Intérêts simples
Un capital $ C_{0} $ de 500€ est placé à intérêts simples au taux de 4% par an (cela signifie que chaque année le capital augmente d'une somme égale à $ 4\% $ du capital initial)
On note $ C_{n} $ le capital obtenu après $ n $ années.
- Calculer $ C_{1} $ et $ C_{2} $
- Calculer $ C_{n+1} $ en fonction de $ C_{n} $. Quelle est la nature de la suite $ \left(C_{n}\right) $?
- Exprimer $ C_{n} $ en fonction de $ n $.
- Quel est le capital obtenu au bout de 5 ans ?
- $ 4\% $ du capital initial représente $ \dfrac{4}{100}\times 500=20 $ euros.
$ C_{1}=C_{0}+20=520 $
$ C_{2}=C_{1}+20=540 $
- $ C_{n+1}=C_{n}+20 $
La suite $ \left(C_{n}\right) $ est une suite arithmétique de premier terme $ C_{0}=500 $ et de raison $ r=20 $
Pour une suite arithmétique de premier terme $ C_{0} $ et de raison $ r $, le terme général s'exprime par :
$ C_{n}=C_{0}+nr $
$ C_{n}=500+20n $
- Le capital obtenu au bout de 5 ans est :
$ C_{5}=500+20\times 5 = 600 $
Le capital obtenu au bout de 5 ans est de $\mathbf{600}$ euros.
Suite arithmétique ou géométrique ?
Pour chacune des suites suivantes (définies sur $ \mathbb{N} $), déterminer s'il s'agit d'une suite arithmétique, géométrique ou ni arithmétique ni géométrique.
Le cas échéant, préciser la raison.
- $ u_{n}=5+3n $
- $ \left\{ \begin{matrix} u_{0}=1 \\ u_{n+1} = u_{n}+n\end{matrix}\right. $
- $ u_{n}=2^{n} $
- $ u_{n}=n^{2} $
- $ \left\{ \begin{matrix} u_{0}=3 \\ u_{n+1} = \dfrac{u_{n}}{2}\end{matrix}\right. $
- $ u_{n}=\left(n+1\right)^{2} - n^{2} $
- $ \left\{ \begin{matrix} u_{0}= - 1 \\ u_{n+1}=3u_{n}+1 \end{matrix}\right. $
Pour chaque suite, on analyse la différence $ u_{n+1}-u_{n} $ (pour une éventuelle suite arithmétique) ou le quotient $ \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} $ (pour une éventuelle suite géométrique).
- arithmétique de raison $ 3 $
- ni arithmétique ni géométrique
- géométrique de raison $ 2 $
- ni arithmétique ni géométrique
- géométrique de raison $ \dfrac{1}{2} $
- On développe : $ u_{n}=\left(n+1\right)^{2} - n^{2}=2n+1 $. La suite est donc de la forme $ u_{n}=2n+1 $ ; c'est une suite arithmétique de raison $ 2 $ et de premier terme $ u_{0}=1 $.
- ni arithmétique ni géométrique
