QCM Bilan : Transformations et homothéties

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : reconnaissance des transformations, calcul de longueurs et d'aires, lien avec le théorème de Thalès et propriétés de conservation. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Dans la figure ci-dessous, les droites $(BC)$ et $(B'C')$ sont parallèles. Le point $A$ est le centre d'une homothétie qui transforme le triangle $ABC$ en triangle $AB'C'$. On donne $AB = 4$ cm et $AB' = 10$ cm.

Configuration de Thalès en triangles emboîtés : triangle ABC petit et triangle AB'C' grand, avec A comme sommet commun et les bases parallèles

Quel est le rapport $k$ de cette homothétie ?
[qcm]
[option]$k = 6$[/option]
[option]$k = 0{,}4$[/option]
[option correct="true"]$k = 2{,}5$[/option]
[option]$k = -2{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le rapport est $k = \dfrac{AB'}{AB} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5$.
Les points $B$ et $B'$ sont du même côté de $A$ (configuration de triangles emboîtés), donc $k > 0$.[/reponse]
[reponse motif="$k = 6$"]Non.
L'erreur est de soustraire au lieu de diviser : $10 - 4 = 6$.
Le rapport d'une homothétie est un quotient : $k = \dfrac{AB'}{AB}$.[/reponse]
[reponse motif="$k = 0{,}4$"]Non.
L'erreur est d'inverser le rapport : $\dfrac{AB}{AB'} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4$.
C'est le triangle $ABC$ qui est transformé en $AB'C'$, donc $k = \dfrac{AB'}{AB}$.[/reponse]
[reponse motif="$k = -2{,}5$"]Non.
La valeur absolue $2{,}5$ est correcte, mais le signe est faux.
Dans une configuration de triangles emboîtés, les points sont du même côté du centre, donc $k > 0$. Un rapport négatif correspondrait à une configuration « papillon ».[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$k = \dfrac{AB'}{AB} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5$. Le rapport est positif car les points sont du même côté de $A$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On applique successivement deux homothéties de même centre $O$ : la première de rapport $k_1 = 2$, puis la seconde de rapport $k_2 = 3$.

Trois triangles emboîtés : un petit triangle bleu, un triangle moyen vert (image par k1 égal 2) et un grand triangle rouge (image par k2 égal 3)

Quel rapport unique donnerait le même résultat que ces deux homothéties successives ?
[qcm]
[option]$k = 5$[/option]
[option correct="true"]$k = 6$[/option]
[option]$k = 9$[/option]
[option]$k = \dfrac{3}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Quand on compose deux homothéties de même centre, les rapports se multiplient :
$k = k_1 \times k_2 = 2 \times 3 = 6$.
Les longueurs sont d'abord doublées, puis triplées, donc multipliées par $6$ au total.[/reponse]
[reponse motif="$k = 5$"]Non.
L'erreur est d'additionner les rapports au lieu de les multiplier : $2 + 3 = 5$.
Les rapports se composent par multiplication, pas par addition.[/reponse]
[reponse motif="$k = 9$"]Non.
L'erreur est de calculer $k_2^2 = 3^2 = 9$ au lieu de $k_1 \times k_2$.
Deux homothéties successives de même centre se composent en multipliant leurs rapports.[/reponse]
[reponse motif="$k = \dfrac{3}{2}$"]Non.
L'erreur est de diviser les rapports au lieu de les multiplier : $\dfrac{3}{2}$.
La composition de deux homothéties de même centre donne un rapport $k_1 \times k_2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le rapport composé est $k_1 \times k_2 = 2 \times 3 = 6$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un triangle a une aire de $18$ cm². Son image par une homothétie a une aire de $2$ cm².

Grand triangle bleu d'aire 18 cm² et petit triangle rouge d'aire 2 cm², image par homothétie

Quelle est la valeur de $|k|$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{9}$[/option]
[option]$9$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option]$3$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule d'abord $k^2$ :
$k^2 = \dfrac{\text{aire image}}{\text{aire originale}} = \dfrac{2}{18} = \dfrac{1}{9}$
Puis $|k| = \sqrt{\dfrac{1}{9}} = \dfrac{1}{3}$.
C'est bien une réduction puisque $|k| < 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{9}$"]Non.
$\dfrac{1}{9}$ est la valeur de $k^2$, pas de $|k|$.
Il faut prendre la racine carrée de $k^2$ pour obtenir $|k|$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
L'erreur est d'inverser le rapport des aires : $\dfrac{18}{2} = 9$.
L'image a une aire de $2$ cm², l'original a une aire de $18$ cm², donc $k^2 = \dfrac{2}{18}$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
L'erreur est d'inverser le rapport : $3$ au lieu de $\dfrac{1}{3}$.
L'image est plus petite que l'original, donc $|k| < 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$k^2 = \dfrac{2}{18} = \dfrac{1}{9}$, donc $|k| = \dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Après une homothétie, l'aire d'une figure a été multipliée par $4$.

Petit losange bleu et grand losange rouge, avec une indication que l'aire a été multipliée par 4

Par combien les longueurs ont-elles été multipliées ?
[qcm]
[option]$4$[/option]
[option]$16$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$8$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Si l'aire est multipliée par $4$, alors $k^2 = 4$, donc $|k| = \sqrt{4} = 2$.
Les longueurs sont multipliées par $2$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
Attention, $4$ est le coefficient des aires ($k^2$), pas celui des longueurs ($|k|$).
Pour trouver le coefficient des longueurs, il faut prendre la racine carrée : $|k| = \sqrt{k^2}$.[/reponse]
[reponse motif="$16$"]Non.
L'erreur est d'élever encore au carré : $4^2 = 16$.
C'est l'opération inverse qu'il faut faire : $|k| = \sqrt{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
L'erreur est de confondre avec le coefficient des volumes.
Les volumes seraient multipliés par $|k|^3 = 2^3 = 8$, mais ici on cherche $|k|$ lui-même.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$k^2 = 4$, donc $|k| = \sqrt{4} = 2$. Les longueurs sont multipliées par $2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans la figure « papillon » ci-dessous, les droites $(BC)$ et $(B'C')$ sont parallèles. Le point $A$ est le centre de l'homothétie. On donne $AB = 3$ cm et $AB' = 6$ cm.

Configuration papillon : le point A est entre les triangles ABC et A'B'C', les droites BC et B'C' sont parallèles

Quel est le rapport $k$ de cette homothétie ?
[qcm]
[option]$k = 2$[/option]
[option correct="true"]$k = -2$[/option]
[option]$k = -\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$k = \dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le rapport des distances est $\dfrac{AB'}{AB} = \dfrac{6}{3} = 2$.
Dans une configuration papillon, les points sont de part et d'autre du centre $A$, donc le rapport est négatif : $k = -2$.[/reponse]
[reponse motif="$k = 2$"]Non.
La valeur absolue $2$ est correcte, mais le signe est faux.
Dans une configuration papillon, $B$ et $B'$ sont de part et d'autre de $A$, ce qui impose un rapport négatif.[/reponse]
[reponse motif="$k = -\dfrac{1}{2}$"]Non.
Le signe négatif est correct (configuration papillon), mais la valeur absolue est inversée.
$B'$ est plus éloigné de $A$ que $B$, donc $|k| = \dfrac{AB'}{AB} = \dfrac{6}{3} = 2 > 1$.[/reponse]
[reponse motif="$k = \dfrac{1}{2}$"]Non.
L'erreur est d'inverser le rapport et d'oublier le signe négatif.
$B'$ est deux fois plus loin de $A$ que $B$, et les points sont de part et d'autre du centre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$k = -\dfrac{AB'}{AB} = -\dfrac{6}{3} = -2$. Le signe est négatif car c'est une configuration papillon.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le carré $A'B'C'D'$ est l'image du carré $ABCD$ par une homothétie. On sait que le périmètre du carré image est $24$ cm et que le côté du carré original mesure $2$ cm.

Petit carré bleu de côté 2 cm et grand carré rouge de périmètre 24 cm, reliés par une flèche d'homothétie

Quelle est la valeur de $|k|$ ?
[qcm]
[option]$12$[/option]
[option]$6$[/option]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$9$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le côté du carré image est $\dfrac{24}{4} = 6$ cm (un carré a 4 côtés égaux).
Le rapport est $|k| = \dfrac{\text{côté image}}{\text{côté original}} = \dfrac{6}{2} = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
L'erreur est de diviser le périmètre par le côté original : $\dfrac{24}{2} = 12$.
Il faut d'abord retrouver le côté de l'image ($\dfrac{24}{4}$), puis diviser par le côté original.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6$ cm est le côté du carré image ($\dfrac{24}{4} = 6$), pas le rapport $|k|$.
Il reste une étape : diviser le côté de l'image par le côté de l'original pour obtenir $|k|$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
L'erreur est de confondre $|k|$ et $k^2$.
Ici $|k| = 3$ et $k^2 = 9$. Le coefficient $9$ s'applique aux aires, pas aux longueurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Côté image $= \dfrac{24}{4} = 6$ cm. Rapport $|k| = \dfrac{6}{2} = 3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Aires et propriétés des homothéties

[enonce]
Ce QCM porte sur les aires, volumes et propriétés de conservation des homothéties. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Un triangle a une aire de $12$ cm². On le transforme par une homothétie de rapport $k = 3$.

Petit triangle bleu et grand triangle rouge, avec une flèche indiquant le rapport k égal 3

Quelle est l'aire du triangle image ?
[qcm]
[option]$36$ cm²[/option]
[option correct="true"]$108$ cm²[/option]
[option]$324$ cm²[/option]
[option]$15$ cm²[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les aires sont multipliées par $k^2$, pas par $k$.
$k^2 = 3^2 = 9$, donc l'aire de l'image est $12 \times 9 = 108$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$36$ cm²"]Non.
L'erreur classique est de multiplier l'aire par $k = 3$ au lieu de $k^2 = 9$.
Le coefficient $k$ s'applique aux longueurs, mais pour les aires il faut utiliser $k^2$.[/reponse]
[reponse motif="$324$ cm²"]Non.
L'erreur est d'utiliser $k^3 = 27$ au lieu de $k^2 = 9$.
Le coefficient $k^3$ s'applique aux volumes, pas aux aires. Pour les aires, c'est $k^2$.[/reponse]
[reponse motif="$15$ cm²"]Non.
L'erreur est d'ajouter $k$ à l'aire : $12 + 3 = 15$.
Les aires sont multipliées par un coefficient, pas augmentées d'un nombre. Ce coefficient est $k^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'aire est multipliée par $k^2 = 9$ : $12 \times 9 = 108$ cm².[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $ABC$ a un angle $\widehat{BAC} = 60^{\circ}$. Le triangle $A'B'C'$ est son image par une homothétie de rapport $k = 2$.

Triangle ABC avec un angle de 60 degrés en A, et son image agrandie A'B'C' par homothétie de rapport 2

Combien mesure l'angle $\widehat{B'A'C'}$ ?
[qcm]
[option]$120^{\circ}$[/option]
[option]$30^{\circ}$[/option]
[option correct="true"]$60^{\circ}$[/option]
[option]$240^{\circ}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'homothétie conserve les mesures d'angles.
L'angle $\widehat{B'A'C'} = \widehat{BAC} = 60^{\circ}$, quel que soit le rapport $k$.[/reponse]
[reponse motif="$120^{\circ}$"]Non.
L'erreur est de multiplier l'angle par $k = 2$ : $60 \times 2 = 120$.
L'homothétie ne modifie pas les angles. Le coefficient $k$ s'applique aux longueurs, pas aux mesures d'angles.[/reponse]
[reponse motif="$30^{\circ}$"]Non.
L'erreur est de diviser l'angle par $k = 2$ : $60 \div 2 = 30$.
L'homothétie conserve les mesures d'angles : l'angle image est identique à l'angle original.[/reponse]
[reponse motif="$240^{\circ}$"]Non.
L'erreur est d'appliquer $k^2 = 4$ à l'angle : $60 \times 4 = 240$.
Le coefficient $k^2$ s'applique aux aires, pas aux angles. L'homothétie conserve les angles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'homothétie conserve les mesures d'angles. $\widehat{B'A'C'} = 60^{\circ}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un carré a une aire de $16$ cm². Après une homothétie, l'aire du carré image vaut $144$ cm².

Petit carré bleu et grand carré rouge, le petit a une aire de 16 cm² et le grand de 144 cm²

Quelle est la valeur de $|k|$ ?
[qcm]
[option]$9$[/option]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$12$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On sait que les aires sont multipliées par $k^2$.
$k^2 = \dfrac{144}{16} = 9$, donc $|k| = \sqrt{9} = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9$ est la valeur de $k^2$, pas de $|k|$.
Il faut prendre la racine carrée : $|k| = \sqrt{k^2} = \sqrt{9}$.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
L'erreur est de prendre $\sqrt{\text{aire image}} = \sqrt{144} = 12$ sans tenir compte de l'aire d'origine.
Le rapport se calcule avec le quotient des aires : $k^2 = \dfrac{144}{16}$, puis $|k| = \sqrt{k^2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
L'erreur est d'inverser le rapport : $\dfrac{1}{3}$ au lieu de $3$.
Le carré image est plus grand que l'original, donc $|k| > 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$k^2 = \dfrac{144}{16} = 9$, donc $|k| = \sqrt{9} = 3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un cube a une arête de $3$ cm. On le transforme par une homothétie de rapport $k = 2$.

Petit cube bleu avec arête 3 cm et grand cube rouge, image par homothétie de rapport 2

Quel est le volume du cube image ?
[qcm]
[option]$54$ cm³[/option]
[option]$108$ cm³[/option]
[option correct="true"]$216$ cm³[/option]
[option]$6$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'arête du cube image est $3 \times 2 = 6$ cm.
Le volume du cube image est $6^3 = 216$ cm³.
On retrouve bien $k^3 \times V = 8 \times 27 = 216$ cm³ (les volumes sont multipliés par $|k|^3$).[/reponse]
[reponse motif="$54$ cm³"]Non.
L'erreur est de multiplier le volume par $k = 2$ au lieu de $k^3 = 8$ : $27 \times 2 = 54$.
Pour les volumes, le coefficient multiplicateur est $|k|^3$, pas $|k|$.[/reponse]
[reponse motif="$108$ cm³"]Non.
L'erreur est de multiplier le volume par $k^2 = 4$ au lieu de $k^3 = 8$ : $27 \times 4 = 108$.
Le coefficient $k^2$ s'applique aux aires. Pour les volumes, c'est $|k|^3$.[/reponse]
[reponse motif="$6$ cm³"]Non.
$6$ cm correspond à l'arête du cube image ($3 \times 2$), pas à son volume.
Le volume d'un cube d'arête $a$ est $a^3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le volume est multiplié par $|k|^3 = 2^3 = 8$ : $27 \times 8 = 216$ cm³.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un rectangle a un périmètre de $20$ cm et une aire de $24$ cm². On le transforme par une homothétie de rapport $k = 3$.

Petit rectangle bleu avec indications de périmètre et d'aire, et grand rectangle rouge image par homothétie

Quelle est l'aire du rectangle image ?
[qcm]
[option]$72$ cm²[/option]
[option]$60$ cm²[/option]
[option correct="true"]$216$ cm²[/option]
[option]$180$ cm²[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'aire est multipliée par $k^2 = 3^2 = 9$.
Aire image $= 24 \times 9 = 216$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$72$ cm²"]Non.
L'erreur est de multiplier l'aire par $k = 3$ au lieu de $k^2 = 9$ : $24 \times 3 = 72$.
Le coefficient des longueurs est $|k|$, mais celui des aires est $k^2$.[/reponse]
[reponse motif="$60$ cm²"]Non.
L'erreur est de confondre périmètre et aire : $20 \times 3 = 60$ correspond au périmètre image, pas à l'aire.
Pour l'aire, on multiplie par $k^2 = 9$.[/reponse]
[reponse motif="$180$ cm²"]Non.
L'erreur est d'appliquer le coefficient des aires ($k^2 = 9$) au périmètre : $20 \times 9 = 180$.
C'est l'aire de $24$ cm² qu'il faut multiplier par $k^2 = 9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'aire est multipliée par $k^2 = 9$ : $24 \times 9 = 216$ cm².[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère deux droites parallèles $(d_1)$ et $(d_2)$. On leur applique une homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 2$.

Deux droites parallèles d1 et d2, et un point O situé en dehors des deux droites

Que peut-on dire des droites images $(d_1')$ et $(d_2')$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$(d_1')$ et $(d_2')$ sont parallèles[/option]
[option]$(d_1')$ et $(d_2')$ sont perpendiculaires[/option]
[option]$(d_1')$ et $(d_2')$ sont sécantes[/option]
[option]On ne peut pas conclure sans connaître $k$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'homothétie conserve le parallélisme : l'image de deux droites parallèles est toujours deux droites parallèles.
De plus, chaque droite image est parallèle à la droite d'origine.[/reponse]
[reponse motif="$(d_1')$ et $(d_2')$ sont perpendiculaires"]Non.
L'homothétie ne modifie pas les angles entre les droites.
Si deux droites sont parallèles (angle de 0°), leurs images restent parallèles.[/reponse]
[reponse motif="$(d_1')$ et $(d_2')$ sont sécantes"]Non.
L'homothétie conserve le parallélisme.
Si deux droites sont parallèles, leurs images le sont aussi, elles ne se coupent pas.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure sans connaître $k$"]Non.
La conservation du parallélisme est vraie quel que soit le rapport $k$.
C'est une propriété fondamentale de l'homothétie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'homothétie conserve le parallélisme : les images de deux droites parallèles sont toujours parallèles.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Homothéties — Cas avancés et lien avec Thalès

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les homothéties, indique si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On considère la configuration de Thalès ci-dessous, avec les droites $(BC)$ et $(B'C')$ parallèles.

Configuration de Thalès en triangles emboîtés avec centre A

Affirmation : Cette configuration de Thalès en « triangles emboîtés » correspond à une homothétie de rapport positif.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Dans la configuration « triangles emboîtés », les points $B$ et $B'$ sont du même côté par rapport au centre $A$.
Le rapport $k = \dfrac{AB'}{AB}$ est donc positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Dans la configuration « triangles emboîtés », les points image ($B'$, $C'$) sont du même côté que les points d'origine ($B$, $C$) par rapport au centre $A$.
Le rapport est positif car $k = \dfrac{AB'}{AB} > 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Dans la configuration « triangles emboîtés », les points sont du même côté du centre, donc le rapport est positif.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On agrandit un cube de côté 2 cm par une homothétie de rapport $k = 3$.

Affirmation : Le volume du cube image est multiplié par 9.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les volumes sont multipliés par $|k|^3$, pas par $k^2$.
Ici $|k|^3 = 3^3 = 27$. Le volume initial est $2^3 = 8$ cm$^3$ et le volume image est $6^3 = 216$ cm$^3$.
On vérifie : $216 = 8 \times 27$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, il ne faut pas confondre le coefficient des aires ($k^2$) et celui des volumes ($|k|^3$).
Les volumes sont multipliés par $|k|^3 = 3^3 = 27$, et non par $k^2 = 9$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les volumes sont multipliés par $|k|^3 = 27$, et non par $k^2 = 9$.

Cube de côté 2 cm et son image de côté 6 cm par homothétie de rapport 3

[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère un segment $[AB]$ de milieu $M$. On applique une homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 2$. On note $A'$, $B'$ et $M'$ les images respectives de $A$, $B$ et $M$.

Affirmation : $M'$ est le milieu du segment $[A'B']$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'homothétie conserve les rapports de distances sur une droite.
Puisque $M$ est le milieu de $[AB]$ (soit $AM = MB$), son image $M'$ est le milieu de $[A'B']$ (soit $A'M' = M'B'$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'homothétie conserve l'alignement et les rapports de distances.
Si $AM = MB$ dans la figure d'origine, alors $A'M' = M'B'$ dans l'image : le milieu reste le milieu.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'homothétie conserve les rapports de distances : le milieu d'un segment est transformé en le milieu du segment image.

Segment AB de milieu M et son image A'B' de milieu M' par homothétie de rapport 2

[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si le rapport d'une homothétie est $k = -3$, alors les aires des figures images sont multipliées par $-9$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les aires sont multipliées par $k^2 = (-3)^2 = 9$.
Puisque $k^2$ est toujours positif (c'est un carré), le coefficient des aires ne peut jamais être négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de croire que le signe négatif se retrouve dans le calcul des aires.
Les aires sont multipliées par $k^2 = (-3)^2 = 9$ et non par $-9$. Une aire est toujours positive.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les aires sont multipliées par $k^2 = (-3)^2 = 9$. Le coefficient est toujours positif car c'est un carré.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans une configuration de Thalès dite « papillon », le rapport de l'homothétie est négatif.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Dans la configuration « papillon », le centre $O$ est situé entre les points d'origine et leurs images.
Les points image sont de l'autre côté de $O$, ce qui correspond à un rapport négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Dans la configuration « papillon », le centre $O$ sépare les points d'origine et leurs images : $P$ et $P'$ sont de part et d'autre de $O$.
C'est exactement la définition d'un rapport négatif : l'image est de l'autre côté du centre.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Dans la configuration « papillon », les points image sont de l'autre côté du centre, ce qui correspond à un rapport négatif.

Configuration papillon avec centre O entre les segments PQ et P'Q'

[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si l'aire d'une figure image est 4 fois celle de la figure d'origine, alors le rapport de l'homothétie est forcément $k = 2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les aires sont multipliées par $k^2$, donc $k^2 = 4$, ce qui donne $k = 2$ ou $k = -2$.
Le rapport n'est pas forcément $k = 2$ : il peut aussi valoir $k = -2$ (même agrandissement, mais avec retournement).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est d'oublier que le rapport peut aussi être négatif.
Les aires sont multipliées par $k^2$, donc $k^2 = 4$, ce qui donne $k = 2$ ou $k = -2$. Le mot « forcément » rend l'affirmation fausse car on ne peut pas exclure $k = -2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Si l'aire est multipliée par 4, alors $k^2 = 4$, donc $k = 2$ ou $k = -2$. Le rapport n'est pas forcément positif.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Propriétés de conservation et lecture graphique

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les propriétés des homothéties, indique si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On considère le triangle $ABC$ avec $\widehat{BAC} = 60^{\circ}$ et son image $A'B'C'$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 2$.

Triangle ABC avec un angle de 60 degrés et son image A'B'C' avec le même angle

Affirmation : L'angle $\widehat{B'A'C'}$ mesure aussi $60^{\circ}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
L'homothétie conserve les mesures d'angles.
Un angle de $60^{\circ}$ dans la figure d'origine reste un angle de $60^{\circ}$ dans l'image.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'homothétie modifie les longueurs, mais elle conserve les mesures d'angles.
L'angle $\widehat{B'A'C'} = \widehat{BAC} = 60^{\circ}$, quelle que soit la valeur du rapport $k$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'homothétie conserve les mesures d'angles : $\widehat{B'A'C'} = \widehat{BAC} = 60^{\circ}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère une droite $(d)$ et son image $(d')$ par une homothétie de rapport $k = 2$.

Droite (d) et son image (d') parallèle par homothétie de rapport 2

Affirmation : L'image $(d')$ de la droite $(d)$ passe toujours par les mêmes points que $(d)$ (les deux droites sont confondues).

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'image d'une droite par une homothétie de rapport $k \neq 1$ est une droite parallèle, mais pas confondue (sauf si la droite passe par le centre $O$).
Les deux droites sont distinctes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « parallèle » et « confondue ».
L'homothétie conserve le parallélisme : $(d')$ est parallèle à $(d)$, mais les deux droites ne passent pas par les mêmes points (sauf si $(d)$ passe par le centre).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'image d'une droite par une homothétie est une droite parallèle, mais pas confondue en général. Les deux droites sont distinctes.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la figure ci-dessous, avec les mesures indiquées.

Triangles emboîtés OAB et OA'B' avec OA = 2 cm et OA' = 4 cm

Affirmation : Le triangle $OA'B'$ est l'image du triangle $OAB$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On vérifie : $\dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{4}{2} = 2$ et $\dfrac{OB'}{OB} = \dfrac{6}{3} = 2$.
Les rapports sont égaux, donc c'est bien une homothétie de rapport $k = 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour vérifier, on calcule les rapports des distances au centre $O$ :
$\dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{4}{2} = 2$ et $\dfrac{OB'}{OB} = \dfrac{6}{3} = 2$.
Les deux rapports sont égaux à 2 et les points sont du même côté de $O$ : c'est bien une homothétie de rapport $k = 2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les rapports $\dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{OB'}{OB} = 2$ confirment une homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la figure ci-dessous, avec les mesures indiquées.

Triangles emboîtés OEF et OE'F' avec OE = 3 cm, OE' = 6 cm, EF = 4 cm et E'F' = 8 cm

Affirmation : Le rapport de l'homothétie de centre $O$ qui transforme $E$ en $E'$ et $F$ en $F'$ est $k = 3$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le rapport se calcule avec les distances au centre : $k = \dfrac{OE'}{OE} = \dfrac{6}{3} = 2$.
On peut vérifier avec les longueurs : $\dfrac{E'F'}{EF} = \dfrac{8}{4} = 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, le rapport est le quotient des distances au centre $O$, pas la distance $OE$ elle-même.
$k = \dfrac{OE'}{OE} = \dfrac{6}{3} = 2$, et non 3. On le vérifie : $\dfrac{E'F'}{EF} = \dfrac{8}{4} = 2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le rapport est $k = \dfrac{OE'}{OE} = \dfrac{6}{3} = 2$, et non $k = 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'image d'un cercle par une homothétie est toujours un cercle.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'homothétie transforme un cercle de rayon $r$ en un cercle de rayon $|k| \times r$.
La forme circulaire est conservée, seul le rayon change.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'homothétie conserve la nature des figures.
Un cercle de rayon $r$ est transformé en un cercle de rayon $|k| \times r$ : le centre change de position et le rayon change de valeur, mais la figure reste un cercle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'image d'un cercle de rayon $r$ par une homothétie de rapport $k$ est un cercle de rayon $|k| \times r$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si le centre de l'homothétie est un sommet $A$ du triangle $ABC$, alors l'image de $A$ est un point différent de $A$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le centre d'une homothétie est toujours son propre image.
En effet, $OA' = |k| \times OA$, et si $O = A$ alors $OA = 0$, donc $OA' = 0$ : le point $A$ reste fixe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : le centre d'une homothétie est un point fixe.
Si $O = A$, alors $OA = 0$, et $OA' = |k| \times 0 = 0$. Le point $A$ est donc sa propre image.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le centre d'une homothétie est toujours un point fixe : si $O = A$, alors $A' = A$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Transformations et homothéties — Les bases

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les transformations du plan et les homothéties, indique si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : La symétrie axiale, la symétrie centrale, la translation et la rotation conservent toutes les longueurs.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Ces quatre transformations sont des isométries : elles conservent les longueurs et les aires.
L'image d'une figure est toujours superposable à la figure d'origine.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Ces quatre transformations sont appelées des isométries.
Le préfixe « iso » signifie « égal » et « métrie » signifie « mesure » : elles conservent bien toutes les longueurs.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La symétrie axiale, la symétrie centrale, la translation et la rotation sont des isométries qui conservent les longueurs.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'homothétie de rapport $k = 3$ conserve les longueurs.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'homothétie n'est pas une isométrie : elle multiplie toutes les longueurs par $|k|$.
Ici, avec $k = 3$, chaque longueur de l'image est trois fois plus grande que la longueur d'origine.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, il ne faut pas confondre homothétie et isométrie.
L'homothétie multiplie les longueurs par $|k|$. Ici, avec $k = 3$, toutes les longueurs sont triplées.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'homothétie de rapport $k = 3$ multiplie toutes les longueurs par $|k| = 3$ : elle ne conserve donc pas les longueurs.

Triangle ABC et son image agrandie A'B'C' par homothétie de rapport 3

[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si la valeur absolue du rapport d'une homothétie vérifie $|k| > 1$, alors c'est un agrandissement.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
C'est bien la valeur absolue $|k|$ qui détermine si la figure est agrandie ou réduite.
Si $|k| > 1$, les longueurs sont multipliées par un nombre supérieur à 1 : c'est un agrandissement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le signe de $k$ indique seulement la position de l'image (même côté ou côté opposé du centre).
C'est la valeur absolue $|k|$ qui détermine la taille : si $|k| > 1$, les longueurs augmentent, donc c'est un agrandissement.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la valeur absolue $|k|$ qui détermine si l'homothétie est un agrandissement ($|k| > 1$) ou une réduction ($|k| < 1$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'homothétie de rapport $k = -2$ est une réduction car $k$ est négatif.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le signe de $k$ n'indique pas si c'est un agrandissement ou une réduction.
Ici $|k| = |-2| = 2 > 1$, donc c'est un agrandissement (avec retournement car $k < 0$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre le signe du rapport et la taille de l'image.
Le signe négatif indique que l'image est de l'autre côté du centre $O$, mais c'est la valeur absolue $|k| = 2 > 1$ qui montre que c'est un agrandissement.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. C'est la valeur absolue qui détermine la taille : $|k| = 2 > 1$, donc c'est un agrandissement. Le signe négatif indique seulement un retournement.

Point M et son image M' par homothétie de rapport -2, agrandissement avec retournement

[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'homothétie de rapport $k = -1$ est une symétrie centrale de centre $O$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Avec $k = -1$, chaque point $M$ est envoyé de l'autre côté de $O$ à la même distance ($OM' = OM$).
C'est exactement la définition de la symétrie centrale de centre $O$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la symétrie centrale de centre $O$ envoie chaque point $M$ sur le point $M'$ tel que $O$ est le milieu de $[MM']$.
L'homothétie de rapport $k = -1$ fait exactement la même chose : $M'$ est de l'autre côté de $O$ et $OM' = |-1| \times OM = OM$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = -1$ est la symétrie centrale de centre $O$ : $O$ est le milieu de $[MM']$.

Point M et son image M' par homothétie de rapport -1, symétrie centrale

[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'image d'un triangle par une homothétie peut être un quadrilatère.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'homothétie conserve la nature des figures : l'image d'un triangle est toujours un triangle.
Seules les dimensions changent, jamais la forme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'homothétie conserve l'alignement des points et les angles.
Un triangle a trois sommets et trois côtés, et son image a aussi trois sommets et trois côtés : c'est toujours un triangle, simplement plus grand ou plus petit.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'homothétie conserve la nature des figures : l'image d'un triangle est toujours un triangle, l'image d'un cercle est toujours un cercle, etc.
[/solution]
[/etape]

Point d’intersection inaccessible par homothétie

Deux droites $(d)$ et $(d')$ se coupent en un point $O$ situé en dehors de la feuille. On place un point $M$ sur la feuille.

L'objectif est de tracer la droite $(OM)$ sans sortir de la feuille.

Deux droites d et d-prime convergentes vers un point O hors de la feuille, avec un point M sur la feuille

Placer deux points $A$ et $B$ sur la droite $(d)$. Construire le milieu $A'$ du segment $[MA]$ et le milieu $B'$ du segment $[MB]$. Tracer la droite $(A'B')$.
Quelle est la transformation du plan qui envoie $A$ sur $A'$ et $B$ sur $B'$ ? Préciser son centre et son rapport.
Justifier que la droite $(A'B')$ est parallèle à la droite $(d)$.
De la même façon, placer deux points $C$ et $D$ sur la droite $(d')$. Construire le milieu $C'$ du segment $[MC]$ et le milieu $D'$ du segment $[MD]$. Tracer la droite $(C'D')$.
On appelle $N$ le point d'intersection des droites $(A'B')$ et $(C'D')$.
1. Justifier que $N$ est l'image du point $O$ par la transformation identifiée à la question 2.
2. En déduire que les points $M$, $N$ et $O$ sont alignés.
Expliquer pourquoi la droite $(MN)$ est la droite cherchée.

Corrigé

On place $A$ et $B$ sur $(d)$, on construit les milieux $A'$ et $B'$ à la règle et au compas (ou en mesurant), puis on trace la droite $(A'B')$.
La transformation qui envoie chaque point $P$ sur le milieu du segment $[MP]$ est l'homothétie de centre $M$ et de rapport $k = \dfrac{1}{2}$.
En effet, si $A'$ est le milieu de $[MA]$, alors $MA' = \dfrac{1}{2} \times MA$, et $A'$ est sur le segment $[MA]$ (même côté que $A$ par rapport à $M$).
L'image d'une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle.
La droite $(A'B')$ est l'image de la droite $(d)$ par l'homothétie de centre $M$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$, donc $(A'B')$ est parallèle à $(d)$.
On construit de la même façon les milieux $C'$ de $[MC]$ et $D'$ de $[MD]$, puis on trace $(C'D')$. Cette droite est l'image de $(d')$ par la même homothétie, donc $(C'D')$ est parallèle à $(d')$.
1. La droite $(A'B')$ est l'image de $(d)$ et la droite $(C'D')$ est l'image de $(d')$ par l'homothétie de centre $M$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$.
  Le point $O$ est l'intersection de $(d)$ et $(d')$. Son image par l'homothétie appartient à la fois à l'image de $(d)$ et à l'image de $(d')$, c'est-à-dire à $(A'B')$ et à $(C'D')$.
  Donc $N$ est l'image de $O$ par cette homothétie.
2. Par définition d'une homothétie de centre $M$, le centre $M$, tout point et son image sont alignés.
  Puisque $N$ est l'image de $O$ par l'homothétie de centre $M$, les points $M$, $N$ et $O$ sont alignés.
Puisque $M$, $N$ et $O$ sont alignés, la droite $(MN)$ passe par $O$ : c'est la droite $(OM)$ cherchée.

Isométries et conservation des grandeurs

Citer les quatre isométries du plan vues au collège.
Un triangle $EFG$ a un périmètre de 24 cm et une aire de 20 cm². Son image par une rotation de centre $O$ et d'angle $90^{\circ}$ est le triangle $E'F'G'$.
1. Quel est le périmètre du triangle $E'F'G'$ ? Justifier.
2. Quelle est l'aire du triangle $E'F'G'$ ? Justifier.
Le segment $[EF]$ mesure 8 cm. Le point $E''$ est l'image de $E$ par la symétrie centrale de centre $A$, et $F''$ est l'image de $F$ par cette même symétrie.
1. Quelle est la longueur $E''F''$ ? Justifier.
2. Que peut-on dire du point $A$ par rapport au segment $[EE'']$ ? Justifier.
Parmi les transformations suivantes, laquelle n'est pas une isométrie : translation, symétrie axiale, homothétie, rotation ? Justifier.

Corrigé

Les quatre isométries du plan vues au collège sont :
- la symétrie axiale ;
- la symétrie centrale ;
- la translation ;
- la rotation.
1. La rotation conserve les longueurs, donc elle conserve aussi le périmètre.
  Le périmètre du triangle $E'F'G'$ est 24 cm.
2. La rotation conserve les aires.
  L'aire du triangle $E'F'G'$ est 20 cm².
1. La symétrie centrale conserve les longueurs.
  Donc $E''F'' = EF = $ 8 cm.
2. Par définition de la symétrie centrale de centre $A$, le point $A$ est le milieu du segment $[EE'']$.
L'homothétie n'est pas une isométrie. En effet, une homothétie de rapport $k$ multiplie les longueurs par $|k|$. Si $|k| \neq 1$, les longueurs ne sont pas conservées, ce qui contredit la définition d'une isométrie.