On s'intéresse au chiffre des unités de grandes puissances d'entiers.

Partie A — Découverte du cycle

1. Calculer $ 7^1 $, $ 7^2 $, $ 7^3 $ et $ 7^4 $. Quel est le chiffre des unités de chacun de ces nombres ?
2. Calculer $ 7^5 $. Que remarque-t-on pour le chiffre des unités ?

3. Compléter le tableau suivant :

   Puissance	$ 7^1 $	$ 7^2 $	$ 7^3 $	$ 7^4 $	$ 7^5 $	$ 7^6 $	$ 7^7 $	$ 7^8 $
   Chiffre des unités

4. Que peut-on en déduire sur le chiffre des unités des puissances de $ 7 $ ?

Partie B — Application

1. Effectuer la division euclidienne de $ 2026 $ par $ 4 $. Quel est le reste ?
2. En déduire le chiffre des unités de $ 7^{2026} $.
3. En utilisant la même méthode, déterminer le chiffre des unités de $ 3^{2026} $.
4. Défi : Déterminer le chiffre des unités de $ 2^{2026} + 3^{2026} + 7^{2026} $.

On appelle diviseurs propres d'un entier $ n \geqslant 2 $ tous ses diviseurs sauf lui-même. On note $ s(n) $ la somme des diviseurs propres de $ n $.

Exemple : les diviseurs propres de $ 18 $ sont $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 6 $ et $ 9 $, donc $ s(18) = 1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21 > 18 $ : le nombre $ 18 $ est abondant.

1. Calculer $ s(n) $ pour chacun des nombres suivants, puis les classer en déficients, parfaits ou abondants :
   $ 6 $, $ 10 $, $ 15 $, $ 20 $, $ 28 $.
2. Que peut-on dire de $ s(p) $ lorsque $ p $ est un nombre premier ? En déduire que tout nombre premier est déficient.
3. Déterminer le plus petit nombre abondant. Pour cela, calculer $ s(n) $ pour les entiers $ n $ de $ 2 $ à $ 15 $ qui ne sont ni premiers ni déjà traités à la question 1.
4. 1. Calculer $ s(24) $. Le nombre $ 24 $ est-il abondant ?
   2. Calculer $ s(36) $. Le nombre $ 36 $ est-il abondant ?
   3. Que remarque-t-on ? Proposer une explication.

Léa possède une collection de billes. Elle remarque que :

• si elle les range par paquets de $ 7 $, il lui en reste $ 3 $ ;
• si elle les range par paquets de $ 5 $, il lui en reste $ 1 $ ;
• si elle les range par paquets de $ 3 $, il ne lui en reste aucune.

On note $ n $ le nombre de billes de Léa. On sait que $ 50 < n < 120 $.

1. Traduire chacune des trois conditions en termes de division euclidienne (on précisera le diviseur et le reste à chaque fois).
2. Écrire tous les multiples de $ 3 $ compris entre $ 50 $ et $ 120 $.
3. Parmi ces multiples de $ 3 $, lesquels ont un reste égal à $ 1 $ dans la division par $ 5 $ ?
4. Parmi les nombres restants, lequel a un reste égal à $ 3 $ dans la division par $ 7 $ ? En déduire le nombre de billes de Léa.
5. Vérifier le résultat en effectuant les trois divisions euclidiennes.

[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Dans toute division euclidienne de $a$ par $b$, le reste $r$ vérifie $0 \leqslant r < b$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est la définition même de la division euclidienne : le reste est toujours positif ou nul, et strictement inférieur au diviseur.
Sans cette condition, le quotient et le reste ne seraient pas uniques.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de penser que le reste peut être négatif ou égal au diviseur.
Par définition, dans $a = b \times q + r$, le reste $r$ vérifie toujours $0 \leqslant r < b$.
Cette condition garantit l'unicité du quotient et du reste.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Par définition de la division euclidienne, dans l'écriture $a = b \times q + r$, le reste $r$ vérifie toujours $0 \leqslant r < b$. Cette condition garantit l'unicité du quotient et du reste.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Tout nombre dont la somme des chiffres est divisible par $3$ est aussi divisible par $9$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les critères pour $3$ et pour $9$ sont différents.
Pour la divisibilité par $3$, la somme des chiffres doit être divisible par $3$.
Pour la divisibilité par $9$, il faut que la somme des chiffres soit divisible par $9$.
Exemple : $12$ a pour somme des chiffres $3$, donc $12$ est divisible par $3$, mais $12 \div 9 = 1$ reste $3$, donc $12$ n'est pas divisible par $9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre le critère de divisibilité par $3$ (somme des chiffres divisible par $3$) avec celui par $9$ (somme des chiffres divisible par $9$).
Exemple : la somme des chiffres de $12$ est $1+2=3$, divisible par $3$.
Pourtant $12 = 9 \times 1 + 3$ : le reste est $3 \neq 0$, donc $12$ n'est pas divisible par $9$.
Pour la divisibilité par $9$, la somme des chiffres doit être divisible par $9$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le critère de divisibilité par $3$ (somme des chiffres divisible par $3$) est différent du critère par $9$ (somme des chiffres divisible par $9$). Par exemple, $12$ est divisible par $3$ mais pas par $9$ : $12 = 9 \times 1 + 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La division euclidienne de $85$ par $6$ donne : $85 = 6 \times 14 + 1$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On vérifie : $6 \times 14 = 84$ et $85 - 84 = 1$.
Le reste $1$ est bien strictement inférieur au diviseur $6$.
L'écriture $85 = 6 \times 14 + 1$ est donc la division euclidienne correcte.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de mal estimer le quotient ou de ne pas vérifier que le reste est bien strictement inférieur au diviseur.
On vérifie : $6 \times 14 = 84$, donc $85 = 6 \times 14 + 1$ avec $1 < 6$.
Le quotient est $14$ et le reste est $1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On vérifie : $6 \times 14 = 84$, donc $85 = 6 \times 14 + 1$ avec un reste $1$ bien inférieur au diviseur $6$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si un entier est divisible à la fois par $2$ et par $4$, il est forcément divisible par $8$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Être divisible par $2$ et par $4$ revient simplement à être divisible par $4$ (puisque tout multiple de $4$ est aussi multiple de $2$).
Or un multiple de $4$ n'est pas forcément multiple de $8$.
Exemple : $12 = 4 \times 3$ est divisible par $4$, mais $12 = 8 \times 1 + 4$ : le reste est $4 \neq 0$, donc $12$ n'est pas divisible par $8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de croire que la divisibilité par $2$ et par $4$ « se combinent » pour donner la divisibilité par $8$ — ce n'est pas le cas, car $2 \times 4 = 8$ n'implique pas ce résultat.
Exemple : $12$ est divisible par $2$ ($12 = 2 \times 6$) et par $4$ ($12 = 4 \times 3$), mais $12 = 8 \times 1 + 4$ : le reste est $4$, donc $12$ n'est pas divisible par $8$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Être divisible par $2$ et par $4$ revient seulement à être divisible par $4$. Exemple : $12$ est divisible par $4$ mais pas par $8$ car $12 = 8 \times 1 + 4$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul, alors $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Un reste nul signifie que $b$ divise $a$, c'est-à-dire que $b$ est un diviseur commun à $a$ et à $b$.
Donc $PGCD(a ; b) = b$.
Pour que $a$ et $b$ soient premiers entre eux, il faudrait $PGCD(a ; b) = 1$, ce qui n'est le cas que si $b = 1$.
Exemple : $6 \div 3 = 2$ reste $0$, mais $PGCD(6 ; 3) = 3 \neq 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre « reste nul » (divisibilité) avec « premiers entre eux » (PGCD égal à 1) : ces deux notions sont très différentes.
Un reste nul signifie que $b$ divise $a$, donc $b$ est un diviseur commun à $a$ et $b$.
On a $PGCD(a ; b) = b$, pas nécessairement $1$.
Exemple : $6 = 3 \times 2$ (reste nul), mais $PGCD(6 ; 3) = 3 \neq 1$ : $6$ et $3$ ne sont pas premiers entre eux.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Un reste nul signifie que $b$ divise $a$, donc $PGCD(a ; b) = b$. Deux nombres sont premiers entre eux uniquement si leur PGCD vaut $1$. Exemple : $6 \div 3$ a un reste nul, mais $PGCD(6 ; 3) = 3 \neq 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $a$ est divisible par $b$ et $b$ est divisible par $c$, alors $a$ est divisible par $c$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On peut le vérifier avec un raisonnement simple : si $b$ divise $a$, il existe un entier $k$ tel que $a = b \times k$.
Si $c$ divise $b$, il existe un entier $m$ tel que $b = c \times m$.
En remplaçant : $a = b \times k = c \times m \times k$, donc $c$ divise bien $a$.
Exemple : $6$ divise $24$ et $3$ divise $6$, donc $3$ divise $24$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'oublier que la divisibilité est une relation transitive : si $c | b$ et $b | a$, alors $c | a$.
Si $b$ divise $a$, il existe un entier $k$ tel que $a = b \times k$.
Si $c$ divise $b$, il existe un entier $m$ tel que $b = c \times m$.
En remplaçant : $a = c \times (m \times k)$, donc $c$ divise $a$.
Exemple : $4$ divise $12$ et $2$ divise $4$, donc $2$ divise $12$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La divisibilité est transitive : si $a = b \times k$ et $b = c \times m$, alors $a = c \times (mk)$. Exemple : $2 | 4$ et $4 | 12$, donc $2 | 12$.
[/solution]
[/etape]

Un professeur d'EPS veut disposer les élèves de sa classe en rangs égaux. Lorsqu'il les place par rangs de $ 6 $, il manque $ 2 $ élèves pour compléter le dernier rang. Lorsqu'il les place par rangs de $ 8 $, il manque également $ 2 $ élèves pour compléter le dernier rang.

On note $ n $ le nombre d'élèves de la classe. On sait que $ 20 < n < 40 $.

1. Expliquer pourquoi le reste de la division euclidienne de $ n $ par $ 6 $ est $ 4 $.
2. Expliquer pourquoi le reste de la division euclidienne de $ n $ par $ 8 $ est $ 6 $.
3. Écrire tous les entiers compris entre $ 20 $ et $ 40 $ dont le reste dans la division par $ 6 $ est $ 4 $.
4. Parmi ces entiers, lequel a également un reste égal à $ 6 $ dans la division par $ 8 $ ? Combien y a-t-il d'élèves dans cette classe ?

1. Pour chacune des divisions euclidiennes suivantes, donner le quotient $ q $ et le reste $ r $, puis écrire l'égalité de la forme $ a = b \times q + r $.

   1. $ 347 \div 13 $
   2. $ 589 \div 17 $
   3. $ 1\,024 \div 30 $

2. Une boulangerie prépare chaque matin 437 croissants, conditionnés dans des boîtes de 12.

   1. Effectuer la division euclidienne de 437 par 12 et écrire l'égalité correspondante.
   2. Combien de boîtes peut-on remplir ?
   3. Combien de croissants reste-t-il après avoir rempli toutes les boîtes ?

Dans chacun des exemples ci-dessous, indiquer si les propositions sont justes ou fausses :

1. • $ 12 $ est divisible par $ 4 $
   • $ 12 $ est un multiple de $ 4 $
   • $ 12 $ est un diviseur de $ 4 $
   • $ 12 $ divise $ 4 $
2. • $ 7 $ est divisible par $ 14 $
   • $ 7 $ est un multiple de $ 14 $
   • $ 7 $ est un diviseur de $ 14 $
   • $ 7 $ divise $ 14 $

Parmi les nombres ci-dessous, indiquer ceux qui sont divisibles par 2, 3, 4, 5, 9 ou 10.

1. 1 544
2. 3 600
3. 1 325
4. 1 001