Statistiques : médiane des temps de trajet
Lors d'une enquête, on a interrogé 9 élèves d'une classe de 4e sur le temps de trajet (en minutes) entre le collège et leur domicile. Voici les réponses :
8 ; 25 ; 12 ; 5 ; 30 ; 18 ; 10 ; 22 ; 14
- Ranger les valeurs de la série par ordre croissant.
- Déterminer la médiane et l'étendue de cette série. Donner une interprétation de la médiane.
- Calculer la moyenne de cette série. Comparer avec la médiane et expliquer l'écart obtenu.
- On interroge un dixième élève qui met 35 minutes pour rentrer chez lui. Recalculer la médiane de cette nouvelle série de 10 valeurs.
- La série rangée par ordre croissant :
5 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 18 ; 22 ; 25 ; 30
L'effectif total est $ N = 9 $ (impair). La médiane est la valeur en position $ \dfrac{9 + 1}{2} = 5 $, c'est-à-dire la 5e valeur.
La médiane est 14 minutes. Cela signifie qu'au moins la moitié des élèves mettent 14 minutes ou moins pour rentrer chez eux, et l'autre moitié 14 minutes ou plus.
L'étendue vaut $ 30 - 5 = 25 $. Elle est de 25 minutes.
La moyenne est :
$ \bar{x} = \dfrac{5 + 8 + 10 + 12 + 14 + 18 + 22 + 25 + 30}{9} = \dfrac{144}{9} = 16 $
La moyenne est de 16 minutes.
La moyenne (16 min) est supérieure à la médiane (14 min) : les valeurs élevées de la série (25 et 30 min) tirent la moyenne vers le haut, alors qu'elles n'influencent pas la médiane.
La nouvelle série, rangée par ordre croissant, comporte 10 valeurs :
5 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 18 ; 22 ; 25 ; 30 ; 35
L'effectif est $ N = 10 $ (pair). La médiane est la moyenne des valeurs en positions $ \dfrac{10}{2} = 5 $ et $ \dfrac{10}{2} + 1 = 6 $, c'est-à-dire la 5e et la 6e valeur :
$ M_e = \dfrac{14 + 18}{2} = 16 $
La nouvelle médiane est de 16 minutes.
Statistiques : moyenne pondérée des notes d’un contrôle
Une professeure a noté sur 20 le contrôle de mathématiques d'une classe de 4e. Voici la répartition des notes :
| Note |
6 |
8 |
10 |
11 |
12 |
13 |
15 |
17 |
| Effectif |
2 |
3 |
4 |
5 |
5 |
4 |
2 |
1 |
- Combien d'élèves ont composé pour ce contrôle ?
- Calculer la moyenne de la classe. Arrondir au dixième.
- Calculer l'étendue des notes obtenues.
- La professeure décide d'ajouter 2 points à chaque copie. Sans tout recalculer, donner la nouvelle moyenne de la classe et la nouvelle étendue. Justifier.
On additionne tous les effectifs :
$ 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 4 + 2 + 1 = 26 $
26 élèves ont composé.
On calcule la moyenne pondérée :
$ \bar{x} = \dfrac{6 \times 2 + 8 \times 3 + 10 \times 4 + 11 \times 5 + 12 \times 5 + 13 \times 4 + 15 \times 2 + 17 \times 1}{26} $
$ \bar{x} = \dfrac{12 + 24 + 40 + 55 + 60 + 52 + 30 + 17}{26} $
$ \bar{x} = \dfrac{290}{26} \approx 11{,}2 $
La moyenne de la classe est d'environ 11,2.
L'étendue est la différence entre la note la plus haute et la note la plus basse :
$ 17 - 6 = 11 $
L'étendue des notes est de 11 points.
Si l'on ajoute 2 points à chaque note, toutes les valeurs de la série augmentent de 2 : la moyenne augmente donc également de 2.
Nouvelle moyenne : $ 11{,}2 + 2 = $ $\mathbf{13{,}2}$.
En revanche, l'écart entre la note la plus haute et la note la plus basse reste le même : la nouvelle étendue vaut toujours 11 points.
Statistiques : pluviométrie d’une semaine
Voici les hauteurs de pluie (en mm) relevées chaque jour pendant une semaine d'octobre à Brest :
12 ; 0 ; 8 ; 15 ; 5 ; 3 ; 19
- Calculer la hauteur de pluie moyenne sur cette semaine. Arrondir au dixième de millimètre.
- Calculer l'étendue de cette série.
- Que représente concrètement l'étendue dans le contexte de cet exercice ?
La moyenne est égale à la somme des valeurs divisée par l'effectif total :
$ \bar{x} = \dfrac{12 + 0 + 8 + 15 + 5 + 3 + 19}{7} = \dfrac{62}{7} \approx 8{,}9 $
La hauteur de pluie moyenne est d'environ 8,9 mm par jour.
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série :
$ 19 - 0 = 19 $
L'étendue est de 19 mm.
- L'étendue représente l'écart entre le jour le plus pluvieux (19 mm) et le jour le moins pluvieux (0 mm) de la semaine. Une étendue élevée indique des conditions de pluie très variables d'un jour à l'autre.
Vrai/Faux : Diagrammes et raisonnements
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les diagrammes statistiques et les raisonnements associés, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : Dans un diagramme circulaire, la somme des angles de tous les secteurs est égale à $360°$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Un diagramme circulaire représente un disque complet, dont la mesure totale est $360°$. La somme des angles des secteurs vaut donc $360°$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Un cercle complet mesure $360°$. Comme les secteurs partitionnent le disque, leurs angles s'additionnent pour redonner $360°$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La somme des angles des secteurs d'un diagramme circulaire vaut toujours $360°$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Sur un diagramme circulaire, un secteur dont la fréquence est $50\%$ a un angle de $50°$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Une fréquence de $50\%$ correspond à la moitié du disque, soit un angle de $\dfrac{50}{100} \times 360 = 180°$, et non $50°$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre pourcentage et angle.
Pour passer du pourcentage à l'angle, on multiplie par $360°$ et on divise par $100$ : $\dfrac{50}{100} \times 360 = 180°$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Une fréquence de $50\%$ correspond à un angle de $180°$ (la moitié du disque), pas $50°$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Sur un diagramme circulaire, un secteur a un angle de $60°$.
Affirmation : La fréquence correspondante est $\dfrac{1}{6}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On retrouve la fréquence en divisant l'angle par $360°$ :
$\dfrac{60}{360} = \dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour passer de l'angle à la fréquence, on divise l'angle par $360°$ :
$\dfrac{60}{360} = \dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{60}{360} = \dfrac{1}{6}$, ce qui correspond à environ $16{,}7\%$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Dans un diagramme en bâtons, la largeur d'un bâton est proportionnelle à l'effectif de la valeur.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Dans un diagramme en bâtons, c'est la hauteur qui est proportionnelle à l'effectif. Tous les bâtons ont la même largeur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre hauteur et largeur.
Dans un diagramme en bâtons, c'est la hauteur de chaque bâton qui est proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence). La largeur reste constante.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. C'est la hauteur d'un bâton, et non sa largeur, qui est proportionnelle à l'effectif.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour calculer l'angle d'un secteur d'un diagramme circulaire, on multiplie la fréquence (en pourcentage) par $100$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La formule correcte est : angle $= \dfrac{\text{fréquence en \%}}{100} \times 360$. On multiplie par $360°$, pas par $100$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le facteur $100$ ne donne pas un angle (un cercle entier mesure $360°$).
La formule à utiliser est : angle $= \dfrac{\text{fréquence en \%}}{100} \times 360°$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour obtenir l'angle, on multiplie la fréquence (décimale) par $360°$, ou on utilise $\dfrac{\text{\%}}{100} \times 360°$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On observe la répartition des animaux d'un refuge sur un diagramme circulaire. Le secteur des chats a un angle de $108°$, sur un effectif total de $50$ animaux.
Affirmation : Il y a $15$ chats dans le refuge.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La fréquence des chats vaut $\dfrac{108}{360} = 0{,}3$. L'effectif des chats est donc $0{,}3 \times 50 = 15$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On retrouve la fréquence à partir de l'angle : $\dfrac{108}{360} = 0{,}3$.
On retrouve ensuite l'effectif en multipliant la fréquence par l'effectif total : $0{,}3 \times 50 = 15$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. À partir de l'angle, $\dfrac{108}{360} = 0{,}3$, puis $0{,}3 \times 50 = 15$ chats.
[/solution]
[/etape]
Vrai/Faux : Médiane et étendue
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la médiane et l'étendue, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
On considère la série : $2$ ; $5$ ; $7$ ; $9$ ; $11$.
Affirmation : La médiane de cette série est $7$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
La série est déjà triée et l'effectif est $5$ (impair). La médiane est la valeur en position $\dfrac{5+1}{2} = 3$, c'est-à-dire la $3$e valeur : $7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La série est triée. L'effectif est impair ($N = 5$), donc la médiane est la valeur centrale (en position $3$) : $7$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour une série triée d'effectif impair, la médiane est la valeur centrale : ici $7$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : La médiane d'une série statistique est toujours égale à la moyenne.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Médiane et moyenne sont deux indicateurs distincts. Elles ne sont égales que lorsque la série est très symétrique. Par exemple, pour la série $1$ ; $2$ ; $9$ : moyenne $= 4$ et médiane $= 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Médiane et moyenne sont deux indicateurs différents.
Exemple : pour $1$ ; $2$ ; $9$, la moyenne vaut $\dfrac{12}{3} = 4$ alors que la médiane vaut $2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Médiane et moyenne ne coïncident que dans des cas particuliers de symétrie.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On considère la série : $4$ ; $6$ ; $8$ ; $10$.
Affirmation : La médiane de cette série est $8$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'effectif est $4$ (pair). La médiane est la moyenne des deux valeurs centrales : $\dfrac{6 + 8}{2} = 7$, et non $8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Lorsque l'effectif est pair, on ne prend pas l'une des deux valeurs centrales seule.
Il faut calculer la moyenne des deux valeurs centrales : $\dfrac{6 + 8}{2} = 7$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. L'effectif est pair, la médiane est $\dfrac{6 + 8}{2} = 7$, pas $8$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : L'étendue d'une série statistique est toujours positive ou nulle.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Comme la plus grande valeur est nécessairement supérieure ou égale à la plus petite, cette différence est positive ou nulle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'étendue est définie comme max $-$ min. Comme max $\geqslant$ min, cette différence est toujours positive ou nulle.
L'étendue est nulle uniquement quand toutes les valeurs sont égales.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. L'étendue, différence entre la plus grande et la plus petite valeur, est toujours positive ou nulle.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : L'étendue d'une série est égale à la moyenne entre la plus grande et la plus petite valeur de la série.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'étendue est la différence entre les deux valeurs extrêmes, pas leur moyenne. Par exemple, pour $4$ ; $7$ ; $10$, l'étendue vaut $10 - 4 = 6$, alors que la moyenne des extrêmes vaut $7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre les opérations.
L'étendue est la différence entre le maximum et le minimum, pas leur moyenne. Pour $4$ ; $7$ ; $10$, étendue $= 10 - 4 = 6$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. L'étendue est la différence (max $-$ min), pas la moyenne entre les valeurs extrêmes.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Une série de $7$ valeurs a une médiane de $12$.
Affirmation : Au moins $4$ valeurs de cette série sont inférieures ou égales à $12$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour $N = 7$, la médiane est la $4$e valeur dans l'ordre croissant. Donc les $3$ premières et la médiane elle-même (soit $4$ valeurs) sont inférieures ou égales à $12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour $N$ impair, la médiane occupe la position $\dfrac{N+1}{2}$ dans la série triée. Avec $N = 7$, la médiane est en $4$e position : les $3$ valeurs avant et la médiane sont $\leqslant 12$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La médiane étant la $4$e valeur de la série triée, les $4$ premières valeurs (médiane comprise) sont inférieures ou égales à $12$.
[/solution]
[/etape]
Vrai/Faux : Vocabulaire et fréquences
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur le vocabulaire statistique et les fréquences, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : La fréquence d'une valeur est toujours comprise entre $0$ et $1$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
La fréquence est le quotient de l'effectif d'une valeur par l'effectif total. L'effectif est positif et inférieur ou égal à l'effectif total, donc le quotient est compris entre $0$ et $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La fréquence est le rapport effectif sur effectif total. Comme l'effectif d'une valeur est toujours positif et inférieur ou égal à l'effectif total, ce rapport est compris entre $0$ et $1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Une fréquence, rapport de l'effectif sur l'effectif total, est toujours comprise entre $0$ et $1$ (soit entre $0\%$ et $100\%$).
[/solution]
[/etape]
[etape]
On considère la série : $3$ ; $3$ ; $5$ ; $7$ ; $7$ ; $7$.
Affirmation : L'effectif de la valeur $7$ est $7$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La valeur $7$ apparaît trois fois dans la série, donc son effectif est $3$, et non $7$. Il ne faut pas confondre la valeur et son effectif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre la valeur et son effectif. Ici, la valeur $7$ apparaît $3$ fois, donc son effectif est $3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La valeur $7$ apparaît $3$ fois dans la série : son effectif est $3$, pas $7$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : On peut convertir une fréquence en pourcentage en la multipliant par $100$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Une fréquence sous forme décimale (comprise entre $0$ et $1$) se convertit en pourcentage en multipliant par $100$. Par exemple, $0{,}25$ devient $25\%$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour convertir une fréquence décimale en pourcentage, on multiplie par $100$.
Exemple : $0{,}3 \times 100 = 30\%$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Une fréquence décimale se convertit en pourcentage en multipliant par $100$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : La somme des effectifs d'une série statistique est égale à $1$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La somme des effectifs vaut l'effectif total (par exemple $30$ pour une classe de $30$ élèves), pas $1$. C'est la somme des fréquences qui vaut $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre effectifs et fréquences.
La somme des effectifs vaut l'effectif total ; c'est la somme des fréquences qui vaut $1$ (ou $100\%$).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La somme des effectifs vaut l'effectif total, pas $1$. C'est la somme des fréquences qui vaut $1$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On interroge $50$ personnes : $12$ ont les yeux bleus.
Affirmation : La fréquence des personnes ayant les yeux bleus est de $24\%$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On calcule la fréquence : $\dfrac{12}{50} = 0{,}24 = 24\%$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La fréquence se calcule en divisant l'effectif par l'effectif total :
$\dfrac{12}{50} = 0{,}24$, soit $24\%$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{12}{50} = 0{,}24 = 24\%$, ce qui est bien la fréquence annoncée.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Le caractère « taille en cm » est un caractère qualitatif.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La taille en cm s'exprime par une valeur numérique. Le caractère est donc quantitatif, pas qualitatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Un caractère est qualitatif lorsque ses valeurs ne sont pas des nombres (couleur des yeux, sport pratiqué...).
La taille en cm prend des valeurs numériques : c'est un caractère quantitatif.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La taille en cm est un caractère quantitatif car ses valeurs sont des nombres.
[/solution]
[/etape]
QCM Bilan : Statistiques
[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : moyenne, médiane, étendue, fréquences et diagrammes circulaires. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Dans un diagramme circulaire représentant les sports préférés d'un groupe d'élèves, une catégorie représente $25\%$ du total.
Quel est l'angle du secteur correspondant ?
[qcm]
[option]$25°$[/option]
[option correct="true"]$90°$[/option]
[option]$270°$[/option]
[option]$0{,}07°$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'angle se calcule en multipliant la fréquence par $360°$ :
$\dfrac{25}{100} \times 360 = 90°$[/reponse]
[reponse motif="$25°$"]Non.
L'angle d'un secteur n'est pas égal au pourcentage. Un cercle complet mesure $360°$, pas $100°$. Il faut convertir avec la formule angle $= \dfrac{\text{fréquence}}{100} \times 360$.[/reponse]
[reponse motif="$270°$"]Non.
$270°$ correspond à l'angle du complémentaire (la partie restante du disque) : $\dfrac{75}{100} \times 360 = 270°$. La question porte sur la catégorie représentant $25\%$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}07°$"]Non.
La formule à utiliser est angle $=$ fréquence $\times 360°$, et non l'inverse. Diviser $25$ par $360$ donne $0{,}07$, un nombre bien trop petit pour être l'angle d'un quart de disque.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule : angle $= \dfrac{\text{fréquence (en \%)}}{100} \times 360$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Sur un diagramme circulaire, un secteur a un angle de $144°$.
Quelle fréquence (en pourcentage) ce secteur représente-t-il ?
[qcm]
[option correct="true"]$40\%$[/option]
[option]$144\%$[/option]
[option]$60\%$[/option]
[option]$36\%$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On retrouve la fréquence en divisant l'angle par $360°$ :
$\dfrac{144}{360} = 0{,}4 = 40\%$[/reponse]
[reponse motif="$144\%$"]Non.
L'angle et la fréquence en pourcentage ne sont pas la même grandeur. Pour passer de l'angle à la fréquence, diviser par $360°$ puis multiplier par $100$.[/reponse]
[reponse motif="$60\%$"]Non.
$60\%$ correspondrait à l'angle complémentaire : $360 - 144 = 216°$, soit $\dfrac{216}{360} = 60\%$. La question porte sur le secteur de $144°$, pas sur le reste du disque.[/reponse]
[reponse motif="$36\%$"]Non.
Vérifier le calcul : $\dfrac{144}{360}$ ne donne pas $0{,}36$. Refaire la division proprement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La fréquence se retrouve à partir de l'angle par : fréquence $= \dfrac{\text{angle}}{360}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Une série de $5$ nombres a une moyenne de $8$. On retire l'un des nombres et la moyenne des $4$ nombres restants devient $9$.
Quelle valeur a-t-on retirée ?
[qcm]
[option]$8$[/option]
[option]$9$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La somme initiale est $5 \times 8 = 40$. La somme des $4$ nombres restants est $4 \times 9 = 36$. La valeur retirée est donc $40 - 36 = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
$8$ est la moyenne initiale. Si on retirait une valeur égale à la moyenne, la moyenne des autres ne changerait pas. Or ici elle a augmenté.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9$ est la nouvelle moyenne. Pour que la moyenne augmente après suppression, la valeur retirée doit être inférieure à la moyenne initiale.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Calculer les sommes initiale et finale, puis comparer. La somme initiale est $5 \times 8 = 40$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On calcule la somme initiale ($5 \times 8 = 40$) et la somme finale ($4 \times 9 = 36$). La différence donne la valeur retirée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
La classe des $4$e A compte $25$ élèves de moyenne $12$ au contrôle. La classe des $4$e B compte $30$ élèves de moyenne $10$.
Quelle est la moyenne des deux classes réunies ?
[qcm]
[option]$11$[/option]
[option]$12$[/option]
[option correct="true"]environ $10{,}91$[/option]
[option]$22$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule la somme totale des notes : $25 \times 12 + 30 \times 10 = 300 + 300 = 600$.
L'effectif total est $25 + 30 = 55$. La moyenne globale est :
$\dfrac{600}{55} \approx 10{,}91$[/reponse]
[reponse motif="$11$"]Non.
$11$ est la moyenne des deux moyennes : $\dfrac{12 + 10}{2}$. Cette méthode est fausse car les classes n'ont pas le même effectif. Il faut faire une moyenne pondérée par les effectifs.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12$ est uniquement la moyenne de la classe $4$e A. La moyenne globale tient compte de toutes les notes des deux classes.[/reponse]
[reponse motif="$22$"]Non.
On n'additionne pas les moyennes. Il faut additionner les sommes de notes ($300 + 300 = 600$) et diviser par l'effectif total ($55$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer la somme totale des notes des deux classes, puis diviser par l'effectif total ($25 + 30$).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Une série statistique a une médiane de $15$ et une étendue de $8$. Sa plus petite valeur est $12$.
Quelle est la plus grande valeur de la série ?
[qcm]
[option]$23$[/option]
[option correct="true"]$20$[/option]
[option]$7$[/option]
[option]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur :
plus grande valeur $=$ plus petite valeur $+$ étendue $= 12 + 8 = 20$.[/reponse]
[reponse motif="$23$"]Non.
$23 = 15 + 8$ utilise la médiane à la place de la plus petite valeur. Or l'étendue se calcule à partir des valeurs extrêmes, pas de la médiane.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
$7 = 15 - 8$ donne une valeur inférieure à la plus petite ($12$), ce qui est incohérent. La plus grande valeur doit être supérieure à la plus petite.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
On ne divise pas l'étendue par $2$. L'étendue est l'écart total entre les deux valeurs extrêmes, pas la moitié de cet écart.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
À partir de l'étendue $=$ max $-$ min, on obtient max $=$ min $+$ étendue.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Une série a $50$ valeurs. Sa médiane est $12$ et sa moyenne est $14$.
On apprend qu'une valeur de la série vaut $100$ (très élevée). Si on retire cette valeur, que se passe-t-il ?
[qcm]
[option correct="true"]La moyenne diminue, la médiane reste presque inchangée.[/option]
[option]La moyenne et la médiane diminuent autant.[/option]
[option]Seule la médiane diminue, la moyenne ne change pas.[/option]
[option]Aucun des deux indicateurs ne change.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes : retirer $100$ va sensiblement la faire baisser. La médiane, elle, dépend du rang central : retirer une valeur extrême décale très peu la valeur médiane.[/reponse]
[reponse motif="La moyenne et la médiane diminuent autant."]Non.
Moyenne et médiane n'évoluent pas de la même façon face aux valeurs extrêmes. C'est même l'une des raisons pour lesquelles on utilise les deux indicateurs.[/reponse]
[reponse motif="Seule la médiane diminue, la moyenne ne change pas."]Non.
La moyenne tient compte de toutes les valeurs : retirer $100$ change forcément la somme et donc la moyenne. C'est elle qui est la plus impactée par les valeurs extrêmes.[/reponse]
[reponse motif="Aucun des deux indicateurs ne change."]Non.
La somme des valeurs change si on en retire une, donc la moyenne aussi. Comparer le rôle de chaque indicateur face aux valeurs extrêmes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Penser à la sensibilité de la moyenne aux valeurs extrêmes, et au fait que la médiane dépend du rang central, pas de la grandeur des extrêmes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
QCM : Médiane et étendue
[enonce]
Ce QCM porte sur la médiane et l'étendue d'une série statistique. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
On considère la série : $5$ ; $8$ ; $12$ ; $9$ ; $6$ ; $11$ ; $14$.
Quelle est la médiane de cette série ?
[qcm]
[option]$12$[/option]
[option correct="true"]$9$[/option]
[option]$8{,}5$[/option]
[option]$9{,}29$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On range les valeurs par ordre croissant : $5$ ; $6$ ; $8$ ; $9$ ; $11$ ; $12$ ; $14$.
L'effectif est $7$ (impair), donc la médiane est la valeur en position $\dfrac{7+1}{2} = 4$, c'est-à-dire la $4$e valeur : $9$.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12$ est bien la $4$e valeur, mais dans la série non triée. Avant de chercher la médiane, il faut ordonner les valeurs par ordre croissant.[/reponse]
[reponse motif="$8{,}5$"]Non.
$8{,}5$ correspondrait à la moyenne entre les $3$e et $4$e valeurs après tri. Cette méthode est utilisée lorsque l'effectif est pair, ce qui n'est pas le cas ici.[/reponse]
[reponse motif="$9{,}29$"]Non.
$9{,}29 \approx \dfrac{65}{7}$ est la moyenne de la série, pas la médiane. Médiane et moyenne sont deux indicateurs distincts.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il faut trier les valeurs, puis prendre la valeur centrale puisque l'effectif est impair ($N = 7$).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quelle est l'étendue de la série : $18$ ; $22$ ; $15$ ; $27$ ; $19$ ; $23$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$12$[/option]
[option]$27$[/option]
[option]$15$[/option]
[option]$9$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur :
$27 - 15 = 12$[/reponse]
[reponse motif="$27$"]Non.
$27$ est la plus grande valeur de la série, pas l'étendue. L'étendue est l'écart entre la plus grande et la plus petite valeur.[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
$15$ est la plus petite valeur de la série. L'étendue mesure l'écart entre les valeurs extrêmes : il faut soustraire la plus petite à la plus grande.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
Vérifier la plus petite valeur de la série : ce n'est pas $18$, mais $15$. Refaire la soustraction avec les bonnes valeurs extrêmes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repérer le minimum ($15$) et le maximum ($27$), puis calculer leur différence : $27 - 15$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On considère la série : $4$ ; $7$ ; $8$ ; $10$ ; $12$ ; $15$.
Quelle est la médiane de cette série ?
[qcm]
[option]$8$[/option]
[option]$10$[/option]
[option correct="true"]$9$[/option]
[option]$9{,}33$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La série est déjà triée et l'effectif est $6$ (pair). La médiane est la moyenne des deux valeurs centrales (positions $3$ et $4$) :
$\dfrac{8 + 10}{2} = 9$[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
$8$ est la $3$e valeur, mais lorsque l'effectif est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, pas seulement l'une des deux.[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
$10$ est la $4$e valeur. Comme l'effectif est pair, il n'y a pas une seule valeur centrale : il faut prendre la moyenne des deux valeurs au milieu.[/reponse]
[reponse motif="$9{,}33$"]Non.
$9{,}33 \approx \dfrac{56}{6}$ est la moyenne de la série, pas la médiane. La médiane se calcule différemment.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'effectif est pair ($N = 6$). La médiane est la moyenne des $3$e et $4$e valeurs après tri.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Voici un tableau d'effectifs :
| Valeur |
$1$ |
$2$ |
$3$ |
$4$ |
$5$ |
| Effectif |
$4$ |
$6$ |
$5$ |
$3$ |
$2$ |
Quelle est la médiane de cette série ?
[qcm]
[option]$3$[/option]
[option correct="true"]$2{,}5$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'effectif total est $4 + 6 + 5 + 3 + 2 = 20$ (pair). La médiane est la moyenne des $10$e et $11$e valeurs.
Les effectifs cumulés sont $4$ ; $10$ ; $15$ ; $18$ ; $20$.
La $10$e valeur est $2$ (cumul atteint $10$) et la $11$e est $3$ (cumul passe à $15$). Médiane : $\dfrac{2 + 3}{2} = 2{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
$3$ est la valeur centrale du tableau, mais il faut tenir compte des effectifs, pas du rang dans le tableau. Calculer les effectifs cumulés pour repérer les valeurs centrales.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Pas tout à fait.
$2$ est bien la $10$e valeur, mais l'effectif total étant pair ($N = 20$), il faut prendre la moyenne des $10$e et $11$e valeurs.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6$ est l'effectif maximal, pas une valeur de la série. La médiane est une valeur du caractère étudié, pas un effectif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer les effectifs cumulés pour repérer la $10$e et la $11$e valeur, puis prendre leur moyenne.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
La médiane d'une série statistique est $7$ et la moyenne est $9$.
Que peut-on en déduire ?
[qcm]
[option correct="true"]Au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à $7$.[/option]
[option]Toutes les valeurs sont comprises entre $7$ et $9$.[/option]
[option]L'étendue de la série vaut $9 - 7 = 2$.[/option]
[option]Il y a autant de $7$ que de $9$ dans la série.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Par définition, la médiane partage la série en deux : au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane (et l'autre moitié supérieure ou égale).[/reponse]
[reponse motif="Toutes les valeurs sont comprises entre $7$ et $9$."]Non.
Médiane et moyenne sont des indicateurs résumés, mais les valeurs individuelles peuvent dépasser largement cet intervalle.[/reponse]
[reponse motif="L'étendue de la série vaut $9 - 7 = 2$."]Non.
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série, pas entre la moyenne et la médiane. Ces deux indicateurs ne donnent aucune information sur les valeurs extrêmes.[/reponse]
[reponse motif="Il y a autant de $7$ que de $9$ dans la série."]Non.
La médiane et la moyenne ne renseignent pas directement sur les effectifs des valeurs $7$ et $9$. Une médiane différente de la moyenne signifie simplement que la série est asymétrique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Revenir à la définition de la médiane : elle partage la série triée en deux groupes de même effectif.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On considère la série $4$ ; $6$ ; $8$. On y ajoute la valeur $1000$.
Quel indicateur est le moins modifié par l'ajout de cette valeur extrême ?
[qcm]
[option]La moyenne[/option]
[option correct="true"]La médiane[/option]
[option]L'étendue[/option]
[option]Les trois changent autant[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La moyenne passe de $6$ à $\dfrac{1018}{4} = 254{,}5$ (énorme variation). L'étendue passe de $4$ à $996$. La médiane passe de $6$ à $7$ : elle est très peu modifiée. La médiane est résistante aux valeurs extrêmes.[/reponse]
[reponse motif="La moyenne"]Non.
La moyenne est très sensible aux valeurs extrêmes : ajouter $1000$ à une série dont les valeurs sont autour de $6$ va la modifier énormément.[/reponse]
[reponse motif="L'étendue"]Non.
L'étendue dépend directement des valeurs extrêmes (max - min). Ajouter une valeur très grande va modifier l'étendue de manière spectaculaire.[/reponse]
[reponse motif="Les trois changent autant"]Non.
Comparer ces trois indicateurs avant et après ajout : leurs variations sont très différentes. C'est justement l'un des intérêts de la médiane.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer chaque indicateur avant et après ajout de la valeur $1000$ pour comparer les variations.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
QCM : Vocabulaire et fréquences
[enonce]
Ce QCM porte sur le vocabulaire statistique et les fréquences. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
On considère la série de notes : $8$ ; $12$ ; $12$ ; $15$ ; $12$ ; $8$ ; $9$ ; $15$ ; $12$ ; $11$.
Quel est l'effectif de la valeur $12$ ?
[qcm]
[option]$10$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$12$[/option]
[option]$5$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On compte le nombre de fois où la valeur $12$ apparaît dans la série : on la rencontre en 2e, 3e, 5e et 9e position, soit $4$ fois.[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
$10$ est l'effectif total (le nombre total de notes), pas l'effectif de la valeur $12$. Il faut compter combien de fois la valeur $12$ apparaît dans la série.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
Attention à ne pas confondre la valeur et son effectif. $12$ est la valeur étudiée. L'effectif est le nombre de fois où cette valeur apparaît.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Recompter soigneusement les apparitions de $12$ dans la série en pointant chaque occurrence.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On parcourt la série en comptant chaque apparition de la valeur $12$ : on en trouve $4$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Dans une enquête, $200$ personnes ont été interrogées sur leur couleur préférée. $50$ d'entre elles ont répondu « rouge ».
Quelle est la fréquence (en pourcentage) des personnes ayant répondu « rouge » ?
[qcm]
[option]$50\%$[/option]
[option]$0{,}25\%$[/option]
[option correct="true"]$25\%$[/option]
[option]$4\%$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La fréquence est le quotient de l'effectif par l'effectif total :
$f = \dfrac{50}{200} = 0{,}25 = 25\%$[/reponse]
[reponse motif="$50\%$"]Non.
$50$ est l'effectif, pas la fréquence. Il faut diviser cet effectif par l'effectif total ($200$), puis multiplier par $100$ pour obtenir le pourcentage.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}25\%$"]Pas tout à fait.
$0{,}25$ est la fréquence sous forme décimale, mais pour la convertir en pourcentage, il faut multiplier par $100$, pas simplement ajouter le symbole $\%$.[/reponse]
[reponse motif="$4\%$"]Non.
Attention au sens de la division. La fréquence est l'effectif divisé par l'effectif total ($\dfrac{50}{200}$), et non l'inverse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La fréquence se calcule par $\dfrac{50}{200} = 0{,}25$, ce qui donne $25\%$ une fois multiplié par $100$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Dans un tableau de fréquences à quatre catégories, les trois premières fréquences valent $12\%$, $25\%$ et $38\%$.
Quelle est la fréquence de la quatrième catégorie ?
[qcm]
[option]$75\%$[/option]
[option correct="true"]$25\%$[/option]
[option]$100\%$[/option]
[option]$21\%$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La somme de toutes les fréquences vaut $100\%$. On a $12 + 25 + 38 = 75\%$, donc la fréquence manquante est :
$100 - 75 = 25\%$[/reponse]
[reponse motif="$75\%$"]Non.
$75\%$ est la somme des trois fréquences déjà connues, pas la fréquence manquante. La fréquence cherchée correspond à ce qu'il faut ajouter pour atteindre $100\%$.[/reponse]
[reponse motif="$100\%$"]Non.
$100\%$ correspond à la somme totale des fréquences, et non à la fréquence d'une seule catégorie. Il faut soustraire les fréquences déjà connues à $100\%$.[/reponse]
[reponse motif="$21\%$"]Non.
Attention, on ne calcule pas la moyenne des fréquences déjà connues. Il faut utiliser la propriété : la somme des fréquences vaut $100\%$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La somme des fréquences vaut $100\%$. Calculer $100 - (12 + 25 + 38)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
La fréquence d'une valeur est $0{,}15$ et l'effectif total est $80$.
Quel est l'effectif de cette valeur ?
[qcm]
[option correct="true"]$12$[/option]
[option]$15$[/option]
[option]$0{,}001875$[/option]
[option]$533$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On retrouve l'effectif en multipliant la fréquence par l'effectif total :
$0{,}15 \times 80 = 12$[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
$15$ correspond à $0{,}15 \times 100$, c'est-à-dire la fréquence en pourcentage. Mais il faut multiplier la fréquence par l'effectif total ($80$), pas par $100$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}001875$"]Non.
Il ne faut pas diviser la fréquence par l'effectif total. La relation entre fréquence et effectif est : effectif $=$ fréquence $\times$ effectif total.[/reponse]
[reponse motif="$533$"]Non.
Il ne faut pas diviser l'effectif total par la fréquence. La bonne relation est : effectif $=$ fréquence $\times$ effectif total.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La fréquence est l'effectif divisé par l'effectif total. Donc l'effectif s'obtient en multipliant la fréquence par l'effectif total.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On réalise une enquête statistique. La somme des fréquences (en pourcentage) de toutes les catégories vaut nécessairement :
[qcm]
[option]l'effectif total[/option]
[option correct="true"]$100\%$[/option]
[option]$360°$[/option]
[option]$1\%$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La somme des fréquences vaut toujours $1$, soit $100\%$. C'est une propriété fondamentale, valable pour toute série statistique.[/reponse]
[reponse motif="l'effectif total"]Non.
C'est la somme des effectifs qui vaut l'effectif total, pas la somme des fréquences. Une fréquence est un rapport, sans unité.[/reponse]
[reponse motif="$360°$"]Non.
$360°$ est la somme des angles d'un diagramme circulaire, pas la somme des fréquences. Ne pas confondre les deux représentations.[/reponse]
[reponse motif="$1\%$"]Pas tout à fait.
La fréquence sous forme décimale a pour somme $1$. Mais en pourcentage, on multiplie par $100$ : la somme vaut donc $100\%$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La somme des fréquences est toujours égale à $1$, ce qui correspond à $100\%$ en pourcentage.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Dans une enquête, on demande à des élèves leur sport préféré (football, tennis, natation, autre).
Le caractère étudié est :
[qcm]
[option]quantitatif[/option]
[option]un effectif[/option]
[option correct="true"]qualitatif[/option]
[option]une fréquence[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le sport préféré ne s'exprime pas par un nombre, mais par une catégorie (football, tennis...). C'est donc un caractère qualitatif.[/reponse]
[reponse motif="quantitatif"]Non.
Un caractère est quantitatif lorsqu'il prend des valeurs numériques (taille, note, âge). Ici, les valeurs sont des noms de sports, pas des nombres.[/reponse]
[reponse motif="un effectif"]Non.
L'effectif est le nombre d'individus correspondant à chaque valeur. Le caractère, lui, désigne la propriété étudiée (ici, le sport préféré).[/reponse]
[reponse motif="une fréquence"]Non.
La fréquence est un rapport calculé à partir des effectifs. Le caractère est la propriété étudiée chez chaque individu, pas un nombre calculé.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le caractère désigne la propriété étudiée. Il est quantitatif s'il prend des valeurs numériques, qualitatif sinon.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
