Construire un parallélogramme avec les vecteurs
[enonce]
$ABC$ est un triangle. On construit le point $K$ tel que $\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{BA}$ et le point $L$ tel que les vecteurs $\overrightarrow{BL}$ et $\overrightarrow{BC}$ soient opposés.
On cherche à déterminer la nature du quadrilatère $ABKC$, puis à démontrer que $LBKA$ est un parallélogramme.
[/enonce]
[etape]
Quelle est la nature du quadrilatère $ABKC$ ?
[qcm]
[option]Rectangle[/option]
[option correct="true"]Parallélogramme[/option]
[option]Losange[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{BA}$ signifie que les côtés $[CK]$ et $[BA]$ ont même direction, même sens et même longueur. Un quadrilatère dont deux côtés opposés sont représentés par le même vecteur est un parallélogramme.[/reponse]
[reponse motif="Rectangle"]On sait seulement que deux côtés opposés ont même direction, sens et longueur. Cela ne suffit pas à garantir des angles droits.[/reponse]
[reponse motif="Losange"]On sait que $CK = BA$, mais rien n'indique que tous les côtés ont la même longueur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Exprimer $\overrightarrow{BL}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$, sachant que $\overrightarrow{BL}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont opposés.
$\overrightarrow{BL} =$ [[bl]]
[math id="bl" attendu="-\overrightarrow{BC}"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Deux vecteurs opposés ont la même direction, la même norme, mais des sens contraires. L'opposé de $\overrightarrow{BC}$ est $-\overrightarrow{BC}$, donc $\overrightarrow{BL} = -\overrightarrow{BC}$.[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{CB}"]C'est correct car $-\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CB}$, mais écrire le résultat sous la forme $-\overrightarrow{BC}$.[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{BC}"]Attention : « opposés » signifie de sens contraire. Le résultat ne peut pas être égal au vecteur de départ.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Deux vecteurs opposés $\vec{u}$ et $\vec{v}$ vérifient $\vec{v} = -\vec{u}$.[/reponse]
[aide essai="2"]L'opposé d'un vecteur $\vec{u}$ est le vecteur $-\vec{u}$ : même direction, même norme, sens contraire.[/aide]
[aide essai="3"]Si $\overrightarrow{BL}$ est l'opposé de $\overrightarrow{BC}$, alors $\overrightarrow{BL} = -\overrightarrow{BC}$.[/aide]
[/math]
[solution]Deux vecteurs opposés vérifient $\vec{v} = -\vec{u}$. Donc $\overrightarrow{BL} = -\overrightarrow{BC}$, ce qui signifie aussi $\overrightarrow{BL} = \overrightarrow{CB}$.[/solution]
[/etape]
[etape]
On souhaite maintenant démontrer que $LBKA$ est un parallélogramme. Pour commencer, exprimer $\overrightarrow{LB}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{LB} =$ [[lb]]
[math id="lb" attendu="\overrightarrow{BC}"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\overrightarrow{LB} = -\overrightarrow{BL} = -(-\overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{BC}$.[/reponse]
[reponse motif="-\overrightarrow{BC}"]Attention, on cherche $\overrightarrow{LB}$ et non $\overrightarrow{BL}$. L'opposé de $\overrightarrow{BL}$ est $\overrightarrow{LB}$.[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{CB}"]C'est $\overrightarrow{BL} = \overrightarrow{CB}$, pas $\overrightarrow{LB}$. Attention au sens.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$\overrightarrow{LB}$ est l'opposé de $\overrightarrow{BL}$. Utiliser le résultat de l'étape 2 pour $\overrightarrow{BL}$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\overrightarrow{LB} = -\overrightarrow{BL}$. Or $\overrightarrow{BL} = -\overrightarrow{BC}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\overrightarrow{LB} = -\overrightarrow{BL} = -(-\overrightarrow{BC})$. Simplifier le double signe négatif.[/aide]
[/math]
[solution]$\overrightarrow{LB} = -\overrightarrow{BL} = -(-\overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{BC}$.[/solution]
[/etape]
[etape]
Exprimer $\overrightarrow{AK}$ à l'aide des vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BA}$.
$\overrightarrow{AK} =$ [[ak]]
[math id="ak" attendu="\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Par la relation de Chasles : $\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CK} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA}$.[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CK}"]C'est la première étape, mais il faut remplacer $\overrightarrow{CK}$ par $\overrightarrow{BA}$ (donnée de l'énoncé).[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}"]Attention : l'énoncé donne $\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{BA}$, pas $\overrightarrow{AB}$. L'ordre des lettres compte.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Introduire le point $C$ entre $A$ et $K$ par Chasles, puis remplacer $\overrightarrow{CK}$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CK}$ (Chasles). On sait que $\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{BA}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA}$.[/aide]
[/math]
[solution]Par la relation de Chasles : $\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CK}$. En remplaçant : $\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA}$.[/solution]
[/etape]
[etape]
Réduire $\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA}$ à un seul vecteur, puis conclure sur la nature de $LBKA$.
[qcm]
[option]$\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB}$ donc $LBKA$ est un parallélogramme[/option]
[option correct="true"]$\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{BC}$ donc $\overrightarrow{LB} = \overrightarrow{AK}$ et $LBKA$ est un parallélogramme[/option]
[option]$\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{CA}$ donc on ne peut pas conclure[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$ par la relation de Chasles.
Or on a montré que $\overrightarrow{LB} = \overrightarrow{BC}$.
Donc $\overrightarrow{LB} = \overrightarrow{AK}$ : les côtés $[LB]$ et $[AK]$ du quadrilatère $LBKA$ sont représentés par le même vecteur, ce qui prouve que $LBKA$ est un parallélogramme.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB}$ donc $LBKA$ est un parallélogramme"]Reprendre le calcul : $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}$ se simplifie par Chasles en $\overrightarrow{BC}$, pas $\overrightarrow{AB}$.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{CA}$ donc on ne peut pas conclure"]Attention à l'ordre dans la relation de Chasles : $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$, pas $\overrightarrow{CA}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
QCM Bilan : Vecteurs – Généralités
[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : égalité de vecteurs et parallélogramme, relation de Chasles et simplification, produit par un réel et colinéarité. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]
[etape]
$ABCD$ est un parallélogramme. Alors $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = $
[qcm]
[option correct="true"]$\overrightarrow{AC}$[/option]
[option]$\overrightarrow{BD}$[/option]
[option]$2\overrightarrow{AC}$[/option]
[option]$\overrightarrow{0}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Dans le parallélogramme $ABCD$, on a $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ (côtés opposés).
Donc $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ par la relation de Chasles.
C'est la règle du parallélogramme : la somme de deux côtés consécutifs donne la diagonale.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{BD}$"]Non.
Le vecteur $\overrightarrow{BD}$ est l'autre diagonale du parallélogramme. La somme $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ donne la diagonale issue de $A$, pas celle issue de $B$.[/reponse]
[reponse motif="$2\overrightarrow{AC}$"]Non.
Le facteur $2$ est en trop. La somme de deux côtés consécutifs du parallélogramme donne la diagonale, pas son double.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{0}$"]Non.
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas opposés. Utiliser la propriété du parallélogramme pour remplacer $\overrightarrow{AD}$ par un vecteur permettant d'appliquer Chasles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dans un parallélogramme $ABCD$, on a $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$. Remplacer $\overrightarrow{AD}$ par $\overrightarrow{BC}$ puis appliquer la relation de Chasles.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$. Alors $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = $
[qcm]
[option]$4\overrightarrow{OA}$[/option]
[option]$2\overrightarrow{AC}$[/option]
[option]$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$[/option]
[option correct="true"]$\overrightarrow{0}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. Donc $O$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$.
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$ (propriété du milieu)
$\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ (propriété du milieu)
La somme totale vaut $\overrightarrow{0} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$.[/reponse]
[reponse motif="$4\overrightarrow{OA}$"]Non.
Les quatre vecteurs ne sont pas égaux. Les regrouper par paires de vecteurs opposés : $O$ étant le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$, utiliser la propriété du milieu.[/reponse]
[reponse motif="$2\overrightarrow{AC}$"]Non.
Regrouper les termes par paires judicieuses. Comme $O$ est le centre du parallélogramme, il est le milieu de chaque diagonale. Que vaut la somme de deux vecteurs allant du milieu vers les extrémités ?[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$"]Non.
Regrouper $(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC})$ et $(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD})$ séparément. $O$ est le milieu de chaque diagonale : utiliser la propriété du milieu pour chaque paire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser le fait que $O$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$. Regrouper les vecteurs par paires : $(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC})$ et $(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD})$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Simplifier $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}$.
[qcm]
[option]$\overrightarrow{0}$[/option]
[option correct="true"]$2\overrightarrow{CB}$[/option]
[option]$\overrightarrow{CB}$[/option]
[option]$2\overrightarrow{AB}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On réordonne pour appliquer Chasles :
$\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$
Donc $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CB} = 2\overrightarrow{CB}$.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{0}$"]Non.
Pour obtenir le vecteur nul, il faudrait que la somme « boucle » ($A \to B \to C \to A$). Ici les vecteurs ne forment pas un circuit fermé. Réordonner les termes pour appliquer Chasles.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{CB}$"]Non.
Le facteur $2$ a été oublié. Après simplification par Chasles, le vecteur $\overrightarrow{CB}$ apparaît deux fois dans la somme.[/reponse]
[reponse motif="$2\overrightarrow{AB}$"]Non.
Vérifier le regroupement. En réordonnant la somme, appliquer d'abord Chasles sur $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}$ avant d'ajouter le troisième terme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Réordonner : $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}$. Appliquer Chasles aux deux premiers termes, puis additionner le résultat au troisième.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Simplifier $2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) - \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CA}$.
[qcm]
[option]$\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$[/option]
[option]$3\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$[/option]
[option correct="true"]$3\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$[/option]
[option]$2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On développe puis on remplace les vecteurs opposés :
$2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CA}$
$= 2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$
$= 3\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$"]Non.
Les coefficients de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ont été inversés. Reprendre le calcul en remplaçant $-\overrightarrow{BA}$ par $+\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CA}$ par $-\overrightarrow{AC}$.[/reponse]
[reponse motif="$3\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$"]Non.
Le dernier terme $\overrightarrow{CA}$ est l'opposé de $\overrightarrow{AC}$, ce qui donne $-\overrightarrow{AC}$. Le coefficient de $\overrightarrow{AC}$ est $2 - 1 = 1$, pas $2 + 1$.[/reponse]
[reponse motif="$2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}$"]Non.
Les deux derniers termes ($-\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{CA}$) ont été oubliés. Après avoir développé $2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$, il faut encore ajouter $-\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CA}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Développer la parenthèse, transformer les vecteurs opposés ($\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$), puis regrouper par vecteur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On donne $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AN} = 4\overrightarrow{AB} + 6\overrightarrow{AC}$. Les points $A$, $M$ et $N$ sont :
[qcm]
[option]non alignés car les coefficients sont différents[/option]
[option correct="true"]alignés car $\overrightarrow{AN} = 2\overrightarrow{AM}$[/option]
[option]alignés car $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN}$[/option]
[option]impossibles à positionner sans coordonnées[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On factorise $\overrightarrow{AN}$ :
$\overrightarrow{AN} = 4\overrightarrow{AB} + 6\overrightarrow{AC} = 2(2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}) = 2\overrightarrow{AM}$
Les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AN}$ sont colinéaires (coefficient $k = 2$), donc $A$, $M$ et $N$ sont alignés.[/reponse]
[reponse motif="non alignés car les coefficients sont différents"]Non.
Les coefficients de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont effectivement différents entre les deux expressions, mais il faut vérifier si les expressions complètes sont proportionnelles. Comparer $\overrightarrow{AN}$ et $\overrightarrow{AM}$ globalement.[/reponse]
[reponse motif="alignés car $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN}$"]Non.
La relation $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN}$ est toujours vraie (relation de Chasles pour tous points), elle ne prouve pas l'alignement. Il faut montrer la colinéarité, c'est-à-dire la proportionnalité.[/reponse]
[reponse motif="impossibles à positionner sans coordonnées"]Non.
La colinéarité se vérifie sans coordonnées. Comparer les coefficients de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ dans les deux expressions : sont-ils proportionnels ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Vérifier si les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AN}$ sont proportionnels en factorisant l'expression de $\overrightarrow{AN}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
$P$ est tel que $\overrightarrow{BP} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Exprimer $\overrightarrow{AP}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
[qcm]
[option]$\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On introduit $B$ par Chasles : $\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$
Or $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$, donc :
$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$"]Non.
Le vecteur $\overrightarrow{BC}$ n'est pas égal à $\overrightarrow{AC}$. Il faut d'abord exprimer $\overrightarrow{BC}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ avant de substituer.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$"]Non.
Les coefficients de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont inversés. Reprendre le développement de $\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})$ en distribuant le $\dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$"]Non.
Le coefficient de $\overrightarrow{AB}$ est $1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$, pas $\dfrac{1}{3}$. Le $\overrightarrow{AB}$ initial contribue un coefficient de $1$ auquel il faut soustraire $\dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire $\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$, remplacer $\overrightarrow{BC}$ par $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$, puis développer et regrouper.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme
$ ABCD $ est un parallélogramme de centre $ O $. $ E $ est le milieu de $ [AB] $ et $ F $ est le milieu de $ [CD] $.
- Exprimer $ \overrightarrow{EF} $ en fonction de $ \overrightarrow{AD} $.
- En déduire que $ AEFD $ est un parallélogramme.
- Montrer que $ \overrightarrow{EO} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} $ et en déduire que $ O $ est le milieu de $ [EF] $.
- Montrer que $ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} $.
On décompose $ \overrightarrow{EF} $ en passant par les sommets du parallélogramme.
En utilisant la relation de Chasles :
$ \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DF} $
$ E $ est le milieu de $ [AB] $, donc $ \overrightarrow{EA} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} $.
$ F $ est le milieu de $ [CD] $, donc $ \overrightarrow{DF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC} $.
Or $ ABCD $ est un parallélogramme, donc $ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} $.
On remplace :
$ \overrightarrow{EF} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} $
$ \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AD} $
- On a montré que $ \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AD} $.
Cela signifie que les côtés $ [EF] $ et $ [AD] $ sont parallèles et de même longueur.
Or, dans le quadrilatère $ AEFD $, les côtés $ [EF] $ et $ [AD] $ sont opposés.
Par conséquent, $ AEFD $ est un parallélogramme.
On décompose $ \overrightarrow{EO} $ en passant par $ A $ :
$ \overrightarrow{EO} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AO} $
$ \overrightarrow{EA} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} $ (car $ E $ est le milieu de $ [AB] $).
$ O $ est le centre du parallélogramme $ ABCD $, donc $ O $ est le milieu de $ [AC] $ :
$ \overrightarrow{AO} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) $
car $ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} $ (propriété du parallélogramme : $ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} $).
On remplace :
$ \overrightarrow{EO} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} $
$ \overrightarrow{EO} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} $
Or, d'après la question 1, $ \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AD} $, donc $ \overrightarrow{EO} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF} $.
Cela signifie que $ O $ est le milieu de $ [EF] $.
$ O $ est le milieu de la diagonale $ [AC] $, donc :
$ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0} $
$ O $ est le milieu de la diagonale $ [BD] $, donc :
$ \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} $
En additionnant ces deux égalités :
$ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} $
Constructions par translation
Soit $ ABC $ un triangle.
- Construire le point $ D $ tel que $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $.
- Montrer que $ ABCD $ est un parallélogramme.
- Soit $ O $ le milieu du segment $ [AC] $. Que représente le point $ O $ pour le segment $ [BD] $ ? Justifier.
- Exprimer le vecteur $ \overrightarrow{DB} $ en fonction de $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{BC} $.
On cherche le point $ D $ tel que $ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} $. Cela signifie que $ C $ est l'image de $ D $ par la translation de vecteur $ \overrightarrow{AB} $.
Pour construire $ D $, on part de $ C $ et on reporte le vecteur $ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} $ (vecteur opposé de $ \overrightarrow{AB} $) : l'extrémité obtenue est le point $ D $.
- Par définition, on a $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $.
Or, un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si deux côtés opposés sont définis par des vecteurs égaux.
Par conséquent, $ ABCD $ est un parallélogramme.
- Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.
Puisque $ ABCD $ est un parallélogramme, les diagonales $ [AC] $ et $ [BD] $ se coupent en leur milieu.
Or $ O $ est le milieu de $ [AC] $, donc $ O $ est aussi le milieu de $ [BD] $.
On utilise la relation de Chasles :
$ \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} $
Or $ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC} $, donc :
$ \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} $
Vecteurs et cercles sécants
$ \mathscr{C} $ et $ \mathscr{C}^{\prime} $ sont deux cercles de même rayon sécants en deux points distincts $ A $ et $ B $. On note $ I $ le centre de $ \mathscr{C} $ et $ J $ le centre de $ \mathscr{C}^{\prime} $.
$ [AP] $ et $ [BQ] $ sont des diamètres du cercle $ \mathscr{C} $ et $ [AR] $ et $ [BS] $ des diamètres du cercle $ \mathscr{C}^{\prime}. $
- Quelle est la nature du quadrilatère $ AJBI $ ?
Justifier votre réponse.
- Quelle est la nature du quadrilatère $ ABPQ $ ?
Justifier votre réponse.
- Montrer que $ \overrightarrow{ AI } = \overrightarrow{ IP }. $
- En déduire que $ IPBJ $ est un parallélogramme.
De même, montrer que $ IBRJ $ est un parallélogramme.
- Montrer que $ B $ est le milieu de $ [PR]. $
- $ [AI] $ et $ [BI] $ sont deux rayons du cercle $ \mathscr{C} $ et $ [AJ] $ et $ [BJ] $ sont deux rayons du cercle $ \mathscr{C}^{\prime} $.
Les deux cercles ayant le même rayon : $ AI=BI=AJ=BJ $. Par conséquent, $ AIBJ $ est un losange.
- $ [AP] $ et $ [BQ] $ , les diagonales du quadrilatère $ ABPQ $, sont deux diamètres du cercle $ \mathscr{C} $.
Ces diagonales sont donc de même longueur et elles se coupent en leur milieu.
Par conséquent, $ ABPQ $ est un rectangle.
- $ I $ est le milieu du segment $ [AP] $ donc $ \overrightarrow{ AI } = \overrightarrow{ IP }. $
- $ AJBI $ est un losange donc c'est également un parallélogramme.
Par conséquent : $ \overrightarrow{ AI } = \overrightarrow{ JB }. $
Or, d'après la question précédente $ \overrightarrow{ AI } = \overrightarrow{ IP }. $ On en déduit que $ \overrightarrow{ JB } = \overrightarrow{ IP }. $ et donc que $ IPBJ $ est un parallélogramme.
La démonstration est analogue pour $ IBRJ $ :
$ \overrightarrow{ IB } = \overrightarrow{ AJ } = \overrightarrow{ JR }, $
donc $ IBRJ $ est un parallélogramme.
- Puisque $ IPBJ $ est un parallélogramme : $ \overrightarrow{ PB } = \overrightarrow{ IJ }. $
Puisque $ IBRJ $ est un parallélogramme : $ \overrightarrow{ BR } = \overrightarrow{ IJ }. $
Par conséquent, $ \overrightarrow{ PB } = \overrightarrow{ BR } $ donc $ B $ est le milieu du segment $ [PR]. $
