1. Calculer chacune des expressions en détaillant les étapes. Donner le résultat sous forme de fraction simplifiée.

   1. $ A = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3} \times \dfrac{-9}{8} $
   2. $ B = \dfrac{5}{6} \div \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} $
2. Calculer $ C = \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} \right) \times \dfrac{8}{5} $.
3. Calculer $ D = \dfrac{\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}} $.

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les priorités opératoires et les barres de fraction, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Dans le calcul $4 + 6 \times 2$, on peut commencer par $4 + 6$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La multiplication est prioritaire sur l'addition : on calcule d'abord $6 \times 2 = 12$, puis $4 + 12 = 16$. Sans cette priorité, on aurait $20$ au lieu de $16$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La règle des priorités impose : multiplications et divisions avant additions et soustractions.
Ici, $6 \times 2 = 12$ d'abord, puis $4 + 12 = 16$. Si on commençait par $4 + 6$, on obtiendrait $20$, ce qui est faux.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La multiplication est prioritaire : $4 + 6 \times 2 = 4 + 12 = 16$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{6 + 4}{2} = 5$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La barre de fraction joue le rôle de parenthèses autour du numérateur : on calcule d'abord $6 + 4 = 10$, puis $\dfrac{10}{2} = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La barre de fraction est une grande parenthèse : il faut effectuer la somme du numérateur en premier.
$\dfrac{6 + 4}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La barre de fraction impose de calculer le numérateur avant la division : $\dfrac{10}{2} = 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $5 - 2 \times 3 = 9$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La multiplication est prioritaire : $2 \times 3 = 6$, puis $5 - 6 = -1$. La valeur $9$ correspond à $(5 - 2) \times 3$, mais sans parenthèses, on n'a pas le droit de regrouper ainsi.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Tu as effectué les opérations de gauche à droite, mais la multiplication passe avant la soustraction.
Le calcul correct est $5 - 2 \times 3 = 5 - 6 = -1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Multiplication prioritaire : $5 - 2 \times 3 = 5 - 6 = -1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{3} = 1$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La multiplication est prioritaire : $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{3}$. Puis $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{3} = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour vérifier, il faut commencer par la multiplication : $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.
Puis l'addition donne $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Multiplication d'abord : $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{3}$. Puis $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{-2 + 8}{3 - 5} = -3$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La barre de fraction encadre numérateur et dénominateur. Numérateur : $-2 + 8 = 6$. Dénominateur : $3 - 5 = -2$. Donc $\dfrac{6}{-2} = -3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il faut traiter la barre de fraction comme une grande parenthèse.
Numérateur : $-2 + 8 = 6$. Dénominateur : $3 - 5 = -2$. Donc $\dfrac{6}{-2} = -3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On calcule séparément le numérateur ($6$) et le dénominateur ($-2$), puis on divise : $\dfrac{6}{-2} = -3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $-(3 - 8) = -5$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La parenthèse vaut $3 - 8 = -5$. Le signe $-$ devant transforme $-5$ en son opposé : $-(-5) = +5$. Le résultat est donc $5$, pas $-5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le signe $-$ devant la parenthèse signifie « prendre l'opposé du résultat » de la parenthèse.
$3 - 8 = -5$, et l'opposé de $-5$ est $+5$. Donc $-(3 - 8) = +5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $3 - 8 = -5$, et $-(-5) = +5$. Le signe $-$ devant la parenthèse change le signe du résultat.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les priorités opératoires et les calculs en chaîne mêlant relatifs et fractions. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Que vaut $A = 5 + 3 \times (-2)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$-1$[/option]
[option]$-16$[/option]
[option]$11$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La multiplication est prioritaire : $3 \times (-2) = -6$. Puis $A = 5 + (-6) = -1$.[/reponse]
[reponse motif="$-16$"]Non.
Tu as effectué les opérations de gauche à droite : $(5 + 3) \times (-2) = -16$. Mais la multiplication est prioritaire sur l'addition.[/reponse]
[reponse motif="$11$"]Non.
Le signe est faux. Tu as bien fait la multiplication d'abord ($3 \times 2 = 6$) mais oublié le signe : $3 \times (-2) = -6$, pas $+6$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Le résultat de $3 \times (-2)$ donne $-6$, pas $-4$. Recompter : on multiplie $3$ par $2$ et le signe est négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La multiplication est prioritaire : $3 \times (-2) = -6$, puis $A = 5 - 6 = -1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $B = (-3 + 7) \times (-2)$ ?
[qcm]
[option]$-17$[/option]
[option]$-11$[/option]
[option correct="true"]$-8$[/option]
[option]$8$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On commence par les parenthèses : $-3 + 7 = 4$. Puis $B = 4 \times (-2) = -8$.[/reponse]
[reponse motif="$-17$"]Non.
Tu as multiplié $-7 \times (-2) = 14$ puis ajouté $-3$, en oubliant les parenthèses. Les parenthèses sont prioritaires.[/reponse]
[reponse motif="$-11$"]Non.
Tu n'as pas effectué la parenthèse en premier. Il faut commencer par calculer $-3 + 7 = 4$, puis multiplier ce résultat par $-2$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
La distance à zéro est correcte, mais le signe est faux. Un produit de signes contraires donne un résultat négatif : $4 \times (-2) = -8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On effectue d'abord la parenthèse : $-3 + 7 = 4$. Puis $4 \times (-2) = -8$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $C = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{8}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{-1}{4}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La multiplication est prioritaire : $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$ (après simplification par $3$). Puis $C = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{8}$"]Non.
Tu as effectué les opérations de gauche à droite : $\left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \right) \times \dfrac{3}{4}$. Mais la multiplication est prioritaire sur la soustraction.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{12}$"]Non.
Tu as juste calculé $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4}$ avec une erreur (ou tu n'as pas fait la soustraction finale). Il faut ensuite calculer $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-1}{4}$"]Non.
Le signe est faux. Tu as soustrait dans le mauvais sens : $\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2}$ au lieu de $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Multiplication d'abord : $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$. Puis $C = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $D = \dfrac{8 - 14}{3 \times (-1)}$ ?
[qcm]
[option]$-2$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$\dfrac{-6}{2}$[/option]
[option]$-22$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La barre de fraction joue le rôle de parenthèses. Numérateur : $8 - 14 = -6$. Dénominateur : $3 \times (-1) = -3$. Donc $D = \dfrac{-6}{-3} = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$-2$"]Non.
La distance à zéro est juste, mais le signe est faux. Au dénominateur, $3 \times (-1) = -3$, et $\dfrac{-6}{-3} = +2$ (signes identiques).[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-6}{2}$"]Non.
Tu as oublié le signe au dénominateur : $3 \times (-1) = -3$, pas $+3$. Et le résultat doit être simplifié.[/reponse]
[reponse motif="$-22$"]Non.
Tu as effectué le calcul de gauche à droite sans tenir compte de la barre de fraction. La barre de fraction est une grande parenthèse autour du numérateur et du dénominateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La barre de fraction sépare le calcul : numérateur $-6$, dénominateur $-3$, donc $D = \dfrac{-6}{-3} = 2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $E = \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \right) \div \dfrac{5}{6}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{25}{36}$[/option]
[option]$\dfrac{5}{36}$[/option]
[option correct="true"]$1$[/option]
[option]$\dfrac{2}{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On effectue d'abord la parenthèse : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$. Puis $E = \dfrac{5}{6} \div \dfrac{5}{6} = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{25}{36}$"]Non.
Tu as multiplié au lieu de diviser. Et il faut commencer par la parenthèse, qui donne $\dfrac{5}{6}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{36}$"]Non.
Cela correspond au produit $\dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6}$. Tu n'as pas calculé la parenthèse correctement : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$, pas $\dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{5}$"]Non.
Tu as fait la division avec un mauvais résultat de parenthèse. Avec $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$, le quotient $\dfrac{5}{6} \div \dfrac{5}{6}$ vaut $1$ (un nombre divisé par lui-même).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Parenthèse : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$. Puis $\dfrac{5}{6} \div \dfrac{5}{6} = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $F = -2^2 + 3 \times (-1)^3$ ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$-1$[/option]
[option correct="true"]$-7$[/option]
[option]$-13$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les puissances sont prioritaires. $-2^2 = -(2 \times 2) = -4$ (le carré ne porte pas sur le signe sans parenthèses). $(-1)^3 = -1$. Donc $F = -4 + 3 \times (-1) = -4 + (-3) = -7$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Tu as confondu $-2^2$ et $(-2)^2$. Sans parenthèses, $-2^2 = -4$, pas $+4$.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Tu as bien calculé les puissances mais tu as effectué l'addition avant la multiplication.
$3 \times (-1)$ donne $-3$, qu'il faut ajouter à $-4$.[/reponse]
[reponse motif="$-13$"]Non.
Tu as cumulé plusieurs erreurs de signe sur les puissances. Calcule chaque puissance à part : $-2^2 = -4$ et $(-1)^3 = -1$, en gardant bien la priorité de la multiplication sur l'addition.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$-2^2 = -4$ et $(-1)^3 = -1$. Puis $F = -4 + 3 \times (-1) = -4 - 3 = -7$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]