QCM Bilan : Théorème de Thalès

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : calcul de longueurs, réciproque du théorème de Thalès et applications concrètes. Choisis la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les points $A$, $B$, $D$ sont alignés dans cet ordre et les points $A$, $C$, $E$ sont alignés dans cet ordre. Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

Quelle égalité est donnée par le théorème de Thalès ?

[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE} = \dfrac{BC}{DE}$[/option]
[option]$\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{AC}{CE} = \dfrac{BC}{DE}$[/option]
[option]$\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{AE}$[/option]
[option]$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{BC}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le théorème de Thalès donne l'égalité des trois rapports en respectant la correspondance des points :
$\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE} = \dfrac{BC}{DE}$.
Chaque fraction compare un côté du « petit triangle » au côté correspondant du « grand triangle ».[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{AC}{CE} = \dfrac{BC}{DE}$"]Non.
Les rapports $\dfrac{AB}{BD}$ et $\dfrac{AC}{CE}$ comparent un côté entier à un sous-segment, pas deux côtés correspondants.
Le théorème de Thalès compare les longueurs mesurées depuis le sommet $A$ : $\dfrac{AB}{AD}$ et $\dfrac{AC}{AE}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{AE}$"]Non.
Tu as mélangé les deux « branches » de la configuration.
Le rapport $\dfrac{BC}{AE}$ compare un segment de la droite $(BC)$ à un segment de la droite $(AE)$ : ces longueurs ne sont pas sur la même branche.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{BC}$"]Non.
Le premier rapport $\dfrac{AD}{AB}$ est correct (c'est l'inverse de $\dfrac{AB}{AD}$), mais le second mélange les branches : $AE$ et $BC$ ne sont pas des côtés correspondants.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le théorème de Thalès compare les côtés correspondants des deux triangles, mesurés depuis le même sommet.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, $A$ est le point d'intersection des droites $(BD)$ et $(CE)$. Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AB = 3$ cm, $AD = 5$ cm et $AE = 4$ cm.

Que vaut $AC$ ?

[qcm]
[option]$\dfrac{20}{3}$ cm[/option]
[option]$\dfrac{15}{4}$ cm[/option]
[option correct="true"]$2{,}4$ cm[/option]
[option]$5$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$, soit $\dfrac{3}{5} = \dfrac{AC}{4}$.
Par produit en croix : $AC = \dfrac{3 \times 4}{5} = \dfrac{12}{5} = 2{,}4$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{20}{3}$ cm"]Non.
Tu as inversé les rôles de $AB$ et $AD$ dans le produit en croix.
L'égalité est $\dfrac{3}{5} = \dfrac{AC}{4}$ : vérifie quel terme passe au numérateur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{15}{4}$ cm"]Non.
Tu as confondu $AD$ et $AE$ dans le calcul.
L'inconnue $AC$ est liée à $AE$ dans le rapport $\dfrac{AC}{AE}$, pas à $AD$.[/reponse]
[reponse motif="$5$ cm"]Non.
Tu as confondu $AC$ et $AD$. La question demande $AC$, qui est sur la droite $(CE)$, pas sur la droite $(BD)$.
Utilise $\dfrac{3}{5} = \dfrac{AC}{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise l'égalité $\dfrac{3}{5} = \dfrac{AC}{4}$ et effectue un produit en croix.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les points $A$, $B$, $D$ sont alignés dans cet ordre et les points $A$, $C$, $E$ sont alignés dans cet ordre.
On donne $AB = 3$ cm, $BD = 5$ cm, $AC = 2$ cm et $CE = 4$ cm.

Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ?

[qcm]
[option]Oui, car $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$[/option]
[option]Oui, car les points sont alignés dans le même ordre[/option]
[option]Non, car $\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{AC}{CE} = \dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]Non, car $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{3}{8}$ et $\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{1}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On calcule d'abord $AD = AB + BD = 3 + 5 = 8$ et $AE = AC + CE = 2 + 4 = 6$.
Puis : $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{3}{8}$ et $\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
$\dfrac{3}{8} \neq \dfrac{1}{3}$, donc les droites $(BC)$ et $(DE)$ ne sont pas parallèles.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$"]Non.
Calcule ces rapports : $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{3}{8}$ et $\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{1}{3}$.
Sont-ils vraiment égaux ?[/reponse]
[reponse motif="Oui, car les points sont alignés dans le même ordre"]Non.
L'alignement dans le même ordre est nécessaire mais pas suffisant.
Il faut aussi que $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$, ce qui n'est pas le cas ici.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{AC}{CE} = \dfrac{1}{2}$"]Pas tout à fait.
La conclusion est correcte, mais tu as comparé les mauvais rapports.
Pour la réciproque de Thalès, il faut comparer $\dfrac{AB}{AD}$ et $\dfrac{AC}{AE}$, pas $\dfrac{AB}{BD}$ et $\dfrac{AC}{CE}$.
Calcule d'abord $AD$ et $AE$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule $AD = AB + BD$ et $AE = AC + CE$, puis compare $\dfrac{AB}{AD}$ et $\dfrac{AC}{AE}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les points $A$, $B$, $D$ sont alignés dans cet ordre et les points $A$, $C$, $E$ sont alignés dans cet ordre. Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AB = 4$ cm, $AC = 3$ cm et $AE = 7{,}5$ cm.

Que vaut $BD$ ?

[qcm]
[option]$10$ cm[/option]
[option correct="true"]$6$ cm[/option]
[option]$4{,}5$ cm[/option]
[option]$\dfrac{10}{3}$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$, soit $\dfrac{4}{AD} = \dfrac{3}{7{,}5}$.
Par produit en croix : $AD = \dfrac{4 \times 7{,}5}{3} = \dfrac{30}{3} = 10$ cm.
Puis $BD = AD - AB = 10 - 4 = 6$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$10$ cm"]Non.
Tu as trouvé $AD = 10$ cm, mais la question demande $BD$, pas $AD$.
$BD$ est un sous-segment de $[AD]$ : il faut soustraire $AB$.[/reponse]
[reponse motif="$4{,}5$ cm"]Non.
Tu as donné la valeur de $AE - AC = 7{,}5 - 3 = 4{,}5$ cm, qui est la longueur $CE$, pas $BD$.
Calcule d'abord $AD$, puis déduis $BD = AD - AB$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{10}{3}$ cm"]Non.
Tu as sans doute fait une erreur dans le produit en croix.
Reprends l'égalité $\dfrac{4}{AD} = \dfrac{3}{7{,}5}$ et isole $AD$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule d'abord $AD$ avec $\dfrac{4}{AD} = \dfrac{3}{7{,}5}$, puis déduis $BD = AD - AB$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un poteau vertical de $2$ m est planté dans le sol. Il projette une ombre de $1{,}5$ m. Au même instant, une tour projette une ombre de $12$ m.

Quelle est la hauteur de la tour ?

[qcm]
[option]$9$ m[/option]
[option correct="true"]$16$ m[/option]
[option]$24$ m[/option]
[option]$18$ m[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les rayons du soleil sont parallèles, donc les triangles formés sont en situation de Thalès.
$\dfrac{H}{2} = \dfrac{12}{1{,}5}$, d'où $H = \dfrac{12 \times 2}{1{,}5} = \dfrac{24}{1{,}5} = 16$ m.[/reponse]
[reponse motif="$9$ m"]Non.
Tu as inversé le produit en croix : tu as calculé $\dfrac{1{,}5 \times 12}{2}$ au lieu de $\dfrac{12 \times 2}{1{,}5}$.
Reprends la proportionnalité et vérifie quel terme est au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$24$ m"]Non.
Tu as calculé $12 \times 2 = 24$ mais tu as oublié de diviser par $1{,}5$.
La proportionnalité donne $H = \dfrac{12 \times 2}{1{,}5}$.[/reponse]
[reponse motif="$18$ m"]Non.
Tu as calculé $1{,}5 \times 12 = 18$, mais ce produit ne correspond pas au bon calcul.
Il faut utiliser la proportionnalité $\dfrac{H}{2} = \dfrac{12}{1{,}5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise la proportionnalité $\dfrac{H}{2} = \dfrac{12}{1{,}5}$ et isole $H$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les points $A$, $B$, $D$ sont alignés dans cet ordre et les points $A$, $C$, $E$ sont alignés dans cet ordre. Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $BD = 6$ cm, $AC = 2$ cm et $AE = 5$ cm.

Que vaut $AB$ ?

[qcm]
[option]$2$ cm[/option]
[option]$\dfrac{12}{5}$ cm[/option]
[option correct="true"]$4$ cm[/option]
[option]$12$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On pose $AB = x$, d'où $AD = AB + BD = x + 6$.
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{x}{x + 6} = \dfrac{2}{5}$.
Par produit en croix : $5x = 2(x + 6) = 2x + 12$.
On résout : $3x = 12$, donc $x = 4$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$2$ cm"]Non.
Tu as probablement développé $2(x + 6)$ en $2x + 6$ au lieu de $2x + 12$.
Attention : $2 \times (x + 6) = 2x + 2 \times 6 = 2x + 12$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{12}{5}$ cm"]Non.
Tu as probablement résolu $5x = 12$ en oubliant de transposer le terme $2x$.
L'équation complète est $5x = 2x + 12$, ce qui donne $5x - 2x = 12$.[/reponse]
[reponse motif="$12$ cm"]Non.
Tu as trouvé $2 \times 6 = 12$, mais il faut poser une équation.
Écris $AB = x$, puis $\dfrac{x}{x+6} = \dfrac{2}{5}$ et résous.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pose $AB = x$, écris $AD = x + 6$, puis résous $\dfrac{x}{x+6} = \dfrac{2}{5}$ par produit en croix.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]