[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $\sqrt{3} > 1{,}8$

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$1{,}8^2 = 3{,}24$ et $3{,}24 > 3$. La fonction racine carrée est croissante, donc $\sqrt{3{,}24} > \sqrt{3}$, c'est-à-dire $1{,}8 > \sqrt{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Pour comparer $\sqrt{3}$ et $1{,}8$, on compare leurs carrés. $(\sqrt{3})^2 = 3$ et $1{,}8^2 = 3{,}24$.
Comme $3 < 3{,}24$ et que la racine carrée est croissante : $\sqrt{3} < \sqrt{3{,}24} = 1{,}8$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $1{,}8^2 = 3{,}24 > 3$, donc $1{,}8 > \sqrt{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{1}{\sqrt{7}} < \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$3 < 7$, donc $\sqrt{3} < \sqrt{7}$ (croissance de la racine carrée). Comme $\sqrt{3}$ et $\sqrt{7}$ sont strictement positifs, la fonction inverse inverse l'inégalité : $\dfrac{1}{\sqrt{7}} < \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le raisonnement combine deux propriétés. D'abord, $3 < 7$ et la racine carrée est croissante, donc $\sqrt{3} < \sqrt{7}$. Ensuite, $\sqrt{3}$ et $\sqrt{7}$ sont positifs et la fonction inverse est décroissante sur $\left]0 ; +\infty\right[$ : $\dfrac{1}{\sqrt{7}} < \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Par croissance de la racine carrée puis décroissance de la fonction inverse sur les positifs : $\sqrt{3} < \sqrt{7}$, donc $\dfrac{1}{\sqrt{7}} < \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $0 < a < 1$, alors $\sqrt{a} < a$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Contre-exemple : $a = 0{,}25$, alors $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5 > 0{,}25$. Pour $0 < a < 1$, on a toujours $\sqrt{a} > a$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Vérifions avec $a = 0{,}25$ : $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ et $0{,}5 > 0{,}25$.
Entre $0$ et $1$, la courbe de $\sqrt{x}$ est au-dessus de la droite $y = x$, donc $\sqrt{a} > a$ pour $0 < a < 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour $0 < a < 1$, on a $\sqrt{a} > a$. Exemple : $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5 > 0{,}25$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $a > 0$ et $b > 0$ avec $\sqrt{a} < \sqrt{b}$, alors $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\sqrt{a} < \sqrt{b}$ avec $a, b > 0$. La racine carrée est croissante, donc $a < b$. Puis $a$ et $b$ sont strictement positifs, et la fonction inverse est décroissante sur $\left]0 ; +\infty\right[$ : $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la racine carrée est croissante. Si $\sqrt{a} < \sqrt{b}$, alors $a < b$.
Ensuite, $a$ et $b$ étant strictement positifs, on applique la décroissance de la fonction inverse : $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ implique $a < b$ (croissance de $\sqrt{\phantom{x}}$), puis $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$ (décroissance de l'inverse sur les positifs).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $4 \leqslant x \leqslant 25$, alors $\dfrac{1}{2} \leqslant \sqrt{\dfrac{1}{x}} \leqslant \dfrac{1}{5}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le résultat correct est $\dfrac{1}{5} \leqslant \sqrt{\dfrac{1}{x}} \leqslant \dfrac{1}{2}$, car $\dfrac{1}{5} < \dfrac{1}{2}$. L'affirmation donne les bornes dans le mauvais ordre.
En détail : $4 \leqslant x \leqslant 25$ donne $\dfrac{1}{25} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{4}$ (inverse), puis $\dfrac{1}{5} \leqslant \sqrt{\dfrac{1}{x}} \leqslant \dfrac{1}{2}$ (racine carrée).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le problème est dans l'ordre des bornes : $\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{5}$, donc écrire $\dfrac{1}{2} \leqslant \ldots \leqslant \dfrac{1}{5}$ est impossible.
Reprenons : $4 \leqslant x \leqslant 25$, puis inverse (décroissante) : $\dfrac{1}{25} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{4}$, puis racine carrée (croissante) : $\dfrac{1}{5} \leqslant \sqrt{\dfrac{1}{x}} \leqslant \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Les bornes sont inversées. Le bon encadrement est $\dfrac{1}{5} \leqslant \sqrt{\dfrac{1}{x}} \leqslant \dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout $x > 0$, $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{\dfrac{1}{x}}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les deux expressions sont bien égales. En effet, $\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 = \dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{1}{\sqrt{x}} > 0$, donc $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ est la racine carrée de $\dfrac{1}{x}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour le vérifier, posons $y = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$. Alors $y > 0$ et $y^2 = \dfrac{1}{(\sqrt{x})^2} = \dfrac{1}{x}$. Par définition de la racine carrée, $y = \sqrt{\dfrac{1}{x}}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{1}{\sqrt{x}} > 0$ et $\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 = \dfrac{1}{x}$, donc par définition $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{\dfrac{1}{x}}$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la fonction racine carrée, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $\sqrt{(-7)^2} = -7$

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(-7)^2 = 49$, donc $\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7$. De manière générale, $\sqrt{x^2} = |x|$, qui est toujours positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, $\sqrt{x^2}$ n'est pas égal à $x$ mais à $|x|$ (la valeur absolue de $x$).
$(-7)^2 = 49$ et $\sqrt{49} = 7$ (pas $-7$). La racine carrée donne toujours un résultat positif ou nul.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7$. La règle générale est $\sqrt{x^2} = |x|$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$0{,}7^2 = 0{,}49$ et $0{,}7 \geqslant 0$, donc par définition $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il suffit de vérifier : $0{,}7^2 = 0{,}7 \times 0{,}7 = 0{,}49$, et $0{,}7$ est positif. Donc $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $0{,}7^2 = 0{,}49$ et $0{,}7 \geqslant 0$, donc $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tous réels positifs $a$ et $b$, $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines carrées. Contre-exemple : $\sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3{,}61$, alors que $\sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre avec $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ (qui est vraie).
En revanche, $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ en général. Contre-exemple : $\sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3{,}61 \neq 5 = \sqrt{4} + \sqrt{9}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ en général. Par exemple, $\sqrt{13} \neq \sqrt{4} + \sqrt{9}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $\sqrt{x} = 5$ a pour unique solution $x = 25$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Si $\sqrt{x} = 5$, on élève au carré : $x = 5^2 = 25$. Vérification : $\sqrt{25} = 5$. L'unique solution est $x = 25$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour résoudre $\sqrt{x} = 5$, on élève les deux membres au carré : $x = 25$. Vérification : $\sqrt{25} = 5$. Il n'y a qu'une seule solution car la fonction racine carrée est strictement croissante.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\sqrt{x} = 5$ donne $x = 25$. Vérification : $\sqrt{25} = 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'ensemble des solutions de l'inéquation $\sqrt{x} \geqslant 3$ est $\left[3 ; +\infty\right[$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La fonction racine carrée est croissante, donc $\sqrt{x} \geqslant 3$ équivaut à $x \geqslant 3^2 = 9$. L'ensemble des solutions est $\left[9 ; +\infty\right[$, pas $\left[3 ; +\infty\right[$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de ne pas élever au carré. Pour passer de $\sqrt{x} \geqslant 3$ à une condition sur $x$, il faut élever au carré : $x \geqslant 3^2 = 9$.
L'ensemble des solutions est $\left[9 ; +\infty\right[$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\sqrt{x} \geqslant 3$ équivaut à $x \geqslant 9$ (et non $x \geqslant 3$). L'ensemble des solutions est $\left[9 ; +\infty\right[$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $3 < \sqrt{10} < 4$

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$3^2 = 9$ et $4^2 = 16$, donc $9 < 10 < 16$. La fonction racine carrée est croissante, donc $\sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16}$, c'est-à-dire $3 < \sqrt{10} < 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour encadrer $\sqrt{10}$, il suffit d'encadrer $10$ entre deux carrés parfaits : $9 < 10 < 16$. Comme la racine carrée est croissante : $\sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16}$, soit $3 < \sqrt{10} < 4$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $9 < 10 < 16$, donc par croissance de la racine carrée, $3 < \sqrt{10} < 4$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les fonctions inverse et racine carrée, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : La fonction inverse est définie sur $\mathbb{R}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La fonction inverse $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ n'est pas définie en $0$ car on ne peut pas diviser par zéro. Son ensemble de définition est $\left]-\infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty\right[$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il faut se demander : pour quelle valeur de $x$ le calcul $\dfrac{1}{x}$ est-il impossible ?
La division par zéro n'est pas définie, donc $x = 0$ est exclu. L'ensemble de définition est $\left]-\infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty\right[$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction inverse n'est pas définie en $x = 0$ car on ne peut pas diviser par zéro.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\sqrt{9} = 3$

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$3^2 = 9$ et $3 \geqslant 0$, donc $\sqrt{9} = 3$ par définition de la racine carrée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $\sqrt{9}$ est le nombre positif dont le carré vaut $9$. Comme $3^2 = 9$ et $3 \geqslant 0$, on a bien $\sqrt{9} = 3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $3^2 = 9$ et $3 \geqslant 0$, donc $\sqrt{9} = 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\sqrt{16} = \pm 4$

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La racine carrée d'un nombre est toujours positive ou nulle. $\sqrt{16} = 4$ (et non $\pm 4$). Le symbole $\sqrt{\phantom{x}}$ désigne l'unique racine positive.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, il ne faut pas confondre deux choses : $4$ et $-4$ ont bien le même carré ($16$), mais la racine carrée désigne par définition le nombre positif dont le carré vaut $16$.
Donc $\sqrt{16} = 4$, pas $\pm 4$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Par définition, $\sqrt{16}$ est l'unique nombre positif dont le carré vaut $16$, donc $\sqrt{16} = 4$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fonction racine carrée est croissante sur $\left[0 ; +\infty\right[$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La fonction racine carrée est strictement croissante sur $\left[0 ; +\infty\right[$ : si $0 \leqslant a < b$, alors $\sqrt{a} < \sqrt{b}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est strictement croissante sur $\left[0 ; +\infty\right[$. Par exemple, $\sqrt{4} = 2 < 3 = \sqrt{9}$ et $4 < 9$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La fonction racine carrée est strictement croissante sur son ensemble de définition $\left[0 ; +\infty\right[$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fonction inverse est croissante sur $\left]0 ; +\infty\right[$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La fonction inverse est strictement décroissante sur $\left]0 ; +\infty\right[$. Par exemple, $2 < 5$ mais $\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Vérifions avec un exemple : $2 < 5$, mais $\dfrac{1}{2} = 0{,}5 > 0{,}2 = \dfrac{1}{5}$.
L'ordre est inversé : la fonction inverse est décroissante sur $\left]0 ; +\infty\right[$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction inverse est strictement décroissante sur $\left]0 ; +\infty\right[$ : quand $x$ augmente, $\dfrac{1}{x}$ diminue.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La courbe de la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est bien appelée une hyperbole. Elle est constituée de deux branches, l'une dans le premier quadrant et l'autre dans le troisième.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La courbe de la fonction inverse est une hyperbole, c'est son nom usuel en mathématiques. Elle possède deux branches situées de part et d'autre de l'origine.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La courbe représentative de $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est une hyperbole, symétrique par rapport à l'origine.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : fonction inverse, fonction racine carrée et comparaisons. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
L'image de $-3$ par la fonction inverse est :
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option]$-3$[/option]
[option correct="true"]$-\dfrac{1}{3}$[/option]
[option]$3$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
La fonction inverse associe à $x$ le nombre $\dfrac{1}{x}$.
$\dfrac{1}{-3} = -\dfrac{1}{3}$
L'inverse d'un nombre négatif est négatif.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
Attention au signe. L'inverse d'un nombre négatif est négatif : $\dfrac{1}{-3}$ est négatif.[/reponse]
[reponse motif="$-3$"]Non.
La fonction inverse ne renvoie pas le nombre lui-même. Elle associe à $x$ le nombre $\dfrac{1}{x}$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
La fonction inverse n'est pas la fonction opposé. Elle associe à $x$ le nombre $\dfrac{1}{x}$, pas $-x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La fonction inverse associe à $x$ le nombre $\dfrac{1}{x}$. Calculer $\dfrac{1}{-3}$ en gardant le signe.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$\sqrt{(-7)^2}$ est égal à :
[qcm]
[option correct="true"]$7$[/option]
[option]$-7$[/option]
[option]$49$[/option]
[option]$\pm 7$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$(-7)^2 = 49$ puis $\sqrt{49} = 7$.
La propriété générale est $\sqrt{x^2} = |x|$. Le résultat est toujours positif.[/reponse]
[reponse motif="$-7$"]Non.
$\sqrt{x^2} = |x|$ et non $x$. La racine carrée donne toujours un résultat positif ou nul.[/reponse]
[reponse motif="$49$"]Non.
$(-7)^2 = 49$, c'est correct, mais il faut ensuite prendre la racine carrée de $49$.[/reponse]
[reponse motif="$\pm 7$"]Non.
La racine carrée donne un unique résultat, toujours positif. $\sqrt{49} = 7$, pas $\pm 7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord $(-7)^2$, puis prendre la racine carrée. Se rappeler que $\sqrt{x^2} = |x|$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $0 < a < b$. Que peut-on dire de $\dfrac{1}{a}$ et $\dfrac{1}{b}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{b}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$[/option]
[option]On ne peut pas comparer[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$a$ et $b$ sont positifs avec $a < b$. La fonction inverse est décroissante sur $\left]0 ; +\infty\right[$, donc elle inverse l'ordre :
$\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$"]Non.
Attention, la fonction inverse est décroissante sur les positifs, pas croissante. Elle inverse le sens des inégalités.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{b}$"]Non.
Si $a \neq b$, alors $\dfrac{1}{a} \neq \dfrac{1}{b}$. La fonction inverse est strictement décroissante, elle ne peut pas envoyer deux valeurs distinctes sur la même image.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas comparer"]Non.
Les deux nombres $a$ et $b$ sont de même signe (positifs). On peut utiliser la décroissance de la fonction inverse sur $\left]0 ; +\infty\right[$ pour les comparer.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser les variations de la fonction inverse : elle est décroissante sur $\left]0 ; +\infty\right[$. Quand $x$ augmente, $\dfrac{1}{x}$ diminue.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$\sqrt{x} = 6$. La valeur de $x$ est :
[qcm]
[option]$x = \sqrt{6}$[/option]
[option]$x = 6$[/option]
[option]$x = 12$[/option]
[option correct="true"]$x = 36$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Si $\sqrt{x} = 6$, on élève au carré les deux membres :
$x = 6^2 = 36$
Vérification : $\sqrt{36} = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$x = \sqrt{6}$"]Non.
Attention au sens de l'opération. Pour isoler $x$, il faut élever au carré (pas prendre la racine). Calculer $6^2$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 6$"]Non.
Vérifier : $\sqrt{6} \approx 2{,}45 \neq 6$. Pour résoudre $\sqrt{x} = 6$, il faut élever au carré : $x = 6^2$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 12$"]Non.
La racine carrée n'est pas la division par $2$. Pour résoudre $\sqrt{x} = 6$, il faut élever au carré : $x = 6^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour résoudre $\sqrt{x} = k$, on élève au carré : $x = k^2$. Appliquer avec $k = 6$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La courbe de la fonction inverse (l'hyperbole) est symétrique par rapport :
[qcm]
[option]à l'axe des ordonnées[/option]
[option correct="true"]à l'origine du repère[/option]
[option]à l'axe des abscisses[/option]
[option]elle n'a pas de symétrie particulière[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La fonction inverse est impaire : $\dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x}$.
L'hyperbole est donc symétrique par rapport à l'origine : elle passe dans le premier et le troisième quadrant.[/reponse]
[reponse motif="à l'axe des ordonnées"]Non.
La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées caractérise les fonctions paires ($f(-x) = f(x)$). La fonction inverse vérifie $f(-x) = -f(x)$ : c'est une fonction impaire.[/reponse]
[reponse motif="à l'axe des abscisses"]Non.
Une courbe symétrique par rapport à l'axe des abscisses ne représente pas une fonction. Observer que l'hyperbole est dans le premier et le troisième quadrant.[/reponse]
[reponse motif="elle n'a pas de symétrie particulière"]Non.
L'hyperbole possède bien une symétrie. Observer que la branche dans le premier quadrant et celle dans le troisième quadrant se correspondent point par point.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La fonction inverse vérifie $f(-x) = -f(x)$. Identifier quel type de symétrie correspond à cette propriété.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Si $4 \leqslant x \leqslant 9$, alors $\sqrt{x}$ est compris entre :
[qcm]
[option]$4$ et $9$[/option]
[option]$16$ et $81$[/option]
[option correct="true"]$2$ et $3$[/option]
[option]$\dfrac{1}{9}$ et $\dfrac{1}{4}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La fonction racine carrée est croissante, donc elle conserve l'ordre :
$\sqrt{4} \leqslant \sqrt{x} \leqslant \sqrt{9}$, soit $2 \leqslant \sqrt{x} \leqslant 3$.[/reponse]
[reponse motif="$4$ et $9$"]Non.
Il faut appliquer la fonction racine carrée aux bornes, pas les garder telles quelles. Calculer $\sqrt{4}$ et $\sqrt{9}$.[/reponse]
[reponse motif="$16$ et $81$"]Non.
Il faut prendre la racine carrée des bornes, pas les élever au carré. Calculer $\sqrt{4}$ et $\sqrt{9}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{9}$ et $\dfrac{1}{4}$"]Non.
Attention, on applique la fonction racine carrée, pas la fonction inverse. Calculer $\sqrt{4}$ et $\sqrt{9}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La fonction racine carrée est croissante : appliquer $\sqrt{}$ aux trois membres de l'encadrement. Calculer $\sqrt{4}$ et $\sqrt{9}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les comparaisons et encadrements utilisant les fonctions inverse et racine carrée. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Comparer $\sqrt{50}$ et $7$.
[qcm]
[option]$\sqrt{50} < 7$[/option]
[option]$\sqrt{50} = 7$[/option]
[option correct="true"]$\sqrt{50} > 7$[/option]
[option]On ne peut pas comparer[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
On écrit $7 = \sqrt{49}$. Comme $49 < 50$ et que la fonction racine carrée est croissante :
$\sqrt{49} < \sqrt{50}$, donc $7 < \sqrt{50}$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{50} < 7$"]Non.
Écrire $7$ sous forme de racine carrée : $7 = \sqrt{49}$. Comparer $49$ et $50$, puis utiliser la croissance de la fonction racine carrée.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{50} = 7$"]Non.
Vérifier : $7^2 = 49 \neq 50$. Donc $\sqrt{50} \neq 7$. Comparer les radicandes $49$ et $50$.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas comparer"]Non.
On peut comparer en écrivant $7$ sous forme de racine carrée : $7 = \sqrt{49}$. Il suffit alors de comparer $\sqrt{49}$ et $\sqrt{50}$ grâce à la croissance de la fonction racine carrée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire $7 = \sqrt{49}$ pour ramener la comparaison à deux racines carrées, puis utiliser la croissance de la fonction racine carrée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $3 \leqslant x \leqslant 8$. L'encadrement de $\dfrac{1}{x}$ est :
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{3} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{8}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{8} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{3}$[/option]
[option]$3 \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant 8$[/option]
[option]$-\dfrac{1}{8} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant -\dfrac{1}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les bornes $3$ et $8$ sont positives. La fonction inverse est décroissante sur $\left]0 ; +\infty\right[$, donc on inverse le sens des inégalités :
$\dfrac{1}{8} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{3}$[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{8}$"]Non.
Attention, la fonction inverse est décroissante : quand $x$ augmente, $\dfrac{1}{x}$ diminue. Il faut inverser le sens des inégalités lorsqu'on prend les inverses.[/reponse]
[reponse motif="$3 \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant 8$"]Non.
Il faut prendre les inverses des bornes, pas garder les mêmes valeurs. L'inverse de $3$ est $\dfrac{1}{3}$ et l'inverse de $8$ est $\dfrac{1}{8}$.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{1}{8} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant -\dfrac{1}{3}$"]Non.
Les bornes $3$ et $8$ sont positives, donc $\dfrac{1}{x}$ est aussi positif. Il n'y a pas de signe négatif à ajouter.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Vérifier que les bornes sont de même signe (ici positives), prendre leurs inverses, puis inverser le sens des inégalités car la fonction inverse est décroissante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $-6 \leqslant x \leqslant -2$. L'encadrement de $\dfrac{1}{x}$ est :
[qcm]
[option correct="true"]$-\dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant -\dfrac{1}{6}$[/option]
[option]$-\dfrac{1}{6} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant -\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{6} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$-\dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{6}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les bornes $-6$ et $-2$ sont négatives. La fonction inverse est décroissante sur $\left]-\infty ; 0\right[$, donc on inverse le sens des inégalités :
$\dfrac{1}{-2} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{-6}$, soit $-\dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant -\dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{1}{6} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant -\dfrac{1}{2}$"]Non.
Attention, la fonction inverse est décroissante : il faut inverser le sens des inégalités. La plus petite valeur de $\dfrac{1}{x}$ correspond à la plus grande valeur de $x$ (en valeur absolue la plus petite, ici $-2$).[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{6} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{2}$"]Non.
Attention aux signes. Les bornes sont négatives, donc les inverses sont aussi négatifs : $\dfrac{1}{-6} = -\dfrac{1}{6}$ est négatif.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{6}$"]Non.
Les inverses de nombres négatifs sont négatifs. $\dfrac{1}{-6} = -\dfrac{1}{6}$ est négatif, pas $\dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les bornes sont toutes les deux négatives. Prendre leurs inverses (garder le signe négatif), puis inverser le sens des inégalités car la fonction inverse est décroissante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Comparer $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ et $\dfrac{1}{\sqrt{7}}$.
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{\sqrt{3}} < \dfrac{1}{\sqrt{7}}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{7}}$[/option]
[option]On ne peut pas comparer[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{\sqrt{3}} > \dfrac{1}{\sqrt{7}}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\sqrt{3}$ et $\sqrt{7}$ sont tous les deux positifs. Comme $3 < 7$ et que la racine carrée est croissante : $\sqrt{3} < \sqrt{7}$.
La fonction inverse est décroissante sur $\left]0 ; +\infty\right[$, donc on inverse :
$\dfrac{1}{\sqrt{3}} > \dfrac{1}{\sqrt{7}}$[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{\sqrt{3}} < \dfrac{1}{\sqrt{7}}$"]Non.
Attention, il faut composer deux fonctions. $\sqrt{3} < \sqrt{7}$ (racine carrée croissante), puis la fonction inverse inverse l'ordre car elle est décroissante.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{7}}$"]Non.
$\sqrt{3} \neq \sqrt{7}$ car $3 \neq 7$, donc leurs inverses sont aussi différents.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas comparer"]Non.
Les deux nombres $\sqrt{3}$ et $\sqrt{7}$ sont positifs : on peut d'abord les comparer avec la croissance de la racine carrée, puis utiliser la décroissance de la fonction inverse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Procéder en deux temps : comparer $\sqrt{3}$ et $\sqrt{7}$ (racine carrée croissante), puis appliquer la fonction inverse (décroissante sur les positifs).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'équation $\dfrac{1}{x} = 4$ a pour solution :
[qcm]
[option]$x = 4$[/option]
[option]$x = -4$[/option]
[option]$x = -\dfrac{1}{4}$[/option]
[option correct="true"]$x = \dfrac{1}{4}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Si $\dfrac{1}{x} = 4$, alors $x = \dfrac{1}{4}$.
Vérification : $\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}} = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 4$"]Non.
Vérifier : $\dfrac{1}{4} = 0{,}25 \neq 4$. L'inverse de l'inverse redonne le nombre de départ : si $\dfrac{1}{x} = 4$, alors $x = \dfrac{1}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$x = -4$"]Non.
$\dfrac{1}{-4} = -0{,}25$ qui est négatif, pas égal à $4$. Attention au signe : $\dfrac{1}{x} = 4 > 0$ impose $x > 0$.[/reponse]
[reponse motif="$x = -\dfrac{1}{4}$"]Non.
$\dfrac{1}{-\dfrac{1}{4}} = -4 \neq 4$. Attention au signe : $\dfrac{1}{x} = 4 > 0$ impose $x > 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Si $\dfrac{1}{x} = 4$, appliquer la fonction inverse aux deux membres pour isoler $x$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $2 \leqslant x \leqslant 5$. L'encadrement de $\dfrac{3}{x}$ est :
[qcm]
[option]$\dfrac{3}{2} \leqslant \dfrac{3}{x} \leqslant \dfrac{3}{5}$[/option]
[option]$6 \leqslant \dfrac{3}{x} \leqslant 15$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{5} \leqslant \dfrac{3}{x} \leqslant \dfrac{3}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{5} \leqslant \dfrac{3}{x} \leqslant \dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On encadre d'abord $\dfrac{1}{x}$ : comme $2$ et $5$ sont positifs et la fonction inverse est décroissante :
$\dfrac{1}{5} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{2}$
On multiplie par $3$ (positif, l'ordre est conservé) :
$\dfrac{3}{5} \leqslant \dfrac{3}{x} \leqslant \dfrac{3}{2}$[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{2} \leqslant \dfrac{3}{x} \leqslant \dfrac{3}{5}$"]Non.
Attention, la fonction inverse est décroissante : quand $x$ augmente, $\dfrac{1}{x}$ diminue. L'encadrement de $\dfrac{1}{x}$ a ses bornes inversées par rapport à celles de $x$.[/reponse]
[reponse motif="$6 \leqslant \dfrac{3}{x} \leqslant 15$"]Non.
Il ne faut pas calculer $3 \times x$ mais $\dfrac{3}{x}$. Encadrer d'abord $\dfrac{1}{x}$ en utilisant la décroissance de la fonction inverse, puis multiplier par $3$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{5} \leqslant \dfrac{3}{x} \leqslant \dfrac{1}{2}$"]Non.
L'encadrement de $\dfrac{1}{x}$ est correct, mais il manque la multiplication par $3$. On a $\dfrac{3}{x} = 3 \times \dfrac{1}{x}$, donc il faut multiplier chaque membre par $3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Procéder en deux temps : encadrer $\dfrac{1}{x}$ (décroissance de la fonction inverse), puis multiplier les trois membres par $3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur la fonction racine carrée. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
$\sqrt{(-5)^2}$ est égal à :
[qcm]
[option]$-5$[/option]
[option]$25$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$-25$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
On calcule d'abord $(-5)^2 = 25$, puis $\sqrt{25} = 5$.
De manière générale, $\sqrt{x^2} = |x|$. La racine carrée donne toujours un résultat positif.[/reponse]
[reponse motif="$-5$"]Non.
Attention, $\sqrt{x^2} = |x|$ et non $x$. La racine carrée donne toujours un résultat positif ou nul, même si le nombre de départ est négatif.[/reponse]
[reponse motif="$25$"]Non.
Il manque une étape : $(-5)^2 = 25$, mais il faut ensuite prendre la racine carrée de $25$.[/reponse]
[reponse motif="$-25$"]Non.
$(-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25$ (positif, car le produit de deux négatifs est positif). Il faut ensuite prendre $\sqrt{25}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord $(-5)^2$, puis prendre la racine carrée du résultat. Se rappeler que $\sqrt{x^2} = |x|$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'ensemble de définition de la fonction racine carrée est :
[qcm]
[option]$\mathbb{R}$[/option]
[option correct="true"]$\left[0 ; +\infty\right[$[/option]
[option]$\left]0 ; +\infty\right[$[/option]
[option]$\left]-\infty ; 0\right]$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La racine carrée n'est définie que pour les nombres positifs ou nuls. On a $\sqrt{0} = 0$, donc $0$ fait partie de l'ensemble de définition.
L'ensemble de définition est $\left[0 ; +\infty\right[$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R}$"]Non.
La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas (dans $\mathbb{R}$). Par exemple, $\sqrt{-4}$ n'a pas de sens car aucun réel élevé au carré ne donne $-4$.[/reponse]
[reponse motif="$\left]0 ; +\infty\right[$"]Pas tout à fait.
$\sqrt{0} = 0$ existe bel et bien : $0$ fait partie de l'ensemble de définition. Le crochet en $0$ doit être fermé, pas ouvert.[/reponse]
[reponse motif="$\left]-\infty ; 0\right]$"]Non.
C'est l'inverse : la racine carrée est définie pour les nombres positifs, pas négatifs. $\sqrt{4} = 2$ existe, mais $\sqrt{-4}$ n'existe pas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La racine carrée n'existe que pour $x \geqslant 0$. Vérifier si $0$ est inclus ou exclu.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La fonction racine carrée est :
[qcm]
[option]strictement décroissante sur $\left[0 ; +\infty\right[$[/option]
[option]croissante sur $\mathbb{R}$[/option]
[option]croissante sur $\left]0 ; +\infty\right[$ puis décroissante[/option]
[option correct="true"]strictement croissante sur $\left[0 ; +\infty\right[$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La fonction racine carrée est strictement croissante sur $\left[0 ; +\infty\right[$ : plus un nombre positif est grand, plus sa racine carrée est grande.
Par exemple, $4 < 9$ et $\sqrt{4} = 2 < 3 = \sqrt{9}$.[/reponse]
[reponse motif="strictement décroissante sur $\left[0 ; +\infty\right[$"]Non.
Attention à ne pas confondre avec la fonction inverse. La courbe de la fonction racine carrée monte de gauche à droite.[/reponse]
[reponse motif="croissante sur $\mathbb{R}$"]Non.
La fonction racine carrée n'est pas définie pour les nombres négatifs. Elle ne peut être croissante que sur son ensemble de définition $\left[0 ; +\infty\right[$.[/reponse]
[reponse motif="croissante sur $\left]0 ; +\infty\right[$ puis décroissante"]Non.
Attention à ne pas confondre avec la fonction carré (qui est décroissante puis croissante). La fonction racine carrée est uniquement croissante sur tout son ensemble de définition.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Observer la courbe de la fonction racine carrée : elle part de l'origine et monte continuellement. Identifier son sens de variation.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'équation $\sqrt{x} = 5$ a pour solution :
[qcm]
[option]$x = \sqrt{5}$[/option]
[option correct="true"]$x = 25$[/option]
[option]$x = 5$[/option]
[option]$x = 10$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Si $\sqrt{x} = 5$, on élève au carré les deux membres :
$x = 5^2 = 25$
Vérification : $\sqrt{25} = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$x = \sqrt{5}$"]Non.
Attention au sens de l'opération. Si $\sqrt{x} = 5$, pour isoler $x$ il faut élever au carré (pas prendre la racine). Calculer $5^2$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 5$"]Non.
Vérifier : $\sqrt{5} \neq 5$. Pour résoudre $\sqrt{x} = 5$, il faut élever au carré les deux membres. Calculer $5^2$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 10$"]Non.
La racine carrée n'est pas la division par $2$. Pour résoudre $\sqrt{x} = 5$, il faut élever au carré les deux membres. Calculer $5^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour résoudre $\sqrt{x} = k$, on élève au carré : $x = k^2$. Appliquer avec $k = 5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'ensemble des solutions de l'inéquation $\sqrt{x} \leqslant 4$ est :
[qcm]
[option]$\left[0 ; 4\right]$[/option]
[option]$\left[0 ; 2\right]$[/option]
[option correct="true"]$\left[0 ; 16\right]$[/option]
[option]$\left]-\infty ; 16\right]$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La fonction racine carrée est croissante, donc $\sqrt{x} \leqslant 4$ équivaut à $x \leqslant 4^2 = 16$.
Avec la condition $x \geqslant 0$ (ensemble de définition), l'ensemble des solutions est $\left[0 ; 16\right]$.[/reponse]
[reponse motif="$\left[0 ; 4\right]$"]Non.
Il faut élever au carré pour passer de $\sqrt{x} \leqslant 4$ à une inégalité sur $x$. La borne n'est pas $4$ mais $4^2$.[/reponse]
[reponse motif="$\left[0 ; 2\right]$"]Non.
Il ne faut pas prendre la racine de $4$ mais l'élever au carré. Si $\sqrt{x} \leqslant 4$, alors $x \leqslant 4^2$. Calculer $4^2$.[/reponse]
[reponse motif="$\left]-\infty ; 16\right]$"]Non.
La borne supérieure $16$ est correcte, mais la racine carrée n'est définie que pour $x \geqslant 0$. Les valeurs négatives ne sont pas des solutions.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la croissance de la racine carrée : $\sqrt{x} \leqslant 4$ équivaut à $x \leqslant 4^2$, en n'oubliant pas que $x$ doit être positif.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$\sqrt{0{,}25}$ est égal à :
[qcm]
[option]$0{,}125$[/option]
[option]$0{,}0625$[/option]
[option]$0{,}05$[/option]
[option correct="true"]$0{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On cherche le nombre positif dont le carré vaut $0{,}25$.
$0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25$, donc $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$.
On peut aussi écrire $0{,}25 = \dfrac{1}{4}$ et $\sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}125$"]Non.
La racine carrée n'est pas la division par $2$. Chercher quel nombre multiplié par lui-même donne $0{,}25$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}0625$"]Non.
Il ne faut pas élever au carré : $0{,}25^2 = 0{,}0625$, mais on demande $\sqrt{0{,}25}$, l'opération inverse. Chercher quel nombre multiplié par lui-même donne $0{,}25$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}05$"]Non.
Attention au placement de la virgule. Vérifier : $0{,}05 \times 0{,}05 = 0{,}0025 \neq 0{,}25$. Chercher quel nombre multiplié par lui-même donne $0{,}25$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La racine carrée de $0{,}25$ est le nombre positif dont le carré vaut $0{,}25$. Écrire $0{,}25 = \dfrac{1}{4}$ peut aider.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur la fonction inverse. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est l'image de $5$ par la fonction inverse ?
[qcm]
[option]$5$[/option]
[option]$-5$[/option]
[option]$-\dfrac{1}{5}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
La fonction inverse associe à $x$ le nombre $\dfrac{1}{x}$. On calcule :
$\dfrac{1}{5} = 0{,}2$[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
La fonction inverse ne renvoie pas le nombre lui-même. Elle associe à $x$ le nombre $\dfrac{1}{x}$.[/reponse]
[reponse motif="$-5$"]Non.
La fonction inverse n'est pas la fonction opposé. Elle associe à $x$ le nombre $\dfrac{1}{x}$, pas $-x$.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{1}{5}$"]Non.
Attention au signe : $5$ est positif, donc son inverse $\dfrac{1}{5}$ est aussi positif. L'inverse d'un nombre positif reste positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La fonction inverse associe à $x$ le nombre $\dfrac{1}{x}$. Calculer $\dfrac{1}{5}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est l'image de $-2$ par la fonction inverse ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$-\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$-2$[/option]
[option]$2$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La fonction inverse associe à $x$ le nombre $\dfrac{1}{x}$. On calcule :
$\dfrac{1}{-2} = -\dfrac{1}{2}$
L'inverse d'un nombre négatif est négatif.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Attention au signe. L'inverse d'un nombre négatif est négatif : $\dfrac{1}{-2}$ est négatif.[/reponse]
[reponse motif="$-2$"]Non.
La fonction inverse ne renvoie pas le nombre lui-même. Elle associe à $x$ le nombre $\dfrac{1}{x}$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
La fonction inverse n'est pas la fonction opposé. Elle associe à $x$ le nombre $\dfrac{1}{x}$, pas $-x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La fonction inverse associe à $x$ le nombre $\dfrac{1}{x}$. Calculer $\dfrac{1}{-2}$ en gardant le signe.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'ensemble de définition de la fonction inverse est :
[qcm]
[option]$\mathbb{R}$[/option]
[option]$\left]0 ; +\infty\right[$[/option]
[option correct="true"]$\left]-\infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty\right[$[/option]
[option]$\left[0 ; +\infty\right[$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La fonction inverse est définie pour tout réel $x$ non nul, car la division par $0$ est impossible.
Son ensemble de définition est $\left]-\infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty\right[$, c'est-à-dire $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R}$"]Non.
La fonction inverse n'est pas définie partout. Il existe une valeur interdite : $\dfrac{1}{0}$ n'a pas de sens.[/reponse]
[reponse motif="$\left]0 ; +\infty\right[$"]Non.
La fonction inverse est aussi définie pour les nombres négatifs. Par exemple, $\dfrac{1}{-3} = -\dfrac{1}{3}$ existe.[/reponse]
[reponse motif="$\left[0 ; +\infty\right[$"]Non.
La fonction inverse n'est pas définie en $0$ (division par zéro impossible), et elle est aussi définie pour les nombres négatifs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La division par $0$ est impossible, donc $0$ est exclu. Mais la fonction est définie pour tous les autres réels, positifs comme négatifs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Si $x = 0{,}1$, alors $\dfrac{1}{x}$ est égal à :
[qcm]
[option correct="true"]$10$[/option]
[option]$0{,}01$[/option]
[option]$-0{,}1$[/option]
[option]$0{,}1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On calcule $\dfrac{1}{0{,}1} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{10}} = 10$.
L'inverse d'un nombre proche de $0$ (mais positif) est un grand nombre.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}01$"]Non.
Il ne faut pas élever au carré. L'inverse de $0{,}1$ est $\dfrac{1}{0{,}1}$. Chercher quel nombre multiplié par $0{,}1$ donne $1$.[/reponse]
[reponse motif="$-0{,}1$"]Non.
La fonction inverse n'est pas la fonction opposé. Calculer $\dfrac{1}{0{,}1}$ : quel nombre multiplié par $0{,}1$ donne $1$ ?[/reponse]
[reponse motif="$0{,}1$"]Non.
La fonction inverse ne renvoie pas le nombre lui-même. Calculer $\dfrac{1}{0{,}1}$ : quel nombre multiplié par $0{,}1$ donne $1$ ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'inverse de $0{,}1$ est $\dfrac{1}{0{,}1}$. Chercher quel nombre multiplié par $0{,}1$ donne $1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport :
[qcm]
[option]à l'axe des ordonnées[/option]
[option]à l'axe des abscisses[/option]
[option]à la droite $y = x$[/option]
[option correct="true"]à l'origine du repère[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La fonction inverse est impaire : $\dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x}$ pour tout $x \neq 0$.
Sa courbe, l'hyperbole, est donc symétrique par rapport à l'origine du repère.[/reponse]
[reponse motif="à l'axe des ordonnées"]Non.
La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées caractérise les fonctions paires (comme la fonction carré). La fonction inverse vérifie $f(-x) = -f(x)$, pas $f(-x) = f(x)$.[/reponse]
[reponse motif="à l'axe des abscisses"]Non.
Une courbe symétrique par rapport à l'axe des abscisses ne représente pas une fonction. Observer l'hyperbole : elle passe dans le premier et le troisième quadrant.[/reponse]
[reponse motif="à la droite $y = x$"]Non.
La droite $y = x$ est un axe de symétrie entre une fonction et sa réciproque. L'hyperbole possède un centre de symétrie, pas un axe de symétrie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Observer que l'hyperbole passe dans le premier quadrant (quand $x > 0$) et dans le troisième quadrant (quand $x < 0$). Identifier le type de symétrie correspondant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La fonction inverse est strictement décroissante sur :
[qcm]
[option]$\mathbb{R}^*$ tout entier[/option]
[option]$\mathbb{R}$[/option]
[option]$\left]0 ; +\infty\right[$ uniquement[/option]
[option correct="true"]$\left]0 ; +\infty\right[$ et $\left]-\infty ; 0\right[$ séparément[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La fonction inverse est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles $\left]0 ; +\infty\right[$ et $\left]-\infty ; 0\right[$, mais pas sur leur réunion.
Par exemple, $-2 < 3$ mais $\dfrac{1}{-2} < \dfrac{1}{3}$ : l'ordre n'est pas inversé car les nombres ne sont pas de même signe.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R}^*$ tout entier"]Non.
Attention, la fonction inverse n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$ tout entier. Contre-exemple : $-2 < 3$ mais $\dfrac{1}{-2} < \dfrac{1}{3}$. L'inversion de l'ordre ne fonctionne que sur un intervalle où les nombres sont de même signe.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R}$"]Non.
La fonction inverse n'est pas définie en $0$, et elle n'est pas décroissante sur un ensemble contenant des nombres de signes différents.[/reponse]
[reponse motif="$\left]0 ; +\infty\right[$ uniquement"]Non.
La fonction inverse est aussi décroissante sur $\left]-\infty ; 0\right[$. Par exemple, $-5 < -2$ et $\dfrac{1}{-5} > \dfrac{1}{-2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La fonction inverse est décroissante sur chaque intervalle où elle est définie et continue, mais pas sur leur réunion. Penser aux nombres de signes différents.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]