En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd 20 % de son intensité lumineuse. L'intensité lumineuse est exprimée en candela ( cd ).

On utilise une lampe torche qui émet un rayon d'intensité lumineuse réglée à 400 cd.

On superpose $ n $ plaques de verre identiques ( $ n $ étant un entier naturel ) et on désire mesurer l'intensité lumineuse $ I_{ n } $ du rayon à la sortie de la $ n $-ième plaque.

On note $ I_{ 0 }=400 $ l'intensité lumineuse du rayon émis par la lampe torche avant de traverser les plaques ( intensité lumineuse initiale ). Ainsi, cette situation est modélisée par la suite $ ( I_{ n } ). $

1. Montrer par un calcul que $ I_{ 1 }=320. $
2. 1. Pour tout entier naturel $ n $ , exprimer $ I_{ n+1 } $ en fonction de $ I_{ n }. $
   2. En déduire la nature de la suite $ ( I_{ n } ). $ Préciser sa raison et son premier terme.
   3. Pour tout entier naturel $ n $ , exprimer $ I_{ n } $ en fonction de $ n. $

3. On souhaite déterminer le nombre minimal $ n $ de plaques à superposer afin que le rayon initial ait perdu au moins 70 % de son intensité lumineuse initiale après sa traversée des plaques.

   Afin de déterminer le nombre de plaques à superposer, on considère la fonction Python suivante :

   def nombrePlaques(J):
   	I=400
   	n=0
   	while I > J:
   		I = 0.8*I
   		n = n+1
   	return n

   1. Préciser, en justifiant, le nombre J de sorte que l'appel nombrePlaques(J) renvoie le nombre de plaques à superposer.

   2. Le tableau suivant donne des valeurs de $ I_{ n }. $ Combien de plaques doit-on superposer ?

      $ n $	0	1	2	3	4	5	6	7
      $ I_{ n } $	400	320	256	204,8	163,84	131,07	104,85	83,886

On considère la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par :

$ u_{0}=1 $ et pour tout entier $ n $ , $ u_{n+1}= \dfrac{1}{2} u_{n} - 1 $.

1. Calculer $ u_{1} $ et $ u_{2} $. La suite $ \left(u_{n}\right) $ est-elle arithmétique ? géométrique ?

2. On pose $ v_{n}=u_{n}+2 $.

   1. Exprimer $ v_{n+1} $ en fonction de $ v_{n} $. Quelle est la nature de la suite $ \left(v_{n}\right) $ ?
   2. Exprimer $ v_{n} $ en fonction de $ n $.
   3. En déduire $ u_{n} $ en fonction de $ n $.

Un capital $ C_{0} $ de $ 500 $€ est placé à intérêts composés au taux de $ 4\% $ par an (cela signifie que chaque année le capital augmente de $ 4\% $ par rapport à l'année précédente)

On note $ C_{n} $ le capital obtenu après $ n $ années.

1. Calculer $ C_{1} $ et $ C_{2} $
2. Calculer $ C_{n+1} $ en fonction de $ C_{n} $. Quelle est la nature de la suite $ \left(C_{n}\right) $?
3. Exprimer $ C_{n} $ en fonction de $ n $.
4. Quel est le capital obtenu au bout de 5 ans ? 

(D'après bac ES/L Pondichéry 2013)

Le 1er janvier 2000, un client a placé 3000 euros à intérêts composés au taux annuel de 2,5%.

On note $ C_{n} $ le capital du client au 1er janvier de l'année $ 2000+n $, où $ n $ est un entier naturel.

1. Calculer $ C_{1} $ et $ C_{2} $. Arrondir les résultats au centime d'euro.
2. Exprimer $ C_{n+1} $ en fonction de $ C_{n} $. En déduire que, pour tout nombre entier naturel $ n $, on a la relation :
   
   $ C_{n}=3000 \times 1{,}025^{n}. $

3. On donne l'algorithme suivant :

   Entrée	Saisir un nombre $ S $ supérieur à 3000
   Traitement	Affecter à $ n $ la valeur $ 0 $.
   	Affecter à $ U $ la valeur 3000
   	Tant que $ U\leqslant S $
   	$ \quad \quad n $ prend la valeur $ n+1 $
   	$ \quad \quad U $ prend la valeur $ U \times 1{,}025 $
   	Fin tant que
   Sortie	Afficher le nombre $ 2000+n $

   1. Pour la valeur $ S=3300 $ saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant (les résultats seront arrondis à l'unité) :

      Valeur de $ n $	$ 0 $	$ 1 $	$ 2 $	$ 3 $	$ 4 $
      Valeur de $ U $	$ 3000 $	$ \dots $	$ \dots $	$ \dots $	$ \dots $
      Condition $ U\leqslant S $	$ \dots $	$ \dots $	$ \dots $	$ \dots $	$ \dots $

   2. En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de $ S $ saisie est 3300.
   3. Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre $ S $ supérieur à 3000.
4. Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d'une somme de 5000 euros. Montrer que le capital de son placement n'est pas suffisant à cette date.