Répartition d’un budget mensuel
Chaque mois, Léa reçoit son salaire, qu'elle répartit en plusieurs catégories de dépenses :
- $ \dfrac{2}{5} $ de son salaire sont consacrés au logement ;
- $ \dfrac{1}{4} $ aux courses alimentaires ;
- $ \dfrac{1}{8} $ aux transports ;
- le reste est épargné.
- Calculer la fraction du salaire consacrée à l'ensemble des dépenses (logement, courses, transports).
- En déduire la fraction du salaire qui est épargnée chaque mois.
- Le salaire mensuel de Léa est de $ 1\,800 $ €. Quel montant est épargné chaque mois ?
- À la fin du mois, Léa reçoit une facture imprévue qu'elle paye en utilisant $ \dfrac{2}{3} $ de la somme épargnée durant ce mois. Quelle fraction du salaire mensuel a-t-elle alors réellement épargnée ce mois-ci, après le paiement de la facture ? Donner le résultat sous forme de fraction simplifiée.
On additionne les trois fractions. Dénominateur commun de $ 5 $, $ 4 $ et $ 8 $ : $ 40 $.
$ \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{2 \times 8}{40} + \dfrac{1 \times 10}{40} + \dfrac{1 \times 5}{40} = \dfrac{16 + 10 + 5}{40} = \dfrac{31}{40} $
L'ensemble des dépenses représente $\mathbf{\dfrac{31}{40}}$ du salaire.
Le salaire entier représente $ 1 = \dfrac{40}{40} $ du salaire. La fraction épargnée est donc :
$ 1 - \dfrac{31}{40} = \dfrac{40}{40} - \dfrac{31}{40} = \dfrac{9}{40} $
Léa épargne $\mathbf{\dfrac{9}{40}}$ de son salaire chaque mois.
Le montant épargné est :
$ \dfrac{9}{40} \times 1\,800 = \dfrac{9 \times 1\,800}{40} = \dfrac{16\,200}{40} = 405 $
Léa épargne donc $ 405 $ € chaque mois.
La facture utilise $ \dfrac{2}{3} $ de l'épargne du mois, c'est-à-dire $ \dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{40} $ du salaire.
$ \dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{40} = \dfrac{2 \times 9}{3 \times 40} = \dfrac{1 \times 3}{1 \times 20} = \dfrac{3}{20} $
La facture représente $ \dfrac{3}{20} $ du salaire mensuel.
L'épargne réellement conservée vaut donc :
$ \dfrac{9}{40} - \dfrac{3}{20} = \dfrac{9}{40} - \dfrac{3 \times 2}{20 \times 2} = \dfrac{9}{40} - \dfrac{6}{40} = \dfrac{3}{40} $
Après paiement de la facture, Léa a réellement épargné $\mathbf{\dfrac{3}{40}}$ de son salaire ce mois-ci.
Variations de température lors d’une randonnée
Lors d'une randonnée en montagne, on observe que la température baisse en moyenne de $ \dfrac{3}{5} $ degré chaque fois qu'on monte de $ 100 $ mètres en altitude.
Au point de départ situé à $ 800 $ mètres d'altitude, la température est de $ 6 $ °C.
- Calculer la baisse totale de température lorsqu'on s'élève de $ 800 $ mètres jusqu'à $ 2\,300 $ mètres d'altitude.
- En déduire la température à $ 2\,300 $ mètres d'altitude.
- À quelle altitude la température devient-elle nulle ?
- Une seconde randonneuse, au sommet à $ 2\,300 $ mètres, redescend de $ 750 $ mètres. La température à son nouvel emplacement est-elle positive ou négative ? Justifier.
La randonnée représente une montée de $ 2\,300 - 800 = 1\,500 $ mètres, soit $ 15 $ tranches de $ 100 $ mètres.
La baisse totale est donc de :
$ 15 \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{15 \times 3}{5} = \dfrac{45}{5} = 9 $ °C.
La température baisse de $ 9 $ °C sur l'ensemble du parcours.
La température à $ 2\,300 $ m est égale à la température au départ diminuée de la baisse calculée :
$ 6 - 9 = -3 $ °C.
La température à $ 2\,300 $ m d'altitude est donc de $ -3 $ °C.
La température devient nulle lorsque la baisse vaut exactement $ 6 $ °C. Cherchons le nombre $ n $ de tranches de $ 100 $ m correspondant :
$ n \times \dfrac{3}{5} = 6 $ donc $ n = 6 \div \dfrac{3}{5} = 6 \times \dfrac{5}{3} = \dfrac{30}{3} = 10 $.
Il faut donc monter $ 10 $ tranches de $ 100 $ m, soit $ 1\,000 $ m au-dessus du point de départ.
L'altitude correspondante est : $ 800 + 1\,000 = 1\,800 $ mètres.
La température devient nulle à $ 1\,800 $ mètres d'altitude.
La randonneuse part de $ 2\,300 $ m où il fait $ -3 $ °C. Une descente de $ 750 $ m correspond à une remontée de la température de :
$ \dfrac{750}{100} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{15}{2} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{15 \times 3}{2 \times 5} = \dfrac{45}{10} = 4{,}5 $ °C.
La nouvelle température est donc :
$ -3 + 4{,}5 = 1{,}5 $ °C.
La température à son nouvel emplacement est de $ 1{,}5 $ °C : elle est positive.
Vrai/Faux : Pièges classiques avec les fractions
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur des pièges classiques avec les fractions, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{9}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On ne peut pas additionner numérateurs et dénominateurs séparément. Avec le dénominateur commun $20$ : $\dfrac{8}{20} + \dfrac{15}{20} = \dfrac{23}{20}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
C'est l'erreur la plus classique : ajouter les numérateurs et les dénominateurs séparément.
Pour additionner deux fractions, il faut les mettre au même dénominateur, ici $20$ : $\dfrac{8}{20} + \dfrac{15}{20} = \dfrac{23}{20}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La règle « numérateur + numérateur sur dénominateur + dénominateur » ne fonctionne jamais. Le bon résultat est $\dfrac{23}{20}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\dfrac{5 + 3}{8} = \dfrac{1 + 3}{1} = 4$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On ne peut pas simplifier le $5$ avec le $8$ dans une somme. Il faut d'abord calculer le numérateur : $\dfrac{5 + 3}{8} = \dfrac{8}{8} = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, on ne peut pas simplifier un terme du numérateur avec le dénominateur quand le numérateur est une somme.
Il faut d'abord effectuer le calcul $5 + 3 = 8$, puis $\dfrac{8}{8} = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La simplification ne s'applique qu'aux produits. $\dfrac{5 + 3}{8} = \dfrac{8}{8} = 1$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\dfrac{-3}{4} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{-2}{3}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On simplifie avant de multiplier : $3$ et $9$ par $3$, $4$ et $8$ par $4$. $\dfrac{-3}{4} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{-1}{1} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{-2}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le résultat est correct. On a un produit de signes contraires (négatif), et après simplification croisée par $3$ et $4$, on obtient $\dfrac{-2}{3}$.
On peut aussi vérifier en faisant le produit puis en simplifiant : $\dfrac{-24}{36} = \dfrac{-2}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Après simplification croisée, $\dfrac{-3}{4} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{-1}{1} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{-2}{3}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\dfrac{2}{3} \div 4 = \dfrac{8}{3}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Diviser par $4$ revient à multiplier par $\dfrac{1}{4}$, pas par $4$. Donc $\dfrac{2}{3} \div 4 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est d'avoir multiplié au lieu de diviser. Diviser par $4$ revient à multiplier par son inverse, $\dfrac{1}{4}$.
$\dfrac{2}{3} \div 4 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Diviser par $4$ revient à multiplier par $\dfrac{1}{4}$ : $\dfrac{2}{3} \div 4 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{6}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\dfrac{-2}{3} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{-5}{6}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Avec le dénominateur commun $6$ : $\dfrac{-2}{3} = \dfrac{-4}{6}$. Donc $\dfrac{-4}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{-4 - 1}{6} = \dfrac{-5}{6}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une erreur fréquente est d'oublier le signe $-$ lors de la conversion : $\dfrac{-2}{3} = \dfrac{-4}{6}$ (le signe accompagne tout le numérateur).
Le calcul donne ensuite $\dfrac{-4}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{-5}{6}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec le dénominateur commun $6$ : $\dfrac{-4}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{-5}{6}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour calculer $\dfrac{-3}{5}$ d'un nombre, on multiplie ce nombre par $-\dfrac{3}{5}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
« Prendre une fraction d'un nombre » signifie multiplier le nombre par cette fraction. Le mot « de » se traduit par une multiplication.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand on dit « les $\dfrac{2}{3}$ de $30$ », cela veut dire $\dfrac{2}{3} \times 30 = 20$.
Le mot « de » entre une fraction et un nombre se traduit toujours par une multiplication.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Prendre une fraction d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par la fraction.
[/solution]
[/etape]
QCM : Multiplications et divisions de fractions
[enonce]
Ce QCM porte sur les multiplications et divisions de fractions. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]
[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{7}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{6}{35}$[/option]
[option]$\dfrac{5}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{6}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{35}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\dfrac{2 \times 3}{5 \times 7} = \dfrac{6}{35}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{12}$"]Non.
Tu as additionné numérateurs et dénominateurs au lieu de les multiplier. Pour un produit, on calcule $2 \times 3$ et $5 \times 7$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{6}{12}$"]Non.
Le numérateur est correct, mais tu as additionné les dénominateurs ($5 + 7 = 12$). Il faut les multiplier : $5 \times 7 = 35$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{35}$"]Non.
Tu as fait $3 - 2 = 1$ au lieu de $3 \times 2$. Le produit donne bien $6$ au numérateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{2 \times 3}{5 \times 7} = \dfrac{6}{35}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{12}{72}$[/option]
[option]$\dfrac{7}{17}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{6}$[/option]
[option]$\dfrac{12}{17}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On simplifie avant de multiplier : $4$ et $8$ par $4$ ; $3$ et $9$ par $3$. $\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{12}{72}$"]Pas tout à fait.
Le calcul $\dfrac{4 \times 3}{9 \times 8} = \dfrac{12}{72}$ est correct, mais il faut simplifier la fraction. $12$ et $72$ sont divisibles par $12$, ce qui donne $\dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{17}$"]Non.
Tu as additionné numérateurs et dénominateurs au lieu de les multiplier. Pour un produit, on calcule $4 \times 3$ et $9 \times 8$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{12}{17}$"]Non.
Le numérateur est juste, mais tu as additionné les dénominateurs ($9 + 8 = 17$) au lieu de les multiplier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{12}{72} = \dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{-5}{6} \times \dfrac{3}{10}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{-15}{60}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{-1}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{-2}{16}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le produit est négatif (signes contraires). On simplifie : $5$ et $10$ par $5$ ; $3$ et $6$ par $3$. $\dfrac{-1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{-1}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{4}$"]Non.
La distance à zéro est juste mais le signe est faux. Un nombre négatif fois un nombre positif donne un nombre négatif.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-15}{60}$"]Pas tout à fait.
Le calcul brut $\dfrac{-5 \times 3}{6 \times 10} = \dfrac{-15}{60}$ est correct, mais cette fraction se simplifie : $15$ et $60$ sont divisibles par $15$, donnant $\dfrac{-1}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-2}{16}$"]Non.
Tu as additionné numérateurs et dénominateurs au lieu de les multiplier. Pour un produit, on calcule $5 \times 3$ et $6 \times 10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Signes contraires donc résultat négatif, et après simplification : $\dfrac{-5}{6} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{-1}{4}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{2}{3} \div \dfrac{5}{6}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{10}{18}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{4}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{5}{9}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Diviser revient à multiplier par l'inverse : $\dfrac{2}{3} \div \dfrac{5}{6} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{6}{5}$. On simplifie par $3$ : $\dfrac{2}{1} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{10}{18}$"]Non.
Tu as multiplié au lieu de diviser. Pour diviser, on multiplie par l'inverse de la deuxième fraction : $\dfrac{6}{5}$, pas $\dfrac{5}{6}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{9}$"]Non.
Tu as multiplié les deux fractions sans inverser la deuxième.
Pour une division, il faut écrire $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{6}{5}$ avant de calculer.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{5}$"]Non.
Tu as gardé les numérateurs et oublié de les multiplier ensuite. Après inversion : $\dfrac{2 \times 6}{3 \times 5} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{2}{3} \div \dfrac{5}{6} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{6}{5} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{7}{4} \div \dfrac{-14}{3}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{-98}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{8}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{-3}{8}$[/option]
[option]$\dfrac{-21}{56}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Diviser revient à multiplier par l'inverse : $\dfrac{7}{4} \div \dfrac{-14}{3} = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{-3}{14}$. Le résultat est négatif. On simplifie par $7$ : $\dfrac{1}{4} \times \dfrac{-3}{2} = \dfrac{-3}{8}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-98}{12}$"]Non.
Tu as multiplié au lieu de diviser. Pour une division par $\dfrac{-14}{3}$, il faut multiplier par son inverse $\dfrac{-3}{14}$ (ou $\dfrac{3}{-14}$).[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{8}$"]Non.
La distance à zéro est juste mais le signe est faux. Un quotient de signes contraires est négatif.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-21}{56}$"]Pas tout à fait.
Le calcul $\dfrac{-7 \times 3}{4 \times 14} = \dfrac{-21}{56}$ est correct, mais cette fraction se simplifie par $7$ pour donner $\dfrac{-3}{8}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{7}{4} \div \dfrac{-14}{3} = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{-3}{14} = \dfrac{-3}{8}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{9}{8}}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{27}{32}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{2}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{4}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{12}{12}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Une fraction de fractions est une division : $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{9}{8} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9}$. On simplifie par $3$ et par $4$ : $\dfrac{1}{1} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{27}{32}$"]Non.
Tu as multiplié les deux fractions au lieu de diviser. Une grande barre de fraction signifie que la fraction du haut est divisée par celle du bas.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{3}$"]Non.
Tu as inversé la fraction du haut au lieu de la fraction du bas. Pour la division, on multiplie par l'inverse de la deuxième fraction.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{12}{12}$"]Non.
Tu as additionné les numérateurs et les dénominateurs entre eux. Une barre de fraction principale traduit une division, pas une addition.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{9}{8}} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
