[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur l'égalité et la simplification de fractions, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{-7}{4} = \dfrac{7}{-4}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le signe d'une fraction peut se placer indifféremment au numérateur, au dénominateur ou devant la fraction : $\dfrac{-7}{4} = \dfrac{7}{-4} = -\dfrac{7}{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de penser qu'avoir le signe en haut ou en bas change la valeur de la fraction.
En réalité, $\dfrac{-7}{4}$ et $\dfrac{7}{-4}$ représentent le même nombre : leur écriture standard est $-\dfrac{7}{4}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le signe se place indifféremment au numérateur, au dénominateur ou devant la fraction. Par convention, on écrit le dénominateur positif : $-\dfrac{7}{4}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On simplifie par $6$ : $\dfrac{12 \div 6}{18 \div 6} = \dfrac{2}{3}$. Diviser numérateur et dénominateur par le même nombre non nul ne change pas la valeur de la fraction.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Tu n'as peut-être pas vu que $12$ et $18$ ont un diviseur commun, ici $6$.
$12 = 6 \times 2$ et $18 = 6 \times 3$, donc $\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. En divisant numérateur et dénominateur par $6$ : $\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{3 + 6}{6} = 3$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On ne peut pas simplifier le $6$ du dénominateur avec le $6$ du numérateur, car le numérateur est une somme. La simplification ne marche que pour des produits.
$\dfrac{3 + 6}{6} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
C'est une erreur très classique : on ne peut pas « barrer » le $6$ du numérateur avec le $6$ du dénominateur, car le numérateur est une somme, pas un produit.
Il faut d'abord calculer $3 + 6 = 9$, puis simplifier : $\dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La simplification ne s'applique qu'aux produits, jamais aux sommes au numérateur. $\dfrac{3 + 6}{6} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$, et non $3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour simplifier $\dfrac{-3}{4}$ par $5$, on peut écrire $\dfrac{-3}{4} = \dfrac{-3 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{-15}{20}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On peut multiplier numérateur et dénominateur par le même nombre non nul (ici $5$). Le signe $-$ s'applique à tout le numérateur, donc $-3 \times 5 = -15$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Tu confonds peut-être avec une simplification (qui consiste à diviser). Ici, on multiplie pour donner le même dénominateur que d'autres fractions.
Quand on multiplie, le signe $-$ accompagne tout le numérateur : $\dfrac{-3 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{-15}{20}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Multiplier numérateur et dénominateur par le même nombre non nul ne change pas la valeur de la fraction. Le signe $-$ porte sur tout le numérateur.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{8}{12}$ et $\dfrac{6}{9}$ représentent le même nombre.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ (en simplifiant par $4$) et $\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ (en simplifiant par $3$). Les deux fractions représentent bien le même nombre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour vérifier l'égalité de deux fractions, il faut les simplifier au maximum (ou les mettre au même dénominateur).
$\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ : les deux fractions sont égales.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. En simplifiant, $\dfrac{8}{12} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$. On peut aussi vérifier par produit en croix : $8 \times 9 = 72$ et $12 \times 6 = 72$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fraction $\dfrac{14}{21}$ est déjà simplifiée au maximum.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$14 = 7 \times 2$ et $21 = 7 \times 3$ : on peut simplifier par $7$. La forme la plus simple est $\dfrac{14}{21} = \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il faut chercher si numérateur et dénominateur ont un diviseur commun. Ici, $14$ et $21$ sont tous les deux dans la table de $7$.
On peut donc simplifier : $\dfrac{14}{21} = \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $14$ et $21$ sont tous deux divisibles par $7$, donc $\dfrac{14}{21} = \dfrac{2}{3}$ après simplification.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : règle des signes, quatre opérations sur les fractions, inverse et priorités opératoires. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Que vaut $A = \dfrac{-3}{5} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{15}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]$\dfrac{2}{15}$[/option]
[option]$\dfrac{-2}{15}$[/option]
[option]$\dfrac{4}{23}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le dénominateur commun est $15$ : $\dfrac{-9}{15} + \dfrac{10}{15} - \dfrac{1}{15} = \dfrac{-9 + 10 - 1}{15} = \dfrac{0}{15} = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{15}$"]Non.
Tu as oublié de soustraire $\dfrac{1}{15}$ à la fin (ou un autre terme). Recalcule en mettant tout au dénominateur $15$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-2}{15}$"]Non.
Tu as une erreur de signe au numérateur. Avec le dénominateur $15$ : $-9 + 10 - 1 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{23}$"]Non.
Tu as additionné les dénominateurs ($5 + 3 + 15 = 23$). Le dénominateur commun est un multiple commun : ici $15$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Avec le dénominateur $15$ : $\dfrac{-9 + 10 - 1}{15} = \dfrac{0}{15} = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $B = \dfrac{-2}{3} \times \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{6} \right)$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{4}{9}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{2}{9}$[/option]
[option]$\dfrac{-2}{9}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Parenthèse : $\dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{3}{6} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{-2}{6} = \dfrac{-1}{3}$.
Puis $B = \dfrac{-2}{3} \times \dfrac{-1}{3} = \dfrac{2}{9}$ (deux signes négatifs donnent un positif).[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{9}$"]Non.
Tu as fait une erreur sur la parenthèse, par exemple $\dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{-2}{3}$ au lieu de $\dfrac{-1}{3}$.
La parenthèse donne $\dfrac{-1}{3}$, puis $\dfrac{-2}{3} \times \dfrac{-1}{3} = \dfrac{2}{9}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-2}{9}$"]Non.
La distance à zéro est juste mais le signe est faux. Le résultat de la parenthèse est négatif, et un négatif multiplié par un négatif donne un positif.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Tu as fait $\dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{6}$ avec une erreur, ou tu n'as pas multiplié à la fin. Le résultat de la parenthèse est $\dfrac{-1}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Parenthèse : $\dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{-1}{3}$. Puis $\dfrac{-2}{3} \times \dfrac{-1}{3} = \dfrac{2}{9}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $C = \dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{4} \div \dfrac{-9}{8}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{-22}{15}$[/option]
[option]$\dfrac{-1}{15}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{16}{15}$[/option]
[option]$\dfrac{-16}{15}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La division est prioritaire : $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{-9}{8} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{-8}{9} = \dfrac{-2}{3}$ (après simplification).
Puis $C = \dfrac{2}{5} - \dfrac{-2}{3} = \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{15} + \dfrac{10}{15} = \dfrac{16}{15}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-22}{15}$"]Non.
Tu as soustrait $\dfrac{2}{3}$ au lieu d'ajouter $\dfrac{2}{3}$. Soustraire $-\dfrac{2}{3}$ revient à ajouter $\dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-1}{15}$"]Non.
Tu as fait la division avec une erreur de signe ($+\dfrac{2}{3}$ au lieu de $-\dfrac{2}{3}$).
La division par un négatif donne un résultat négatif.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-16}{15}$"]Non.
La distance à zéro est juste mais le signe est faux. Soustraire un négatif revient à ajouter, donc le résultat est positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Division d'abord : $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{-9}{8} = \dfrac{-2}{3}$. Puis $C = \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{16}{15}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'inverse de $\dfrac{-2}{3} + \dfrac{1}{6}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$-2$[/option]
[option]$\dfrac{-1}{2}$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On calcule d'abord la somme : $\dfrac{-2}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{-4}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{-3}{6} = \dfrac{-1}{2}$.
L'inverse de $\dfrac{-1}{2}$ est $\dfrac{-2}{1} = -2$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-1}{2}$"]Non.
Tu as donné le résultat de la somme, pas son inverse. Il faut ensuite échanger numérateur et dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
La distance à zéro est correcte mais le signe est faux. L'inverse conserve le signe du nombre, qui est ici négatif.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Tu as donné l'opposé de la somme, pas son inverse. L'opposé change le signe ; l'inverse échange numérateur et dénominateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Somme : $\dfrac{-2}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{-1}{2}$. Inverse : $-2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $D = \dfrac{(-3) \times 4 - 6}{2 - (-1)}$ ?
[qcm]
[option]$-3$[/option]
[option correct="true"]$-6$[/option]
[option]$-2$[/option]
[option]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La barre de fraction joue le rôle de parenthèses. Numérateur : $(-3) \times 4 - 6 = -12 - 6 = -18$. Dénominateur : $2 - (-1) = 2 + 1 = 3$. Donc $D = \dfrac{-18}{3} = -6$.[/reponse]
[reponse motif="$-3$"]Non.
Tu as une erreur au numérateur ou au dénominateur. Vérifie : $(-3) \times 4 = -12$, et $2 - (-1) = 3$, donc $\dfrac{-18}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$-2$"]Non.
Au dénominateur, $2 - (-1) = 3$, pas $1$. Soustraire un négatif revient à ajouter son opposé.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
La distance à zéro est correcte mais le signe est faux. Le numérateur est négatif, le dénominateur est positif, donc le quotient est négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Numérateur : $-12 - 6 = -18$. Dénominateur : $2 + 1 = 3$. $D = \dfrac{-18}{3} = -6$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Léa a parcouru les $\dfrac{2}{3}$ d'un trajet, puis encore $\dfrac{1}{4}$ du même trajet. Quelle fraction du trajet lui reste-t-il à parcourir ?
[qcm]
[option]$\dfrac{11}{12}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{5}{12}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Léa a parcouru $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}$ du trajet. Il lui reste donc $1 - \dfrac{11}{12} = \dfrac{12}{12} - \dfrac{11}{12} = \dfrac{1}{12}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{11}{12}$"]Non.
Tu as donné la fraction déjà parcourue, pas la fraction restante. Le total du trajet est $1$ ; il reste donc $1 - \dfrac{11}{12}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Tu as peut-être calculé $1 - \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}$ avec une erreur. La fraction parcourue vaut $\dfrac{11}{12}$, donc il reste $\dfrac{1}{12}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{12}$"]Non.
Cela correspond à $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12}$, mais Léa a ajouté les deux portions, pas soustrait.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Total parcouru : $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{11}{12}$. Reste : $1 - \dfrac{11}{12} = \dfrac{1}{12}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]