Vrai/Faux : Lieux géométriques
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les lieux géométriques caractérisés par une condition sur l'affixe, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z| = 3$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $3$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$|z|$ est la distance $OM$ entre l'origine et le point image. La condition $OM = 3$ caractérise précisément le cercle de centre $O$ et de rayon $3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le module $|z|$ représente la distance de $M$ à $O$. Une condition $|z| = r$ (avec $r > 0$ constant) définit le cercle centré en $O$ de rayon $r$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $|z| = r$ est l'équation du cercle de centre $O$ et de rayon $r$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Soient $A$ et $B$ deux points distincts d'affixes $z_{A}$ et $z_{B}$.
Affirmation : L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - z_{A}| = |z - z_{B}|$ est la médiatrice de $[AB]$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$|z - z_{A}| = MA$ et $|z - z_{B}| = MB$. La condition $MA = MB$ caractérise les points équidistants de $A$ et $B$, qui forment la médiatrice du segment $[AB]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Lire $|z - z_{A}|$ comme la distance $MA$ et $|z - z_{B}|$ comme $MB$. L'égalité de ces deux distances caractérise la médiatrice de $[AB]$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La condition $MA = MB$ caractérise la médiatrice de $[AB]$ (lieu des points équidistants de $A$ et $B$).
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ non nulle vérifiant $\arg(z) = \dfrac{\pi}{2}$ (modulo $2\pi$) est l'axe des ordonnées.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
$\arg(z) = \dfrac{\pi}{2}$ caractérise une demi-droite (orientation fixée modulo $2\pi$) : ici la demi-droite des ordonnées strictement positives, privée de $O$.
L'axe des ordonnées entier comprendrait aussi les points d'argument $-\dfrac{\pi}{2}$ (ordonnées négatives), qui ne vérifient pas la condition. De plus, l'origine $O$ est exclue (pas d'argument défini).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
$\arg(z) = \dfrac{\pi}{2}$ ne sélectionne qu'une demi-droite (ordonnées strictement positives, sans $O$). L'axe des ordonnées entier inclurait aussi les ordonnées négatives, dont l'argument vaut $-\dfrac{\pi}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\arg(z) = \dfrac{\pi}{2}$ ne caractérise que la demi-droite des ordonnées strictement positives (privée de $O$), pas l'axe des ordonnées entier.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 1 - 2i| = 4$ est le cercle de centre $\Omega(1\,;\, 2)$ et de rayon $4$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$|z - 1 - 2i| = |z - (1 + 2i)|$ représente la distance $\Omega M$ entre $M$ et le point $\Omega$ d'affixe $1 + 2i$, donc de coordonnées $(1\,;\, 2)$. La condition $\Omega M = 4$ donne le cercle de centre $\Omega(1\,;\, 2)$ et de rayon $4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Réécrire la condition sous la forme $|z - a| = r$ : ici $a = 1 + 2i$ correspond à $\Omega(1\,;\, 2)$ et $r = 4$ est le rayon. C'est l'équation d'un cercle.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La condition $|z - a| = r$ caractérise le cercle de centre $\Omega$ (image de $a$) et de rayon $r$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Soient $A$ et $B$ les points d'affixes $z_{A} = 1$ et $z_{B} = i$.
Affirmation : L'ensemble des points $M$ tels que $|z - 1| = |z - i|$ est la médiatrice de $[AB]$, qui passe par l'origine $O$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La condition est $MA = MB$ : c'est la médiatrice de $[AB]$.
On vérifie que $O$ est bien sur cette médiatrice : $OA = |1| = 1$ et $OB = |i| = 1$, donc $OA = OB$ et $O$ est équidistant de $A$ et $B$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La condition $|z - 1| = |z - i|$ traduit $MA = MB$, ce qui est la médiatrice de $[AB]$. Comme $|z_{A}| = |z_{B}| = 1$, $O$ est équidistant de $A$ et $B$, donc sur la médiatrice.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La condition donne la médiatrice de $[AB]$ ; comme $OA = OB = 1$, l'origine appartient bien à cette médiatrice.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z + \overline{z} = 0$ est l'axe des abscisses.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Avec $z = a + ib$, on a $z + \overline{z} = 2a$. La condition $2a = 0$ équivaut à $a = 0$, c'est-à-dire à une partie réelle nulle : c'est l'axe des ordonnées, pas des abscisses.
L'axe des abscisses correspond à $z = \overline{z}$ (partie imaginaire nulle), ou encore $z - \overline{z} = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La somme $z + \overline{z} = 2 \cdot \text{Re}(z)$ s'annule quand la partie réelle est nulle, donc sur l'axe des ordonnées (axe imaginaire), pas sur l'axe des abscisses.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $z + \overline{z} = 2\,\text{Re}(z) = 0$ équivaut à $\text{Re}(z) = 0$, donc à l'axe des ordonnées (et non des abscisses).
[/solution]
[/etape]
