[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur des raisonnements et pièges autour du théorème de Pythagore, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si dans un triangle on a $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ avec $c$ le plus grand côté, alors le triangle n'est pas rectangle.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour qu'un triangle soit rectangle, il faut une égalité : $a^{2} + b^{2} = c^{2}$.
Si $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ (ou $a^{2} + b^{2} < c^{2}$), l'égalité n'est pas vérifiée et la contraposée conclut que le triangle n'est pas rectangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la condition « rectangle » correspond à l'égalité stricte de Pythagore.
Toute autre relation (strictement plus grand ou plus petit) signifie que le triangle n'est pas rectangle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Tant que l'égalité de Pythagore n'est pas exactement vérifiée, le triangle n'est pas rectangle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle rectangle de côtés $a$, $b$ et hypoténuse $c$, on a toujours $c > a + b$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est l'inverse : par l'inégalité triangulaire, chaque côté est plus court que la somme des deux autres, donc $c < a + b$.
On le vérifie avec $3$, $4$, $5$ : $5 < 3 + 4 = 7$. Et avec $5$, $12$, $13$ : $13 < 17$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : dans tout triangle, chaque côté est strictement plus court que la somme des deux autres (inégalité triangulaire).
L'hypoténuse, qui est un côté, vérifie donc $c < a + b$ et non $c > a + b$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Par l'inégalité triangulaire, l'hypoténuse vérifie $c < a + b$, et non l'inverse.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on double les longueurs $AB$ et $AC$, alors $BC$ est aussi multiplié par $2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Si on note $a = AB$, $b = AC$ et $c = BC$, on a $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$.
En remplaçant par $2a$ et $2b$ : $\sqrt{(2a)^{2} + (2b)^{2}} = \sqrt{4a^{2} + 4b^{2}} = \sqrt{4(a^{2} + b^{2})} = 2\sqrt{a^{2} + b^{2}} = 2c$.
Donc $BC$ est bien doublé.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : multiplier les côtés de l'angle droit par $2$ multiplie aussi l'hypoténuse par $2$.
On le vérifie en factorisant : $\sqrt{4a^{2} + 4b^{2}} = 2\sqrt{a^{2} + b^{2}}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Multiplier les deux côtés de l'angle droit par $2$ multiplie l'hypoténuse par $2$ aussi.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si l'aire d'un carré construit sur l'hypoténuse vaut $169$ cm$^{2}$, alors l'hypoténuse mesure $14$ cm.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'aire d'un carré de côté $h$ est $h^{2}$.
Si $h^{2} = 169$, alors $h = \sqrt{169} = 13$ cm, et non $14$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : l'aire d'un carré de côté $h$ est $h^{2}$.
On récupère le côté en prenant la racine carrée : $\sqrt{169} = 13$ cm, pas $14$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'aire $169$ cm$^{2}$ donne une hypoténuse de $\sqrt{169} = 13$ cm, et non $14$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si dans un triangle on a $a = 6$, $b = 8$ et $c = 10$, alors le triangle est forcément rectangle, peu importe l'ordre dans lequel on cite les côtés.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Quel que soit l'ordre où l'on cite $6$, $8$, $10$, on obtient le même triangle (à condition que ces longueurs définissent un triangle valide).
On vérifie : $10^{2} = 100$ et $6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$. Le triangle est rectangle, l'angle droit étant opposé au côté de $10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : un triangle est entièrement déterminé par ses trois longueurs.
L'ordre dans lequel on cite les côtés ne change pas le triangle ; ici, l'égalité de Pythagore est satisfaite.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $10^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 100$ : le triangle est rectangle, indépendamment de l'ordre des côtés cités.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle isocèle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $1$ cm, l'hypoténuse vaut exactement $1{,}4$ cm.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$h^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2$, donc $h = \sqrt{2}$ cm.
$\sqrt{2}$ vaut environ $1{,}414$ : la valeur $1{,}4$ n'est qu'une approximation, pas la valeur exacte.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à la nuance « valeur exacte / valeur approchée ».
$h = \sqrt{2}$ est la valeur exacte ; $1{,}4$ ou $1{,}414$ ne sont que des arrondis.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La valeur exacte est $\sqrt{2}$ cm ; $1{,}4$ n'est qu'une approximation.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les propriétés et l'énoncé du théorème de Pythagore, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Le théorème de Pythagore s'applique à n'importe quel triangle.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le théorème de Pythagore (sens direct) s'applique uniquement aux triangles rectangles.
Pour un triangle quelconque, l'égalité $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ n'est généralement pas vérifiée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : le théorème direct de Pythagore commence toujours par « Si un triangle est rectangle ».
Pour un triangle non rectangle, l'égalité de Pythagore n'a aucune raison d'être vérifiée.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le théorème de Pythagore s'applique uniquement aux triangles rectangles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, l'égalité de Pythagore s'écrit $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'angle droit est en $A$, donc l'hypoténuse est $[BC]$.
L'égalité de Pythagore dit que le carré de l'hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés : $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : l'hypoténuse est seule dans un membre de l'égalité, et son carré égale la somme des carrés des deux autres côtés.
Comme $BC$ est l'hypoténuse, on a bien $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Dans un triangle rectangle en $A$, $BC$ est l'hypoténuse, donc $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans le triangle $RST$ rectangle en $S$, on peut écrire $RS^{2} = ST^{2} + RT^{2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'angle droit est en $S$, donc l'hypoténuse est $[RT]$ (côté opposé à $S$).
La bonne formule est $RT^{2} = RS^{2} + ST^{2}$ : c'est l'hypoténuse qui doit être seule dans un membre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de prendre $RS$ pour l'hypoténuse alors que l'angle droit est en $S$.
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, donc $[RT]$ : l'égalité correcte est $RT^{2} = RS^{2} + ST^{2}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'angle droit est en $S$, l'hypoténuse est donc $[RT]$ : l'égalité correcte est $RT^{2} = RS^{2} + ST^{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si un triangle a une longueur négative parmi ses côtés, le théorème de Pythagore peut quand même s'appliquer.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Une longueur n'est jamais négative : c'est une distance, donc toujours positive ou nulle.
La situation décrite est impossible : aucun triangle n'a de côté de longueur négative.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : une longueur (comme une distance) est toujours positive ou nulle.
Une « longueur négative » n'a pas de sens en géométrie.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Une longueur est toujours positive : la situation décrite n'existe pas.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle rectangle dont les deux côtés de l'angle droit mesurent $a$ et $b$, l'hypoténuse mesure exactement $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Notons $h$ l'hypoténuse. D'après le théorème de Pythagore : $h^{2} = a^{2} + b^{2}$.
Comme $h$ est positif, $h = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$. C'est la formule générale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : Pythagore donne $h^{2} = a^{2} + b^{2}$, donc en prenant la racine carrée : $h = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$.
C'est la traduction directe de la propriété en formule.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Si les côtés de l'angle droit valent $a$ et $b$, alors l'hypoténuse vaut $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'égalité $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ implique forcément $a + b = c$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On peut le voir sur l'exemple $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ : l'égalité des carrés est vraie, mais $3 + 4 = 7 \neq 5$.
Le passage au carré et l'addition ne se mélangent pas : $(a+b)^{2} \neq a^{2} + b^{2}$ en général.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au piège : on ne peut pas « passer à la racine » terme à terme.
Exemple : $3^{2} + 4^{2} = 25 = 5^{2}$ mais $3 + 4 = 7 \neq 5$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Par exemple, $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ mais $3 + 4 = 7 \neq 5$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : théorème direct (calcul de longueurs), réciproque (démontrer qu'un triangle est rectangle), contraposée (démontrer qu'il ne l'est pas) et problèmes concrets. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Le triangle $LMN$ est rectangle en $M$ avec $LM = 9$ cm et $MN = 40$ cm. Quelle est la longueur de l'hypoténuse $LN$ ?
[qcm]
[option]$49$ cm[/option]
[option correct="true"]$41$ cm[/option]
[option]$\sqrt{1681}$ cm sans plus de simplification[/option]
[option]$31$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$LN^{2} = LM^{2} + MN^{2} = 81 + 1\,600 = 1\,681$.
$\sqrt{1\,681} = 41$ car $41^{2} = 1\,681$. Donc $LN = 41$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$49$ cm"]Non.
$49 = 9 + 40$ : on a additionné les longueurs sans passer par leurs carrés.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{1681}$ cm sans plus de simplification"]Non.
$1\,681$ est un carré parfait : $41^{2} = 1\,681$.
On peut donc simplifier : $\sqrt{1\,681} = 41$.[/reponse]
[reponse motif="$31$ cm"]Non.
$31 = 40 - 9$ : on a soustrait les longueurs.
Mais il faut additionner les carrés pour calculer l'hypoténuse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$LN^{2} = 81 + 1\,600 = 1\,681$ donc $LN = 41$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $BC = 6{,}5$ cm et $AB = 2{,}5$ cm. Quelle est la longueur de $AC$ ?
[qcm]
[option]$4$ cm[/option]
[option correct="true"]$6$ cm[/option]
[option]$\sqrt{48{,}5}$ cm[/option]
[option]$9$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$BC$ est l'hypoténuse, donc $AC^{2} = BC^{2} - AB^{2} = 42{,}25 - 6{,}25 = 36$.
Donc $AC = \sqrt{36} = 6$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$4$ cm"]Non.
$4 = 6{,}5 - 2{,}5$ : on a soustrait les longueurs.
Il faut soustraire les carrés des longueurs.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{48{,}5}$ cm"]Non.
$\sqrt{48{,}5} = \sqrt{42{,}25 + 6{,}25}$ : on a additionné les carrés au lieu de les soustraire.
Pour un côté de l'angle droit, on isole son carré par soustraction.[/reponse]
[reponse motif="$9$ cm"]Non.
$9 = 6{,}5 + 2{,}5$ : on a additionné les longueurs.
Or $AC$ ne peut pas dépasser l'hypoténuse $BC = 6{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$AC^{2} = 42{,}25 - 6{,}25 = 36$ donc $AC = 6$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit un triangle $DEF$ tel que $DE = 20$ cm, $EF = 21$ cm et $DF = 29$ cm. Que peut-on conclure ?
[qcm]
[option]Le triangle n'est pas rectangle[/option]
[option correct="true"]Le triangle est rectangle en $E$[/option]
[option]Le triangle est rectangle en $D$[/option]
[option]Il manque une information pour conclure[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le plus grand côté est $[DF]$ ($29$ cm).
$DF^{2} = 841$ et $DE^{2} + EF^{2} = 400 + 441 = 841$.
L'égalité est vérifiée : par la réciproque, le triangle est rectangle en $E$ (sommet opposé à $[DF]$).[/reponse]
[reponse motif="Le triangle n'est pas rectangle"]Non.
Vérifie : $29^{2} = 841$ et $20^{2} + 21^{2} = 400 + 441 = 841$.
L'égalité est vraie, la réciproque conclut donc que le triangle est rectangle.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle est rectangle en $D$"]Non.
$D$ est un sommet de l'hypoténuse $[DF]$.
L'angle droit est toujours opposé à l'hypoténuse.[/reponse]
[reponse motif="Il manque une information pour conclure"]Non.
Les trois longueurs sont données : c'est exactement ce qu'il faut pour appliquer la réciproque.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$29^{2} = 20^{2} + 21^{2} = 841$ : le triangle est rectangle en $E$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un parc a la forme d'un rectangle de $80$ m de long et $60$ m de large. Quelle est la longueur de sa diagonale ?
[qcm]
[option]$140$ m[/option]
[option]$20$ m[/option]
[option correct="true"]$100$ m[/option]
[option]$\sqrt{140}$ m[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La diagonale du rectangle est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont la longueur et la largeur.
$d^{2} = 80^{2} + 60^{2} = 6\,400 + 3\,600 = 10\,000$, donc $d = \sqrt{10\,000} = 100$ m.[/reponse]
[reponse motif="$140$ m"]Non.
$140 = 80 + 60$ : on a additionné les longueurs.
Le théorème de Pythagore relie les carrés des côtés.[/reponse]
[reponse motif="$20$ m"]Non.
$20 = 80 - 60$ : on a soustrait les longueurs.
La diagonale s'obtient en additionnant les carrés des côtés du rectangle.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{140}$ m"]Non.
$\sqrt{140}$ correspondrait à la racine de la somme des longueurs ($80 + 60$), pas de la somme des carrés.
La bonne formule est $\sqrt{80^{2} + 60^{2}}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$d^{2} = 6\,400 + 3\,600 = 10\,000$ donc $d = 100$ m.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit un triangle $XYZ$ tel que $XY = 11$ cm, $YZ = 60$ cm et $XZ = 61$ cm. Quelle conclusion est juste ?
[qcm]
[option correct="true"]Le triangle est rectangle en $Y$[/option]
[option]Le triangle est rectangle en $X$[/option]
[option]Le triangle n'est pas rectangle[/option]
[option]Le triangle est rectangle en $Z$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le plus grand côté est $[XZ]$ ($61$ cm).
$XZ^{2} = 3\,721$ et $XY^{2} + YZ^{2} = 121 + 3\,600 = 3\,721$.
L'égalité est vérifiée : par la réciproque, le triangle est rectangle en $Y$ (sommet opposé à $[XZ]$).[/reponse]
[reponse motif="Le triangle est rectangle en $X$"]Non.
$X$ est un sommet de l'hypoténuse $[XZ]$. L'angle droit est opposé à l'hypoténuse, donc à un sommet absent de $[XZ]$.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle n'est pas rectangle"]Non.
Vérifie : $61^{2} = 3\,721$ et $11^{2} + 60^{2} = 121 + 3\,600 = 3\,721$.
L'égalité est vérifiée, le triangle est bien rectangle.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle est rectangle en $Z$"]Non.
$Z$ est un sommet de l'hypoténuse $[XZ]$.
L'angle droit est forcément ailleurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$61^{2} = 11^{2} + 60^{2} = 3\,721$ : le triangle est rectangle en $Y$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un mât vertical de $12$ m est maintenu par un câble tendu reliant son sommet à un point du sol situé à $5$ m du pied du mât. Quelle est la longueur du câble ?
[qcm]
[option]$17$ m[/option]
[option correct="true"]$13$ m[/option]
[option]$7$ m[/option]
[option]$\sqrt{17}$ m[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le mât, le sol et le câble forment un triangle rectangle (angle droit au pied du mât).
Le câble est l'hypoténuse : $L^{2} = 12^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169$, donc $L = 13$ m.[/reponse]
[reponse motif="$17$ m"]Non.
$17 = 12 + 5$ : on a additionné les longueurs.
Il faut additionner les carrés des longueurs pour calculer l'hypoténuse.[/reponse]
[reponse motif="$7$ m"]Non.
$7 = 12 - 5$ : on a soustrait les longueurs.
Mais le câble est l'hypoténuse : on additionne les carrés.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{17}$ m"]Non.
$\sqrt{17}$ correspondrait à $\sqrt{12 + 5}$ : on a additionné les longueurs avant la racine, sans passer par les carrés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$L^{2} = 144 + 25 = 169$ donc $L = 13$ m.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur le vocabulaire du triangle rectangle et l'hypoténuse, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est toujours le côté le plus long.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'hypoténuse est opposée à l'angle droit, qui est le plus grand des trois angles d'un triangle rectangle.
Or, dans un triangle, le plus grand côté est toujours opposé au plus grand angle : l'hypoténuse est donc bien le plus long côté.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : l'hypoténuse est opposée à l'angle droit ($90°$), qui est le plus grand des angles du triangle.
Dans tout triangle, le côté opposé au plus grand angle est le plus long.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'hypoténuse, opposée à l'angle droit, est toujours le côté le plus long d'un triangle rectangle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'hypoténuse touche les deux sommets de l'angle droit.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : elle ne contient pas le sommet de l'angle droit.
Elle relie les deux sommets des angles aigus.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de mélanger « opposé » et « adjacent » à l'angle droit.
L'hypoténuse ne touche pas le sommet de l'angle droit : elle relie les deux autres sommets.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'hypoténuse est opposée à l'angle droit, elle ne contient donc pas son sommet.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, l'hypoténuse est le côté $[BC]$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'angle droit est en $A$, donc l'hypoténuse est le côté qui ne touche pas $A$ : c'est $[BC]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : l'hypoténuse est opposée à l'angle droit.
Le côté qui ne contient pas le sommet $A$ est $[BC]$ : c'est donc l'hypoténuse.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'hypoténuse du triangle $ABC$ rectangle en $A$ est $[BC]$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un triangle peut avoir deux hypoténuses.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Un triangle rectangle possède un seul angle droit, donc un seul côté qui lui est opposé.
L'hypoténuse est donc unique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : un triangle rectangle a exactement un angle droit (deux angles droits feraient déjà $180°$).
À cet unique angle droit correspond un unique côté opposé : l'hypoténuse.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Un triangle rectangle n'a qu'un seul angle droit, donc une seule hypoténuse.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si un triangle a trois côtés de longueurs $7$ cm, $7$ cm et $7$ cm, alors c'est un triangle rectangle.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Un triangle de côtés $7$, $7$ et $7$ est équilatéral : ses trois angles mesurent chacun $60°$.
Aucun angle ne vaut $90°$ : il n'est pas rectangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de penser que tout triangle « régulier » est rectangle.
Trois côtés égaux donnent un triangle équilatéral (angles de $60°$), pas un triangle rectangle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Un triangle de côtés tous égaux est équilatéral, ses angles valent $60°$ : il n'est pas rectangle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit sont toujours plus courts que l'hypoténuse.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'hypoténuse est le plus long côté du triangle rectangle.
Donc chacun des deux côtés de l'angle droit est strictement plus court que l'hypoténuse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : l'hypoténuse est le plus long des trois côtés.
Les deux côtés de l'angle droit sont donc tous deux plus courts que l'hypoténuse.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'hypoténuse étant le plus long côté, les deux côtés de l'angle droit sont strictement plus courts.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur le vocabulaire du triangle rectangle : reconnaissance de l'hypoténuse, des côtés de l'angle droit et propriétés associées. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Dans un triangle rectangle, comment s'appelle le côté opposé à l'angle droit ?
[qcm]
[option]Le côté adjacent[/option]
[option correct="true"]L'hypoténuse[/option]
[option]Le côté de l'angle droit[/option]
[option]La diagonale[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est aussi le plus long des trois côtés.[/reponse]
[reponse motif="Le côté adjacent"]Non.
Le terme « adjacent » n'est pas le vocabulaire utilisé pour désigner le côté opposé à l'angle droit dans un triangle rectangle au collège.
Cherche le mot spécifique qui désigne ce côté unique.[/reponse]
[reponse motif="Le côté de l'angle droit"]Non.
Les côtés de l'angle droit sont les deux côtés qui forment l'angle droit, pas le côté qui lui est opposé.
On cherche le nom du troisième côté.[/reponse]
[reponse motif="La diagonale"]Non.
Le mot « diagonale » se rapporte aux quadrilatères, pas aux triangles.
Le côté opposé à l'angle droit a un nom spécifique au triangle rectangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le côté opposé à l'angle droit dans un triangle rectangle s'appelle l'hypoténuse.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Quel côté est l'hypoténuse ?
[qcm]
[option]$[AB]$[/option]
[option]$[AC]$[/option]
[option correct="true"]$[BC]$[/option]
[option]L'angle $\widehat{A}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'angle droit est en $A$, donc l'hypoténuse est le côté opposé à $A$ : c'est $[BC]$.[/reponse]
[reponse motif="$[AB]$"]Non.
Le côté $[AB]$ part du sommet $A$, il forme donc un côté de l'angle droit.
L'hypoténuse est le côté qui ne touche pas le sommet de l'angle droit.[/reponse]
[reponse motif="$[AC]$"]Non.
Le côté $[AC]$ part du sommet $A$, il forme donc un côté de l'angle droit.
L'hypoténuse est opposée à l'angle droit, elle ne le touche pas.[/reponse]
[reponse motif="L'angle $\widehat{A}$"]Non.
L'hypoténuse est un côté (un segment), pas un angle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'hypoténuse du triangle $ABC$ rectangle en $A$ est le côté $[BC]$, opposé à l'angle droit.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $PQR$ est rectangle en $Q$. Quel côté est l'hypoténuse ?
[qcm]
[option]$[PQ]$[/option]
[option]$[QR]$[/option]
[option correct="true"]$[PR]$[/option]
[option]Aucun côté[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'angle droit est en $Q$. L'hypoténuse est donc le côté opposé à $Q$, c'est-à-dire $[PR]$.[/reponse]
[reponse motif="$[PQ]$"]Non.
Le côté $[PQ]$ contient le sommet $Q$ : c'est un côté de l'angle droit, pas l'hypoténuse.
Cherche le côté qui ne touche pas $Q$.[/reponse]
[reponse motif="$[QR]$"]Non.
Le côté $[QR]$ contient le sommet $Q$ : il forme l'angle droit avec $[PQ]$.
L'hypoténuse n'est pas un côté de l'angle droit.[/reponse]
[reponse motif="Aucun côté"]Non.
Tout triangle rectangle possède une hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'hypoténuse du triangle $PQR$ rectangle en $Q$ est $[PR]$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est :
[qcm]
[option]le côté le plus court[/option]
[option]un côté de l'angle droit[/option]
[option correct="true"]le côté le plus long[/option]
[option]le côté du milieu[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'hypoténuse est toujours le côté le plus long d'un triangle rectangle.
C'est le côté opposé à l'angle droit, qui est le plus grand des trois angles.[/reponse]
[reponse motif="le côté le plus court"]Non.
Au contraire, l'hypoténuse est plus longue que chacun des deux côtés de l'angle droit.
Pense à l'angle droit : il est plus grand que les deux autres angles, donc le côté qui lui fait face est aussi le plus grand.[/reponse]
[reponse motif="un côté de l'angle droit"]Non.
Les côtés de l'angle droit sont les deux autres côtés du triangle, pas l'hypoténuse.
L'hypoténuse est opposée à l'angle droit.[/reponse]
[reponse motif="le côté du milieu"]Non.
L'hypoténuse n'est pas le côté de longueur intermédiaire : elle est strictement la plus longue.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'hypoténuse d'un triangle rectangle est toujours le côté le plus long.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un triangle a trois côtés de longueurs $6$ cm, $8$ cm et $10$ cm. Si ce triangle est rectangle, quel côté est l'hypoténuse ?
[qcm]
[option]Le côté de $6$ cm[/option]
[option]Le côté de $8$ cm[/option]
[option correct="true"]Le côté de $10$ cm[/option]
[option]On ne peut pas le savoir[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'hypoténuse est toujours le côté le plus long du triangle rectangle.
Ici, le plus long côté mesure $10$ cm : c'est donc l'hypoténuse.[/reponse]
[reponse motif="Le côté de $6$ cm"]Non.
$6$ cm est la plus petite des trois longueurs.
L'hypoténuse est au contraire le côté le plus long.[/reponse]
[reponse motif="Le côté de $8$ cm"]Non.
$8$ cm est une longueur intermédiaire, mais $10$ cm est plus grand.
L'hypoténuse est strictement le plus long côté.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas le savoir"]Non.
On peut tout à fait l'identifier : l'hypoténuse est, par définition, le plus long côté d'un triangle rectangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'hypoténuse est toujours le plus long côté : ici, $10$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Combien d'angles droits possède un triangle rectangle ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option correct="true"]Exactement $1$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$3$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Un triangle rectangle possède exactement un angle droit.
Les deux autres angles sont aigus et leur somme vaut $90°$, car la somme des trois angles fait $180°$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
Un triangle rectangle possède au moins un angle droit, sinon il ne serait pas dit « rectangle ».[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Si deux angles valaient $90°$, leur somme ferait déjà $180°$.
Le troisième angle devrait être nul, ce qui est impossible pour un triangle.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Trois angles droits feraient $270°$, ce qui dépasse largement les $180°$ d'un triangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un triangle rectangle possède exactement un angle droit.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]