Sortie à vélo : lecture graphique d’une fonction

[enonce]
Léa fait une sortie à vélo sur un parcours de 12 km.
La courbe ci-dessous représente la distance parcourue par Léa (en km) en fonction du temps écoulé (en minutes).

Courbe de la distance parcourue par Léa en fonction du temps, de 0 à 60 minutes, avec un palier entre 20 et 30 minutes

On note $f$ la fonction qui, au temps $t$ (en minutes), associe la distance parcourue $f(t)$ (en km).
Suivre les étapes pour analyser cette sortie à vélo.
[/enonce]

[etape]
On lit sur le graphique que $f(20) = 6$.

Que signifie cette égalité dans le contexte de l'exercice ?
[qcm]
[option]Léa roule à 6 km/h au bout de 20 minutes[/option]
[option]Léa met 6 minutes pour parcourir 20 km[/option]
[option correct="true"]Au bout de 20 minutes, Léa a parcouru 6 km[/option]
[option]Au bout de 6 minutes, Léa a parcouru 20 km[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f(20) = 6$ signifie que l'image de $20$ par $f$ est $6$. Ici, au temps $t = 20$ min, la distance vaut $6$ km.[/reponse]
[reponse motif="Léa roule à 6 km/h au bout de 20 minutes"]Non.
$f(20) = 6$ donne la distance totale parcourue, pas la vitesse instantanée.
$f(t)$ représente la distance en km, pas la vitesse.[/reponse]
[reponse motif="Léa met 6 minutes pour parcourir 20 km"]Non.
Les axes sont inversés dans cette lecture. L'axe horizontal donne le temps, l'axe vertical donne la distance.
$f(20) = 6$ se lit « au temps $20$, la distance est $6$ ».[/reponse]
[reponse motif="Au bout de 6 minutes, Léa a parcouru 20 km"]Non.
La variable $t = 20$ correspond au temps et l'image $f(20) = 6$ correspond à la distance.
Ne pas inverser les rôles des axes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$f(20) = 6$ : le nombre entre parenthèses ($20$) est le temps en minutes, le résultat ($6$) est la distance en km.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Déterminer graphiquement à quel instant Léa a parcouru 8 km.

L'antécédent de $8$ est $t = $ [[ant]] min
[math id="ant" attendu="40"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Sur le graphique, on part de $8$ km sur l'axe vertical, on va horizontalement jusqu'à la courbe, puis on lit l'abscisse : $t = 40$ min.[/reponse]
[reponse motif="30"]Attention, entre $20$ et $30$ minutes, la distance reste à $6$ km (Léa fait une pause).
Elle n'atteint pas $8$ km pendant cette période. Chercher plus loin sur la courbe.[/reponse]
[reponse motif="20"]A $t = 20$ min, la distance est $6$ km, pas $8$.
Partir de $y = 8$ sur l'axe vertical et chercher le point de la courbe correspondant.[/reponse]
[reponse motif="4"]Attention aux unités : l'axe horizontal est gradué en minutes, pas en unités du graphique.
Lire la graduation correspondante sur l'axe horizontal.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour trouver l'antécédent de $8$, partir de $8$ km sur l'axe vertical, tracer une droite horizontale jusqu'à la courbe, puis lire le temps sur l'axe horizontal.[/reponse]
[aide essai="2"]Repérer $8$ sur l'axe vertical (axe des distances). Tracer mentalement une droite horizontale depuis ce point.[/aide]
[aide essai="3"]La droite $y = 8$ coupe la courbe en un seul point. Ce point est situé après la pause de Léa. Lire son abscisse.[/aide]
[/math]
[solution]On part de $8$ km sur l'axe vertical, on trace une horizontale jusqu'à la courbe et on lit $t = 40$ min.
L'antécédent de $8$ par $f$ est $40$.[/solution]
[/etape]

[etape]
On souhaite comparer la vitesse de Léa sur différentes portions du parcours. Sur quel intervalle de temps Léa roule-t-elle le plus vite ?
[qcm]
[option]$[0~;~10]$[/option]
[option correct="true"]$[10~;~20]$[/option]
[option]$[40~;~50]$[/option]
[option]$[50~;~60]$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Sur $[10~;~20]$, Léa parcourt $6 - 2 = 4$ km en $10$ min.
Sur les autres intervalles, elle parcourt seulement $2$ km en $10$ min.
La courbe est la plus pentue sur $[10~;~20]$, ce qui traduit une vitesse plus élevée.[/reponse]
[reponse motif="$[0~;~10]$"]Non.
Sur $[0~;~10]$, Léa parcourt $2 - 0 = 2$ km en $10$ min.
Comparer avec la distance parcourue sur $[10~;~20]$ pendant le même temps.[/reponse]
[reponse motif="$[40~;~50]$"]Non.
Sur $[40~;~50]$, Léa parcourt $10 - 8 = 2$ km en $10$ min.
Comparer avec l'intervalle où la courbe monte le plus rapidement.[/reponse]
[reponse motif="$[50~;~60]$"]Non.
Sur $[50~;~60]$, Léa parcourt $12 - 10 = 2$ km en $10$ min.
La vitesse est plus élevée là où la courbe est la plus pentue.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour comparer les vitesses, calculer la distance parcourue sur chaque intervalle de $10$ minutes.
L'intervalle où la distance augmente le plus correspond à la vitesse la plus élevée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer la vitesse moyenne de Léa sur les $20$ premières minutes, en km/h.

La vitesse moyenne est [[vit]] km/h
[math id="vit" attendu="18"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
En $20$ minutes, Léa parcourt $6$ km.
$20$ min $= \dfrac{1}{3}$ h, donc $v = \dfrac{6}{\dfrac{1}{3}} = 6 \times 3 = 18$ km/h.[/reponse]
[reponse motif="0.3"]Le calcul $\dfrac{6}{20} = 0{,}3$ donne un résultat en km par minute.
Pour obtenir des km/h, il faut convertir les minutes en heures.
$20$ min, combien d'heures cela représente-t-il ?[/reponse]
[reponse motif="0,3"]Le calcul $\dfrac{6}{20} = 0{,}3$ donne un résultat en km par minute, pas en km/h.
Pour convertir, penser que $20$ min $= \dfrac{1}{3}$ h.[/reponse]
[reponse motif="6"]Ce n'est pas la distance mais la vitesse qui est demandée.
La vitesse moyenne se calcule par $v = \dfrac{\text{distance}}{\text{temps}}$, avec le temps en heures.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La vitesse moyenne se calcule par $v = \dfrac{\text{distance}}{\text{temps}}$.
La distance est $6$ km. Le temps est $20$ min qu'il faut convertir en heures.[/reponse]
[aide essai="2"]$v = \dfrac{\text{distance}}{\text{temps}}$. Léa parcourt $6$ km en $20$ minutes. Convertir $20$ min en heures : $20$ min $= \dfrac{20}{60}$ h.[/aide]
[aide essai="3"]$20$ min $= \dfrac{1}{3}$ h. On a donc $v = \dfrac{6}{\dfrac{1}{3}}$. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.[/aide]
[/math]
[solution]Léa parcourt $6$ km en $20$ minutes, soit $\dfrac{1}{3}$ d'heure.
$v = \dfrac{6}{\dfrac{1}{3}} = 6 \times 3 = 18$ km/h.[/solution]
[/etape]

[etape]
Observer la courbe entre $t = 20$ min et $t = 30$ min.
Entre ces deux instants, la distance parcourue par Léa [[comp]].
[select id="comp"]
[option]continue d'augmenter[/option]
[option correct="true"]ne change pas[/option]
[option]diminue[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Sur $[20~;~30]$, la courbe est horizontale : la distance reste à $6$ km.
Cela signifie que Léa ne progresse pas, elle fait une pause.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Observer attentivement l'allure de la courbe entre $t = 20$ et $t = 30$. Est-elle montante, descendante ou plate ?
Une courbe horizontale signifie que la distance ne change pas.[/reponse]
[aide essai="2"]Lire $f(20)$ et $f(30)$ sur le graphique et comparer les deux valeurs.[/aide]
[aide essai="3"]$f(20) = 6$ et $f(30) = 6$. La distance n'a pas changé entre ces deux instants.[/aide]
[/select]
[/etape]

[etape]
Parmi les affirmations suivantes, laquelle est correcte ?
[qcm]
[option]Au bout de 20 min, Léa a parcouru plus de la moitié du trajet[/option]
[option correct="true"]Au bout de 40 min, Léa a parcouru les deux tiers du trajet[/option]
[option]Au bout de 10 min, Léa a parcouru le quart du trajet[/option]
[option]Au bout de 50 min, Léa a parcouru 12 km[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$f(40) = 8$ et les deux tiers du trajet valent $\dfrac{2}{3} \times 12 = 8$ km.
Au bout de $40$ min, Léa a bien parcouru exactement les deux tiers du trajet.[/reponse]
[reponse motif="Au bout de 20 min, Léa a parcouru plus de la moitié du trajet"]Non.
$f(20) = 6$ km et la moitié du trajet vaut $\dfrac{12}{2} = 6$ km.
Léa a parcouru exactement la moitié, pas plus.[/reponse]
[reponse motif="Au bout de 10 min, Léa a parcouru le quart du trajet"]Non.
$f(10) = 2$ km et le quart du trajet vaut $\dfrac{12}{4} = 3$ km.
$2 \neq 3$ : Léa n'a pas encore parcouru le quart du trajet au bout de $10$ min.[/reponse]
[reponse motif="Au bout de 50 min, Léa a parcouru 12 km"]Non.
$f(50) = 10$ km, pas $12$. Lire attentivement la valeur sur l'axe vertical à $t = 50$.
Léa ne termine le parcours qu'à $t = 60$ min.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour chaque affirmation, lire la distance sur le graphique au temps indiqué, puis comparer avec la fraction du trajet total ($12$ km).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Lecture graphique distance-temps – Brevet Amérique du Nord 2025

A l'approche d'une course organisée par son collège, Malo s'entraîne sur un parcours de 13,5 km.
La courbe ci-dessous représente la distance parcourue par Malo (en kilomètres) en fonction du temps écoulé (en minutes).

Courbe distance parcourue par Malo en fonction du temps

Le temps et la distance parcourue par Malo sont-ils proportionnels ?
Quelle distance Malo a-t-il parcourue au bout de 20 minutes ?
Aucune justification n'est attendue.
Combien de temps a-t-il mis pour faire les 9 premiers kilomètres ?
Aucune justification n'est attendue.
Quelle est la vitesse moyenne de Malo lors de cette course ? Exprimer le résultat au dixième de km/h près.
Louise et Hillal ont couru sur le même parcours de 13,5 km. Louise à une vitesse régulière égale à 12 km/h et Hillal a une vitesse régulière égale à 10 km/h.
1. Sachant que Louise et Hillal sont partis en même temps, qui a été le premier à franchir la ligne d'arrivée ?
2. Quelle distance sépare Louise et Hillal, lorsque le premier des deux franchit la ligne d'arrivée ?

Corrigé

Si le temps et la distance étaient proportionnels, la courbe serait une droite passant par l'origine. Or la courbe n'est pas une droite (elle présente des portions de pentes différentes).

Le temps et la distance parcourue par Malo ne sont pas proportionnels.
Par lecture graphique, on cherche l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 20.

Au bout de 20 minutes, Malo a parcouru environ 3 km.
Par lecture graphique, on cherche l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée 9.

Malo a mis environ 50 minutes pour parcourir les 9 premiers kilomètres.
La distance totale parcourue est 13,5 km. Par lecture graphique, Malo met environ 90 minutes, soit 1,5 heure, pour terminer le parcours.
La vitesse moyenne est :
$ v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{13{,}5}{1{,}5} = 9 $

La vitesse moyenne de Malo est de 9,0 km/h.
1. On calcule le temps mis par chacun pour parcourir 13,5 km :
  Louise : $ t_L = \dfrac{13{,}5}{12} = 1{,}125 $ h $ = 67{,}5 $ min.
  Hillal : $ t_H = \dfrac{13{,}5}{10} = 1{,}35 $ h $ = 81 $ min.
  Louise met moins de temps que Hillal.
  
  Louise est la première à franchir la ligne d'arrivée.
2. Lorsque Louise franchit la ligne d'arrivée (au bout de 67,5 min = 1,125 h), Hillal a parcouru :
  $ d_H = 10 \times 1{,}125 = 11{,}25 $ km.
  La distance entre eux est :
  $ 13{,}5 - 11{,}25 = 2{,}25 $
  
  Lorsque Louise franchit la ligne d'arrivée, 2,25 km les séparent.

Aire d’un polygone et fonction

$ ABCD $ est un rectangle tel que $ AB = 8 $ cm et $ AD = 5 $ cm. On place un point $ M $ sur le segment $ [AB] $ et un point $ N $ sur le segment $ [AD] $ tels que $ AM = AN = x $.

Rectangle ABCD avec le polygone BCDNM coloré

On appelle $ f $ la fonction qui, à la longueur $ x $, associe l'aire en cm$^2$ du polygone $ BCDNM $ (zone colorée).

Quelles sont les valeurs possibles pour $ x $ ?
Montrer que l'aire du triangle $ AMN $ vaut $ \dfrac{x^2}{2} $.
En déduire que $ f(x) = 40 - \dfrac{x^2}{2} $.
Calculer $ f(3) $. Interpréter le résultat.
Déterminer la valeur de $ x $ pour laquelle $ f(x) = 32 $. Interpréter.
Peut-on trouver un antécédent de $ 25 $ par la fonction $ f $ qui soit une valeur possible de $ x $ ? Justifier.

Corrigé

Le point $ M $ est sur le segment $ [AB] $, donc $ 0 \leqslant x \leqslant AB = 8 $.
Le point $ N $ est sur le segment $ [AD] $, donc $ AN = x \leqslant AD = 5 $.

En combinant ces deux conditions, on obtient :

$\mathbf{0 \leqslant x \leqslant 5}$
Le triangle $ AMN $ est rectangle en $ A $ (car $ ABCD $ est un rectangle, donc l'angle en $ A $ est droit).

Les deux côtés de l'angle droit mesurent $ AM = x $ et $ AN = x $.

L'aire d'un triangle rectangle est égale à la moitié du produit des côtés de l'angle droit :

Aire de $ AMN = \dfrac{AM \times AN}{2} = \dfrac{x \times x}{2} = \dfrac{x^2}{2} $
Le polygone $ BCDNM $ est obtenu en retirant le triangle $ AMN $ du rectangle $ ABCD $.

L'aire du rectangle $ ABCD $ vaut $ AB \times AD = 8 \times 5 = 40 $ cm$^2$.

Donc :
$ f(x) = \text{Aire de } ABCD - \text{Aire de } AMN = 40 - \dfrac{x^2}{2} $

On a bien $ f(x) = 40 - \dfrac{x^2}{2} $.
On remplace $ x $ par $ 3 $ dans l'expression de $ f $ :
$ f(3) = 40 - \dfrac{3^2}{2} = 40 - \dfrac{9}{2} = 40 - 4{,}5 = 35{,}5 $

$ f(3) = 35{,}5 $. Cela signifie que lorsque $ AM = AN = 3 $ cm, l'aire du polygone $ BCDNM $ vaut $ 35{,}5 $ cm$^2$.
On cherche la valeur de $ x $ telle que $ f(x) = 32 $, c'est-à-dire un antécédent de $ 32 $ par $ f $ :
$ 40 - \dfrac{x^2}{2} = 32 $
$ \dfrac{x^2}{2} = 40 - 32 $
$ \dfrac{x^2}{2} = 8 $
$ x^2 = 16 $
$ x = 4 $ (on ne retient que la valeur positive car $ x $ est une longueur)

Comme $ 0 \leqslant 4 \leqslant 5 $, cette valeur est bien possible.

L'aire du polygone $ BCDNM $ vaut $ 32 $ cm$^2$ lorsque $ x = 4 $ cm.
On cherche $ x $ tel que $ f(x) = 25 $ :
$ 40 - \dfrac{x^2}{2} = 25 $
$ \dfrac{x^2}{2} = 15 $
$ x^2 = 30 $
$ x = \sqrt{30} \approx 5{,}48 $

Or les valeurs possibles de $ x $ vérifient $ 0 \leqslant x \leqslant 5 $, et $ \sqrt{30} \approx 5{,}48 > 5 $.

Il n'existe pas de valeur possible de $ x $ pour laquelle $ f(x) = 25 $. Le nombre $ 25 $ n'a pas d'antécédent par $ f $ dans l'intervalle $ [0 ; 5] $.

Lecture graphique – Fonction – Brevet Métropole 2013

On a utilisé un tableur pour calculer les images de différentes valeurs de $ x $ par une fonction affine $ f $ et par une autre fonction $ g $. Une copie de l'écran obtenu est donnée ci-dessous.

Quelle est l'image de $ - 3 $ par $ f $ ?
Calculer $ f\left(7\right) $.
Donner l'expression de $ f\left(x\right) $.
On sait que $ g\left(x\right)=x^{2}+4 $. Une formule a été saisie dans la cellule B3 et recopiée ensuite vers la droite pour compléter la plage de cellules C3:H3. Quelle est cette formule ?

Corrigé

D'après le tableau, la cellule B2 contient l'image de $-3$ par $f$. L'image de $-3$ par $f$ est $22$.
On sait que $f$ est une fonction affine. D'après le tableau, $f(0)=7$ et $f(-1)=12$.

Le coefficient de la fonction $f$ est :

$ a = \dfrac{f(0)-f(-1)}{0-(-1)} = \dfrac{7-12}{1} = -5 $

L'ordonnée à l'origine est $b = f(0) = 7$.
L'expression de $f(x)$ est $f(x) = -5x + 7$.

Pour calculer $f(7)$ :

$ f(7) = -5 \times 7 + 7 = -35 + 7 = -28 $

Donc $\mathbf{f(7) = -28}$.
Comme déterminé à la question précédente, l'expression de la fonction affine $f$ est :

$ f(x) = -5x + 7 $
La fonction $g$ est définie par $g(x) = x^2 + 4$.
Dans la cellule B3, on veut calculer l'image de la valeur de $x$ située en B1.
La formule à saisir est donc :

`=B1*B1+4` ou `=B1^2+4`

(Sur Excel en français, on peut aussi utiliser `=PUISSANCE(B1;2)+4`).