Encadrements avec la fonction cube

Déterminer un encadrement de $x^3$ dans chacun des cas suivants :
1. $2 \leqslant x \leqslant 5$
2. $-3 \leqslant x \leqslant -1$
3. $-2 \leqslant x \leqslant 4$
Un artisan fabrique des boîtes cubiques. L'arête de chaque boîte mesure entre $3$ cm et $5$ cm. Déterminer un encadrement du volume de ces boîtes.
On sait que $-4 \leqslant x \leqslant 3$. Peut-on affirmer que $-64 \leqslant x^3 \leqslant 27$ ? Justifier.

Corrigé

1. La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
  Si $2 \leqslant x \leqslant 5$, alors $2^3 \leqslant x^3 \leqslant 5^3$, donc $\mathbf{8 \leqslant x^3 \leqslant 125}$.
2. La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
  Si $-3 \leqslant x \leqslant -1$, alors $(-3)^3 \leqslant x^3 \leqslant (-1)^3$, donc $\mathbf{-27 \leqslant x^3 \leqslant -1}$.
3. La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
  Si $-2 \leqslant x \leqslant 4$, alors $(-2)^3 \leqslant x^3 \leqslant 4^3$, donc $\mathbf{-8 \leqslant x^3 \leqslant 64}$.
Le volume d'un cube d'arête $a$ est $V = a^3$.
L'arête vérifie $3 \leqslant a \leqslant 5$. La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$, donc :
$3^3 \leqslant a^3 \leqslant 5^3$, c'est-à-dire $\mathbf{27 \leqslant V \leqslant 125}$.
Le volume des boîtes est compris entre $27$ cm$^3$ et $125$ cm$^3$.
Oui, l'affirmation est correcte.
La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc elle conserve l'ordre quel que soit le signe des nombres.
Si $-4 \leqslant x \leqslant 3$, alors $(-4)^3 \leqslant x^3 \leqslant 3^3$, c'est-à-dire $-64 \leqslant x^3 \leqslant 27$.
Contrairement à la fonction carré, il n'y a pas de piège lorsque l'encadrement contient $0$ : la fonction cube conserve toujours l'ordre.

Résoudre une inéquation avec la fonction carré

[enonce]
Un jardinier dispose d'un terrain carré de côté $6$ m. Il souhaite y inscrire un massif circulaire dont l'aire ne dépasse pas $20$ m$^2$.
On note $r$ le rayon du cercle, en mètres, avec $r > 0$.
On cherche à déterminer les valeurs possibles de $r$.
[/enonce]

[etape]
L'aire du massif circulaire vaut $\pi r^2$. La contrainte sur l'aire se traduit par l'inéquation :
[qcm]
[option]$\pi r^2 \geqslant 20$[/option]
[option correct="true"]$\pi r^2 \leqslant 20$[/option]
[option]$r^2 \leqslant 20$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'aire $\pi r^2$ ne doit pas dépasser $20$ m$^2$, ce qui se traduit par $\pi r^2 \leqslant 20$.[/reponse]
[reponse motif="$\pi r^2 \geqslant 20$"]Le massif ne doit pas dépasser $20$ m$^2$ : c'est une borne supérieure, pas inférieure.[/reponse]
[reponse motif="$r^2 \leqslant 20$"]Le sens de l'inégalité est correct, mais l'aire d'un disque n'est pas $r^2$. Il manque un facteur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]L'aire d'un disque de rayon $r$ est $\pi r^2$. Cette aire doit rester inférieure ou égale à $20$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
En divisant les deux membres par $\pi$, l'inéquation $\pi r^2 \leqslant 20$ devient $r^2 \leqslant \dfrac{20}{\pi}$.
Donner une valeur approchée de $\dfrac{20}{\pi}$ arrondie au dixième.
$\dfrac{20}{\pi} \approx $ [[val]]
[math id="val" attendu="6.4"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\dfrac{20}{\pi} \approx 6{,}366...$ soit environ $6{,}4$ au dixième près.[/reponse]
[reponse motif="6.37"]Attention à l'arrondi : on demande au dixième, pas au centième.[/reponse]
[reponse motif="6.3"]L'arrondi au dixième de $6{,}366...$ est $6{,}4$ (le chiffre des centièmes est $6 \geqslant 5$, donc on arrondit au-dessus).[/reponse]
[reponse motif="3.2"]Ce serait la valeur de $\sqrt{\dfrac{20}{\pi}}$, pas de $\dfrac{20}{\pi}$. On ne prend pas encore la racine carrée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Diviser $20$ par $\pi \approx 3{,}14$ et arrondir au dixième.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{20}{\pi} = \dfrac{20}{3{,}14159...}$. Effectuer la division.[/aide]
[aide essai="3"]$20 \div 3{,}14159 \approx 6{,}366...$. Arrondir au dixième.[/aide]
[/math]
[solution]$\dfrac{20}{\pi} = \dfrac{20}{3{,}14159...} \approx 6{,}366... \approx 6{,}4$ au dixième.[/solution]
[/etape]

[etape]
On doit donc résoudre $r^2 \leqslant \dfrac{20}{\pi}$ avec $\dfrac{20}{\pi} > 0$.
Comment résoudre cette inéquation ?
[qcm]
[option]Les solutions sont $r \leqslant \sqrt{\dfrac{20}{\pi}}$[/option]
[option correct="true"]Les solutions sont $-\sqrt{\dfrac{20}{\pi}} \leqslant r \leqslant \sqrt{\dfrac{20}{\pi}}$[/option]
[option]Les solutions sont $r \geqslant -\sqrt{\dfrac{20}{\pi}}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour $a > 0$, l'inéquation $r^2 \leqslant a$ a pour solutions $-\sqrt{a} \leqslant r \leqslant \sqrt{a}$, car la parabole est en dessous de la droite $y = a$ entre ces deux valeurs.[/reponse]
[reponse motif="Les solutions sont $r \leqslant \sqrt{\dfrac{20}{\pi}}$"]C'est incomplet. Il manque la borne inférieure. La parabole est aussi en dessous de $y = a$ pour les valeurs négatives proches de $0$.[/reponse]
[reponse motif="Les solutions sont $r \geqslant -\sqrt{\dfrac{20}{\pi}}$"]C'est incomplet. Il manque la borne supérieure. Pour les grandes valeurs de $r$, $r^2$ dépasse $\dfrac{20}{\pi}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Utiliser le tableau de variations de la fonction carré et la représentation graphique pour déterminer où $r^2 \leqslant a$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer $\sqrt{\dfrac{20}{\pi}}$ arrondie au centième.
$\sqrt{\dfrac{20}{\pi}} \approx $ [[rac]]
[math id="rac" attendu="2.52"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\sqrt{\dfrac{20}{\pi}} = \sqrt{6{,}366...} \approx 2{,}523...\approx 2{,}52$ au centième près.[/reponse]
[reponse motif="6.4"]Attention, il faut prendre la racine carrée de $\dfrac{20}{\pi}$, pas la valeur elle-même.[/reponse]
[reponse motif="2.5"]Préciser au centième : deux chiffres après la virgule sont nécessaires.[/reponse]
[reponse motif="2.53"]Vérifier l'arrondi : $\sqrt{6{,}366...} \approx 2{,}5231...$. Le chiffre des millièmes est $3 < 5$, donc on arrondit en dessous.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Calculer d'abord $\dfrac{20}{\pi}$, puis en prendre la racine carrée. Arrondir au centième.[/reponse]
[aide essai="2"]On a trouvé $\dfrac{20}{\pi} \approx 6{,}366$. Il faut calculer $\sqrt{6{,}366}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\sqrt{6{,}366} \approx 2{,}523...$. Arrondir au centième.[/aide]
[/math]
[solution]$\sqrt{\dfrac{20}{\pi}} = \sqrt{6{,}3662...} \approx 2{,}5232... \approx 2{,}52$ au centième.[/solution]
[/etape]

[etape]
Les solutions de $r^2 \leqslant \dfrac{20}{\pi}$ sont $r \in \left[-\sqrt{\dfrac{20}{\pi}}~;~\sqrt{\dfrac{20}{\pi}}\right]$.
Mais $r$ est un rayon, donc $r > 0$. De plus, le massif doit tenir dans le terrain carré de côté $6$ m, donc $r \leqslant 3$.
En tenant compte de ces contraintes, donner la borne supérieure de l'intervalle des valeurs possibles de $r$, arrondie au centième.
$r \in \left]0~;~\right.$ [[bsup]] $\left.\right]$
[math id="bsup" attendu="2.52"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On a $\sqrt{\dfrac{20}{\pi}} \approx 2{,}52 < 3$, donc c'est la contrainte d'aire qui est la plus restrictive.
Les valeurs possibles du rayon sont $r \in \left]0~;~2{,}52\right]$ (arrondi au centième par défaut).[/reponse]
[reponse motif="3"]La contrainte géométrique donne $r \leqslant 3$, mais la contrainte d'aire est plus restrictive. Comparer $\sqrt{\dfrac{20}{\pi}}$ et $3$.[/reponse]
[reponse motif="6.4"]C'est la valeur de $\dfrac{20}{\pi}$, pas celle de $\sqrt{\dfrac{20}{\pi}}$. Il faut prendre la racine carrée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Comparer $\sqrt{\dfrac{20}{\pi}} \approx 2{,}52$ et $3$. La borne supérieure de $r$ est la plus petite des deux.[/reponse]
[aide essai="2"]Les deux contraintes sont : $r \leqslant \sqrt{\dfrac{20}{\pi}} \approx 2{,}52$ (aire) et $r \leqslant 3$ (terrain). Laquelle est la plus restrictive ?[/aide]
[aide essai="3"]$2{,}52 < 3$, donc la contrainte d'aire l'emporte. La borne supérieure est $\sqrt{\dfrac{20}{\pi}} \approx 2{,}52$.[/aide]
[/math]
[solution]$\sqrt{\dfrac{20}{\pi}} \approx 2{,}52 < 3$, donc la contrainte d'aire est la plus forte.
Le rayon doit vérifier $0 < r \leqslant 2{,}52$ m (arrondi au centième par défaut).[/solution]
[/etape]

QCM : La fonction cube

[enonce]
Ce QCM porte sur la fonction cube. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est l'image de $-3$ par la fonction cube ?
[qcm]
[option]$27$[/option]
[option correct="true"]$-27$[/option]
[option]$-9$[/option]
[option]$9$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La fonction cube associe à $x$ le nombre $x^3$. On calcule :
$(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = 9 \times (-3) = -27$[/reponse]
[reponse motif="$27$"]Non.
Le cube d'un nombre négatif est négatif. Calculer étape par étape : $(-3) \times (-3) = 9$, puis $9 \times (-3) = -27$.[/reponse]
[reponse motif="$-9$"]Non.
La fonction cube élève au cube (puissance 3), pas au carré (puissance 2). Calculer $(-3) \times (-3) \times (-3)$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
Deux erreurs ici : la fonction cube élève au cube, pas au carré, et le résultat doit être négatif. Calculer $(-3) \times (-3) \times (-3)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La fonction cube associe à $x$ le nombre $x^3 = x \times x \times x$. Calculer $(-3) \times (-3) \times (-3)$ étape par étape.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La fonction cube est :
[qcm]
[option]strictement décroissante sur $\mathbb{R}$[/option]
[option]croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ et décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$[/option]
[option correct="true"]strictement croissante sur $\mathbb{R}$[/option]
[option]décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$ et croissante sur $]-\infty\,;\,0]$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier. Contrairement à la fonction carré, elle ne change pas de sens de variation.[/reponse]
[reponse motif="strictement décroissante sur $\mathbb{R}$"]Non.
Vérifier avec un exemple : $(-2)^3 = -8$ et $3^3 = 27$. Comme $-2 < 3$ et $-8 < 27$, la fonction cube conserve l'ordre.[/reponse]
[reponse motif="croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ et décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$"]Non.
Ne pas confondre avec la fonction carré. La fonction cube est monotone sur $\mathbb{R}$ tout entier : elle ne change pas de sens de variation.[/reponse]
[reponse motif="décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$ et croissante sur $]-\infty\,;\,0]$"]Non.
Vérifier avec un exemple : $1^3 = 1$ et $2^3 = 8$. Comme $1 < 2$ et $1 < 8$, la fonction cube conserve l'ordre sur les positifs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester avec des exemples numériques pour identifier le sens de variation de la fonction cube sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La fonction cube est impaire. Cela signifie que :
[qcm]
[option]sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées[/option]
[option]pour tout réel $x$, $(-x)^3 = x^3$[/option]
[option correct="true"]pour tout réel $x$, $(-x)^3 = -x^3$[/option]
[option]elle ne prend que des valeurs négatives[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Une fonction impaire vérifie $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$. Ici : $(-x)^3 = -x^3$.
Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.[/reponse]
[reponse motif="sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées"]Non.
La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées caractérise les fonctions paires (comme la fonction carré). Une fonction impaire a une symétrie par rapport à l'origine.[/reponse]
[reponse motif="pour tout réel $x$, $(-x)^3 = x^3$"]Non.
Cette propriété, $f(-x) = f(x)$, caractérise les fonctions paires, pas les fonctions impaires. Pour une fonction impaire, $f(-x) = -f(x)$.[/reponse]
[reponse motif="elle ne prend que des valeurs négatives"]Non.
La fonction cube prend des valeurs positives et négatives. Par exemple $2^3 = 8 > 0$. Revoir la définition d'une fonction impaire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Revoir la définition : une fonction $f$ est impaire si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$ de son domaine.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est le signe de $(-5)^3$ ?
[qcm]
[option]Positif[/option]
[option correct="true"]Négatif[/option]
[option]Nul[/option]
[option]On ne peut pas savoir sans calculer[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le cube d'un nombre négatif est négatif. En effet, $(-5)^3 = (-5) \times (-5) \times (-5) = 25 \times (-5) = -125$.
De manière générale, $x^3$ est du même signe que $x$.[/reponse]
[reponse motif="Positif"]Non.
Ne pas confondre avec le carré. Le carré d'un nombre est toujours positif, mais le cube conserve le signe : le cube d'un nombre négatif est négatif.[/reponse]
[reponse motif="Nul"]Non.
$(-5)^3 = (-5) \times (-5) \times (-5)$, ce produit ne peut pas être nul puisque aucun facteur n'est nul.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas savoir sans calculer"]Non.
On n'a pas besoin de calculer la valeur exacte pour connaître le signe. Le cube conserve le signe : si $x < 0$, alors $x^3 < 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Retenir la règle : $x^3$ est toujours du même signe que $x$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Comparer $(-4)^3$ et $(-2)^3$.
[qcm]
[option correct="true"]$(-4)^3 < (-2)^3$[/option]
[option]$(-4)^3 > (-2)^3$[/option]
[option]$(-4)^3 = (-2)^3$[/option]
[option]On ne peut pas comparer sans connaître le signe[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Comme $-4 < -2$, on en déduit $(-4)^3 < (-2)^3$.
Vérification : $(-4)^3 = -64$ et $(-2)^3 = -8$, et bien $-64 < -8$.[/reponse]
[reponse motif="$(-4)^3 > (-2)^3$"]Non.
Attention, ne pas confondre avec la fonction carré. La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier, y compris pour les négatifs : elle conserve toujours l'ordre.[/reponse]
[reponse motif="$(-4)^3 = (-2)^3$"]Non.
$(-4)^3$ et $(-2)^3$ sont deux cubes de nombres distincts. La fonction cube étant strictement croissante, deux nombres distincts ont des cubes distincts.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas comparer sans connaître le signe"]Non.
On connaît le signe : les deux nombres sont négatifs. De plus, la fonction cube étant croissante sur $\mathbb{R}$, on peut toujours comparer les cubes à partir de la comparaison des nombres.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la croissance de la fonction cube : si $a < b$, alors $a^3 < b^3$. Comparer $-4$ et $-2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sachant que $a < 0 < b$, que peut-on dire de $a^3$ et $b^3$ ?
[qcm]
[option]$a^3 > b^3$[/option]
[option]On ne peut pas comparer sans connaître les valeurs[/option]
[option]$a^3 > 0$[/option]
[option correct="true"]$a^3 < b^3$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Comme $a < b$, on en déduit directement $a^3 < b^3$.
De plus, $a^3 < 0$ et $b^3 > 0$ puisque le cube conserve le signe.[/reponse]
[reponse motif="$a^3 > b^3$"]Non.
La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$ : elle conserve l'ordre. Si $a < b$, alors $a^3 < b^3$.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas comparer sans connaître les valeurs"]Non.
La croissance de la fonction cube sur $\mathbb{R}$ permet de comparer sans calculer. Si $a < b$, alors $a^3 < b^3$, quelles que soient les valeurs.[/reponse]
[reponse motif="$a^3 > 0$"]Non.
Le cube conserve le signe. Comme $a < 0$, on a $a^3 < 0$, pas $a^3 > 0$. Ne pas confondre avec le carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la croissance de la fonction cube sur $\mathbb{R}$ et la règle des signes du cube.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : La fonction carré

[enonce]
Ce QCM porte sur la fonction carré. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est l'image de $-4$ par la fonction carré ?
[qcm]
[option]$-16$[/option]
[option]$-8$[/option]
[option correct="true"]$16$[/option]
[option]$8$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
La fonction carré associe à $x$ le nombre $x^2$. On calcule :
$(-4)^2 = (-4) \times (-4) = 16$[/reponse]
[reponse motif="$-16$"]Non.
Attention, $(-4)^2$ n'est pas la même chose que $-4^2$. L'écriture $(-4)^2$ signifie $(-4) \times (-4)$, et le produit de deux nombres négatifs est positif.[/reponse]
[reponse motif="$-8$"]Non.
La fonction carré élève au carré, elle ne multiplie pas par $2$. Calculer $(-4) \times (-4)$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
La fonction carré élève au carré, elle ne multiplie pas par $2$. Calculer $(-4) \times (-4)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La fonction carré associe à $x$ le nombre $x^2$. Calculer $(-4) \times (-4)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelles sont les variations de la fonction carré ?
[qcm]
[option]Croissante sur $\mathbb{R}$[/option]
[option]Croissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$[/option]
[option]Décroissante sur $\mathbb{R}$[/option]
[option correct="true"]Décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et croissante sur $[0\,;\,+\infty[$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ puis croissante sur $[0\,;\,+\infty[$. Elle admet un minimum en $x = 0$.[/reponse]
[reponse motif="Croissante sur $\mathbb{R}$"]Non.
La fonction carré n'est pas monotone sur $\mathbb{R}$ tout entier. Observer que $(-3)^2 = 9 > 4 = (-2)^2$ alors que $-3 < -2$ : l'ordre n'est pas conservé pour les négatifs.[/reponse]
[reponse motif="Croissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$"]Non.
C'est l'inverse. La fonction carré descend quand $x$ va de $-\infty$ vers $0$, puis remonte quand $x$ va de $0$ vers $+\infty$. Penser à la forme de la parabole.[/reponse]
[reponse motif="Décroissante sur $\mathbb{R}$"]Non.
La fonction carré n'est pas monotone sur $\mathbb{R}$ tout entier. Observer que $2^2 = 4 < 9 = 3^2$ alors que $2 < 3$ : l'ordre est conservé pour les positifs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Penser à la forme de la parabole : elle descend puis remonte, avec un minimum en $x = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'équation $x^2 = 25$ a pour solutions :
[qcm]
[option]$x = 5$[/option]
[option correct="true"]$x = 5$ ou $x = -5$[/option]
[option]$x = 12{,}5$[/option]
[option]$x = 625$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Comme $25 > 0$, l'équation $x^2 = 25$ admet deux solutions :
$x = \sqrt{25} = 5$ et $x = -\sqrt{25} = -5$[/reponse]
[reponse motif="$x = 5$"]Non.
Il manque une solution. Quand $a > 0$, l'équation $x^2 = a$ a deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$. Vérifier que $(-5)^2 = 25$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 12{,}5$"]Non.
L'équation demande quel nombre élevé au carré donne $25$, pas quel nombre multiplié par $2$ donne $25$. Chercher $x$ tel que $x \times x = 25$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 625$"]Non.
On cherche $x$ tel que $x^2 = 25$, pas $25^2$. La racine carrée est l'opération inverse du carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la propriété : si $a > 0$, l'équation $x^2 = a$ a deux solutions $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'équation $x^2 = -4$ admet :
[qcm]
[option correct="true"]aucune solution[/option]
[option]deux solutions $x = 2$ et $x = -2$[/option]
[option]une seule solution $x = -2$[/option]
[option]une infinité de solutions[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Un carré est toujours positif ou nul : pour tout réel $x$, $x^2 \geqslant 0$.
L'équation $x^2 = -4$ n'a donc aucune solution car $-4 < 0$.[/reponse]
[reponse motif="deux solutions $x = 2$ et $x = -2$"]Non.
Vérifier : $2^2 = 4$ et $(-2)^2 = 4$, ce sont les solutions de $x^2 = 4$, pas de $x^2 = -4$. Attention au signe du membre de droite.[/reponse]
[reponse motif="une seule solution $x = -2$"]Non.
Vérifier : $(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$, pas $-4$. Un carré est toujours positif ou nul.[/reponse]
[reponse motif="une infinité de solutions"]Non.
L'équation $x^2 = -4$ n'a pas de solution du tout. Un carré ne peut jamais être négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un carré est toujours positif ou nul. Vérifier le signe du membre de droite avant de résoudre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport :
[qcm]
[option]à l'origine du repère[/option]
[option]à l'axe des abscisses[/option]
[option correct="true"]à l'axe des ordonnées[/option]
[option]à la droite $y = x$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La fonction carré est paire : $(-x)^2 = x^2$ pour tout réel $x$. Sa courbe, la parabole, est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.[/reponse]
[reponse motif="à l'origine du repère"]Non.
La symétrie par rapport à l'origine caractérise les fonctions impaires (comme la fonction cube). La fonction carré est paire, ce qui correspond à un autre axe de symétrie.[/reponse]
[reponse motif="à l'axe des abscisses"]Non.
Une courbe symétrique par rapport à l'axe des abscisses ne représente pas une fonction (deux images pour un même $x$). Observer la parabole : elle est symétrique par rapport à un axe vertical.[/reponse]
[reponse motif="à la droite $y = x$"]Non.
La droite $y = x$ est l'axe de symétrie entre une fonction et sa réciproque. Observer la parabole : elle est symétrique par rapport à un axe vertical passant par son sommet.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La fonction carré vérifie $(-x)^2 = x^2$ : c'est une fonction paire. Identifier l'axe de symétrie correspondant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $0 < a < b$. Que peut-on dire de $a^2$ et $b^2$ ?
[qcm]
[option]$a^2 > b^2$[/option]
[option]$a^2 = b^2$[/option]
[option]On ne peut pas comparer[/option]
[option correct="true"]$a^2 < b^2$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Comme $a$ et $b$ sont positifs avec $a < b$, et que la fonction carré est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, l'ordre est conservé : $a^2 < b^2$.[/reponse]
[reponse motif="$a^2 > b^2$"]Non.
Attention, la fonction carré est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, pas décroissante. L'ordre est donc conservé pour les nombres positifs.[/reponse]
[reponse motif="$a^2 = b^2$"]Non.
Si $a < b$ et les deux sont positifs, leurs carrés sont distincts. La fonction carré est strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas comparer"]Non.
On sait que $a$ et $b$ sont positifs : la fonction carré est croissante sur cet intervalle, ce qui permet bien de comparer les carrés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser les variations de la fonction carré sur $[0\,;\,+\infty[$ : elle y est strictement croissante, donc elle conserve l'ordre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Fonction cube — propriétés et calculs

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la fonction cube, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $(-3)^3 = -27$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
$(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = 9 \times (-3) = -27$. Le cube d'un nombre négatif est négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention à ne pas confondre carré et cube : $(-3)^2 = 9$ (positif), mais $(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27$ (négatif). Le cube conserve le signe du nombre.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La courbe de la fonction cube est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La fonction cube est impaire (et non paire) : $(-x)^3 = -x^3$. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère, pas par rapport à l'axe des ordonnées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre les deux types de symétrie. La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées correspond aux fonctions paires ($f(-x) = f(x)$), comme la fonction carré.
La fonction cube est impaire ($f(-x) = -f(x)$) : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction cube est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine, pas par rapport à l'axe des ordonnées.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Contrairement à la fonction carré, la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier : si $a < b$ alors $a^3 < b^3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention à ne pas appliquer à la fonction cube le comportement de la fonction carré. La fonction carré change de sens de variation en 0, mais la fonction cube est croissante partout sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $x < 0$ alors $x^3 > 0$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le cube d'un nombre négatif est négatif. Par exemple $(-2)^3 = -8 < 0$. Donc si $x < 0$, alors $x^3 < 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre carré et cube. Le carré d'un négatif est positif ($(-2)^2 = 4$), mais le cube d'un négatif reste négatif ($(-2)^3 = -8$).
Le cube conserve toujours le signe du nombre.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Si $x < 0$ alors $x^3 < 0$ : le cube conserve le signe.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $(0{,}5)^3 = 0{,}25$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$(0{,}5)^3 = 0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}125$, et non $0{,}25$. La valeur $0{,}25$ correspond à $(0{,}5)^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, $0{,}25$ est le carré de $0{,}5$, pas son cube. Le cube s'obtient en multipliant trois fois :
$(0{,}5)^3 = 0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}125$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $(0{,}5)^3 = 0{,}125$. La valeur $0{,}25$ est $(0{,}5)^2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout réel $x$, $(-x)^3 = -x^3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est la propriété d'imparité de la fonction cube. On peut le vérifier : $(-x)^3 = (-x)(-x)(-x) = (-1)^3 \times x^3 = -x^3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $(-1)^3 = -1$ (le cube de $-1$ est $-1$, pas $1$). Donc $(-x)^3 = (-1)^3 \times x^3 = -x^3$.
C'est cette propriété qui fait de la fonction cube une fonction impaire.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $(-x)^3 = (-1)^3 \times x^3 = -x^3$ : c'est la propriété d'imparité.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Fonction carré — propriétés et variations

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la fonction carré, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $(-5)^2 = -25$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25$. Le carré d'un nombre est toujours positif ou nul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre $(-5)^2$ et $-5^2$. Avec les parenthèses, c'est le nombre $-5$ tout entier qui est élevé au carré : $(-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25$.
Sans parenthèses, $-5^2 = -(5^2) = -25$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $(-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25$, et non $-25$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La fonction carré est paire : pour tout réel $x$, $(-x)^2 = x^2$. Sa courbe, la parabole, est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La fonction carré vérifie $f(-x) = f(x)$ pour tout réel $x$ : c'est une fonction paire. Sa courbe est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, pas par rapport à l'origine.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La fonction carré est paire, donc sa courbe (la parabole) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fonction carré est croissante sur $\mathbb{R}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ puis croissante sur $[0\,;\,+\infty[$. Elle n'est donc pas croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il suffit d'un contre-exemple : $-3 < -1$ mais $(-3)^2 = 9 > 1 = (-1)^2$. La fonction carré décroît sur $]-\infty\,;\,0]$ avant de croître sur $[0\,;\,+\infty[$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, elle n'est pas croissante sur $\mathbb{R}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $x^2 = 9$ admet exactement deux solutions : $3$ et $-3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$9 > 0$ donc l'équation $x^2 = 9$ admet deux solutions : $\sqrt{9} = 3$ et $-\sqrt{9} = -3$.
On vérifie : $3^2 = 9$ et $(-3)^2 = 9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : quand $a > 0$, l'équation $x^2 = a$ admet toujours deux solutions, $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.
Ici $\sqrt{9} = 3$ et $-\sqrt{9} = -3$ : les deux fonctionnent bien.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'équation $x^2 = 9$ admet deux solutions : $3$ et $-3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $x^2 = -4$ admet deux solutions.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Un carré est toujours positif ou nul, donc $x^2 \geqslant 0$ pour tout réel $x$. L'équation $x^2 = -4$ n'admet aucune solution dans $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est d'appliquer mécaniquement la règle « deux solutions $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ » sans vérifier que $a \geqslant 0$.
Or $-4 < 0$ et un carré ne peut jamais être négatif : aucune solution.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $x^2 \geqslant 0$ pour tout réel $x$, donc $x^2 = -4$ n'a aucune solution.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $0 < a < b$ alors $a^2 < b^2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Sur $[0\,;\,+\infty[$, la fonction carré est strictement croissante. Donc si $0 < a < b$, en appliquant la fonction carré on conserve l'ordre : $a^2 < b^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention : l'ordre n'est inversé que pour les nombres négatifs. Ici $a$ et $b$ sont strictement positifs, et la fonction carré est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ : l'ordre est conservé.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La fonction carré est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, donc $0 < a < b$ implique $a^2 < b^2$.
[/solution]
[/etape]

Démontrer que la fonction cube est croissante

On note $f$ la fonction cube définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right)=x^3$.
On souhaite démontrer que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $x_1 < x_2$.

Montrer que $x_1^3 - x_2^3 = \left(x_1 - x_2\right)\left(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2\right)$.
On pose $S = x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2$.
1. Montrer que $S = \left(x_1 + \dfrac{x_2}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}x_2^2$.
2. En déduire que $S \geqslant 0$.
3. Dans quel cas a-t-on $S = 0$ ?
En déduire le signe de $x_1^3 - x_2^3$ et conclure.

Corrigé

Développons le produit $\left(x_1 - x_2\right)\left(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2\right)$ :
$\left(x_1 - x_2\right)\left(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2\right)$
$= x_1^3 + x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 - x_1^2 x_2 - x_1 x_2^2 - x_2^3$
$= x_1^3 - x_2^3$
On a donc bien $\mathbf{x_1^3 - x_2^3 = \left(x_1 - x_2\right)\left(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2\right)}$.
1. Développons $\left(x_1 + \dfrac{x_2}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}x_2^2$ :
  $\left(x_1 + \dfrac{x_2}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}x_2^2 = x_1^2 + 2 \times x_1 \times \dfrac{x_2}{2} + \dfrac{x_2^2}{4} + \dfrac{3}{4}x_2^2$
  $= x_1^2 + x_1 x_2 + \dfrac{x_2^2}{4} + \dfrac{3 x_2^2}{4}$
  $= x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2$
  On a donc bien $\mathbf{S = \left(x_1 + \dfrac{x_2}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}x_2^2}$.
2. L'expression $\left(x_1 + \dfrac{x_2}{2}\right)^2$ est un carré, donc elle est positive ou nulle. De même, $\dfrac{3}{4}x_2^2$ est positive ou nulle.
  La somme de deux quantités positives ou nulles est positive ou nulle, donc $\mathbf{S \geqslant 0}$.
3. On a $S = 0$ si et seulement si les deux termes sont nuls simultanément :
  $\left(x_1 + \dfrac{x_2}{2}\right)^2 = 0$ et $\dfrac{3}{4}x_2^2 = 0$
  La deuxième condition donne $x_2 = 0$, et en remplaçant dans la première : $x_1 = 0$.
  Donc $S = 0$ si et seulement si $x_1 = 0$ et $x_2 = 0$.
D'après la question 1 : $x_1^3 - x_2^3 = \left(x_1 - x_2\right) \times S$.
Déterminons le signe de chaque facteur :
- $x_1 - x_2 < 0$ car $x_1 < x_2$
- $S \geqslant 0$ d'après la question 2b. De plus, comme $x_1 < x_2$, ils ne peuvent pas être tous les deux nuls (sinon $x_1 = x_2 = 0$), donc $S > 0$ d'après la question 2c.
Le produit d'un nombre strictement négatif par un nombre strictement positif est strictement négatif :
$x_1^3 - x_2^3 < 0$, c'est-à-dire $x_1^3 < x_2^3$, donc $f\left(x_1\right) < f\left(x_2\right)$.
On a montré que pour tous réels $x_1 < x_2$, on a $f\left(x_1\right) < f\left(x_2\right)$.
La fonction cube est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Crible de Matiiassevitch

Soient $ f $ la fonction carrée, définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right) = x^{2} $ et $ a $ et $ b $ deux réels strictement positifs.

On note $ A $ et $ B $ les points de la courbe représentative de $ f $ d'abscisses respectives $ - a $ et $ b $ et $ M \left(0 ; m\right) $ le point d'intersection de la droite $ \left(AB\right) $ avec l'axe des ordonnées.

Calculer $ m $ en fonction de $ a $ et $ b $.

Corrigé

Les coordonnées de $ A $ sont $ \left( - a ; \left( - a\right)^{2}\right)=\left( - a ; a^{2}\right) $

Les coordonnées de $ B $ sont $ \left(b ; b^{2}\right) $

Le coefficient directeur de la droite $ \left(AB\right) $ est :

$ \alpha =\dfrac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}=\dfrac{b^{2} - a^{2}}{b+a}=b - a $

La droite $ \left(AB\right) $ a donc une équation du type :

$ y=\left(b - a\right)x+\beta $

Pour trouver $ \beta $ :

La droite $ \left(AB\right) $ passe par le point $ A\left( - a ; a^{2}\right) $ donc l'équation ci-dessus est vérifiée si on remplace $ x $ par $ - a $ et $ y $ par $ a^{2} $ :

$ a^{2}=\left(b - a\right)\times \left( - a\right)+\beta $

$ a^{2}= - ab+a^{2}+\beta $

$ a^{2}+ab - a^{2}=\beta $

$ \beta =ab $

L'équation de la droite $ \left(AB\right) $ est donc : $ y=\left(b - a\right)x+ab $

Le point $ M $ a pour abscisse 0. Son ordonnée est donc :

$ m=\left(b - a\right)\times 0+ab$, donc $\mathbf{m=ab}$

On obtient ainsi une « table de multiplication graphique » (voir figure ci-dessus pour $ 2\times 3 $)

Remarque

On peut utiliser le crible de Matiiassevitch pour rechercher les nombres premiers en donnant à $ a $ et $ b $ des valeurs entières (voir : Le crible géométrique de Matiiassevitch)