[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est Vraie ou Fausse. Les questions mêlent calculs, raisonnement et pièges classiques.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si on connaît $OA$, $OA'$ et $AB$ dans deux triangles $OAB$ et $OA'B'$ emboîtés, on peut toujours calculer $A'B'$ avec le théorème de Thalès.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le théorème de Thalès n'est applicable que si $(AB) /\!/ (A'B')$. Sans cette hypothèse de parallélisme, on ne peut pas appliquer le théorème.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il manque une hypothèse essentielle : le parallélisme des droites $(AB)$ et $(A'B')$. Sans elle, le théorème ne s'applique pas, même si les triangles sont emboîtés.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Il faut aussi que $(AB) /\!/ (A'B')$ pour pouvoir appliquer le théorème de Thalès.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $OAB$ et $OA'B'$ deux triangles emboîtés avec $(AB) /\!/ (A'B')$.

Affirmation : Si $OA = 5$ cm, $OA' = 7{,}5$ cm et $AB = 4$ cm, alors $A'B' = 6$ cm.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{AB}{A'B'}$, soit $\dfrac{5}{7{,}5} = \dfrac{4}{A'B'}$.
Par produit en croix : $A'B' = \dfrac{4 \times 7{,}5}{5} = \dfrac{30}{5} = 6$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le rapport $\dfrac{5}{7{,}5} = \dfrac{2}{3}$ se retrouve sur la troisième paire : $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ aussi.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $A'B' = \dfrac{4 \times 7{,}5}{5} = 6$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $OAB$ et $OA'B'$ deux triangles emboîtés avec $(AB) /\!/ (A'B')$.

Affirmation : Si $OA = 3$ cm, $OA' = 6$ cm et $OB = 4$ cm, alors $BB' = 8$ cm.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$\dfrac{3}{6} = \dfrac{4}{OB'}$ donne $OB' = 8$ cm. Mais la question demande $BB'$, qui vaut $BB' = OB' - OB = 8 - 4 = 4$ cm. La valeur $8$ correspond à $OB'$, pas à $BB'$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à bien distinguer $OB'$ (côté du grand triangle) de $BB'$ (sous-segment). Ici $OB' = 8$ cm mais $BB' = OB' - OB = 4$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On a $OB' = 8$ cm et $BB' = 4$ cm. Le piège est de confondre $OB'$ et $BB'$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un solide a un volume de $64$ cm³. Après une réduction de coefficient $k$, son volume vaut $8$ cm³. Le coefficient $k$ vaut $\dfrac{1}{2}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour les volumes, le coefficient apparaît au cube : $k^3 = \dfrac{8}{64} = \dfrac{1}{8}$.
On cherche $k$ tel que $k^3 = \dfrac{1}{8}$ ; or $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$, donc $k = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
$\dfrac{8}{64} = \dfrac{1}{8} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3$. Le coefficient $k$ apparaît au cube pour les volumes, donc $k = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $k^3 = \dfrac{1}{8}$ donne $k = \dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $OAB$ et $OA'B'$ deux triangles emboîtés avec les points dans le même ordre.

Affirmation : Si $\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{AB}{A'B'}$ avec $OA \neq OA'$, alors les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont parallèles.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La réciproque du théorème de Thalès demande l'égalité $\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{OB}{OB'}$, c'est-à-dire deux rapports portant sur les longueurs des demi-droites issues de $O$. Le rapport $\dfrac{AB}{A'B'}$ porte sur les longueurs des troisièmes côtés et ne suffit pas, à lui seul, à conclure au parallélisme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au choix des rapports : la réciproque utilise $\dfrac{OA}{OA'}$ et $\dfrac{OB}{OB'}$. Le rapport $\dfrac{AB}{A'B'}$ est une conséquence du parallélisme (théorème direct), mais ne sert pas à le démontrer.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La réciproque utilise les rapports $\dfrac{OA}{OA'}$ et $\dfrac{OB}{OB'}$ ; le rapport $\dfrac{AB}{A'B'}$ ne sert pas à démontrer le parallélisme.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Une figure subit deux agrandissements successifs de coefficients $2$ puis $3$. Le résultat est équivalent à un seul agrandissement de coefficient $6$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les longueurs sont d'abord multipliées par $2$, puis par $3$ : au total, elles sont multipliées par $2 \times 3 = 6$. C'est exactement l'effet d'un agrandissement unique de coefficient $6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Multiplier successivement par $2$ puis par $3$ revient à multiplier par $2 \times 3 = 6$. Le coefficient global est bien le produit des coefficients.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le coefficient global de deux agrandissements successifs est le produit des coefficients : $2 \times 3 = 6$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : configuration, calcul de longueurs, réciproque du théorème et agrandissement-réduction. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Pour pouvoir appliquer le théorème de Thalès dans une configuration de triangles emboîtés $OAB$ et $OA'B'$, il faut impérativement que :

[qcm]
[option correct="true"]Les points $O$, $A$, $A'$ soient alignés, $O$, $B$, $B'$ alignés, et que $(AB) /\!/ (A'B')$.[/option]
[option]Les triangles soient rectangles.[/option]
[option]On ait $AB = A'B'$.[/option]
[option]Le triangle $OAB$ soit isocèle en $O$.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La configuration de triangles emboîtés impose les deux alignements de points depuis le sommet commun $O$, et l'application du théorème exige que $(AB)$ et $(A'B')$ soient parallèles.[/reponse]
[reponse motif="Les triangles soient rectangles."]Non.
Le théorème de Thalès n'a aucun lien avec les angles droits. Il s'applique à n'importe quels triangles emboîtés ayant les bons alignements et le parallélisme.[/reponse]
[reponse motif="On ait $AB = A'B'$."]Non.
Si $AB = A'B'$, le coefficient d'agrandissement vaudrait $1$, donc les deux triangles seraient identiques. Ce n'est pas une condition d'application : c'est presque l'absence de configuration.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle $OAB$ soit isocèle en $O$."]Non.
Aucune hypothèse sur la forme du petit triangle n'est requise. Les conditions concernent les alignements des points et le parallélisme des droites $(AB)$ et $(A'B')$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les conditions sont : alignements de $O$, $A$, $A'$ et de $O$, $B$, $B'$, et parallélisme de $(AB)$ et $(A'B')$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les triangles $OAB$ et $OA'B'$ sont emboîtés et $(AB) /\!/ (A'B')$. On donne $OA = 4$ cm, $AA' = 6$ cm et $OB = 8$ cm. Que vaut $OB'$ ?

[qcm]
[option correct="true"]$20$ cm[/option]
[option]$12$ cm[/option]
[option]$1{,}6$ cm[/option]
[option]$80$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On calcule d'abord $OA' = OA + AA' = 4 + 6 = 10$ cm.
$\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{OB}{OB'}$, soit $\dfrac{4}{10} = \dfrac{8}{OB'}$.
Par produit en croix : $OB' = \dfrac{8 \times 10}{4} = 20$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$12$ cm"]Non.
Tu as utilisé $AA' = 6$ à la place de $OA' = 10$ dans le rapport, ou tu as ajouté $4 + 8 = 12$.
Calculer d'abord $OA' = OA + AA' = 10$, puis appliquer la proportion.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}6$ cm"]Non.
Tu as inversé numérateur et dénominateur : $\dfrac{8 \times 4}{10 \times 2} = 1{,}6$.
Le grand triangle a $OB' > OB$ : la longueur cherchée doit dépasser $8$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$80$ cm"]Non.
Tu as calculé $8 \times 10 = 80$ sans diviser par $4$.
Le produit en croix se termine toujours par une division.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $OA' = OA + AA' = 10$, puis utiliser $\dfrac{4}{10} = \dfrac{8}{OB'}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $OAB$ et $OA'B'$ deux triangles emboîtés avec les points dans le même ordre.
On donne $OA = 6$ cm, $OA' = 9$ cm, $OB = 4$ cm et $OB' = 6$ cm. Les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont-elles parallèles ?

[qcm]
[option correct="true"]Oui, par la réciproque du théorème de Thalès.[/option]
[option]Non, car les longueurs sont différentes.[/option]
[option]Oui, par le théorème de Pythagore.[/option]
[option]Impossible à dire sans connaître les angles.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On calcule séparément : $\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{OB}{OB'} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.
Les deux rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(AB) /\!/ (A'B')$.[/reponse]
[reponse motif="Non, car les longueurs sont différentes."]Non.
Toutes les configurations de Thalès non triviales ont des longueurs différentes (c'est le principe d'un agrandissement). Il faut comparer les rapports.[/reponse]
[reponse motif="Oui, par le théorème de Pythagore."]Non.
Le théorème de Pythagore concerne les triangles rectangles et les longueurs des côtés. Il ne dit rien sur le parallélisme.[/reponse]
[reponse motif="Impossible à dire sans connaître les angles."]Non.
La réciproque de Thalès permet de conclure uniquement avec des longueurs, sans avoir besoin d'angles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\dfrac{OA}{OA'}$ et $\dfrac{OB}{OB'}$, et vérifier s'ils sont égaux.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un triangle a une aire de $18$ cm². On l'agrandit avec un coefficient $k = 2{,}5$. Quelle est l'aire du triangle agrandi ?

[qcm]
[option]$45$ cm²[/option]
[option correct="true"]$112{,}5$ cm²[/option]
[option]$281{,}25$ cm²[/option]
[option]$7{,}2$ cm²[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour les aires, le coefficient apparaît au carré : $k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25$.
Aire agrandie $= 18 \times 6{,}25 = 112{,}5$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$45$ cm²"]Non.
Tu as multiplié l'aire par $k = 2{,}5$, ce qui correspond à l'effet sur les longueurs, pas sur les aires.
Pour les aires, il faut multiplier par $k^2$.[/reponse]
[reponse motif="$281{,}25$ cm²"]Non.
Tu as multiplié par $k^3 = 15{,}625$, ce qui correspond à l'effet sur les volumes, pas sur les aires.
Pour les aires, il faut multiplier par $k^2$.[/reponse]
[reponse motif="$7{,}2$ cm²"]Non.
Tu as divisé $18$ par $2{,}5$ comme s'il s'agissait d'une réduction. Or $k = 2{,}5 > 1$ correspond à un agrandissement, donc l'aire augmente.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Multiplier l'aire par $k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un cône a un volume de $81$ cm³. On le réduit avec un coefficient $k = \dfrac{1}{3}$. Quel est le volume du cône réduit ?

[qcm]
[option]$27$ cm³[/option]
[option]$9$ cm³[/option]
[option correct="true"]$3$ cm³[/option]
[option]$1$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour les volumes, le coefficient apparaît au cube : $k^3 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{27}$.
Volume réduit $= 81 \times \dfrac{1}{27} = 3$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$27$ cm³"]Non.
Tu as divisé $81$ par $3$ ($k$), ce qui correspond à l'effet sur les longueurs, pas sur les volumes.
Pour les volumes, il faut multiplier par $k^3 = \dfrac{1}{27}$.[/reponse]
[reponse motif="$9$ cm³"]Non.
Tu as divisé par $9 = 3^2$, ce qui correspond à l'effet sur les aires, pas sur les volumes.
Pour les volumes, il faut multiplier par $k^3$.[/reponse]
[reponse motif="$1$ cm³"]Non.
Tu as divisé par $81$ ou un autre nombre proche du volume initial. La règle est de multiplier par $k^3 = \dfrac{1}{27}$, donc de diviser par $27$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Multiplier le volume par $k^3 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{27}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les triangles $OAB$ et $OA'B'$ sont emboîtés et $(AB) /\!/ (A'B')$. On donne $OA = 6$ cm, $AA' = 4$ cm et $AB = 9$ cm. Que vaut $A'B'$ ?

[qcm]
[option correct="true"]$15$ cm[/option]
[option]$5{,}4$ cm[/option]
[option]$6$ cm[/option]
[option]$13$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On calcule d'abord $OA' = OA + AA' = 6 + 4 = 10$ cm.
$\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{AB}{A'B'}$, soit $\dfrac{6}{10} = \dfrac{9}{A'B'}$.
Par produit en croix : $A'B' = \dfrac{9 \times 10}{6} = \dfrac{90}{6} = 15$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$5{,}4$ cm"]Non.
Tu as inversé numérateur et dénominateur : $\dfrac{9 \times 6}{10} = 5{,}4$.
Le grand triangle a $A'B' > AB$ : la longueur cherchée doit dépasser $9$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$6$ cm"]Non.
Tu as utilisé $AA' = 4$ à la place de $OA' = 10$ dans le rapport, ou tu as donné $OA = 6$ comme réponse.
Calculer $OA' = OA + AA' = 10$, puis appliquer le théorème de Thalès.[/reponse]
[reponse motif="$13$ cm"]Non.
Tu as additionné $AB + AA' = 9 + 4 = 13$. La longueur $A'B'$ ne s'obtient pas par addition : c'est une proportionnalité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $OA' = 10$, puis appliquer $\dfrac{6}{10} = \dfrac{9}{A'B'}$ avec un produit en croix.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]