Objectif général — Calcul littéral

Calcul littéral – Programme de calcul à deux branches – Brevet Amérique du Nord 2024

Voici un programme de calcul :

Programme de calcul à deux branches : à partir d'un nombre choisi, branche gauche on ajoute 2 puis on multiplie par 4, branche droite on multiplie par 5 puis on soustrait 3, enfin on multiplie les deux résultats obtenus.

Montrer que si on choisit 2 comme nombre de départ, le résultat à l'arrivée est 112.
Quel est le résultat obtenu à l'arrivée quand on choisit $ -3 $ comme nombre de départ ?

On choisit $ x $ comme nombre de départ. Parmi les expressions suivantes, lesquelles permettent d'exprimer le résultat à l'arrivée de ce programme de calcul. Aucune justification n'est demandée.

Expression A	Expression B	Expression C	Expression D
$ (x + 2 \times 4)(x \times 5 - 3) $	$ (4x + 2)(5x - 3) $	$ (4x + 8)(5x - 3) $	$ (x + 2) \times 4 \times (5x - 3) $

Trouver les deux nombres de départ qui permettent d'obtenir 0 à l'arrivée. Expliquer la démarche.
Développer et réduire l'expression B.

Corrigé

On applique le programme à partir de 2 :

Branche de gauche : $ 2 + 2 = 4 $, puis $ 4 \times 4 = 16 $.

Branche de droite : $ 2 \times 5 = 10 $, puis $ 10 - 3 = 7 $.

Multiplication finale : $ 16 \times 7 = 112 $.

Le résultat à l'arrivée est bien 112.
On applique le programme à partir de $ -3 $ :

Branche de gauche : $ -3 + 2 = -1 $, puis $ -1 \times 4 = -4 $.

Branche de droite : $ -3 \times 5 = -15 $, puis $ -15 - 3 = -18 $.

Multiplication finale : $ (-4) \times (-18) = 72 $.

Le résultat à l'arrivée est 72.
On exprime le résultat en fonction de $ x $ :

Branche de gauche : $ x + 2 $ puis $ \times 4 $ donne $ 4(x + 2) = 4x + 8 $.

Branche de droite : $ 5x $ puis $ - 3 $ donne $ 5x - 3 $.

Résultat : $ (4x + 8)(5x - 3) $, qui s'écrit aussi $ 4(x + 2)(5x - 3) $.

Les expressions C et D conviennent.

(L'expression A est égale à $ (x + 8)(5x - 3) $ et l'expression B à $ (4x + 2)(5x - 3) $ : aucune des deux ne correspond au programme.)
D'après la question précédente, le résultat à l'arrivée s'écrit $ (4x + 8)(5x - 3) $.

On cherche $ x $ tel que $ (4x + 8)(5x - 3) = 0 $.

C'est une équation produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.

$ 4x + 8 = 0 $ donne $ 4x = -8 $ puis $ x = -2 $.

$ 5x - 3 = 0 $ donne $ 5x = 3 $ puis $ x = \dfrac{3}{5} = 0{,}6 $.

Les deux nombres de départ qui donnent 0 à l'arrivée sont $ -2 $ et $ 0{,}6 $.
On développe l'expression B en utilisant la double distributivité :

$ (4x + 2)(5x - 3) = 4x \times 5x + 4x \times (-3) + 2 \times 5x + 2 \times (-3) $

$ \phantom{(4x + 2)(5x - 3)} = 20x^2 - 12x + 10x - 6 $

$ (4x + 2)(5x - 3) = 20x^2 - 2x - 6 $

Calcul littéral – Deux programmes de calcul – Brevet Amérique du Nord 2025

On considère les deux programmes de calcul suivants :

Deux programmes de calcul présentés côte à côte. Programme A : choisir un nombre, multiplier par 3, ajouter 15, diviser par 3, soustraire le nombre de départ. Programme B : choisir un nombre, soustraire 1 d'un côté et soustraire 6 de l'autre, multiplier les deux résultats, ajouter 5.

Montrer que, lorsque le nombre choisi est 4, le résultat obtenu avec le programme A est 5.
Montrer que, lorsque le nombre choisi est $ -2 $, le résultat obtenu avec le programme A est 5.
Justifier que l'affirmation suivante est vraie :

« Le programme A donne toujours le même résultat. »
Lorsque le nombre choisi est 10, quel résultat obtient-on avec le programme B ?
Il existe exactement deux nombres pour lesquels les programmes A et B fournissent à chaque fois des résultats identiques. Quels sont ces deux nombres ?

Corrigé

On applique le programme A en partant de 4 :

$ 4 \times 3 = 12 $, puis $ 12 + 15 = 27 $, puis $ 27 \div 3 = 9 $, et enfin $ 9 - 4 = 5 $.

Le résultat est bien 5.
On applique le programme A en partant de $ -2 $ :

$ -2 \times 3 = -6 $, puis $ -6 + 15 = 9 $, puis $ 9 \div 3 = 3 $, et enfin $ 3 - (-2) = 5 $.

Le résultat est bien 5.
On choisit un nombre quelconque $ x $ et on applique le programme A étape par étape :

$ x \;\xrightarrow{\times 3}\; 3x \;\xrightarrow{+15}\; 3x + 15 \;\xrightarrow{\div 3}\; \dfrac{3x + 15}{3} = x + 5 \;\xrightarrow{-\,x}\; (x + 5) - x = 5. $

Quel que soit le nombre $ x $ choisi au départ, le résultat est égal à 5.

L'affirmation est donc vraie : le programme A renvoie toujours 5.
On applique le programme B en partant de 10 :

$ 10 - 1 = 9 $ (branche de gauche), $ 10 - 6 = 4 $ (branche de droite).

Multiplication : $ 9 \times 4 = 36 $.

Addition : $ 36 + 5 = 41 $.

Avec le programme B et le nombre 10, on obtient 41.
On note $ x $ le nombre choisi. D'après la question 3, le programme A renvoie toujours 5.

Pour le programme B, le résultat est $ (x - 1)(x - 6) + 5 $.

On cherche les valeurs de $ x $ pour lesquelles ces deux résultats sont égaux :

$ (x - 1)(x - 6) + 5 = 5 $

$ (x - 1)(x - 6) = 0 $

C'est une équation produit nul : un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

$ x - 1 = 0 $ donne $ x = 1 $, et $ x - 6 = 0 $ donne $ x = 6 $.

Les deux nombres recherchés sont donc 1 et 6.

Remarque

On peut vérifier : pour $ x = 1 $, le programme B donne $ 0 \times (-5) + 5 = 5 $ ; pour $ x = 6 $, il donne $ 5 \times 0 + 5 = 5 $. Les deux résultats valent bien 5, comme le programme A.