Simulation de la somme de deux dés avec Scratch
On lance deux dés équilibrés à six faces et on s'intéresse à la somme des deux faces obtenues. Le programme Scratch ci-dessous simule $ 1\,000 $ lancers de cette expérience et compte le nombre de fois où la somme obtenue est supérieure ou égale à $ 9 $.
- Justifier le rôle de chacune des variables de1, de2, somme et compteur.
- Expliquer pourquoi la condition « somme $ > 8 $ » revient à tester « somme $ \geqslant 9 $ » lorsque la somme est un nombre entier.
- Que représente la valeur affichée par le lutin à la fin du programme ?
On souhaite calculer la probabilité théorique d'obtenir une somme supérieure ou égale à $ 9 $.
- Combien y a-t-il d'issues équiprobables au total lorsqu'on lance les deux dés ?
- Lister tous les couples $ (\text{de1}\,;\,\text{de2}) $ pour lesquels $ \text{de1} + \text{de2} \geqslant 9 $. En déduire le nombre d'issues favorables.
- Calculer la probabilité théorique de l'événement « la somme est supérieure ou égale à $ 9 $ ». Donner la valeur exacte sous forme de fraction simplifiée, puis une valeur approchée à $ 0{,}01 $ près.
- À l'exécution, le programme a affiché $ 0{,}284 $. Ce résultat est-il cohérent avec la probabilité théorique calculée à la question précédente ? Expliquer brièvement.
- Décrire la modification à apporter au programme pour estimer la probabilité que la somme des deux dés soit égale à $ 7 $.
Corrigé
Les variables ont les rôles suivants :
- de1 et de2 stockent le résultat de chaque dé, simulé par un tirage entier aléatoire entre $ 1 $ et $ 6 $ ;
- somme stocke la somme des deux dés du lancer en cours ;
- compteur stocke le nombre de lancers, parmi les $ 1\,000 $, pour lesquels la somme a été supérieure ou égale à $ 9 $. Il est initialisé à $ 0 $ avant la boucle, puis augmenté de $ 1 $ à chaque lancer favorable.
- La somme de deux entiers compris entre $ 1 $ et $ 6 $ est un entier compris entre $ 2 $ et $ 12 $. Pour un entier, « strictement supérieur à $ 8 $ » signifie « supérieur ou égal à $ 9 $ ». Les deux conditions sont donc équivalentes ici. Scratch ne dispose pas du bloc $ \geqslant $ : on utilise $ > 8 $ pour tester $ \geqslant 9 $.
- À la fin du programme, la variable compteur contient le nombre de lancers favorables parmi $ 1\,000 $. Le quotient $ \dfrac{\text{compteur}}{1\,000} $ représente la fréquence de l'événement « somme $ \geqslant 9 $ » sur les $ 1\,000 $ lancers simulés.
- Chaque dé peut prendre $ 6 $ valeurs et les deux lancers sont indépendants. Le nombre total d'issues équiprobables est :
$ 6 \times 6 = 36 $ On liste les couples $ (\text{de1}\,;\,\text{de2}) $ tels que $ \text{de1} + \text{de2} \geqslant 9 $, par valeur de la somme :
- somme $ 9 $ : $ (3\,;\,6) $, $ (4\,;\,5) $, $ (5\,;\,4) $, $ (6\,;\,3) $ — soit $ 4 $ couples ;
- somme $ 10 $ : $ (4\,;\,6) $, $ (5\,;\,5) $, $ (6\,;\,4) $ — soit $ 3 $ couples ;
- somme $ 11 $ : $ (5\,;\,6) $, $ (6\,;\,5) $ — soit $ 2 $ couples ;
- somme $ 12 $ : $ (6\,;\,6) $ — soit $ 1 $ couple.
Le nombre total d'issues favorables est :
$ 4 + 3 + 2 + 1 = 10 $La probabilité théorique est :
$ p = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18} $Une valeur approchée :
$ \dfrac{5}{18} \approx 0{,}28 $La probabilité d'obtenir une somme supérieure ou égale à $ 9 $ est égale à $\mathbf{\dfrac{5}{18} \approx 0{,}28}$.
- Chaque dé peut prendre $ 6 $ valeurs et les deux lancers sont indépendants. Le nombre total d'issues équiprobables est :
- La fréquence affichée $ 0{,}284 $ est très proche de la probabilité théorique $ \dfrac{5}{18} \approx 0{,}278 $. C'est cohérent avec la loi des grands nombres : sur un grand nombre de simulations, la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique. L'écart entre les deux valeurs est dû au caractère aléatoire de la simulation.
- Pour estimer la probabilité que la somme soit égale à $ 7 $, il suffit de remplacer la condition $ \text{somme} > 8 $ par $ \text{somme} = 7 $. Tout le reste du programme reste identique : le compteur stockera alors le nombre de lancers de somme égale à $ 7 $ parmi les $ 1\,000 $ effectués.
