Étudier les variations d’une suite avec la fonction associée

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse. Attention aux pièges !
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ une fonction définie et croissante sur $[0; +\infty[$, et $(u_n)$ la suite définie par $u_n = f(n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est croissante.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Si $f$ est croissante sur $[0; +\infty[$, alors pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $n < n+1$ entraîne $f(n) \leqslant f(n+1)$, donc $u_n \leqslant u_{n+1}$.
La suite $(u_n)$ est croissante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : si $f$ est croissante sur un intervalle contenant tous les entiers naturels et si $u_n = f(n)$, alors $(u_n)$ hérite du sens de variation de $f$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Comme $n < n+1$ et $f$ est croissante, $f(n) \leqslant f(n+1)$, soit $u_n \leqslant u_{n+1}$ : la suite est croissante.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite à termes strictement positifs définie sur $\mathbb{N}$ et telle que $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2}$ pour tout $n$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est croissante.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Puisque $u_n > 0$, on peut comparer le rapport à $1$ :

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{1}{2} < 1$

La suite est strictement décroissante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « termes positifs » et « suite croissante ». Diviser chaque terme par $2$ fait bien diminuer les termes : la suite décroît.
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{1}{2} < 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{1}{2} < 1$ pour tous les termes positifs : la suite est strictement décroissante.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = (-1)^n$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ n'est ni croissante, ni décroissante.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule les premiers termes : $u_0 = 1$, $u_1 = -1$, $u_2 = 1$, $u_3 = -1$...
On a $u_1 < u_0$ (donc pas croissante), puis $u_1 < u_2$ (donc pas décroissante) : la suite n'est ni l'un, ni l'autre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une suite alternée change de sens à chaque étape : elle ne peut être ni croissante, ni décroissante.
Ici, $u_0 = 1$, $u_1 = -1$, $u_2 = 1$...[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les termes alternent entre $1$ et $-1$ : la suite n'est ni croissante, ni décroissante.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = \dfrac{n}{n+1}$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est décroissante.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On calcule la différence et on réduit au même dénominateur :

$u_{n+1} - u_n = \dfrac{n+1}{n+2} - \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$

Cette quantité est strictement positive, donc la suite est strictement croissante.
On peut le vérifier : $u_0 = 0 < u_1 = \dfrac{1}{2} < u_2 = \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est d'observer que les termes se rapprochent de $1$ et d'en déduire qu'ils décroissent. Or ils s'approchent de $1$ par valeurs inférieures, en augmentant.
$u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La différence $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$ est strictement positive : la suite est strictement croissante.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :

$\begin{cases} u_0 = 10 \\ u_{n+1} = u_n - 1 \end{cases}$

Affirmation : Il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont strictement négatifs.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On retire $1$ à chaque étape, donc $u_n = 10 - n$.
Pour $n \geqslant 11$, $u_n = 10 - n \leqslant -1 < 0$ : à partir de $n = 11$, tous les termes sont strictement négatifs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une suite qui décroît d'une quantité constante finit par dépasser toutes les valeurs négatives. Ici, $u_n = 10 - n$ devient négatif dès $n = 11$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On a $u_n = 10 - n$, donc $u_n < 0$ pour tout $n \geqslant 11$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = n^2 - 5n$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est croissante sur $\mathbb{N}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On calcule la différence :

$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 5(n+1) - (n^2 - 5n) = 2n - 4$

Le signe de $2n - 4$ dépend de $n$ :
- pour $n < 2$, $u_{n+1} - u_n < 0$ (la suite décroît) ;
- pour $n > 2$, $u_{n+1} - u_n > 0$ (la suite croît).
La suite n'est donc pas croissante sur $\mathbb{N}$ : on a par exemple $u_0 = 0$, $u_1 = -4$, $u_2 = -6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention aux expressions du second degré : la fonction $x \mapsto x^2 - 5x$ a un minimum en $x = 2{,}5$. La suite commence donc par décroître avant de croître.
$u_{n+1} - u_n = 2n - 4$, négatif pour $n \leqslant 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La différence $u_{n+1} - u_n = 2n - 4$ change de signe : la suite décroît jusqu'au rang $2$, puis croît. Elle n'est donc pas monotone sur $\mathbb{N}$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Suites — analyses subtiles