[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur l'encadrement et les propriétés du cosinus, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Le cosinus d'un angle aigu est toujours strictement compris entre $0$ et $1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Dans un triangle rectangle, le côté adjacent est strictement plus court que l'hypoténuse. Le quotient $\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ est donc strictement compris entre $0$ et $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : l'hypoténuse est toujours le plus grand côté. Le côté adjacent étant plus court, le quotient adjacent/hypoténuse est forcément strictement entre $0$ et $1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le côté adjacent étant strictement plus court que l'hypoténuse, le cosinus d'un angle aigu est dans l'intervalle $]0\,;\,1[$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Il existe un triangle rectangle dans lequel un angle aigu a un cosinus égal à $1{,}2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Un cosinus égal à $1{,}2$ signifierait que le côté adjacent dépasse l'hypoténuse, ce qui est impossible : l'hypoténuse est toujours le plus grand côté.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est d'oublier la contrainte : adjacent < hypoténuse, donc cosinus < 1. Une valeur supérieure à $1$ est impossible pour le cosinus d'un angle aigu.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le cosinus d'un angle aigu est toujours strictement inférieur à $1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Plus l'angle aigu se rapproche de $90^{\circ}$, plus son cosinus se rapproche de $0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Quand l'angle aigu se rapproche de $90^{\circ}$, le côté adjacent (le côté qui touche cet angle, autre que l'hypoténuse) devient de plus en plus petit. Le quotient adjacent/hypoténuse tend donc vers $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pense géométriquement : un angle proche de $90^{\circ}$ correspond à un triangle « écrasé » où le côté adjacent devient minuscule. Le cosinus, qui est ce côté divisé par l'hypoténuse, tend donc vers $0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Plus l'angle est proche de $90^{\circ}$, plus le côté adjacent est petit, et plus le cosinus se rapproche de $0$. À titre indicatif : $\cos(89^{\circ}) \approx 0{,}017$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si deux angles aigus ont la même mesure, alors ils ont le même cosinus.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le cosinus dépend uniquement de la mesure de l'angle. Deux angles de même mesure ont donc forcément le même cosinus, même s'ils proviennent de triangles différents.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la valeur du cosinus ne dépend que de l'angle, pas de la taille du triangle. Deux angles de même mesure (par exemple deux angles de $35^{\circ}$) ont rigoureusement le même cosinus.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le cosinus est une fonction de l'angle uniquement : à mesure égale, cosinus égal.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si on agrandit un triangle rectangle d'un facteur $2$, le cosinus de chaque angle aigu est multiplié par $2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Quand on agrandit le triangle, toutes les longueurs sont multipliées par le même facteur. Le quotient adjacent/hypoténuse reste donc inchangé : le cosinus ne dépend pas de la taille du triangle, mais seulement des angles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au piège : quand le triangle est agrandi, numérateur et dénominateur sont multipliés par le même facteur, donc le quotient ne change pas. Les angles sont conservés, donc le cosinus aussi.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'agrandissement ne change pas les angles, et le cosinus dépend uniquement de l'angle : il reste inchangé.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle rectangle, le cosinus de l'un des deux angles aigus peut être égal à $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$, valeur strictement comprise entre $0$ et $1$ : c'est une valeur possible pour le cosinus d'un angle aigu. C'est précisément le cosinus de l'angle de $45^{\circ}$ (rencontré dans un demi-carré).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Calcul : $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$, qui est bien dans $]0\,;\,1[$. C'est même une valeur classique : celle du cosinus de $45^{\circ}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$ est dans $]0\,;\,1[$, et c'est le cosinus de l'angle de $45^{\circ}$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur les pièges fréquents dans l'utilisation du cosinus, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour calculer un cosinus avec la calculatrice, il faut s'assurer qu'elle est en mode degrés.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
En classe de 4e, les angles sont mesurés en degrés. Si la calculatrice est en mode radians, le résultat sera complètement faux. Vérifier la mention "DEG" ou "D" sur l'écran avant tout calcul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Erreur classique : oublier de vérifier l'unité d'angle. En 4e, on travaille en degrés. Si la calculatrice est en mode radians (RAD) ou en grades (GRAD), les résultats seront erronés.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Vérifier systématiquement le mode "DEG" avant tout calcul de cosinus en 4e.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

Affirmation : Pour l'angle $\widehat{B}$, on peut écrire $\cos(\widehat{B}) = \dfrac{AC}{BC}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le côté $[AC]$ ne touche pas le sommet $B$ : ce n'est pas le côté adjacent à $\widehat{B}$, c'est le côté opposé. Le côté adjacent à $\widehat{B}$ est $[AB]$, donc $\cos(\widehat{B}) = \dfrac{AB}{BC}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Piège classique : confondre côté adjacent et côté opposé. Le côté adjacent à $\widehat{B}$ est celui qui touche $B$ (et qui n'est pas l'hypoténuse), c'est-à-dire $[AB]$, pas $[AC]$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour $\widehat{B}$, le côté adjacent est $[AB]$, donc $\cos(\widehat{B}) = \dfrac{AB}{BC}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si on connaît un côté et un angle aigu d'un triangle rectangle, on peut toujours calculer un autre côté avec le cosinus.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le cosinus relie l'angle, le côté adjacent et l'hypoténuse. Si le côté connu est le côté opposé à l'angle (qui n'apparaît pas dans la formule du cosinus), on ne peut pas conclure avec le cosinus seul. En 4e, on n'a pas encore le sinus ni la tangente.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : le cosinus ne fait intervenir que deux côtés (adjacent et hypoténuse). Si la longueur connue est le côté opposé à l'angle, il faut combiner cosinus et théorème de Pythagore (ou attendre la 3e pour le sinus).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le cosinus utilise seulement le côté adjacent et l'hypoténuse. Si le côté connu est opposé à l'angle, le cosinus seul ne suffit pas.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour calculer un angle dont on connaît le cosinus, on utilise la touche $\cos$ de la calculatrice.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La touche $\cos$ donne le cosinus d'un angle (entrée : un angle, sortie : un nombre). Pour faire l'opération inverse (entrée : un nombre, sortie : un angle), il faut la touche $\cos^{-1}$ (ou arccos), souvent obtenue avec 2nde + $\cos$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Confusion classique entre $\cos$ et $\cos^{-1}$. La touche $\cos$ part d'un angle ; pour partir d'un cosinus et retrouver l'angle, il faut la touche inverse $\cos^{-1}$ (souvent en seconde fonction).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour passer du cosinus à l'angle, on utilise la touche $\cos^{-1}$ (ou arccos), pas $\cos$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le triangle $RST$ est rectangle en $R$ avec $\widehat{S} = 35^{\circ}$ et $ST = 8$ cm.

Affirmation : On peut calculer $RS$ par $RS = 8 \times \cos(35^{\circ})$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le triangle est rectangle en $R$, donc l'hypoténuse est $[ST]$. Pour $\widehat{S}$, le côté adjacent est $[RS]$. Donc $\cos(35^{\circ}) = \dfrac{RS}{ST} = \dfrac{RS}{8}$, d'où $RS = 8 \times \cos(35^{\circ})$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : le cosinus part de l'angle et donne le rapport adjacent/hypoténuse. Ici, $RS$ est le côté adjacent à $\widehat{S}$ et $ST$ l'hypoténuse, donc $RS = ST \times \cos(35^{\circ}) = 8 \times \cos(35^{\circ})$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $RS$ est le côté adjacent à $\widehat{S}$, $ST$ est l'hypoténuse, donc $RS = 8 \times \cos(35^{\circ})$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le triangle $MNP$ est rectangle en $M$ avec $MN = 4$ cm et $NP = 6$ cm.

Affirmation : On peut écrire $\cos(\widehat{N}) = \dfrac{6}{4}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le triangle est rectangle en $M$, donc l'hypoténuse est $[NP]$ ($6$ cm). Le côté adjacent à $\widehat{N}$ est $[MN]$ ($4$ cm). Le quotient correct est $\dfrac{4}{6}$, pas $\dfrac{6}{4}$ : ici, le quotient a été inversé. De plus, $\dfrac{6}{4} = 1{,}5 > 1$, ce qui est impossible pour un cosinus d'angle aigu.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Vérification rapide : $\dfrac{6}{4} = 1{,}5$, valeur supérieure à $1$, ce qui est impossible pour un cosinus. Le quotient correct place l'hypoténuse au dénominateur : $\cos(\widehat{N}) = \dfrac{4}{6}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'hypoténuse $[NP]$ doit être au dénominateur : $\cos(\widehat{N}) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur les définitions et le vocabulaire du cosinus, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté le plus long.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'hypoténuse est opposée à l'angle droit, qui est le plus grand angle du triangle. Or, dans un triangle, le plus grand côté est opposé au plus grand angle. L'hypoténuse est donc le plus grand côté.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : le plus grand côté d'un triangle est opposé au plus grand angle. L'angle droit étant le plus grand angle d'un triangle rectangle, le côté qui lui est opposé (l'hypoténuse) est bien le plus long.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'hypoténuse, opposée à l'angle droit, est toujours le plus grand côté d'un triangle rectangle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le côté adjacent à un angle aigu est toujours le même, quel que soit l'angle aigu choisi.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le côté adjacent change selon l'angle choisi. Pour le sommet $B$, le côté adjacent est celui qui touche $B$ (autre que l'hypoténuse) ; pour le sommet $C$, c'est l'autre côté de l'angle droit. Seule l'hypoténuse reste la même.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre avec l'hypoténuse, qui ne dépend pas de l'angle. Le côté adjacent dépend bien de l'angle aigu choisi : il s'agit du côté de l'angle droit qui touche cet angle, et il change d'un angle à l'autre.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le côté adjacent change selon l'angle aigu considéré : c'est l'hypoténuse qui reste invariante.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient de l'hypoténuse par le côté adjacent.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La définition est l'inverse : $\cos = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$. Le côté adjacent est au numérateur, l'hypoténuse au dénominateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est l'inversion du quotient. La définition correcte place le côté adjacent au numérateur et l'hypoténuse au dénominateur.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La définition correcte est $\cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on s'intéresse à l'angle $\widehat{B}$.

Affirmation : Le côté adjacent à $\widehat{B}$ est $[AB]$ et l'hypoténuse est $[BC]$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le triangle est rectangle en $A$ : l'hypoténuse est $[BC]$ (opposée à l'angle droit). Pour $\widehat{B}$, le côté adjacent est le côté de l'angle droit qui touche $B$, c'est-à-dire $[AB]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le repérage est correct : $[BC]$ est bien l'hypoténuse (opposée à l'angle droit en $A$), et $[AB]$ est bien le côté adjacent à $\widehat{B}$ (côté de l'angle droit qui touche $B$).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour $\widehat{B}$ : hypoténuse $[BC]$ et côté adjacent $[AB]$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le cosinus d'un angle aigu est un nombre exprimé en degrés.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le cosinus est un quotient de deux longueurs : les unités s'annulent et le résultat est un nombre sans unité. Ce sont les angles qui s'expriment en degrés, pas le cosinus.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre l'angle et son cosinus. L'angle se mesure en degrés ; son cosinus est un nombre sans unité (rapport de deux longueurs).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le cosinus est un nombre sans unité (un rapport de longueurs) ; seul l'angle s'exprime en degrés.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu peut s'écrire à partir des trois côtés du triangle.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le cosinus utilise uniquement deux côtés : le côté adjacent à l'angle et l'hypoténuse. Le troisième côté (opposé à l'angle) n'apparaît pas dans la formule du cosinus.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le cosinus se construit avec deux longueurs seulement : adjacent et hypoténuse. Le côté opposé à l'angle n'intervient pas (il sera utilisé pour le sinus, vu en 3e).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le cosinus utilise seulement deux côtés : le côté adjacent et l'hypoténuse.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : vocabulaire, calcul de longueurs, calcul d'angles et problèmes concrets avec le cosinus. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.

Valeurs utiles : $\cos(35^{\circ}) \approx 0{,}819$ ; $\cos(40^{\circ}) \approx 0{,}766$ ; $\cos(55^{\circ}) \approx 0{,}574$ ; $\cos^{-1}(0{,}6) \approx 53^{\circ}$ ; $\cos^{-1}(0{,}7) \approx 46^{\circ}$.
[/enonce]

[etape]
Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$. Quelle est l'écriture correcte du cosinus de $\widehat{A}$ ?
[qcm]
[option]$\cos(\widehat{A}) = \dfrac{BC}{AB}$[/option]
[option]$\cos(\widehat{A}) = \dfrac{AB}{AC}$[/option]
[option correct="true"]$\cos(\widehat{A}) = \dfrac{AC}{AB}$[/option]
[option]$\cos(\widehat{A}) = \dfrac{AC}{BC}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le triangle est rectangle en $C$, donc l'hypoténuse est $[AB]$. Pour $\widehat{A}$, le côté adjacent est $[AC]$ (côté de l'angle droit qui touche $A$). D'où $\cos(\widehat{A}) = \dfrac{AC}{AB}$.[/reponse]
[reponse motif="$\cos(\widehat{A}) = \dfrac{BC}{AB}$"]Non.
$[BC]$ ne touche pas le sommet $A$ : c'est le côté opposé à $\widehat{A}$, pas le côté adjacent.[/reponse]
[reponse motif="$\cos(\widehat{A}) = \dfrac{AB}{AC}$"]Non.
Le numérateur et le dénominateur sont inversés : l'hypoténuse doit toujours être au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$\cos(\widehat{A}) = \dfrac{AC}{BC}$"]Non.
Le dénominateur doit être l'hypoténuse $[AB]$, pas l'autre côté de l'angle droit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $\widehat{A}$, $\cos(\widehat{A}) = \dfrac{AC}{AB}$ (adjacent sur hypoténuse).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $DEF$ est rectangle en $D$ avec $\widehat{E} = 35^{\circ}$ et $EF = 10$ cm. Quelle est la longueur de $DE$, arrondie à $0{,}1$ près ?
[qcm]
[option correct="true"]$8{,}2$ cm[/option]
[option]$5{,}7$ cm[/option]
[option]$12{,}2$ cm[/option]
[option]$10{,}5$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour $\widehat{E}$, le côté adjacent est $[DE]$ et l'hypoténuse est $[EF]$.
$\cos(35^{\circ}) = \dfrac{DE}{10}$ donc $DE = 10 \times \cos(35^{\circ}) \approx 10 \times 0{,}819 \approx 8{,}2$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$5{,}7$ cm"]Non.
Cette valeur correspond à $10 \times \cos(55^{\circ})$ : on a peut-être confondu l'angle ou utilisé l'angle complémentaire.[/reponse]
[reponse motif="$12{,}2$ cm"]Non.
Cette valeur correspond à $\dfrac{10}{\cos(35^{\circ})}$ : on a divisé au lieu de multiplier. Une longueur dans un triangle rectangle ne peut pas dépasser l'hypoténuse de $10$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$10{,}5$ cm"]Non.
Cette valeur dépasse l'hypoténuse, ce qui est impossible pour un côté de l'angle droit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$DE = 10 \times \cos(35^{\circ}) \approx 8{,}2$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $RST$ est rectangle en $S$ avec $RS = 3$ cm et $RT = 5$ cm. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{R}$, arrondie au degré près ?
[qcm]
[option]$37^{\circ}$[/option]
[option correct="true"]$53^{\circ}$[/option]
[option]$60^{\circ}$[/option]
[option]$30^{\circ}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour $\widehat{R}$, le côté adjacent est $[RS]$ et l'hypoténuse est $[RT]$.
$\cos(\widehat{R}) = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$, donc $\widehat{R} = \cos^{-1}(0{,}6) \approx 53^{\circ}$.[/reponse]
[reponse motif="$37^{\circ}$"]Non.
$37^{\circ}$ est l'angle complémentaire ($90^{\circ} - 53^{\circ}$). C'est la mesure de $\widehat{T}$, pas de $\widehat{R}$.[/reponse]
[reponse motif="$60^{\circ}$"]Non.
$60^{\circ}$ correspondrait à un cosinus de $0{,}5$. Le quotient ici est $0{,}6$, donc l'angle est légèrement plus petit que $60^{\circ}$.[/reponse]
[reponse motif="$30^{\circ}$"]Non.
$30^{\circ}$ correspondrait à un cosinus d'environ $0{,}866$, très différent de $0{,}6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\cos(\widehat{R}) = 0{,}6$ donc $\widehat{R} \approx 53^{\circ}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une rampe d'accès rectiligne mesure $4$ m. Elle forme un angle de $40^{\circ}$ avec le sol horizontal. Quelle est la distance horizontale parcourue, arrondie à $0{,}1$ m près ?
[qcm]
[option]$2{,}6$ m[/option]
[option correct="true"]$3{,}1$ m[/option]
[option]$5{,}2$ m[/option]
[option]$1{,}5$ m[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La rampe, le sol et le mur forment un triangle rectangle (le mur vertical est perpendiculaire au sol). La rampe est l'hypoténuse ($4$ m) et la distance horizontale est le côté adjacent à l'angle de $40^{\circ}$.
$\cos(40^{\circ}) = \dfrac{d}{4}$ donc $d = 4 \times \cos(40^{\circ}) \approx 4 \times 0{,}766 \approx 3{,}1$ m.[/reponse]
[reponse motif="$2{,}6$ m"]Non.
$2{,}6 \approx 4 \times \cos(50^{\circ})$. Vérifier l'angle utilisé.[/reponse]
[reponse motif="$5{,}2$ m"]Non.
$5{,}2 \approx \dfrac{4}{\cos(40^{\circ})}$ : on a divisé au lieu de multiplier. Une distance horizontale parcourue le long d'une rampe est toujours plus courte que la rampe elle-même.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}5$ m"]Non.
Pour un angle de $40^{\circ}$ (assez petit par rapport à $90^{\circ}$), la rampe est presque horizontale : la distance horizontale doit être proche de $4$ m, pas si courte.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$d = 4 \times \cos(40^{\circ}) \approx 3{,}1$ m.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une échelle mesure $5$ m. On la dresse contre un mur vertical de telle sorte que son pied est à $3{,}5$ m du mur. Quelle est la mesure, arrondie au degré près, de l'angle formé par l'échelle avec le sol ?
[qcm]
[option]$70^{\circ}$[/option]
[option correct="true"]$46^{\circ}$[/option]
[option]$53^{\circ}$[/option]
[option]$35^{\circ}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'échelle est l'hypoténuse ($5$ m), la distance au pied est le côté adjacent à l'angle cherché ($3{,}5$ m).
$\cos(\alpha) = \dfrac{3{,}5}{5} = 0{,}7$, donc $\alpha = \cos^{-1}(0{,}7) \approx 46^{\circ}$.[/reponse]
[reponse motif="$70^{\circ}$"]Non.
$70^{\circ}$ correspondrait à un cosinus d'environ $0{,}342$. Vérifier le quotient $\dfrac{3{,}5}{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$53^{\circ}$"]Non.
$53^{\circ}$ correspondrait à un cosinus de $0{,}6$. Le quotient calculé est ici $0{,}7$.[/reponse]
[reponse motif="$35^{\circ}$"]Non.
Si l'échelle est inclinée à $35^{\circ}$, son pied serait éloigné d'environ $5 \times \cos(35^{\circ}) \approx 4{,}1$ m, pas $3{,}5$ m.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\cos(\alpha) = 0{,}7$ donc $\alpha \approx 46^{\circ}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on connaît seulement $\widehat{B} = 50^{\circ}$ et $AB = 6$ cm. Pour calculer $BC$, quelle démarche est correcte ?
[qcm]
[option]Utiliser le théorème de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2$[/option]
[option correct="true"]Utiliser le cosinus : $\cos(50^{\circ}) = \dfrac{6}{BC}$[/option]
[option]Multiplier $AB$ par $\widehat{B}$ : $BC = 6 \times 50$[/option]
[option]Diviser $\widehat{B}$ par $AB$ : $BC = \dfrac{50}{6}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On connaît un côté ($AB = 6$ cm, côté adjacent à $\widehat{B}$) et un angle ($\widehat{B} = 50^{\circ}$). Le côté cherché $BC$ est l'hypoténuse, donc le cosinus relie ces trois informations : $\cos(50^{\circ}) = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{6}{BC}$.[/reponse]
[reponse motif="Utiliser le théorème de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2$"]Non.
Le théorème de Pythagore demande deux longueurs. Ici, on connaît une seule longueur et un angle : c'est le cosinus qui s'impose.[/reponse]
[reponse motif="Multiplier $AB$ par $\widehat{B}$ : $BC = 6 \times 50$"]Non.
On ne peut pas multiplier directement une longueur par un angle : ces deux grandeurs ne s'opèrent pas comme cela. Le cosinus sert d'intermédiaire.[/reponse]
[reponse motif="Diviser $\widehat{B}$ par $AB$ : $BC = \dfrac{50}{6}$"]Non.
Diviser un angle par une longueur n'a pas de sens géométrique. Pour relier angle et longueur, on passe par le cosinus.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On utilise le cosinus : $\cos(50^{\circ}) = \dfrac{6}{BC}$, donc $BC = \dfrac{6}{\cos(50^{\circ})}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur la définition du cosinus d'un angle aigu et sur la lecture de la formule sur une figure. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est défini comme :
[qcm]
[option]le quotient de l'hypoténuse par le côté adjacent[/option]
[option correct="true"]le quotient du côté adjacent par l'hypoténuse[/option]
[option]le quotient du côté opposé par l'hypoténuse[/option]
[option]le produit du côté adjacent par l'hypoténuse[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Par définition : $\cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$. Le numérateur est le côté adjacent, le dénominateur est l'hypoténuse.[/reponse]
[reponse motif="le quotient de l'hypoténuse par le côté adjacent"]Non.
Le numérateur et le dénominateur sont inversés. Relire la définition du cosinus.[/reponse]
[reponse motif="le quotient du côté opposé par l'hypoténuse"]Non.
Cette définition est celle du sinus, qui sera vu en 3e. En 4e, on étudie uniquement le cosinus.[/reponse]
[reponse motif="le produit du côté adjacent par l'hypoténuse"]Non.
Le cosinus est un quotient (un rapport), pas un produit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Par définition, $\cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Quelle écriture du cosinus de $\widehat{B}$ est correcte ?
[qcm]
[option]$\cos(\widehat{B}) = \dfrac{BC}{AB}$[/option]
[option]$\cos(\widehat{B}) = \dfrac{AC}{BC}$[/option]
[option correct="true"]$\cos(\widehat{B}) = \dfrac{AB}{BC}$[/option]
[option]$\cos(\widehat{B}) = \dfrac{AB}{AC}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour l'angle $\widehat{B}$ : l'hypoténuse est $[BC]$ (opposée à l'angle droit en $A$) et le côté adjacent est $[AB]$ (côté de l'angle droit qui touche $B$). Donc $\cos(\widehat{B}) = \dfrac{AB}{BC}$.[/reponse]
[reponse motif="$\cos(\widehat{B}) = \dfrac{BC}{AB}$"]Non.
Numérateur et dénominateur sont inversés. L'hypoténuse doit être au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$\cos(\widehat{B}) = \dfrac{AC}{BC}$"]Non.
$[AC]$ ne touche pas le sommet $B$ : ce n'est pas le côté adjacent à $\widehat{B}$.[/reponse]
[reponse motif="$\cos(\widehat{B}) = \dfrac{AB}{AC}$"]Non.
Le dénominateur doit être l'hypoténuse $[BC]$, pas $[AC]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $\widehat{B}$, le côté adjacent est $[AB]$ et l'hypoténuse est $[BC]$, donc $\cos(\widehat{B}) = \dfrac{AB}{BC}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $DEF$ est rectangle en $D$ avec $DE = 3$ cm, $DF = 4$ cm et $EF = 5$ cm. Quelle est la valeur de $\cos(\widehat{E})$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{4}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{5}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{4}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour $\widehat{E}$ : l'hypoténuse est $[EF] = 5$ cm et le côté adjacent est $[DE] = 3$ cm. Donc $\cos(\widehat{E}) = \dfrac{3}{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{5}$"]Non.
$4$ correspond à $[DF]$, qui ne touche pas le sommet $E$. Le côté adjacent à $\widehat{E}$ est différent.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{3}$"]Non.
Le quotient est inversé. L'hypoténuse doit être au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{4}$"]Non.
$\dfrac{3}{4}$ est le rapport entre les deux côtés de l'angle droit, mais le cosinus utilise l'hypoténuse, pas l'autre côté de l'angle droit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le côté adjacent à $\widehat{E}$ est $[DE] = 3$ et l'hypoténuse est $[EF] = 5$, donc $\cos(\widehat{E}) = \dfrac{3}{5}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $DEF$ est toujours rectangle en $D$ avec $DE = 3$ cm, $DF = 4$ cm et $EF = 5$ cm. Quelle est la valeur de $\cos(\widehat{F})$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{3}{5}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{4}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{4}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{5}{4}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Pour $\widehat{F}$ : l'hypoténuse est $[EF] = 5$ cm et le côté adjacent est $[DF] = 4$ cm (côté de l'angle droit qui touche $F$). Donc $\cos(\widehat{F}) = \dfrac{4}{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{5}$"]Non.
$3$ correspond à $[DE]$, qui ne touche pas le sommet $F$. C'est le côté opposé à $\widehat{F}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{3}$"]Non.
Le dénominateur doit être l'hypoténuse $[EF]$, pas l'autre côté de l'angle droit.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{4}$"]Non.
Le quotient est inversé : l'hypoténuse doit être au dénominateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le côté adjacent à $\widehat{F}$ est $[DF] = 4$ et l'hypoténuse est $[EF] = 5$, donc $\cos(\widehat{F}) = \dfrac{4}{5}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On donne un triangle rectangle où le côté adjacent à un angle aigu mesure $7$ cm et l'hypoténuse mesure $14$ cm. Quelle est la valeur exacte du cosinus de cet angle ?
[qcm]
[option]$2$[/option]
[option]$0{,}7$[/option]
[option correct="true"]$0{,}5$[/option]
[option]$7$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$\cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{7}{14} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$\dfrac{14}{7} = 2$ : le quotient est inversé. Le cosinus a toujours l'hypoténuse au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}7$"]Non.
$0{,}7$ ne correspond pas à $\dfrac{7}{14}$. Effectuer la division avec attention.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
$7$ est la longueur du côté adjacent, pas la valeur du cosinus. Le cosinus est un quotient, donc un nombre sans unité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\cos(\text{angle}) = \dfrac{7}{14} = 0{,}5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle affirmation est toujours vraie pour le cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle ?
[qcm]
[option]Il est toujours strictement supérieur à $1$[/option]
[option correct="true"]Il est toujours strictement compris entre $0$ et $1$[/option]
[option]Il est toujours négatif[/option]
[option]Il peut prendre n'importe quelle valeur[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le côté adjacent est strictement plus court que l'hypoténuse dans un triangle rectangle. Donc le quotient $\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ est strictement compris entre $0$ et $1$.[/reponse]
[reponse motif="Il est toujours strictement supérieur à $1$"]Non.
Pour qu'un quotient soit supérieur à $1$, il faudrait que le numérateur dépasse le dénominateur. Or l'hypoténuse est toujours le plus grand côté.[/reponse]
[reponse motif="Il est toujours négatif"]Non.
Les longueurs sont positives, donc le quotient l'est aussi : un cosinus d'angle aigu est toujours positif.[/reponse]
[reponse motif="Il peut prendre n'importe quelle valeur"]Non.
Les longueurs imposent une contrainte forte : adjacent < hypoténuse, donc le quotient reste strictement entre $0$ et $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comme le côté adjacent est plus court que l'hypoténuse, le cosinus d'un angle aigu est toujours strictement compris entre $0$ et $1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur l'identification du côté adjacent et de l'hypoténuse dans un triangle rectangle. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Quel est le côté qui correspond à l'hypoténuse ?
[qcm]
[option]$[AB]$[/option]
[option]$[AC]$[/option]
[option correct="true"]$[BC]$[/option]
[option]Cela dépend de l'angle aigu choisi[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, ici l'angle en $A$. Le côté qui ne touche pas $A$ est $[BC]$.[/reponse]
[reponse motif="$[AB]$"]Non.
$[AB]$ contient le sommet $A$ : c'est un côté de l'angle droit, pas le côté opposé.[/reponse]
[reponse motif="$[AC]$"]Non.
$[AC]$ contient le sommet $A$ : c'est l'autre côté de l'angle droit.[/reponse]
[reponse motif="Cela dépend de l'angle aigu choisi"]Non.
L'hypoténuse ne dépend pas de l'angle aigu : c'est toujours le côté opposé à l'angle droit, donc le même pour les deux angles aigus.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, donc le côté qui ne touche pas le sommet de l'angle droit.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $RST$ est rectangle en $S$. Quel est le côté adjacent à l'angle $\widehat{R}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$[RS]$[/option]
[option]$[ST]$[/option]
[option]$[RT]$[/option]
[option]Le triangle n'a pas de côté adjacent[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le côté adjacent à un angle aigu est le côté de l'angle droit qui touche aussi cet angle. L'angle $\widehat{R}$ est formé par les côtés $[RS]$ et $[RT]$. Comme $[RT]$ est l'hypoténuse, le côté adjacent est $[RS]$.[/reponse]
[reponse motif="$[ST]$"]Non.
$[ST]$ ne touche pas le sommet $R$ : c'est le côté opposé à l'angle $\widehat{R}$, pas le côté adjacent.[/reponse]
[reponse motif="$[RT]$"]Non.
$[RT]$ contient le sommet $R$, mais c'est aussi le côté opposé à l'angle droit : c'est l'hypoténuse, pas le côté adjacent.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle n'a pas de côté adjacent"]Non.
Tout angle aigu d'un triangle rectangle possède un côté adjacent : c'est le côté de l'angle droit qui touche cet angle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le côté adjacent à $\widehat{R}$ est le côté de l'angle droit qui touche $R$, donc $[RS]$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $DEF$ est rectangle en $D$. Quel est le côté adjacent à l'angle $\widehat{F}$ ?
[qcm]
[option]$[DE]$[/option]
[option correct="true"]$[DF]$[/option]
[option]$[EF]$[/option]
[option]Il n'existe pas[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'angle $\widehat{F}$ est formé par les côtés $[FD]$ et $[FE]$. L'hypoténuse est $[EF]$ (opposée à l'angle droit en $D$). Le côté de l'angle droit qui touche $F$ est donc $[DF]$.[/reponse]
[reponse motif="$[DE]$"]Non.
$[DE]$ ne touche pas le sommet $F$ : c'est le côté opposé à l'angle $\widehat{F}$.[/reponse]
[reponse motif="$[EF]$"]Non.
$[EF]$ touche bien $F$, mais c'est l'hypoténuse (opposée à l'angle droit en $D$), pas un côté de l'angle droit.[/reponse]
[reponse motif="Il n'existe pas"]Non.
Chaque angle aigu d'un triangle rectangle a bien un côté adjacent.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le côté adjacent à $\widehat{F}$ est le côté de l'angle droit qui touche $F$, c'est-à-dire $[DF]$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un triangle rectangle, comment l'hypoténuse se compare-t-elle aux deux autres côtés ?
[qcm]
[option]Elle est plus courte que chacun des autres côtés[/option]
[option]Elle a la même longueur que le plus grand des deux autres côtés[/option]
[option correct="true"]Elle est plus longue que chacun des deux autres côtés[/option]
[option]Sa longueur dépend du choix de l'angle aigu[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'hypoténuse est toujours le plus grand côté du triangle rectangle : elle est plus longue que les deux côtés de l'angle droit.[/reponse]
[reponse motif="Elle est plus courte que chacun des autres côtés"]Non.
C'est l'inverse : l'hypoténuse est le côté le plus long du triangle rectangle.[/reponse]
[reponse motif="Elle a la même longueur que le plus grand des deux autres côtés"]Non.
L'hypoténuse est strictement plus longue que chacun des deux côtés de l'angle droit.[/reponse]
[reponse motif="Sa longueur dépend du choix de l'angle aigu"]Non.
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : elle est unique et ne dépend pas de l'angle aigu choisi.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'hypoténuse est le plus grand côté du triangle rectangle.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $MNP$ est rectangle en $N$, avec $MN = 5$ cm, $NP = 12$ cm et $MP = 13$ cm. Quel est le côté adjacent à $\widehat{M}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$[MN]$, soit $5$ cm[/option]
[option]$[NP]$, soit $12$ cm[/option]
[option]$[MP]$, soit $13$ cm[/option]
[option]On ne peut pas le savoir avec ces informations[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le triangle est rectangle en $N$, donc l'hypoténuse est $[MP]$. Pour l'angle $\widehat{M}$, le côté adjacent est le côté de l'angle droit qui touche $M$ : c'est $[MN]$, de longueur $5$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$[NP]$, soit $12$ cm"]Non.
$[NP]$ ne touche pas le sommet $M$ : c'est le côté opposé à l'angle $\widehat{M}$.[/reponse]
[reponse motif="$[MP]$, soit $13$ cm"]Non.
$[MP]$ est l'hypoténuse (opposée à l'angle droit en $N$), pas un côté de l'angle droit.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas le savoir avec ces informations"]Non.
Le sommet de l'angle droit est connu (en $N$) : on en déduit l'hypoténuse, puis le côté adjacent à chaque angle aigu.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le côté de l'angle droit qui touche $M$ est $[MN]$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $XYZ$ est rectangle en $Y$. Pour calculer $\cos(\widehat{Z})$, quels sont les deux côtés à utiliser ?
[qcm]
[option]$[XY]$ et $[YZ]$[/option]
[option]$[XY]$ et $[XZ]$[/option]
[option correct="true"]$[YZ]$ et $[XZ]$[/option]
[option]Les trois côtés sont nécessaires[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Pour l'angle $\widehat{Z}$ : l'hypoténuse est $[XZ]$ (opposée à l'angle droit en $Y$) et le côté adjacent à $\widehat{Z}$ est $[YZ]$ (côté de l'angle droit qui touche $Z$).[/reponse]
[reponse motif="$[XY]$ et $[YZ]$"]Non.
Ce sont les deux côtés de l'angle droit. Or il faut le côté adjacent à $\widehat{Z}$ et l'hypoténuse, donc l'un des deux n'est pas le bon.[/reponse]
[reponse motif="$[XY]$ et $[XZ]$"]Non.
$[XY]$ ne touche pas le sommet $Z$ : ce n'est pas le côté adjacent à $\widehat{Z}$.[/reponse]
[reponse motif="Les trois côtés sont nécessaires"]Non.
Le cosinus d'un angle utilise uniquement deux côtés : le côté adjacent et l'hypoténuse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $\cos(\widehat{Z})$, on utilise le côté adjacent à $\widehat{Z}$ ($[YZ]$) et l'hypoténuse ($[XZ]$).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]