[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : calcul de termes, sens de variation, limite et représentation graphique. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier $n$, $u_{n+1} = u_n^2 - 1$. Combien vaut $u_3$ ?
[qcm]
[option]$u_3 = -1$[/option]
[option correct="true"]$u_3 = 0$[/option]
[option]$u_3 = 1$[/option]
[option]$u_3 = -2$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On calcule de proche en proche :
$u_1 = 1^2 - 1 = 0$.
$u_2 = 0^2 - 1 = -1$.
$u_3 = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$u_3 = -1$"]Non.
Le calcul s'est arrêté à $u_2$. Il reste à appliquer une fois la relation pour obtenir $u_3$.[/reponse]
[reponse motif="$u_3 = 1$"]Non.
Le « $-1$ » à la fin de la relation a été oublié au dernier pas : on a calculé $(-1)^2 = 1$, mais il faut encore retrancher $1$.[/reponse]
[reponse motif="$u_3 = -2$"]Non.
Attention au calcul de $(-1)^2$ : c'est $+1$, et non $-1$. Le carré d'un nombre négatif est positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer successivement $u_1$, $u_2$ puis $u_3$ en appliquant à chaque pas la relation $u_{n+1} = u_n^2 - 1$ et en faisant attention au signe lors de l'élévation au carré.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n = (n - 3)^2$. Quel est son sens de variation ?
[qcm]
[option]Strictement décroissante[/option]
[option]Strictement croissante[/option]
[option correct="true"]Décroissante puis croissante[/option]
[option]Croissante puis décroissante[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Calcul des premiers termes : $u_0 = 9$, $u_1 = 4$, $u_2 = 1$, $u_3 = 0$, $u_4 = 1$, $u_5 = 4$, $u_6 = 9$.
La suite décroît jusqu'au minimum atteint en $n = 3$, puis croît ensuite. Elle est donc décroissante puis croissante.[/reponse]
[reponse motif="Strictement décroissante"]Non.
Calculer $u_3$ et $u_4$ : on observe que $u_4 > u_3$, donc la suite croît à partir d'un certain rang. Elle ne peut donc pas être strictement décroissante partout.[/reponse]
[reponse motif="Strictement croissante"]Non.
Calculer $u_0$ et $u_1$ : on a $u_1 < u_0$, donc la suite commence par décroître. Elle ne peut donc pas être strictement croissante partout.[/reponse]
[reponse motif="Croissante puis décroissante"]Non.
Le sens est inversé : la suite décroît au début (pour $n \leqslant 3$) puis croît ensuite. Recalculer $u_0$, $u_1$, $u_2$ pour s'en convaincre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer plusieurs termes consécutifs : on observe alors que la suite atteint un minimum puis recommence à croître. Identifier à quel rang ce minimum a lieu.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n \geqslant 0$ par $u_n = 3 - \dfrac{2}{n + 1}$ :
[qcm]
[option correct="true"]converge vers $3$[/option]
[option]diverge[/option]
[option]converge vers $1$[/option]
[option]converge vers $-2$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Quand $n$ devient grand, $\dfrac{2}{n+1}$ se rapproche de $0$. Donc $u_n = 3 - \dfrac{2}{n+1}$ se rapproche de $3 - 0 = 3$.[/reponse]
[reponse motif="diverge"]Non.
Les termes ne deviennent pas aussi grands que voulu : $u_n$ reste majoré par $3$. Ils se rapprochent au contraire d'une valeur fixe.[/reponse]
[reponse motif="converge vers $1$"]Non.
La valeur $u_0 = 3 - 2 = 1$ est le premier terme, mais la limite décrit le comportement à l'infini. Calculer $u_{100}$ pour observer vers quelle valeur tendent les termes.[/reponse]
[reponse motif="converge vers $-2$"]Non.
Le numérateur de la fraction est $-2$, mais la fraction entière $\dfrac{2}{n+1}$ tend vers $0$ (et non vers $2$). C'est elle qui intervient dans le calcul de la limite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Décomposer la formule : la partie constante $3$ reste fixe, et la partie $\dfrac{2}{n+1}$ tend vers $0$ quand $n$ grandit. Sommer ces deux comportements.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par $u_n = 2 - \dfrac{1}{n}$. Quel énoncé décrit correctement cette suite ?
[qcm]
[option]Décroissante, converge vers $0$[/option]
[option correct="true"]Croissante, converge vers $2$[/option]
[option]Décroissante, converge vers $2$[/option]
[option]Croissante, converge vers $1$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Sens de variation : $u_{n+1} - u_n = \left(2 - \dfrac{1}{n+1}\right) - \left(2 - \dfrac{1}{n}\right) = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{1}{n(n+1)} > 0$, donc la suite est croissante.
Limite : quand $n$ grandit, $\dfrac{1}{n}$ tend vers $0$, donc $u_n$ tend vers $2$.[/reponse]
[reponse motif="Décroissante, converge vers $0$"]Non.
Les premiers termes sont $u_1 = 1$, $u_2 = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$, $u_3 \approx 1{,}67$… Ils augmentent et se rapprochent d'une valeur supérieure à $1$, pas de $0$.[/reponse]
[reponse motif="Décroissante, converge vers $2$"]Non.
La limite annoncée est correcte, mais le sens de variation est inversé. Calculer les premiers termes : on voit qu'ils augmentent vers $2$.[/reponse]
[reponse motif="Croissante, converge vers $1$"]Non.
Le sens de variation est correct, mais la limite est fausse. Quand $n$ grandit, $\dfrac{1}{n}$ tend vers $0$ et il reste la partie constante $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Étudier deux choses séparément : le signe de $u_{n+1} - u_n$ pour le sens de variation, et le comportement de $\dfrac{1}{n}$ quand $n$ grandit pour la limite.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La représentation graphique de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n$ par $u_n = -n + 2$ est constituée :
[qcm]
[option correct="true"]de points alignés sur une droite décroissante[/option]
[option]de points alignés sur une droite croissante[/option]
[option]des points d'une courbe parabolique[/option]
[option]de points oscillant entre $+1$ et $-1$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les points $(n~;~u_n) = (n~;~-n+2)$ vérifient l'équation $y = -x + 2$, donc ils sont alignés sur la droite d'équation $y = -x + 2$. Comme le coefficient directeur $-1$ est négatif, cette droite est décroissante.[/reponse]
[reponse motif="de points alignés sur une droite croissante"]Non.
Le coefficient devant $n$ est $-1$, donc négatif : la suite décroît à chaque pas, et la droite associée descend de gauche à droite.[/reponse]
[reponse motif="des points d'une courbe parabolique"]Non.
La formule $u_n = -n + 2$ est une expression du premier degré en $n$ : les points obtenus sont alignés sur une droite, pas sur une parabole.[/reponse]
[reponse motif="de points oscillant entre $+1$ et $-1$"]Non.
Aucun terme alterné comme $(-1)^n$ n'apparaît dans la formule. Les termes diminuent régulièrement de $1$ à chaque pas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer plusieurs termes ($u_0$, $u_1$, $u_2$…), placer les points $(n~;~u_n)$ dans un repère et observer leur disposition.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour démontrer qu'une suite $(u_n)$ est croissante, on peut :
[qcm]
[option]calculer $u_n \times u_{n+1}$ et vérifier qu'il est positif[/option]
[option]vérifier que $\dfrac{u_n}{u_{n+1}} < 1$[/option]
[option correct="true"]calculer $u_{n+1} - u_n$ et vérifier qu'il est positif pour tout $n$[/option]
[option]vérifier qu'au moins un terme de la suite est positif[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Une suite est croissante quand chaque terme est supérieur ou égal au précédent, soit $u_{n+1} \geqslant u_n$, ce qui équivaut à $u_{n+1} - u_n \geqslant 0$ pour tout $n$. C'est la méthode la plus directe.[/reponse]
[reponse motif="calculer $u_n \times u_{n+1}$ et vérifier qu'il est positif"]Non.
Le produit $u_n \times u_{n+1}$ renseigne sur le signe des termes, mais pas sur leur ordre relatif. Deux termes négatifs donnent un produit positif sans information sur leur croissance.[/reponse]
[reponse motif="vérifier que $\dfrac{u_n}{u_{n+1}} < 1$"]Non.
Cette comparaison ne fonctionne que si tous les termes sont strictement positifs. Pour des termes négatifs ou nuls, elle perd son sens et peut tromper sur le sens de variation.[/reponse]
[reponse motif="vérifier qu'au moins un terme de la suite est positif"]Non.
Le signe d'un seul terme ne dit rien sur la croissance globale. Il faut comparer chaque terme au suivant, donc étudier $u_{n+1} - u_n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La méthode standard consiste à étudier le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$. Si elle reste positive pour tout $n$, la suite est croissante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

1. Que signifient les mots «indice », «rang » et «terme » pour une suite $ \left(u_{n}\right) $ ?
2. Que représente le terme $ u_{n+1} $ par rapport au terme $ u_{n} $ ?
   Que représente le terme $ u_{n - 1} $ par rapport au terme $ u_{n} $ ?
3. Qu'est-ce qu'une suite définie par une relation de récurrence ?
4. Comment représente-t-on graphiquement une suite ?
5. Qu'est-ce qu'une suite croissante ? Une suite décroissante ?