[enonce]
Ce QCM porte sur le sens de variation d'une suite : croissance, décroissance, étude du signe de $u_{n+1} - u_n$ et cas particuliers. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n = 5 - 2n$. Quel est son sens de variation ?
[qcm]
[option]Strictement croissante[/option]
[option correct="true"]Strictement décroissante[/option]
[option]Constante[/option]
[option]Ni croissante ni décroissante[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On calcule la différence : $u_{n+1} - u_n = \big(5 - 2(n+1)\big) - (5 - 2n) = -2$.
Comme $-2 < 0$ pour tout $n$, la suite est strictement décroissante.[/reponse]
[reponse motif="Strictement croissante"]Non.
Le coefficient devant $n$ est $-2$, donc à chaque pas la suite diminue. Calculer $u_{n+1} - u_n$ pour vérifier le signe.[/reponse]
[reponse motif="Constante"]Non.
Une suite est constante lorsque $u_{n+1} - u_n = 0$ pour tout $n$. Reprendre le calcul de cette différence.[/reponse]
[reponse motif="Ni croissante ni décroissante"]Non.
La différence $u_{n+1} - u_n$ a ici un signe constant pour tout $n$ : la suite est donc monotone. Reste à déterminer dans quel sens.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $u_{n+1} - u_n$ et étudier son signe : si la différence est négative pour tout $n$, la suite est strictement décroissante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n = n^2 + 3n$. Combien vaut $u_{n+1} - u_n$ ?
[qcm]
[option]$2n + 1$[/option]
[option]$5n + 4$[/option]
[option correct="true"]$2n + 4$[/option]
[option]$2n + 3$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On calcule $u_{n+1} = (n+1)^2 + 3(n+1) = n^2 + 2n + 1 + 3n + 3 = n^2 + 5n + 4$.
Donc $u_{n+1} - u_n = (n^2 + 5n + 4) - (n^2 + 3n) = 2n + 4$.[/reponse]
[reponse motif="$2n + 1$"]Non.
Seule la partie $n^2$ a été développée. Le terme $3n$ devient $3(n+1) = 3n + 3$ dans $u_{n+1}$ et contribue aussi à la différence.[/reponse]
[reponse motif="$5n + 4$"]Non.
Les deux termes $n^2$ ne se simplifient pas : ils sont en réalité égaux et s'éliminent par soustraction. Reprendre le développement de $u_{n+1}$.[/reponse]
[reponse motif="$2n + 3$"]Non.
Dans le développement de $3(n+1)$, le terme constant est $3$ et non $0$. Vérifier que $u_{n+1}$ contient bien $+3$ en plus.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $u_{n+1}$ en remplaçant $n$ par $n+1$ dans $n^2 + 3n$, développer entièrement, puis soustraire $u_n$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n = n^2 - 4n + 1$. À partir de quel rang la suite est-elle croissante ?
[qcm]
[option correct="true"]à partir de $n = 2$[/option]
[option]à partir de $n = 1$[/option]
[option]à partir de $n = 3$[/option]
[option]à partir de $n = 4$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule $u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 4(n+1) + 1 - (n^2 - 4n + 1) = 2n + 1 - 4 = 2n - 3$.
La suite est croissante quand $u_{n+1} - u_n \geqslant 0$, soit $2n - 3 \geqslant 0$, c'est-à-dire $n \geqslant \dfrac{3}{2}$.
Comme $n$ est entier, la condition est satisfaite à partir de $n = 2$.[/reponse]
[reponse motif="à partir de $n = 1$"]Non.
La condition $2n - 3 \geqslant 0$ donne $n \geqslant 1{,}5$. Le plus petit entier qui convient est strictement supérieur à $1{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="à partir de $n = 3$"]Non.
La résolution de $2n - 3 \geqslant 0$ ne donne pas $n = 3$ : il faut isoler $n$, et non écrire $2n = 3$ puis remplacer.[/reponse]
[reponse motif="à partir de $n = 4$"]Non.
Le coefficient $-4$ apparaît dans $u_n$, mais le seuil de croissance ne correspond pas directement à ce coefficient. Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $u_{n+1} - u_n$, l'exprimer en fonction de $n$, puis résoudre l'inéquation correspondante pour trouver le seuil entier.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n = (-1)^n \times n$. Quel est son sens de variation ?
[qcm]
[option]Strictement croissante[/option]
[option]Strictement décroissante[/option]
[option]Constante[/option]
[option correct="true"]Ni croissante ni décroissante[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On calcule les premiers termes : $u_0 = 0$, $u_1 = -1$, $u_2 = 2$, $u_3 = -3$, $u_4 = 4$.
La suite passe d'une valeur négative à une valeur positive et inversement : elle n'est ni croissante ni décroissante.[/reponse]
[reponse motif="Strictement croissante"]Non.
Calculer les premiers termes de la suite : on observe alors que les valeurs changent de signe à chaque pas. Une suite croissante ne peut pas alterner ainsi.[/reponse]
[reponse motif="Strictement décroissante"]Non.
Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$ : on voit que les valeurs ne diminuent pas régulièrement. Le facteur $(-1)^n$ alterne le signe.[/reponse]
[reponse motif="Constante"]Non.
La suite n'est pas constante car ses termes ne sont pas tous égaux. Calculer $u_0$ et $u_1$ pour s'en convaincre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer plusieurs termes consécutifs et observer leurs valeurs : si la suite alterne entre valeurs positives et négatives, elle ne peut être ni croissante ni décroissante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite telle que, pour tout entier $n$, $u_{n+1} - u_n = n - 4$. Que peut-on dire de la suite ?
[qcm]
[option]Elle est croissante puis décroissante[/option]
[option correct="true"]Elle est décroissante puis croissante[/option]
[option]Elle est strictement croissante[/option]
[option]Elle est strictement décroissante[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le signe de $u_{n+1} - u_n = n - 4$ change avec $n$ :
- pour $n < 4$, on a $n - 4 < 0$ : la suite décroît ;
- pour $n \geqslant 4$, on a $n - 4 \geqslant 0$ : la suite croît.
La suite est donc d'abord décroissante puis croissante.[/reponse]
[reponse motif="Elle est croissante puis décroissante"]Non.
Pour les petites valeurs de $n$, $n - 4$ est négatif, donc la suite diminue au début. Le sens de variation est inversé.[/reponse]
[reponse motif="Elle est strictement croissante"]Non.
Pour $n = 0$, $u_1 - u_0 = -4 < 0$ : la suite décroît au tout début. Elle ne peut donc pas être strictement croissante sur tout $\mathbb{N}$.[/reponse]
[reponse motif="Elle est strictement décroissante"]Non.
Pour $n = 5$, $u_6 - u_5 = 1 > 0$ : la suite croît à partir d'un certain rang. Elle n'est donc pas strictement décroissante partout.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Étudier le signe de l'expression $n - 4$ selon les valeurs de $n$ : il change à $n = 4$, ce qui signifie que la suite change de sens de variation à ce rang.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n \geqslant 0$ par $u_n = \dfrac{1}{n+1}$. Quel est son sens de variation ?
[qcm]
[option]Strictement croissante[/option]
[option]Constante[/option]
[option correct="true"]Strictement décroissante[/option]
[option]Ni croissante ni décroissante[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On calcule $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{n+2} - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{(n+1) - (n+2)}{(n+1)(n+2)} = \dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}$.
Comme $(n+1)(n+2) > 0$, cette différence est strictement négative pour tout $n$ : la suite est strictement décroissante.[/reponse]
[reponse motif="Strictement croissante"]Non.
Quand le dénominateur d'une fraction positive augmente, la fraction diminue. Calculer les premiers termes : $u_0 = 1$, $u_1 = \dfrac{1}{2}$, $u_2 = \dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="Constante"]Non.
Les termes ne sont pas tous égaux : $u_0 = 1$ et $u_1 = \dfrac{1}{2}$. Calculer $u_{n+1} - u_n$ pour obtenir le sens de variation.[/reponse]
[reponse motif="Ni croissante ni décroissante"]Non.
Le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ ne change pas avec $n$ ici : elle est toujours du même signe. La suite est donc bien monotone.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $u_{n+1} - u_n$ en réduisant les deux fractions au même dénominateur et étudier le signe du résultat.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur le sens de variation d'une suite, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite définie sur $\mathbb{N}$.

Affirmation : Si pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} - u_n > 0$, alors la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est la définition même de la croissance stricte : chaque terme est strictement supérieur au précédent, ce qui équivaut à $u_{n+1} - u_n > 0$ pour tout $n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $(u_n)$ est strictement croissante si et seulement si, pour tout $n$, $u_{n+1} > u_n$, ce qui revient à $u_{n+1} - u_n > 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Dire que $u_{n+1} - u_n > 0$ pour tout $n$ équivaut à $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n$ : la suite est strictement croissante.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = -3n + 7$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est croissante.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On calcule la différence $u_{n+1} - u_n$ :

Comme $-3 < 0$, la suite est strictement décroissante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au signe du coefficient devant $n$ : lorsqu'il est négatif, la suite décroît.
$u_{n+1} - u_n = -3(n+1) + 7 + 3n - 7 = -3 < 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La différence $u_{n+1} - u_n = -3$ étant strictement négative, la suite est strictement décroissante.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = n^2 + 1$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est strictement croissante sur $\mathbb{N}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule la différence :

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $2n + 1 \geqslant 1 > 0$, donc la suite est strictement croissante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas confondre le sens de variation de la fonction $x \mapsto x^2 + 1$ (qui décroît sur $]-\infty; 0]$) avec celui de la suite, définie uniquement pour $n \geqslant 0$.
$u_{n+1} - u_n = 2n + 1 > 0$ pour tout $n \geqslant 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La différence vaut $2n + 1$, strictement positive pour tout entier naturel $n$. La suite est strictement croissante.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite à termes strictement positifs.

Affirmation : Pour étudier le sens de variation de $(u_n)$, on peut comparer le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $0$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour une suite à termes strictement positifs, on compare le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$, et non à $0$ :
- si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} > 1$, la suite est croissante ;
- si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1$, la suite est décroissante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre les deux méthodes : on compare la différence $u_{n+1} - u_n$ à $0$, mais le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour une suite à termes strictement positifs, on compare le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ (pas à $0$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :

Affirmation : La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La relation de récurrence donne directement :

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $n^2 + 1 \geqslant 1 > 0$, donc la suite est strictement croissante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Dans une définition par récurrence, la différence $u_{n+1} - u_n$ se lit directement dans la relation.
Ici, $u_{n+1} - u_n = n^2 + 1 > 0$ pour tout $n$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La récurrence donne $u_{n+1} - u_n = n^2 + 1 > 0$ pour tout $n$ : la suite est strictement croissante.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite telle que $u_0 < u_1 < u_2$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est strictement croissante sur $\mathbb{N}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Observer trois termes croissants ne suffit pas : rien ne garantit que la propriété se prolonge pour tous les rangs suivants.
Par exemple, la suite $u_n = -(n-3)^2$ vérifie $u_0 = -9 < u_1 = -4 < u_2 = -1$, puis $u_3 = 0$, mais $u_4 = -1 < u_3$ : elle n'est pas croissante sur $\mathbb{N}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de conclure sur la monotonie à partir d'un nombre fini de termes. La croissance d'une suite doit être établie pour tout entier $n$, pas seulement pour les premiers.
Trois termes croissants peuvent précéder une décroissance.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La croissance doit être vérifiée pour tout $n \in \mathbb{N}$. Observer les trois premiers termes ne permet pas de conclure.
[/solution]
[/etape]