Fonctions cosinus et sinus : parité et périodicité

Déterminer la valeur exacte de chacun des réels suivants.
1. $ \cos\left( - \dfrac{\pi }{4}\right) $
2. $ \sin\left( - \dfrac{\pi }{3}\right) $
3. $ \cos\left(\dfrac{13\pi }{6}\right) $
4. $ \sin\left( - \dfrac{13\pi }{6}\right) $
Soit $ \alpha $ un réel tel que $ \sin\left(\alpha \right)=\dfrac{1}{4} $ et $ \cos\left(\alpha \right)=\dfrac{\sqrt{15}}{4} $. Exprimer chacun des réels suivants en fonction des données.
1. $ \sin\left( - \alpha \right) $
2. $ \cos\left( - \alpha \right) $
3. $ \sin\left(\alpha +2\pi \right) $
4. $ \cos\left(\alpha - 2\pi \right) $
Le repère ci-dessous représente les fonctions cosinus et sinus. L'une des courbes est notée $ \mathcal{C}_{1} $, l'autre $ \mathcal{C}_{2} $.
1. Indiquer quelle courbe représente la fonction cosinus et laquelle représente la fonction sinus.
2. Justifier la réponse à l'aide de deux propriétés des fonctions cosinus et sinus.

Corrigé

1. La fonction cosinus est paire, donc $ \cos\left( - x\right)=\cos\left(x\right) $ pour tout réel $ x $.
  
  $ \cos\left( - \dfrac{\pi }{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi }{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $
  
  D'où $ \cos\left( - \dfrac{\pi }{4}\right)=\mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} $.
2. La fonction sinus est impaire, donc $ \sin\left( - x\right)= - \sin\left(x\right) $ pour tout réel $ x $.
  
  $ \sin\left( - \dfrac{\pi }{3}\right)= - \sin\left(\dfrac{\pi }{3}\right)= - \dfrac{\sqrt{3}}{2} $
  
  D'où $ \sin\left( - \dfrac{\pi }{3}\right)=\mathbf{ - \dfrac{\sqrt{3}}{2}} $.
3. On utilise la périodicité de la fonction cosinus, de période $ 2\pi $ : $ \cos\left(x+2\pi \right)=\cos\left(x\right) $.
  
  Comme $ \dfrac{13\pi }{6}=\dfrac{\pi }{6}+2\pi $, on a :
  
  $ \cos\left(\dfrac{13\pi }{6}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi }{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $
  
  D'où $ \cos\left(\dfrac{13\pi }{6}\right)=\mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} $.
4. La fonction sinus est impaire, puis on utilise sa périodicité.
  
  $ \sin\left( - \dfrac{13\pi }{6}\right)= - \sin\left(\dfrac{13\pi }{6}\right)= - \sin\left(\dfrac{\pi }{6}+2\pi \right)= - \sin\left(\dfrac{\pi }{6}\right)= - \dfrac{1}{2} $
  
  D'où $ \sin\left( - \dfrac{13\pi }{6}\right)=\mathbf{ - \dfrac{1}{2}} $.
1. La fonction sinus est impaire : $ \sin\left( - \alpha \right)= - \sin\left(\alpha \right) $.
  
  $ \sin\left( - \alpha \right)=\mathbf{ - \dfrac{1}{4}} $
2. La fonction cosinus est paire : $ \cos\left( - \alpha \right)=\cos\left(\alpha \right) $.
  
  $ \cos\left( - \alpha \right)=\mathbf{\dfrac{\sqrt{15}}{4}} $
3. Par périodicité de la fonction sinus : $ \sin\left(\alpha +2\pi \right)=\sin\left(\alpha \right) $.
  
  $ \sin\left(\alpha +2\pi \right)=\mathbf{\dfrac{1}{4}} $
4. Par périodicité de la fonction cosinus : $ \cos\left(\alpha - 2\pi \right)=\cos\left(\alpha \right) $.
  
  $ \cos\left(\alpha - 2\pi \right)=\mathbf{\dfrac{\sqrt{15}}{4}} $
1. La courbe $ \mathcal{C}_{1} $ représente la fonction cosinus et la courbe $ \mathcal{C}_{2} $ représente la fonction sinus.
2. Première propriété : pour tout réel $ x $, $ \cos\left( - x\right)=\cos\left(x\right) $ (fonction paire) alors que $ \sin\left( - x\right)= - \sin\left(x\right) $ (fonction impaire). La courbe $ \mathcal{C}_{1} $ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, ce qui correspond à une fonction paire : c'est donc la courbe de la fonction cosinus. La courbe $ \mathcal{C}_{2} $ est symétrique par rapport à l'origine, ce qui correspond à une fonction impaire : c'est donc la courbe de la fonction sinus.
  
  Deuxième propriété : $ \cos\left(0\right)=1 $ tandis que $ \sin\left(0\right)=0 $. La courbe $ \mathcal{C}_{1} $ passe par le point de coordonnées $ \left(0 ; 1\right) $, c'est bien la courbe de la fonction cosinus ; la courbe $ \mathcal{C}_{2} $ passe par l'origine, c'est bien la courbe de la fonction sinus.

[ROC] Démonstration des valeurs remarquables en trigonométrie

L'objectif de cet exercice est de démontrer, par le calcul, les valeurs remarquables du sinus et du cosinus figurant dans le tableau du cours :

$ \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} $ et $ \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $

Prérequis :

Pour tout réel $ x $ : $ \cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1 $.
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $ O $ et de rayon $ 1 $ dans un repère orthonormé $ \left(O\,;\vec{i},\vec{j}\right) $.
Si $ M $ est le point du cercle trigonométrique image du réel $ x $, alors $ \cos(x) $ est l'abscisse de $ M $ et $ \sin(x) $ est son ordonnée.

Partie A — Calcul de $ \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) $ et $ \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) $

Soit $ M $ le point du cercle trigonométrique image du réel $ \dfrac{\pi}{4} $ et $ H $ le projeté orthogonal de $ M $ sur l'axe des abscisses.

Point M image de pi/4 sur le cercle trigonométrique et son projeté H

Justifier que le triangle $ OHM $ est rectangle isocèle en $ H $.
En déduire que $ \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) $.
En utilisant le prérequis 1., démontrer que $ \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $.

Partie B — Calcul de $ \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) $

Soit $ M $ le point du cercle trigonométrique image du réel $ \dfrac{\pi}{3} $ et $ I $ le point de coordonnées $ (1\,;0) $. On note $ H $ le projeté orthogonal de $ M $ sur l'axe des abscisses.

Triangle équilatéral OIM et son projeté H sur l'axe des abscisses

Justifier que $ OM=OI=1 $, puis que l'angle $ \widehat{MOI} $ mesure $ \dfrac{\pi}{3} $ radians (soit $ 60° $).
En déduire que le triangle $ OIM $ est équilatéral.
Dans un triangle équilatéral, la hauteur issue d'un sommet est également la médiane relative au côté opposé. Utiliser cette propriété pour la hauteur $ (MH) $ afin de déterminer $ OH $.
Conclure que $ \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} $.

Partie C — Calcul de $ \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) $

En utilisant le prérequis 1. et le résultat de la partie B, démontrer que $ \sin^{2}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{3}{4} $.
Justifier que $ \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)>0 $.
Conclure que $ \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $.

Corrigé

Partie A

Par définition, $ M $ a pour coordonnées $ \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\,;\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right) $ et $ H $ a pour coordonnées $ \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\,;0\right) $.

Comme $ \dfrac{\pi}{4} $ est la moitié de $ \dfrac{\pi}{2} $, le point $ M $ se trouve sur la bissectrice de l'angle $ \widehat{IOJ} $ où $ I(1\,;0) $ et $ J(0\,;1) $. La droite $ (OM) $ a donc pour équation $ y=x $ et l'abscisse de $ M $ est égale à son ordonnée.

Par conséquent :
$ HM=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) $ (distance verticale de $ H $ à $ M $),
$ OH=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) $ (distance horizontale de $ O $ à $ H $),
$ OH=HM $.

Le triangle $ OHM $ possède un angle droit en $ H $ (projeté orthogonal) et deux côtés $ OH $ et $ HM $ égaux : il est rectangle isocèle en $ H $.
Puisque $ OH=HM $, on a directement :

$ \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=OH=HM=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) $
On utilise le prérequis 1. avec $ x=\dfrac{\pi}{4} $ :

$ \cos^{2}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\sin^{2}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1 $

Comme les deux termes sont égaux :

$ 2\cos^{2}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1 $

$ \cos^{2}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{2} $

Or $ M $ se trouve dans le premier quadrant, donc $ \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)>0 $. On en déduit :

$ \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $

Et donc : $\mathbf{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$.

Partie B

Par définition du cercle trigonométrique, $ OM=OI=1 $ (rayon du cercle). L'angle $ \widehat{MOI} $ est l'angle orienté associé au réel $ \dfrac{\pi}{3} $, il mesure donc $ \dfrac{\pi}{3} $ radians, ce qui correspond à $ 60° $ (puisque $ \pi $ radians $ =180° $).
Le triangle $ OIM $ est isocèle en $ O $ (car $ OM=OI $). Ses angles à la base $ \widehat{OIM} $ et $ \widehat{OMI} $ sont donc égaux. Comme la somme des trois angles d'un triangle vaut $ \pi $, chacun de ces angles vaut $ \dfrac{\pi-\pi/3}{2}=\dfrac{\pi}{3} $.

Les trois angles du triangle $ OIM $ valent donc $ \dfrac{\pi}{3} $ : le triangle $ OIM $ est équilatéral.
$ H $ est le pied de la hauteur issue de $ M $ dans le triangle $ OIM $. Comme $ OIM $ est équilatéral, cette hauteur est aussi médiane relative au côté $ [OI] $ : $ H $ est le milieu de $ [OI] $.

On en déduit : $ OH=\dfrac{OI}{2}=\dfrac{1}{2} $.
Par définition, l'abscisse de $ M $ est $ \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) $. Comme $ H $ est le projeté orthogonal de $ M $ sur l'axe des abscisses et que $ M $ est dans le premier quadrant, $ OH $ est égal à cette abscisse :

$ \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=OH=\dfrac{1}{2} $

Conclusion : $\mathbf{\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}}$.

Partie C

Avec le prérequis 1. appliqué à $ x=\dfrac{\pi}{3} $ :

$ \cos^{2}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\sin^{2}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=1 $

Or, d'après la partie B, $ \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} $, donc $ \cos^{2}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{4} $. Par conséquent :

$ \sin^{2}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4} $
$ \dfrac{\pi}{3} $ appartient à l'intervalle $ ]0\,;\pi[ $, donc le point $ M $ image de $ \dfrac{\pi}{3} $ se trouve au-dessus de l'axe des abscisses : son ordonnée est strictement positive.

Donc $ \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)>0 $.
On déduit des deux questions précédentes :

$ \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $

Conclusion : $\mathbf{\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$.

Angles orientés et alignement

Remarque

Pour aller plus loin : cet exercice s'appuie sur les angles orientés de vecteurs et la relation de Chasles sur les angles, une notion approfondie en classe de Terminale. Il dépasse le cadre strict du programme de Première et peut être abordé en approfondissement.

Dans la figure ci-dessus $ ABCD $ est un carré et $ CDE $ et $ BCF $ sont deux triangles équilatéraux.

Donner une mesure de l'angle orienté $ \left(\overrightarrow{EC},\overrightarrow{ED}\right) $.
Donner une mesure de l'angle orienté $ \left(\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EC}\right) $.
Donner une mesure de l'angle orienté $ \left(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EA}\right) $.
Montrer que les points $ A, E $ et $ F $ sont alignés.

Corrigé

$ \left(\overrightarrow{EC},\overrightarrow{ED}\right)= - \dfrac{\pi }{3} +2k\pi $.

car le triangle $ CED $ est équilatéral.
$ \left(\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EC}\right)= - \dfrac{\pi }{4} +2k\pi $.

car le triangle $ EFC $ est rectangle isocèle (le prouver !)
$ \left(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EA}\right)= - \dfrac{5\pi }{12}+2k\pi $.

car le triangle $ ADE $ est isocèle et l'angle $ \left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DE}\right)= - \dfrac{\pi }{6}+2k\pi $ (le prouver !)
$ \left(\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EA}\right)=\left(\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EC}\right)+\left(\overrightarrow{EC},\overrightarrow{ED}\right)+\left(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EA}\right)= - \pi +2k\pi $

Donc les points $ A, E $ et $ F $ sont alignés.

Angles orientés dans un pentagone

Remarque

$ ABCDE $ est un pentagone régulier direct inscrit dans le cercle de centre $ O $ (« direct » signifie que les points $ A,B,C,D,E $ suivent le sens trigonométrique).

Calculer les mesures principales en radians des angles $ \left(\overrightarrow{DO}, \overrightarrow{OB}\right) $, $ \left(\overrightarrow{BO}, \overrightarrow{BA}\right) $ et $ \left(\overrightarrow{DO}, \overrightarrow{AB}\right) $.
Démontrer que les droites $ (DO) $ et $ (EC) $ sont perpendiculaires.
1. Déduire des deux premières questions que $ \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA} $ d'une part et $ \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OE} $ d'autre part sont colinéaires à $ \overrightarrow{OD} $
  Déduire du a. que le vecteur $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE} $ est colinéaire au vecteur $ \overrightarrow{OD} $
En suivant une démarche analogue, démontrer que les vecteurs $ \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} $, $ \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA} $ et $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE} $ sont colinéaires au vecteur $ \overrightarrow{OE} $.
Déduire des questions précédentes que : $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{0} $

Corrigé

Puisque $ ABCDE $ est un pentagone régulier, ses sommets partagent le cercle circonscrit en cinq arcs égaux. Les angles au centre qui interceptent ces arcs sont donc tous égaux à $ \dfrac{2\pi}{5} $. Ainsi :

$ (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}) = (\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}) = (\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD}) = (\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OE}) = (\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OA}) = \dfrac{2\pi}{5} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $

On calcule de même facilement que l'angle que fait un rayon du cercle circonscrit passant par un sommet du pentagone avec un côté du pentagone adjacent à ce sommet est $ \dfrac{1}{2}\left(\pi - \dfrac{2\pi}{5}\right) = \dfrac{3\pi}{10} $.
Par exemple $ (\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BO}) = (\overrightarrow{BO},\overrightarrow{BA}) = \dfrac{3\pi}{10} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $.

On cherche des mesures principales d'angles, donc comprises entre $ -\pi $ et $ \pi $. On trouve $ (\overrightarrow{DO},\overrightarrow{OB}) = \dfrac{\pi}{5} $, $ (\overrightarrow{BO},\overrightarrow{BA}) = \dfrac{3\pi}{10} $ et $ (\overrightarrow{DO}, \overrightarrow{AB}) = (\overrightarrow{DO}, \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{AB}) = (\overrightarrow{DO}, \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{BO}, \overrightarrow{BA}) = \dfrac{\pi}{5} + \dfrac{3\pi}{10} = \dfrac{\pi}{2} $.
Le triangle $ OEC $ étant isocèle en $ O $, $ O $ se trouve sur la médiatrice du segment $ [EC] $. Le triangle $ DEC $ étant isocèle en $ D $, $ D $ se trouve aussi sur la médiatrice du segment $ [EC] $. On en déduit que la droite $ (DO) $ est la médiatrice du segment $ [EC] $. Donc les droites $ (DO) $ et $ (EC) $ sont perpendiculaires.
1. On a démontré en 1. que la droite $ (DO) $ est perpendiculaire au segment $ [AB] $ et en 2. qu'elle est perpendiculaire au segment $ [EC] $. On en conclut que $ (EC) $ et $ (AB) $ sont parallèles. Soit $ M $ le milieu de $ [AB] $ et $ M' $ le milieu de $ [EC] $. Le triangle $ OAB $ est isocèle en $ O $, donc $ O $ est sur la médiatrice de $ [AB] $. $ O $ étant aussi sur la médiatrice $ (DO) $ de $ [EC] $, on en conclut que les points $ D, M', O $ et $ M $ sont alignés. Comme $ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OM} $ et $ \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OE} = 2\overrightarrow{OM'} $, on en déduit que ces deux vecteurs sont colinéaires à $ \overrightarrow{OD} $.
  Le vecteur $ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OE}) + \overrightarrow{OD} $ étant la somme de trois vecteurs colinéaires à $ \overrightarrow{OD} $, il est lui-même colinéaire à $ \overrightarrow{OD} $.
On démontre de manière analogue que $ (EO) $ est la médiatrice de $ [AD] $ et $ [BC] $, et il en découle que les vecteurs $ \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} $, $ \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OA} $ et $ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} $ sont colinéaires à $ \overrightarrow{OE} $.
Le fait que le vecteur $ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} $ soit colinéaire à deux vecteurs non colinéaires, $ \overrightarrow{OD} $ et $ \overrightarrow{OE} $, implique que $\mathbf{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} = \overrightarrow{0}}$.