Vrai/Faux : Loi des grands nombres et estimation
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la loi des grands nombres et l'estimation d'une probabilité par une fréquence, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Une expérience à deux issues a une probabilité de succès $p$ que l'on ne connaît pas. On en réalise un grand échantillon et on relève la fréquence $f$ de succès.
Affirmation : La fréquence $f$ observée donne une estimation de la probabilité inconnue $p$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Quand on ne connaît pas $p$, on le remplace par la fréquence observée sur un grand échantillon.
La loi des grands nombres justifie ce procédé : pour $n$ grand, $f$ est proche de $p$, donc $f$ fournit une estimation de $p$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de croire qu'une probabilité inconnue ne peut jamais être approchée.
Or c'est tout l'intérêt d'un échantillon : la fréquence observée sert justement à estimer une proportion ou une probabilité que l'on ne peut pas calculer directement.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Lorsque $p$ est inconnue, on l'estime par la fréquence $f$ observée sur un échantillon de grande taille.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On s'intéresse à l'énoncé de la loi des grands nombres dans sa version étudiée en Seconde.
Affirmation : La loi des grands nombres garantit que, pour $n$ grand, la fréquence $f$ est proche de $p$ dans tous les cas, sans aucune exception.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La formulation correcte contient « sauf exception » : pour $n$ grand, la fréquence observée est le plus souvent proche de $p$.
Il reste toujours des échantillons exceptionnels pour lesquels $f$ s'écarte nettement de $p$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au mot « sans aucune exception » : la loi des grands nombres n'offre pas de certitude absolue.
Elle dit que, pour $n$ grand, $f$ est proche de $p$ sauf exception, et non systématiquement.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La loi des grands nombres affirme que, pour $n$ grand et sauf exception, $f$ est proche de $p$ : ce n'est pas une garantie valable dans tous les cas.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Pour estimer une proportion inconnue, on hésite entre un échantillon de $30$ personnes et un échantillon de $3\,000$ personnes.
Affirmation : L'estimation obtenue à partir de l'échantillon de $3\,000$ personnes est en général plus fiable que celle obtenue avec $30$ personnes.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Plus la taille $n$ de l'échantillon est grande, plus la fréquence observée a tendance à être proche de $p$.
Un grand échantillon fournit donc en général une estimation plus fiable qu'un petit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas penser que la taille de l'échantillon est sans importance.
Avec un petit échantillon, la fréquence fluctue beaucoup ; avec un grand échantillon, elle se stabilise autour de $p$ et l'estimation gagne en fiabilité.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Un grand échantillon réduit la fluctuation de la fréquence observée, ce qui rend l'estimation de $p$ plus fiable.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On compare la nature de la probabilité $p$ et celle de la fréquence $f$.
Affirmation : Comme la fréquence $f$, la probabilité $p$ se calcule à partir des résultats obtenus sur un échantillon.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La probabilité $p$ est une valeur théorique, fixée par l'expérience, indépendante de tout échantillon.
Seule la fréquence $f$ se calcule à partir des résultats observés ; les deux notions n'ont pas la même origine.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre l'origine de $p$ et celle de $f$.
La probabilité $p$ ne dépend d'aucun échantillon : c'est une donnée théorique. C'est uniquement la fréquence $f$ qui s'obtient en comptant les succès observés.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La probabilité $p$ est théorique et ne dépend pas de l'échantillon ; seule la fréquence $f$ se calcule à partir des résultats observés.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On lit la fonction Python suivante, où la variable $n$ désigne la taille de l'échantillon.
from random import randint
def succes_pile(n):
succes = 0
for i in range(n):
if randint(1, 2) == 1:
succes = succes + 1
return succes / nAffirmation : La valeur renvoyée par cette fonction est le nombre de fois où « Pile » est sorti.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
La variable succes compte bien le nombre de « Pile », mais la dernière ligne renvoie succes / n.
La fonction renvoie donc la fréquence des « Pile » sur l'échantillon, un nombre compris entre $0$ et $1$, et non leur nombre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à bien lire la ligne return : la fonction ne renvoie pas la variable de comptage telle quelle.
Le comptage est divisé par $n$ avant d'être renvoyé, ce qui transforme un effectif en fréquence.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La ligne return succes / n divise le nombre de succès par la taille de l'échantillon : la fonction renvoie une fréquence, pas un nombre de succès.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Sur un échantillon de $1\,000$ lancers d'une pièce, on a observé « Pile » exactement $511$ fois.
Affirmation : À partir de cet échantillon, on peut estimer la probabilité d'obtenir « Pile » à environ $0{,}511$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La fréquence observée vaut $f = \dfrac{511}{1\,000} = 0{,}511$, et cette fréquence sert d'estimation de la probabilité.
L'écart avec $0{,}5$ provient simplement de la fluctuation d'échantillonnage ; sur un échantillon, l'estimation n'a aucune raison de tomber pile sur une valeur ronde.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de remplacer l'estimation issue de l'échantillon par la valeur que l'on attendait « en théorie ».
L'estimation se lit sur les résultats obtenus : la fréquence observée vaut $\dfrac{511}{1\,000} = 0{,}511$, et c'est elle qui estime la probabilité.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. L'estimation de la probabilité est la fréquence observée, soit $\dfrac{511}{1\,000} = 0{,}511$ ; l'écart avec $0{,}5$ relève de la fluctuation d'échantillonnage.
[/solution]
[/etape]