[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur l'indépendance et l'incompatibilité de deux événements, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $A$ et $B$ deux événements d'un même univers $\Omega$.

Affirmation : $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est exactement la définition de l'indépendance : la probabilité que les deux événements se produisent simultanément est égale au produit de leurs probabilités.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas confondre indépendance et incompatibilité : l'incompatibilité s'écrit $A\cap B=\emptyset$, alors que l'indépendance se traduit par $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$.
Ces deux notions sont radicalement différentes.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la définition même de l'indépendance de deux événements.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $A$ et $B$ deux événements incompatibles tels que $p(A)>0$ et $p(B)>0$.

Affirmation : $A$ et $B$ sont nécessairement indépendants.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est même tout le contraire : si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $A\cap B=\emptyset$ donc $p(A\cap B)=0$. Or $p(A)\times p(B)>0$ puisque les deux probabilités sont strictement positives. L'égalité $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$ ne peut donc pas être satisfaite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au piège classique : on confond souvent « incompatibles » et « indépendants », parce que les deux mots évoquent l'idée que les événements n'ont « rien à voir ».
Pourtant l'incompatibilité est une contrainte forte ($A\cap B=\emptyset$) qui empêche au contraire l'indépendance dès que les probabilités sont non nulles.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants, puisque $p(A\cap B)=0$ alors que $p(A)\times p(B)>0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance un dé équilibré à 6 faces. On considère les événements :

• $A$ : « obtenir un nombre pair »
• $B$ : « obtenir un multiple de 3 »

Affirmation : Les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On a $p(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$, $p(B)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$, et $A\cap B=\{6\}$ donc $p(A\cap B)=\dfrac{1}{6}$.
Or $p(A)\times p(B)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$. L'égalité est vérifiée, donc $A$ et $B$ sont bien indépendants.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est de raisonner sur l'intuition : « pair » et « multiple de 3 » semblent se chevaucher (le 6 appartient aux deux), donc on imagine qu'ils ne sont pas indépendants.
Pourtant l'indépendance ne se décide pas à l'intuition : il faut comparer numériquement $p(A\cap B)$ avec $p(A)\times p(B)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec $p(A)=\dfrac{1}{2}$, $p(B)=\dfrac{1}{3}$ et $p(A\cap B)=\dfrac{1}{6}=p(A)\times p(B)$, $A$ et $B$ sont indépendants.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance un dé équilibré à 6 faces. On considère les événements :

• $C$ : « obtenir un 6 »
• $D$ : « obtenir un nombre pair »

Affirmation : Comme le résultat du dé est aléatoire, $C$ et $D$ sont indépendants.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le caractère aléatoire d'une expérience ne suffit absolument pas à garantir l'indépendance. Ici $p(C)=\dfrac{1}{6}$, $p(D)=\dfrac{1}{2}$, et comme $\{6\}\subset \{2;4;6\}$, on a $C\cap D=\{6\}$ donc $p(C\cap D)=\dfrac{1}{6}$.
Or $p(C)\times p(D)=\dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{12}\neq \dfrac{1}{6}$. Les deux événements ne sont donc pas indépendants.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : l'indépendance n'est pas une conséquence du hasard, c'est une condition numérique précise sur les probabilités.
Pour la tester, il faut comparer $p(C\cap D)$ et $p(C)\times p(D)$, et non se contenter d'invoquer le caractère aléatoire de l'expérience.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le caractère aléatoire ne suffit pas : ici $p(C\cap D)=\dfrac{1}{6}$ alors que $p(C)\times p(D)=\dfrac{1}{12}$, donc $C$ et $D$ ne sont pas indépendants.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Dans une classe, $40\%$ des élèves sont des filles et $30\%$ des élèves portent des lunettes. On note $F$ : « l'élève est une fille » et $L$ : « l'élève porte des lunettes ».

Affirmation : Comme le sexe et le port de lunettes sont des caractéristiques de natures différentes, $F$ et $L$ sont automatiquement indépendants.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le fait que deux événements portent sur des caractéristiques distinctes ne garantit en rien leur indépendance. Pour conclure, il faudrait connaître la proportion d'élèves à la fois filles et porteuses de lunettes, et vérifier si $p(F\cap L)=p(F)\times p(L)$, c'est-à-dire si $p(F\cap L)=0{,}4\times 0{,}3=0{,}12$.
Sans cette donnée, on ne peut pas conclure à l'indépendance.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de croire que des événements « sans rapport apparent » sont automatiquement indépendants.
L'indépendance n'est jamais une question de bon sens : elle se prouve uniquement par l'égalité numérique $p(F\cap L)=p(F)\times p(L)$, qui demande de connaître la probabilité conjointe.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. L'indépendance ne se déduit pas de la nature « différente » des événements : elle se vérifie uniquement par l'égalité $p(F\cap L)=p(F)\times p(L)$, qui nécessite de connaître la probabilité conjointe.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $A$ et $B$ deux événements indépendants tels que $p(A)\neq 0$.

Affirmation : On a alors $p_A(B)=p(B)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Par définition de la probabilité conditionnelle, $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$. Comme $A$ et $B$ sont indépendants, $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$, donc $p_A(B)=\dfrac{p(A)\times p(B)}{p(A)}=p(B)$.
Savoir que $A$ est réalisé ne change donc rien à la probabilité de $B$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
C'est même l'interprétation intuitive de l'indépendance : si $A$ et $B$ sont indépendants, l'information « $A$ est réalisé » ne modifie pas la probabilité de $B$.
Il suffit de combiner la définition $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$ avec la relation $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$ pour aboutir à $p_A(B)=p(B)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Lorsque $A$ et $B$ sont indépendants avec $p(A)\neq 0$, on a bien $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}=\dfrac{p(A)\times p(B)}{p(A)}=p(B)$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur l'indépendance de deux événements : caractérisation $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$, équivalence avec $p_A(B) = p(B)$ et distinction avec l'incompatibilité. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soient $A$ et $B$ deux événements d'un même univers. À quelle condition dit-on que $A$ et $B$ sont indépendants ?
[qcm]
[option]$p(A \cap B) = 0$[/option]
[option]$p(A \cup B) = p(A) \times p(B)$[/option]
[option]$p(A) = p(B)$[/option]
[option correct="true"]$p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Par définition, deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque la probabilité de leur intersection est égale au produit de leurs probabilités : $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$.[/reponse]
[reponse motif="$p(A \cap B) = 0$"]Non.
La condition $p(A \cap B) = 0$ caractérise l'incompatibilité, pas l'indépendance. Ce sont deux notions très différentes : ne pas les confondre.[/reponse]
[reponse motif="$p(A \cup B) = p(A) \times p(B)$"]Non.
Attention au symbole : la définition de l'indépendance fait intervenir l'intersection $\cap$ et non l'union $\cup$.[/reponse]
[reponse motif="$p(A) = p(B)$"]Non.
Avoir la même probabilité ne signifie pas du tout être indépendants. Par exemple, $A$ et $\overline{A}$ ont des probabilités qui peuvent être égales sans que les événements soient indépendants.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Revoir la définition : l'indépendance porte sur l'intersection $A \cap B$ et fait apparaître un produit de probabilités.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un sondage portant sur 100 personnes, on relève le sport pratiqué et le sexe. On obtient :

On choisit une personne au hasard. On note $A$ : « la personne est un homme » et $B$ : « la personne pratique le sport ». Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
[qcm]
[option correct="true"]Oui, car $p(A \cap B) = p(A) \times p(B) = 0{,}3$.[/option]
[option]Non, car $p(A \cap B) = 0{,}3 \neq 0$.[/option]
[option]Non, car $p(A) \neq p(B)$.[/option]
[option]Oui, car il y a autant d'hommes que de femmes.[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On lit $p(A) = \dfrac{50}{100} = 0{,}5$, $p(B) = \dfrac{60}{100} = 0{,}6$ et $p(A \cap B) = \dfrac{30}{100} = 0{,}3$.
Comme $p(A) \times p(B) = 0{,}5 \times 0{,}6 = 0{,}3 = p(A \cap B)$, les événements sont bien indépendants.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $p(A \cap B) = 0{,}3 \neq 0$."]Non.
La condition $p(A \cap B) = 0$ est celle de l'incompatibilité, pas de l'indépendance. Ici il faut comparer $p(A \cap B)$ avec $p(A) \times p(B)$.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $p(A) \neq p(B)$."]Non.
Deux événements peuvent avoir des probabilités très différentes et être pourtant indépendants. Le critère est $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car il y a autant d'hommes que de femmes."]Pas tout à fait.
La conclusion est correcte mais la justification ne l'est pas : l'égalité des effectifs hommes/femmes ne suffit pas. Il faut comparer $p(A \cap B)$ et $p(A) \times p(B)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $p(A)$, $p(B)$ et $p(A \cap B)$ à partir du tableau, puis tester l'égalité $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A$ et $B$ deux événements incompatibles tels que $p(A) = 0{,}4$ et $p(B) = 0{,}5$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
[qcm]
[option]Oui, car deux événements incompatibles sont toujours indépendants.[/option]
[option]Oui, car $p(A) + p(B) = 0{,}9$.[/option]
[option]On ne peut pas conclure sans connaître $p_A(B)$.[/option]
[option correct="true"]Non, car $p(A \cap B) = 0$ alors que $p(A) \times p(B) = 0{,}2$.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$A$ et $B$ étant incompatibles, $p(A \cap B) = 0$. Or $p(A) \times p(B) = 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2 \neq 0$. Les deux quantités étant différentes, $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
Important : deux événements de probabilités non nulles qui sont incompatibles ne peuvent jamais être indépendants.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car deux événements incompatibles sont toujours indépendants."]Non, attention.
Incompatibilité et indépendance sont deux notions distinctes, et même opposées dès que $p(A) \neq 0$ et $p(B) \neq 0$. Recalculer $p(A \cap B)$ et $p(A) \times p(B)$.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $p(A) + p(B) = 0{,}9$."]Non.
La somme $p(A) + p(B)$ n'intervient pas dans la définition de l'indépendance. Le test se fait sur $p(A \cap B)$ et $p(A) \times p(B)$.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure sans connaître $p_A(B)$."]Non.
On dispose de toute l'information nécessaire : $A$ et $B$ étant incompatibles, $p(A \cap B)$ vaut $0$. Il suffit alors de comparer avec $p(A) \times p(B)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser le fait que $A$ et $B$ sont incompatibles pour déterminer $p(A \cap B)$, puis comparer à $p(A) \times p(B)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On lance deux dés équilibrés à six faces. On note $A$ : « le premier dé affiche un nombre pair » et $B$ : « la somme des deux dés vaut $7$ ». Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
[qcm]
[option]Non, car les deux événements portent sur les mêmes lancers de dés.[/option]
[option correct="true"]Oui, car $p(A \cap B) = \dfrac{1}{12} = p(A) \times p(B)$.[/option]
[option]Non, car $p(A) \neq p(B)$.[/option]
[option]Oui, car les deux lancers sont indépendants l'un de l'autre.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$p(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.
Les couples donnant une somme de $7$ sont $(1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1)$, donc $p(B) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.
Parmi ces couples, ceux avec un premier dé pair sont $(2;5), (4;3), (6;1)$, donc $p(A \cap B) = \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}$.
Comme $p(A) \times p(B) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12} = p(A \cap B)$, $A$ et $B$ sont indépendants.[/reponse]
[reponse motif="Non, car les deux événements portent sur les mêmes lancers de dés."]Non.
Deux événements peuvent porter sur la même expérience aléatoire et être pourtant indépendants. Seul le test $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$ permet de conclure.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $p(A) \neq p(B)$."]Non.
L'égalité des probabilités n'est pas le critère d'indépendance. Comparer $p(A \cap B)$ avec le produit $p(A) \times p(B)$.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car les deux lancers sont indépendants l'un de l'autre."]Pas tout à fait.
La conclusion est correcte mais la justification est insuffisante : l'indépendance des deux lancers ne garantit pas l'indépendance de $A$ et $B$ qui dépendent tous deux des résultats combinés. Vérifier numériquement avec $p(A \cap B)$ et $p(A) \times p(B)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer séparément $p(A)$, $p(B)$ et $p(A \cap B)$ par dénombrement des cas favorables sur les $36$ issues, puis tester l'égalité.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A$ et $B$ deux événements tels que $p(A) = 0{,}3$, $p(B) = 0{,}4$ et $p_A(B) = 0{,}4$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
[qcm]
[option correct="true"]Oui, car $p_A(B) = p(B)$ et $p(A) \neq 0$.[/option]
[option]Non, car $p(A) \neq p(B)$.[/option]
[option]On ne peut pas conclure sans connaître $p(A \cap B)$.[/option]
[option]Oui, car $p(A) + p(B) = 0{,}7$.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Comme $p(A) \neq 0$, l'indépendance équivaut à $p_A(B) = p(B)$. Or l'énoncé donne $p_A(B) = 0{,}4 = p(B)$ : la condition est satisfaite, donc $A$ et $B$ sont indépendants.
On peut le vérifier en calculant $p(A \cap B) = p(A) \times p_A(B) = 0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}12 = p(A) \times p(B)$.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $p(A) \neq p(B)$."]Non.
L'égalité $p(A) = p(B)$ n'a aucun lien avec l'indépendance. Penser à la caractérisation faisant intervenir $p_A(B)$.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure sans connaître $p(A \cap B)$."]Non.
Quand $p(A) \neq 0$, il existe une caractérisation équivalente de l'indépendance utilisant directement la probabilité conditionnelle. Identifier laquelle.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $p(A) + p(B) = 0{,}7$."]Non.
La somme $p(A) + p(B)$ n'intervient pas dans la définition de l'indépendance. Comparer plutôt $p_A(B)$ et $p(B)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand $p(A) \neq 0$, l'indépendance équivaut à une égalité reliant $p_A(B)$ et $p(B)$. Comparer ces deux quantités.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A$ et $B$ deux événements indépendants tels que $p(A) = 0{,}3$ et $p(B) = 0{,}2$. Calculer $p(A \cap \overline{B})$.
[qcm]
[option]$0{,}06$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[option correct="true"]$0{,}24$[/option]
[option]$0{,}8$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ le sont également.
Donc $p(A \cap \overline{B}) = p(A) \times p(\overline{B}) = 0{,}3 \times (1 - 0{,}2) = 0{,}3 \times 0{,}8 = 0{,}24$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}06$"]Non.
$0{,}06 = 0{,}3 \times 0{,}2 = p(A) \times p(B)$ : c'est $p(A \cap B)$ et non $p(A \cap \overline{B})$. Il faut faire intervenir $\overline{B}$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
$0{,}5 = 0{,}3 + 0{,}2 = p(A) + p(B)$. La définition de l'indépendance fait intervenir un produit et non une somme.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}8$"]Non.
$0{,}8 = p(\overline{B})$ : la probabilité de $\overline{B}$ a été donnée seule, sans tenir compte de $A$. Il faut calculer $p(A \cap \overline{B})$ en utilisant l'indépendance de $A$ et $\overline{B}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser le fait que si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ le sont aussi, puis appliquer la formule du produit avec $p(\overline{B}) = 1 - p(B)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]