm, et $35 + 50 = 85$ cm.
$90 > 85$ : l'inégalité triangulaire est violée, le triangle ne peut pas être construit.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $35 + 50 + 90 = 175$"]Non.
La somme des trois côtés ne donne aucune information sur la constructibilité.
Compare le plus grand côté à la somme des deux autres.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car les trois longueurs sont strictement positives"]Non.
Avoir trois longueurs positives ne suffit pas. Il faut que le plus grand côté soit strictement inférieur à la somme des deux autres.[/reponse]
[reponse motif="Non, car la somme des trois côtés n'est pas un multiple de $10$"]Non.
La constructibilité d'un triangle ne dépend pas de cette propriété.
Compare la plus grande longueur à la somme des deux autres.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compare le plus grand côté à la somme des deux autres pour vérifier l'inégalité triangulaire.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $ABC$ un triangle. $M$ est le milieu de $[BC]$, et on prolonge le segment $[AM]$ d'une longueur égale jusqu'à un point $N$ tel que $AM = MN$. Quel cas d'égalité permet de démontrer que les triangles $ABM$ et $NCM$ sont égaux ?
[qcm]
[option]CCC[/option]
[option correct="true"]CAC avec l'angle en $M$[/option]
[option]ACA avec les angles aux extrémités de $[AM]$[/option]
[option]On ne peut pas conclure[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On a $BM = CM$ (car $M$ est le milieu de $[BC]$) et $AM = MN$ (par construction). Les angles $\widehat{AMB}$ et $\widehat{NMC}$ sont opposés par le sommet, donc égaux.
L'angle commun est compris entre les deux paires de côtés égaux : c'est le cas CAC.[/reponse]
[reponse motif="CCC"]Non.
On ne connaît pas la longueur du troisième côté ($AB$ et $NC$) avant la conclusion.
On a uniquement deux paires de côtés égaux et un angle.[/reponse]
[reponse motif="ACA avec les angles aux extrémités de $[AM]$"]Non.
Les angles aux extrémités de $[AM]$ (en $A$ et en $M$) ne sont pas évidemment égaux à ceux aux extrémités de $[NM]$.
Pense plutôt aux angles opposés par le sommet, et aux côtés autour de $M$.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure"]Non.
On dispose de deux paires de côtés égaux ($BM = CM$ et $AM = MN$) et d'un angle (les angles opposés par le sommet sont égaux).
Identifie le cas qui exploite cette configuration.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Liste les éléments connus : milieux, longueurs égales, angles opposés par le sommet. Identifie le cas qui correspond.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On considère un quadrilatère $ABCD$ avec $AB = AD$ et $CB = CD$. La diagonale $[AC]$ partage le quadrilatère en deux triangles. Quel cas d'égalité permet de démontrer que les triangles $ABC$ et $ADC$ sont égaux ?
[qcm]
[option correct="true"]CCC : $AB = AD$, $CB = CD$, $AC$ est commun[/option]
[option]CAC avec l'angle $\widehat{BAC}$[/option]
[option]ACA avec les angles en $A$ et en $C$[/option]
[option]Ils ne sont pas forcément égaux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On a $AB = AD$ (donné), $CB = CD$ (donné) et $AC = AC$ (côté commun).
Trois paires de côtés égaux : c'est le cas CCC.[/reponse]
[reponse motif="CAC avec l'angle $\widehat{BAC}$"]Non.
On ne sait pas si $\widehat{BAC} = \widehat{DAC}$ avant la démonstration : c'est plutôt une conséquence de l'égalité des triangles, pas une donnée de départ.
Cherche un cas qui n'utilise que les longueurs.[/reponse]
[reponse motif="ACA avec les angles en $A$ et en $C$"]Non.
On ne sait pas si les angles en $A$ et en $C$ sont identiques dans les deux triangles avant la démonstration.
Les longueurs, en revanche, sont toutes connues.[/reponse]
[reponse motif="Ils ne sont pas forcément égaux"]Non.
La figure donnée s'appelle un cerf-volant : la diagonale $[AC]$ partage toujours le cerf-volant en deux triangles égaux.
Cherche un cas d'égalité reposant sur les longueurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Liste les côtés connus à partir des hypothèses ($AB = AD$, $CB = CD$) et de la figure ($AC$ commun), puis identifie le cas correspondant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Deux triangles $ABC$ et $DEF$ sont égaux. On sait que $AB = 7$ cm, $\widehat{BAC} = 50^{\circ}$ et $\widehat{ABC} = 60^{\circ}$. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{DFE}$ ?
[qcm]
[option]$50^{\circ}$[/option]
[option]$60^{\circ}$[/option]
[option]$110^{\circ}$[/option]
[option correct="true"]$70^{\circ}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Dans le triangle $ABC$ : $\widehat{BCA} = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 60^{\circ} = 70^{\circ}$.
Comme les triangles sont égaux, leurs angles sont deux à deux de même mesure. L'angle $\widehat{DFE}$ correspond à l'angle $\widehat{BCA}$.
Donc $\widehat{DFE} = 70^{\circ}$.[/reponse]
[reponse motif="$50^{\circ}$"]Non.
$50^{\circ}$ est la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$, qui correspond à $\widehat{EDF}$, pas à $\widehat{DFE}$.
Calcule d'abord le troisième angle du triangle $ABC$.[/reponse]
[reponse motif="$60^{\circ}$"]Non.
$60^{\circ}$ est la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$, qui correspond à $\widehat{DEF}$, pas à $\widehat{DFE}$.
Calcule le troisième angle.[/reponse]
[reponse motif="$110^{\circ}$"]Non.
Tu as additionné $50^{\circ}$ et $60^{\circ}$. Or il faut soustraire cette somme à $180^{\circ}$ pour obtenir le troisième angle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule d'abord le troisième angle du triangle $ABC$ avec la somme des angles, puis utilise l'égalité des triangles pour identifier l'angle correspondant dans $DEF$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
$O$ est le point d'intersection des diagonales d'un parallélogramme $ABCD$. On veut démontrer que $O$ est le milieu de $[AC]$ en utilisant les triangles $OAB$ et $OCD$. Quel argument permet d'appliquer le cas ACA ?
[qcm]
[option]$AB = CD$ et les diagonales sont perpendiculaires[/option]
[option correct="true"]$AB = CD$, et les angles aux extrémités de $[AB]$ et $[CD]$ sont alternes-internes[/option]
[option]$OA = OC$ par hypothèse[/option]
[option]Les triangles ont la même aire, donc ils sont égaux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$AB = CD$ car les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux.
$(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, donc $\widehat{BAO} = \widehat{DCO}$ et $\widehat{ABO} = \widehat{CDO}$ comme angles alternes-internes.
On a un côté ($AB = CD$) et les deux angles à ses extrémités égaux : c'est le cas ACA.[/reponse]
[reponse motif="$AB = CD$ et les diagonales sont perpendiculaires"]Non.
Les diagonales d'un parallélogramme ne sont pas perpendiculaires en général (elles le sont seulement dans un losange).
Pense plutôt aux angles formés par les côtés parallèles avec les diagonales.[/reponse]
[reponse motif="$OA = OC$ par hypothèse"]Non.
$OA = OC$ est précisément ce qu'on cherche à démontrer ; ce n'est pas une hypothèse de départ.
Cherche les éléments réellement connus.[/reponse]
[reponse motif="Les triangles ont la même aire, donc ils sont égaux"]Non.
Avoir la même aire n'implique pas être égaux : deux triangles très différents peuvent avoir la même aire.
Identifie un côté commun ou égal et les angles correspondants.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Cherche un côté égal entre les deux triangles, puis utilise les angles alternes-internes formés par les côtés parallèles du parallélogramme.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]