[enonce]
Ce QCM porte sur les définitions et le vocabulaire des vecteurs. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Un vecteur est caractérisé par :
[qcm]
[option]sa direction et sa longueur[/option]
[option]son sens et sa longueur[/option]
[option correct="true"]sa direction, son sens et sa longueur[/option]
[option]sa position, sa direction et son sens[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Un vecteur est défini par trois caractéristiques : sa direction (la droite qui le porte), son sens (le sens de parcours sur cette droite) et sa longueur (la norme).[/reponse]
[reponse motif="sa direction et sa longueur"]Non.
Il manque une caractéristique. Deux vecteurs peuvent avoir la même direction et la même longueur tout en étant différents : ils peuvent être de sens contraires.[/reponse]
[reponse motif="son sens et sa longueur"]Non.
Il manque une caractéristique. Le sens seul ne suffit pas : il faut aussi préciser sur quelle droite (quelle direction) se déplace le vecteur.[/reponse]
[reponse motif="sa position, sa direction et son sens"]Non.
Un vecteur n'a pas de position fixe dans le plan. Il peut être représenté à partir de n'importe quel point : seules comptent sa direction, son sens et sa longueur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un vecteur est défini par trois éléments : sa direction, son sens et sa longueur. Il n'a pas de position fixe dans le plan.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si et seulement s'ils ont :
[qcm]
[option]la même longueur[/option]
[option correct="true"]la même direction, le même sens et la même longueur[/option]
[option]la même direction et le même sens[/option]
[option]la même longueur et le même sens[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils partagent les trois caractéristiques : même direction, même sens et même longueur. Si l'une de ces trois conditions manque, les vecteurs sont différents.[/reponse]
[reponse motif="la même longueur"]Non.
Avoir la même longueur (la même norme) ne suffit pas. Deux vecteurs de même longueur peuvent pointer dans des directions complètement différentes. Il faut aussi vérifier la direction et le sens.[/reponse]
[reponse motif="la même direction et le même sens"]Non.
Il manque une condition. Deux vecteurs de même direction et de même sens peuvent avoir des longueurs différentes et donc être différents.[/reponse]
[reponse motif="la même longueur et le même sens"]Non.
Il manque une condition. Le « sens » n'a de signification que sur une droite donnée. Deux vecteurs de même longueur et même sens mais de directions différentes ne sont pas égaux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'égalité de deux vecteurs nécessite les trois conditions simultanément : même direction, même sens et même longueur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La norme $||\overrightarrow{AB}||$ est égale à :
[qcm]
[option]le double de la distance $AB$[/option]
[option]la moitié de la distance $AB$[/option]
[option]le carré de la distance $AB$[/option]
[option correct="true"]la distance $AB$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$, notée $||\overrightarrow{AB}||$, est par définition la longueur du segment $[AB]$, c'est-à-dire la distance $AB$.[/reponse]
[reponse motif="le double de la distance $AB$"]Non.
La norme n'introduit aucun facteur multiplicatif. Elle mesure directement la longueur du segment qui représente le vecteur.[/reponse]
[reponse motif="la moitié de la distance $AB$"]Non.
La norme n'introduit aucun facteur multiplicatif. Elle correspond exactement à la longueur du segment $[AB]$.[/reponse]
[reponse motif="le carré de la distance $AB$"]Non.
La norme est une longueur, pas un carré de longueur. Elle mesure directement la distance entre les deux points.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La norme $||\overrightarrow{AB}||$ est la longueur du segment $[AB]$, soit la distance entre $A$ et $B$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$M$ est le milieu du segment $[AB]$ si et seulement si :
[qcm]
[option]$AM = MB$[/option]
[option]$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{BM}$[/option]
[option correct="true"]$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}$[/option]
[option]$\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'égalité vectorielle $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}$ signifie que les deux vecteurs ont même direction, même sens et même longueur : $M$ est bien entre $A$ et $B$, à égale distance des deux.[/reponse]
[reponse motif="$AM = MB$"]Pas tout à fait.
L'égalité de distances $AM = MB$ signifie seulement que $M$ est à égale distance de $A$ et $B$ : $M$ est sur la médiatrice de $[AB]$, mais pas nécessairement entre $A$ et $B$. Il faut une égalité de vecteurs.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{BM}$"]Non.
Attention au sens. Le vecteur $\overrightarrow{BM}$ va de $B$ vers $M$, alors que $\overrightarrow{MB}$ va de $M$ vers $B$. Ces deux vecteurs sont opposés. Vérifier l'ordre des lettres.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB}$"]Non.
Cette égalité signifierait que les vecteurs $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ sont identiques, ce qui impliquerait $A = B$. La bonne caractérisation utilise des vecteurs qui « se suivent » de $A$ vers $B$ en passant par $M$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La caractérisation vectorielle du milieu est $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}$ : les deux vecteurs ont même direction, même sens et même longueur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ :
[qcm]
[option correct="true"]n'a ni direction ni sens, et sa norme vaut $0$[/option]
[option]a une direction quelconque et une norme de $1$[/option]
[option]est un vecteur qui n'existe pas[/option]
[option]a la même direction que tous les autres vecteurs[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ (par exemple $\overrightarrow{AA}$) a une longueur nulle. Contrairement aux autres vecteurs, il n'a ni direction ni sens définis.[/reponse]
[reponse motif="a une direction quelconque et une norme de $1$"]Non.
Le vecteur de norme $1$ est un vecteur unitaire, pas le vecteur nul. Le vecteur nul a une norme de $0$ et n'a ni direction ni sens.[/reponse]
[reponse motif="est un vecteur qui n'existe pas"]Non.
Le vecteur nul existe bel et bien. C'est le vecteur $\overrightarrow{AA}$ (ou $\overrightarrow{BB}$, etc.) dont l'origine et l'extrémité coïncident. Il intervient souvent dans les calculs vectoriels.[/reponse]
[reponse motif="a la même direction que tous les autres vecteurs"]Non.
Le vecteur nul n'a pas de direction définie. Par convention, on dit qu'il est colinéaire à tout vecteur (car $\overrightarrow{0} = 0\vec{u}$), mais cela ne signifie pas qu'il a la même direction.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ a une norme de $0$ et n'a ni direction ni sens définis. Il s'écrit par exemple $\overrightarrow{AA}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si :
[qcm]
[option]$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$[/option]
[option]$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$[/option]
[option correct="true"]$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$[/option]
[option]$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Dans un parallélogramme $ABCD$, les côtés opposés $[AB]$ et $[DC]$ sont parallèles et de même longueur, parcourus dans le même sens. On a donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Attention à l'ordre des lettres $D$ et $C$.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$"]Non.
Attention à l'inversion des points. Le vecteur $\overrightarrow{CD}$ a le sens contraire de $\overrightarrow{DC}$. La bonne égalité porte sur les côtés opposés parcourus dans le même sens : vérifier l'ordre des lettres $C$ et $D$.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$"]Non.
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ correspondent à deux côtés consécutifs, pas opposés. Cette égalité signifierait que $B$ est le milieu de $[AC]$ : les points $A$, $B$, $C$ seraient alignés. La caractérisation d'un parallélogramme porte sur deux côtés opposés.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$"]Non.
Les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$ sont les diagonales du quadrilatère. La caractérisation d'un parallélogramme porte sur les côtés opposés, pas sur les diagonales.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La caractérisation vectorielle d'un parallélogramme utilise une paire de côtés opposés : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Attention à l'ordre des lettres.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les vecteurs, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Un vecteur est défini par sa direction et sa longueur.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Un vecteur est défini par trois caractéristiques : sa direction, son sens et sa longueur. Sans le sens, on ne peut pas distinguer deux vecteurs de même direction et même longueur mais de sens contraires.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il manque une caractéristique essentielle : le sens. Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa longueur. Deux vecteurs peuvent avoir la même direction et la même longueur tout en étant opposés.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa longueur.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même longueur.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
C'est précisément la définition de l'égalité de deux vecteurs : même direction, même sens, même longueur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'égalité de deux vecteurs ne signifie pas que leurs origines ou extrémités coïncident. Il suffit qu'ils aient les trois mêmes caractéristiques : direction, sens et longueur.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont même direction, même sens et même longueur.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ possède une direction et un sens.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le vecteur nul a une longueur nulle. Contrairement aux autres vecteurs, il n'a ni direction, ni sens.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le vecteur nul est un vecteur particulier. Sa longueur est nulle et, de ce fait, il n'a ni direction ni sens. Il est noté $\overrightarrow{AA}$ pour tout point $A$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le vecteur nul n'a ni direction, ni sens.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est égale à la longueur $AB$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Par définition, $||\overrightarrow{AB}|| = AB$. La norme d'un vecteur est la longueur du segment joignant l'origine à l'extrémité de ce vecteur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La norme d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$, notée $||\overrightarrow{AB}||$, est par définition la longueur du segment $[AB]$, c'est-à-dire la distance $AB$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Par définition, $||\overrightarrow{AB}|| = AB$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $AM = MB$, alors $M$ est le milieu du segment $[AB]$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'égalité de distances $AM = MB$ signifie seulement que $M$ est à égale distance de $A$ et $B$, c'est-à-dire que $M$ est sur la médiatrice de $[AB]$. Pour que $M$ soit le milieu, il faut l'égalité vectorielle $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, l'égalité $AM = MB$ est une égalité de distances, pas de vecteurs. Elle signifie que $M$ est sur la médiatrice de $[AB]$, mais pas forcément sur le segment. Il faut l'égalité vectorielle $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}$ pour conclure que $M$ est le milieu.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. L'égalité $AM = MB$ place $M$ sur la médiatrice de $[AB]$, pas forcément au milieu. Il faut $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
C'est la caractérisation vectorielle du parallélogramme. Attention à l'ordre des lettres : c'est bien $\overrightarrow{DC}$ et non $\overrightarrow{CD}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il s'agit d'une propriété fondamentale. Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si une paire de côtés opposés définit des vecteurs égaux : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Attention : c'est bien $D$ vers $C$, pas $C$ vers $D$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
[/solution]
[/etape]