QCM Bilan : Statistiques
[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : moyenne, médiane, quartiles, écart-type et linéarité. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Voici les résultats d'un contrôle :
| Note | $10$ | $12$ | $14$ | $16$ |
| Effectif | $5$ | $8$ | $5$ | $2$ |
Quelle est la moyenne de la classe ?
[qcm]
[option]$13$[/option]
[option]$12$[/option]
[option correct="true"]$12{,}4$[/option]
[option]$248$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$N = 5 + 8 + 5 + 2 = 20$.
$\bar{x} = \dfrac{10 \times 5 + 12 \times 8 + 14 \times 5 + 16 \times 2}{20} = \dfrac{50 + 96 + 70 + 32}{20} = \dfrac{248}{20} = 12{,}4$[/reponse]
[reponse motif="$13$"]Non.
$13 = \dfrac{10 + 12 + 14 + 16}{4}$. Ce calcul ignore les effectifs : il faut calculer la moyenne pondérée en multipliant chaque note par son effectif.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12$ est la note qui a le plus grand effectif (le mode de la série). Mode et moyenne sont deux indicateurs différents.[/reponse]
[reponse motif="$248$"]Non.
$248$ est la somme pondérée des notes. Il faut encore diviser par l'effectif total $N = 20$ pour obtenir la moyenne.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Multiplier chaque note par son effectif, additionner, puis diviser par l'effectif total $N = 20$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On a relevé les températures maximales (en °C) sur $20$ jours :
| Température | $12$ | $13$ | $14$ | $15$ | $16$ | $17$ |
| Effectif | $2$ | $3$ | $5$ | $6$ | $3$ | $1$ |
Quelle est la médiane de cette série ?
[qcm]
[option]$14$[/option]
[option]$15$[/option]
[option correct="true"]$14{,}5$[/option]
[option]$14{,}4$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$N = 20$ est pair. La médiane est la moyenne des valeurs de rangs $10$ et $11$.
ECC : $2$ ; $5$ ; $\mathbf{10}$ ; $16$ ; $19$ ; $20$.
Le rang $10$ correspond à la dernière valeur de la catégorie $14$ (ECC $= 10$), et le rang $11$ est la première valeur de la catégorie $15$.
Médiane $= \dfrac{14 + 15}{2} = 14{,}5$[/reponse]
[reponse motif="$14$"]Non.
$14$ est la valeur du rang $10$ uniquement. Quand $N$ est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales (rangs $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2}+1$).[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
$15$ est la valeur du rang $11$ uniquement. Pour $N$ pair, la médiane se calcule comme la moyenne des valeurs de deux rangs centraux.[/reponse]
[reponse motif="$14{,}4$"]Non.
$14{,}4 = \dfrac{12 \times 2 + 13 \times 3 + 14 \times 5 + 15 \times 6 + 16 \times 3 + 17 \times 1}{20}$ est la moyenne de la série. Médiane et moyenne sont deux indicateurs différents.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Avec $N = 20$, la médiane est la moyenne des $10$e et $11$e valeurs. Les effectifs cumulés croissants permettent de localiser ces rangs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Une série statistique $(x_i)$ a pour moyenne $\bar{x} = 10$. On applique la transformation $x \mapsto 3x + 2$ à toutes les valeurs.
Quelle est la moyenne de la nouvelle série ?
[qcm]
[option]$12$[/option]
[option]$30$[/option]
[option correct="true"]$32$[/option]
[option]$15$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Par linéarité de la moyenne, si on applique $x \mapsto ax + b$, la nouvelle moyenne vaut $a\bar{x} + b$ :
$\bar{x}' = 3 \times 10 + 2 = 32$[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12 = 10 + 2$ : l'étape de multiplication par $3$ est manquante. La formule complète est $a\bar{x} + b$, pas seulement $\bar{x} + b$.[/reponse]
[reponse motif="$30$"]Non.
$30 = 3 \times 10$ : la constante additive $+2$ n'a pas été prise en compte. Il faut additionner $b$ après avoir multiplié par $a$.[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
$15 = \dfrac{3 \times 10 + 2}{2}$ : aucune étape de division n'intervient dans la linéarité. Appliquer simplement $a\bar{x} + b$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La linéarité de la moyenne donne : si $y_i = ax_i + b$, alors $\bar{y} = a\bar{x} + b$. Remplacer $a$, $b$ et $\bar{x}$ par leurs valeurs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Le tableau donne la répartition des salaires mensuels (en centaines d'euros) de $20$ employés :
| Salaire | $5$ | $10$ | $15$ | $20$ | $25$ |
| Effectif | $2$ | $4$ | $8$ | $4$ | $2$ |
Quel est l'écart interquartile de cette série ?
[qcm]
[option correct="true"]$10$[/option]
[option]$20$[/option]
[option]$15$[/option]
[option]$30$[/option]
[reponse statut="correct"]Bien joué !
$N = 20$.
ECC : $2$ ; $6$ ; $14$ ; $18$ ; $20$.
$Q_1$ : rang $\geqslant \dfrac{20}{4} = 5$, soit rang $5$ → catégorie $10$. Donc $Q_1 = 10$.
$Q_3$ : rang $\geqslant \dfrac{3 \times 20}{4} = 15$, soit rang $15$ → catégorie $20$. Donc $Q_3 = 20$.
Écart interquartile $= 20 - 10 = 10$[/reponse]
[reponse motif="$20$"]Non.
$20 = 25 - 5$ est l'étendue (max $-$ min), pas l'écart interquartile. L'écart interquartile se calcule avec $Q_1$ et $Q_3$, pas les extrêmes.[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
$15 = \dfrac{Q_1 + Q_3}{2}$ est une moyenne des quartiles (et la valeur centrale du tableau). L'écart interquartile s'obtient par une différence, pas une moyenne.[/reponse]
[reponse motif="$30$"]Non.
$30 = Q_1 + Q_3$ est la somme des deux quartiles. L'écart interquartile est $Q_3 - Q_1$, pas $Q_3 + Q_1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Déterminer d'abord $Q_1$ et $Q_3$ à l'aide des ECC, puis calculer la différence $Q_3 - Q_1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Une série statistique ordonnée a pour premier quartile $Q_1 = 10$ et pour troisième quartile $Q_3 = 16$.
Que peut-on affirmer au sujet de l'intervalle $[10\,;\,16]$ ?
[qcm]
[option]Exactement $50\,\%$ des valeurs de la série y appartiennent.[/option]
[option]Toutes les valeurs de la série y appartiennent.[/option]
[option]Environ $95\,\%$ des valeurs y appartiennent.[/option]
[option correct="true"]Au moins $50\,\%$ des valeurs de la série y appartiennent.[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'intervalle $[Q_1\,;\,Q_3]$ s'appelle l'intervalle interquartile. Par définition des quartiles, au moins $50\,\%$ des valeurs de la série appartiennent à cet intervalle.[/reponse]
[reponse motif="Exactement $50\,\%$ des valeurs de la série y appartiennent."]Non.
Le pourcentage n'est pas exactement $50\,\%$ : la définition précise utilise une tournure avec « au moins », car la proportion peut être strictement supérieure.[/reponse]
[reponse motif="Toutes les valeurs de la série y appartiennent."]Non.
L'intervalle interquartile ne couvre qu'une partie de la série : au moins $25\,\%$ des valeurs sont inférieures à $Q_1$ et au moins $25\,\%$ sont supérieures à $Q_3$. Il ne les contient donc pas toutes.[/reponse]
[reponse motif="Environ $95\,\%$ des valeurs y appartiennent."]Non.
La proportion $95\,\%$ concerne l'intervalle $[\bar{x} - 2s\,;\,\bar{x} + 2s]$ (moyenne et écart-type), pas l'intervalle interquartile $[Q_1\,;\,Q_3]$. Ne pas confondre ces deux intervalles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La définition des quartiles donne directement une proportion de valeurs contenues dans $[Q_1\,;\,Q_3]$ : chercher cette proportion dans le cours.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Cinq amis ont pour moyenne d'âge $20$ ans. Un sixième ami de $26$ ans les rejoint.
Quelle est la nouvelle moyenne d'âge du groupe ?
[qcm]
[option]$26$[/option]
[option]$23$[/option]
[option]$20$[/option]
[option correct="true"]$21$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La somme des âges des $5$ premiers amis est $20 \times 5 = 100$.
Avec le $6$e ami : somme $= 100 + 26 = 126$.
Nouvelle moyenne $= \dfrac{126}{6} = 21$ ans[/reponse]
[reponse motif="$26$"]Non.
$26$ est l'âge du nouvel ami, pas la moyenne du groupe. Son arrivée modifie un peu la moyenne, mais elle ne la remplace pas.[/reponse]
[reponse motif="$23$"]Non.
$23 = \dfrac{20 + 26}{2}$ est la moyenne entre l'ancienne moyenne et la nouvelle valeur. On ne fait pas la moyenne de deux moyennes : il faut reprendre les sommes pondérées par les effectifs.[/reponse]
[reponse motif="$20$"]Non.
La moyenne change lorsqu'on ajoute une valeur différente de la moyenne initiale. Comme $26 > 20$, la nouvelle moyenne est nécessairement strictement supérieure à $20$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Retrouver la somme des âges avant l'arrivée du $6$e ami ($\bar{x} \times N$), ajouter le nouvel âge, puis diviser par le nouvel effectif total.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]