Sachets de perles : un problème de divisibilité

Léa dispose de $ 168 $ perles bleues et de $ 252 $ perles vertes. Elle souhaite confectionner des sachets identiques, c'est-à-dire contenant tous le même nombre de perles bleues et tous le même nombre de perles vertes, en utilisant toutes ses perles.
1. Vérifier que Léa peut former $ 12 $ sachets identiques. Préciser le nombre de perles de chaque couleur dans un sachet.
2. Léa peut-elle former $ 18 $ sachets identiques ? Justifier.
1. Décomposer $ 168 $ et $ 252 $ en produit de facteurs premiers.
2. En déduire la liste de tous les nombres possibles de sachets que Léa peut former.
3. Quel est le nombre maximum de sachets identiques qu'elle peut confectionner ? Donner alors la composition d'un sachet.
Léa décide finalement d'utiliser le nombre maximum de sachets de la question précédente. Elle ajoute $ 5 $ perles dorées par sachet. Combien de perles dorées doit-elle acheter au total ?

Corrigé

1. Avec $ 12 $ sachets identiques, chaque sachet contient $ 168 \div 12 = 14 $ perles bleues et $ 252 \div 12 = 21 $ perles vertes. Comme les divisions tombent juste, Léa peut former $ 12 $ sachets contenant chacun $ 14 $ perles bleues et $ 21 $ perles vertes.
2. Pour former $ 18 $ sachets identiques, il faudrait que $ 168 $ et $ 252 $ soient tous les deux divisibles par $ 18 $. Or $ 168 \div 18 \approx 9{,}33 $ ; la division ne tombe pas juste.
  
  Léa ne peut pas former $ 18 $ sachets identiques, car $ 168 $ n'est pas divisible par $ 18 $.
1. Décomposition de $ 168 $ :
  $ 168 = 2 \times 84 $
  $ 84 = 2 \times 42 $
  $ 42 = 2 \times 21 $
  $ 21 = 3 \times 7 $
  
  D'où $\mathbf{168 = 2^3 \times 3 \times 7}$.
  
  Décomposition de $ 252 $ :
  $ 252 = 2 \times 126 $
  $ 126 = 2 \times 63 $
  $ 63 = 3 \times 21 $
  $ 21 = 3 \times 7 $
  
  D'où $\mathbf{252 = 2^2 \times 3^2 \times 7}$.
2. Le nombre de sachets doit être un diviseur commun à $ 168 $ et $ 252 $. Un diviseur commun est de la forme $ 2^a \times 3^b \times 7^c $, où chaque exposant est inférieur ou égal au plus petit exposant figurant dans les deux décompositions :
  - $ a $ peut valoir $ 0 $, $ 1 $ ou $ 2 $ (le plus petit exposant de $ 2 $ est $ 2 $).
  - $ b $ peut valoir $ 0 $ ou $ 1 $ (le plus petit exposant de $ 3 $ est $ 1 $).
  - $ c $ peut valoir $ 0 $ ou $ 1 $ (le plus petit exposant de $ 7 $ est $ 1 $).
  On obtient les diviseurs communs en combinant ces possibilités. Cela donne $ 3 \times 2 \times 2 = 12 $ diviseurs :
  
  $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $, $ 6 $, $ 7 $, $ 12 $, $ 14 $, $ 21 $, $ 28 $, $ 42 $, $ 84 $
  
  Léa peut donc former $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $, $ 6 $, $ 7 $, $ 12 $, $ 14 $, $ 21 $, $ 28 $, $ 42 $ ou $ 84 $ sachets identiques.
3. Le nombre maximum est obtenu en prenant les exposants maximaux : $ a = 2 $, $ b = 1 $ et $ c = 1 $. On obtient :
  
  $ 2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 3 \times 7 = 84 $
  
  Avec $ 84 $ sachets, chaque sachet contient :
  $ 168 \div 84 = 2 $ perles bleues
  $ 252 \div 84 = 3 $ perles vertes
  
  Léa peut confectionner au maximum $ 84 $ sachets identiques, contenant chacun $ 2 $ perles bleues et $ 3 $ perles vertes.
Léa fabrique $ 84 $ sachets et ajoute $ 5 $ perles dorées par sachet. Le nombre total de perles dorées est :

$ 84 \times 5 = 420 $

Léa doit acheter $ 420 $ perles dorées.

Critères de divisibilité et chiffre manquant

Pour chacun des nombres suivants, indiquer s'il est divisible par $ 2 $, par $ 3 $, par $ 5 $ et par $ 9 $.
1. $ 414 $
2. $ 1\,275 $
3. $ 6\,048 $
4. $ 9\,075 $
On considère le nombre $ 5\,73\square $, où $ \square $ désigne un chiffre à déterminer.
1. Trouver tous les chiffres possibles pour que ce nombre soit divisible par $ 3 $.
2. Trouver tous les chiffres possibles pour que ce nombre soit divisible par $ 9 $.
3. Trouver tous les chiffres possibles pour que ce nombre soit à la fois divisible par $ 2 $ et par $ 5 $.

Corrigé

1. $ 414 $ : le chiffre des unités est $ 4 $ (pair) donc divisible par $ 2 $. Somme des chiffres : $ 4 + 1 + 4 = 9 $, divisible par $ 3 $ et par $ 9 $. Le chiffre des unités n'est ni $ 0 $ ni $ 5 $, donc non divisible par $ 5 $.
  
  $ 414 $ est divisible par $ 2 $, $ 3 $ et $ 9 $, mais pas par $ 5 $.
2. $ 1\,275 $ : chiffre des unités $ 5 $ (impair) donc non divisible par $ 2 $. Somme : $ 1 + 2 + 7 + 5 = 15 $, divisible par $ 3 $ mais pas par $ 9 $. Chiffre des unités $ 5 $, donc divisible par $ 5 $.
  
  $ 1\,275 $ est divisible par $ 3 $ et $ 5 $, mais pas par $ 2 $ ni par $ 9 $.
3. $ 6\,048 $ : chiffre des unités $ 8 $ (pair), divisible par $ 2 $. Somme : $ 6 + 0 + 4 + 8 = 18 $, divisible par $ 3 $ et par $ 9 $. Chiffre des unités ni $ 0 $ ni $ 5 $, donc non divisible par $ 5 $.
  
  $ 6\,048 $ est divisible par $ 2 $, $ 3 $ et $ 9 $, mais pas par $ 5 $.
4. $ 9\,075 $ : chiffre des unités $ 5 $ (impair) donc non divisible par $ 2 $. Somme : $ 9 + 0 + 7 + 5 = 21 $, divisible par $ 3 $ mais pas par $ 9 $. Chiffre des unités $ 5 $, donc divisible par $ 5 $.
  
  $ 9\,075 $ est divisible par $ 3 $ et $ 5 $, mais pas par $ 2 $ ni par $ 9 $.
Le nombre $ 5\,73\square $ a pour somme des chiffres $ 5 + 7 + 3 + \square = 15 + \square $.
1. Pour qu'il soit divisible par $ 3 $, il faut que $ 15 + \square $ soit divisible par $ 3 $. Comme $ 15 $ est déjà divisible par $ 3 $, il faut que $ \square $ le soit aussi.
  
  Les chiffres possibles sont $ 0 $, $ 3 $, $ 6 $ et $ 9 $.
  
  Quatre nombres conviennent : $ 5\,730 $, $ 5\,733 $, $ 5\,736 $ et $ 5\,739 $.
2. Pour qu'il soit divisible par $ 9 $, il faut que $ 15 + \square $ soit divisible par $ 9 $. Comme $ \square $ est un chiffre entre $ 0 $ et $ 9 $, on a $ 15 \leqslant 15 + \square \leqslant 24 $. Le seul multiple de $ 9 $ dans cet intervalle est $ 18 $.
  
  On obtient $ \square = 18 - 15 = 3 $.
  
  Un seul nombre convient : $ 5\,733 $.
3. Pour être divisible par $ 5 $, le chiffre des unités doit être $ 0 $ ou $ 5 $. Pour être divisible par $ 2 $, il doit être pair. Le seul chiffre qui satisfait les deux conditions est $ 0 $.
  
  Un seul nombre convient : $ 5\,730 $.

Vrai/Faux : Diviseurs et multiples

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les diviseurs et les multiples, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Le nombre $7$ est un diviseur de $50$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$50 \div 7 = 7{,}14…$ : ce n'est pas un nombre entier. Il n'existe aucun entier $k$ tel que $50 = 7 \times k$, donc $7$ n'est pas un diviseur de $50$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Pour qu'un nombre soit un diviseur, il faut trouver un entier qui complète la multiplication.
Or $7 \times 7 = 49$ et $7 \times 8 = 56$ : aucun multiple de $7$ ne tombe sur $50$, donc $7$ n'est pas un diviseur de $50$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $50$ n'est pas un multiple de $7$ ($7 \times 7 = 49$ et $7 \times 8 = 56$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $1$ est un diviseur de tous les entiers naturels.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour tout entier $n$, on a $n = 1 \times n$. Donc $1$ divise toujours $n$. C'est le seul nombre qui divise tous les entiers naturels.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Tout entier naturel $n$ s'écrit $n = 1 \times n$ : il existe donc bien un entier ($k = n$) tel que $n = 1 \times k$.
$1$ divise tous les entiers naturels, et chaque entier non nul est un diviseur de lui-même.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Tout entier $n$ vérifie $n = 1 \times n$, donc $1$ est un diviseur de $n$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $0$ est un multiple de $7$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On a $0 = 7 \times 0$ : il existe un entier ($k = 0$) tel que $0 = 7 \times k$. Donc $0$ est un multiple de $7$. Plus généralement, $0$ est un multiple de tout entier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est de penser que $0$ ne peut pas être un multiple. Pourtant, $0 = 7 \times 0$ : il existe bien un entier $k = 0$ tel que $0 = 7 \times k$.
$0$ est un multiple de tous les entiers (mais on ne peut jamais diviser par $0$).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $0 = 7 \times 0$ : $0$ est multiple de $7$ (et de tout entier).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si un nombre est divisible par $4$ et par $3$, alors il est divisible par $12$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$4$ et $3$ n'ont aucun facteur premier commun ($4 = 2^2$ et $3 = 3$). Si un nombre contient ces deux facteurs, il contient $4 \times 3 = 12$ dans sa décomposition. Exemple : $24 = 4 \times 6 = 3 \times 8$ et $24 = 12 \times 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : quand deux nombres n'ont pas de facteur premier commun (comme $3$ et $4$), un multiple commun est égal à leur produit.
$4 = 2^2$ et $3$ : un multiple des deux contient ces deux facteurs, donc $12$ aussi. Tester avec $24$, $36$, $48$… : tous sont multiples de $12$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $3$ et $4$ étant premiers entre eux, tout multiple commun est multiple de $3 \times 4 = 12$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si un nombre est divisible par $4$ et par $6$, alors il est divisible par $24$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Contre-exemple : $12$ est divisible par $4$ et par $6$, mais pas par $24$. Le piège : $4$ et $6$ ont un facteur commun ($2$). On ne peut pas multiplier directement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre avec la situation où les deux nombres n'ont pas de facteur commun (comme $3$ et $4$). Ici, $4 = 2^2$ et $6 = 2 \times 3$ partagent le facteur $2$.
Contre-exemple : $12$ est divisible par $4$ ($12 = 4 \times 3$) et par $6$ ($12 = 6 \times 2$), mais pas par $24$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Contre-exemple : $12$ est divisible par $4$ et par $6$, mais pas par $24$, car $4$ et $6$ partagent le facteur $2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Tout nombre divisible par $3$ est aussi divisible par $6$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Contre-exemple : $9$ est divisible par $3$ ($9 = 3 \times 3$) mais pas par $6$ ($9 \div 6 = 1{,}5$). Un multiple de $3$ n'est multiple de $6$ que s'il est aussi pair.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : $6 = 2 \times 3$. Pour être divisible par $6$, un nombre doit être divisible par $3$ et par $2$.
Or $9$, $15$ ou $21$ sont divisibles par $3$ mais sont impairs, donc pas divisibles par $6$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Contre-exemple : $9$ est divisible par $3$ mais pas par $6$ (il faut aussi être pair).
[/solution]
[/etape]

QCM : Critères de divisibilité

[enonce]
Ce QCM porte sur les critères de divisibilité par $2$, $3$, $5$, $9$ et $10$. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Parmi les nombres suivants, lequel est divisible par $3$ ?
[qcm]
[option]$524$[/option]
[option correct="true"]$417$[/option]
[option]$623$[/option]
[option]$806$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On regarde la somme des chiffres : $4 + 1 + 7 = 12$, et $12 = 3 \times 4$. Donc $417$ est divisible par $3$.[/reponse]
[reponse motif="$524$"]Non.
La somme des chiffres vaut $5 + 2 + 4 = 11$, qui n'est pas un multiple de $3$. Le critère ne porte pas sur le dernier chiffre mais sur la somme.[/reponse]
[reponse motif="$623$"]Non.
$6 + 2 + 3 = 11$ : ce n'est pas un multiple de $3$. Tester chaque proposition avec la somme des chiffres.[/reponse]
[reponse motif="$806$"]Non.
$8 + 0 + 6 = 14$ : pas un multiple de $3$. Le critère utilise la somme des chiffres, pas le dernier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le critère de divisibilité par $3$ est : la somme des chiffres doit être un multiple de $3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le nombre $1\,470$ est-il divisible par tous les nombres suivants ?
[qcm]
[option]Oui, par $2$, $3$, $5$ et $9$[/option]
[option correct="true"]Oui, par $2$, $3$, $5$ et $10$[/option]
[option]Oui, par $3$, $5$ et $9$ uniquement[/option]
[option]Oui, par $2$ et $5$ uniquement[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le chiffre des unités est $0$ : divisible par $2$, par $5$ et par $10$. Somme des chiffres : $1 + 4 + 7 + 0 = 12$, multiple de $3$ mais pas de $9$.[/reponse]
[reponse motif="Oui, par $2$, $3$, $5$ et $9$"]Non.
La somme des chiffres vaut $12$ : c'est un multiple de $3$ mais pas de $9$ ($9 \times 2 = 18$). Et le critère pour $10$ a aussi été oublié.[/reponse]
[reponse motif="Oui, par $3$, $5$ et $9$ uniquement"]Non.
Tu as oublié $2$ et $10$ : le chiffre des unités est $0$, donc le nombre est divisible par $2$ et par $10$. Et il n'est pas divisible par $9$.[/reponse]
[reponse motif="Oui, par $2$ et $5$ uniquement"]Non.
Tu as oublié de tester $3$ et $10$. Calculer la somme des chiffres pour $3$, et regarder le dernier chiffre pour $10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$1\,470$ se termine par $0$ (divisible par $2$, $5$ et $10$). Sa somme des chiffres vaut $12$ (divisible par $3$, pas par $9$).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel chiffre placer à la place du $\square$ pour que $5\,2\square8$ soit divisible par $9$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$1$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La somme des chiffres connus vaut $5 + 2 + 8 = 15$. Pour atteindre un multiple de $9$, il faut ajouter $3$ : $15 + 3 = 18 = 9 \times 2$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$5 + 2 + 1 + 8 = 16$, pas un multiple de $9$. Chercher le chiffre qui complète à $18$ ou $27$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$5 + 2 + 2 + 8 = 17$, pas un multiple de $9$. Le multiple de $9$ le plus proche est $18$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
$5 + 2 + 5 + 8 = 20$, pas un multiple de $9$. Tester en complétant à $18$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La somme des chiffres déjà placés est $15$. Il faut ajouter un chiffre pour atteindre un multiple de $9$ (le plus proche est $18$).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Parmi les nombres suivants, lequel n'est PAS divisible par $5$ ?
[qcm]
[option]$305$[/option]
[option]$2\,500$[/option]
[option correct="true"]$152$[/option]
[option]$8\,015$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le chiffre des unités de $152$ est $2$. Or un nombre est divisible par $5$ uniquement si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.[/reponse]
[reponse motif="$305$"]Non.
Le chiffre des unités de $305$ est $5$ : il est bien divisible par $5$ ($305 = 5 \times 61$). Chercher la proposition dont le dernier chiffre n'est ni $0$ ni $5$.[/reponse]
[reponse motif="$2\,500$"]Non.
Le chiffre des unités de $2\,500$ est $0$ : il est divisible par $5$ (et même par $10$ et $100$).[/reponse]
[reponse motif="$8\,015$"]Non.
Le chiffre des unités de $8\,015$ est $5$ : il est divisible par $5$. Le critère est très simple : dernier chiffre $0$ ou $5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un entier est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le nombre $a$ est divisible par $9$. Que peut-on en déduire à coup sûr ?
[qcm]
[option]$a$ est divisible par $2$.[/option]
[option]$a$ est divisible par $5$.[/option]
[option]$a$ se termine par $9$.[/option]
[option correct="true"]$a$ est divisible par $3$.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Si $a = 9 \times k$, alors $a = 3 \times (3k)$ : $a$ est aussi un multiple de $3$. Tout multiple de $9$ est multiple de $3$.[/reponse]
[reponse motif="$a$ est divisible par $2$."]Non.
Contre-exemple : $9 = 9 \times 1$ est divisible par $9$ mais pas par $2$. $9$ et $2$ ne sont pas liés.[/reponse]
[reponse motif="$a$ est divisible par $5$."]Non.
Contre-exemple : $9$ est divisible par $9$ mais pas par $5$. Il n'y a aucun lien entre $9$ et $5$.[/reponse]
[reponse motif="$a$ se termine par $9$."]Non.
Contre-exemple : $18$, $27$, $36$, $90$ sont divisibles par $9$ et ne se terminent pas par $9$. Le critère de $9$ porte sur la somme des chiffres.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$9 = 3 \times 3$ : tout multiple de $9$ est aussi multiple de $3$. La réciproque est fausse ($6$ est multiple de $3$ mais pas de $9$).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Combien y a-t-il de multiples de $5$ entre $1$ et $50$ (bornes incluses) ?
[qcm]
[option correct="true"]$10$[/option]
[option]$5$[/option]
[option]$9$[/option]
[option]$11$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les multiples de $5$ entre $1$ et $50$ sont : $5$, $10$, $15$, $20$, $25$, $30$, $35$, $40$, $45$, $50$. Cela fait $50 \div 5 = 10$ multiples.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Tu as peut-être confondu avec « le nombre de chiffres $5$ » ou compté autre chose. Lister les multiples : $5$, $10$, $15$, … jusqu'à $50$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
Tu as oublié $50$, qui est bien un multiple de $5$ ($50 = 5 \times 10$). La consigne précise « bornes incluses ».[/reponse]
[reponse motif="$11$"]Non.
Tu as compté un multiple en trop. $50 \div 5 = 10$ : il y a exactement $10$ multiples de $5$ de $5$ à $50$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour compter les multiples de $5$ entre $1$ et $50$, il suffit de calculer $50 \div 5 = 10$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]