Encadrer x² quand l’intervalle contient 0

[enonce]
On considère un nombre réel $x$ tel que $-3 \leqslant x \leqslant 5$.
On cherche à encadrer $x^2$, puis à en déduire un encadrement de $2x^2 - 7$.
[/enonce]

[etape]
L'intervalle $[-3~;~5]$ contient $0$. Pourquoi est-ce important pour encadrer $x^2$ ?
[qcm]
[option]Parce que la fonction carré change de signe en $0$[/option]
[option]Parce que $0^2 = 0$ est la plus grande valeur de $x^2$[/option]
[option correct="true"]Parce que la fonction carré change de sens de variation en $0$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La fonction carré est décroissante sur $]-\infty~;~0]$ puis croissante sur $[0~;~+\infty[$. On ne peut donc pas appliquer directement la monotonie sur tout l'intervalle $[-3~;~5]$ : il faut traiter les deux parties séparément.[/reponse]
[reponse motif="Parce que la fonction carré change de signe en $0$"]La fonction carré ne change pas de signe : $x^2 \geqslant 0$ pour tout $x$. C'est le sens de variation qui change en $0$.[/reponse]
[reponse motif="Parce que $0^2 = 0$ est la plus grande valeur de $x^2$"]$0^2 = 0$ est au contraire la plus petite valeur de $x^2$, puisque $x^2 \geqslant 0$ pour tout réel $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Rappel : la fonction carré est décroissante puis croissante. Le point de changement est en $0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Puisque $0 \in [-3~;~5]$, le minimum de $x^2$ sur cet intervalle est atteint en $x = 0$.
Donner ce minimum.
Minimum de $x^2$ = [[min]]
[math id="min" attendu="0"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$0^2 = 0$. C'est le minimum de la fonction carré sur tout intervalle contenant $0$.[/reponse]
[reponse motif="9"]C'est la valeur de $(-3)^2$, pas le minimum. Quand l'intervalle contient $0$, la plus petite valeur de $x^2$ est toujours $0^2$.[/reponse]
[reponse motif="-3"]$x^2$ est toujours positif ou nul. Le minimum ne peut pas être négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le carré d'un nombre est toujours $\geqslant 0$, et $0^2 = 0$. Quelle est donc la plus petite valeur possible de $x^2$ ?[/reponse]
[aide essai="2"]La fonction carré atteint son minimum en $x = 0$. Calculer $0^2$.[/aide]
[aide essai="3"]$0^2 = 0$, et $x^2 \geqslant 0$ pour tout $x$.[/aide]
[/math]
[solution]$0 \in [-3~;~5]$ et $0^2 = 0$. Comme $x^2 \geqslant 0$ pour tout réel, le minimum est $0$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Pour le maximum de $x^2$ sur $[-3~;~5]$, il faut comparer les carrés des bornes.
Calculer le maximum de $x^2$ sur cet intervalle.
Maximum de $x^2$ = [[max]]
[math id="max" attendu="25"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$(-3)^2 = 9$ et $5^2 = 25$. Comme $25 > 9$, le maximum de $x^2$ sur $[-3~;~5]$ est $25$, atteint en $x = 5$.[/reponse]
[reponse motif="9"]C'est $(-3)^2 = 9$, mais il faut aussi calculer $5^2$ et comparer les deux. Le maximum est le plus grand des deux carrés.[/reponse]
[reponse motif="5"]C'est la borne supérieure de l'intervalle, pas le maximum de $x^2$. Il faut calculer $5^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Calculer $(-3)^2$ et $5^2$, puis garder le plus grand des deux.[/reponse]
[aide essai="2"]Le maximum de $x^2$ est atteint à l'une des bornes de l'intervalle. Calculer $(-3)^2$ et $5^2$.[/aide]
[aide essai="3"]$(-3)^2 = 9$ et $5^2 = 25$. Comparer ces deux valeurs.[/aide]
[/math]
[solution]$(-3)^2 = 9$ et $5^2 = 25$. Le maximum est $\max(9~;~25) = 25$.[/solution]
[/etape]

[etape]
En déduire l'encadrement de $x^2$.
$x^2$ est compris entre [[binf]] et [[bsup]].
[math id="binf" attendu="0"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça ![/reponse]
[reponse statut="incorrect"]C'est le minimum de $x^2$ trouvé à l'étape 2.[/reponse]
[aide essai="2"]Le minimum de $x^2$ sur $[-3~;~5]$ a été calculé à l'étape 2.[/aide]
[aide essai="3"]Le minimum est $0$.[/aide]
[/math]
[math id="bsup" attendu="25"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On a donc $0 \leqslant x^2 \leqslant 25$.[/reponse]
[reponse motif="9"]$9 = (-3)^2$, mais $5^2 = 25 > 9$. Le maximum est $25$, pas $9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]C'est le maximum de $x^2$ trouvé à l'étape 3.[/reponse]
[aide essai="2"]Le maximum de $x^2$ sur $[-3~;~5]$ a été calculé à l'étape 3.[/aide]
[aide essai="3"]Le maximum est $25$.[/aide]
[/math]
[solution]Si $-3 \leqslant x \leqslant 5$, alors $0 \leqslant x^2 \leqslant 25$.[/solution]
[/etape]

[etape]
On sait que $0 \leqslant x^2 \leqslant 25$. En déduire un encadrement de $2x^2 - 7$.
$2x^2 - 7$ est compris entre [[einf]] et [[esup]].
[math id="einf" attendu="-7"]
[reponse statut="correct"]Bravo ![/reponse]
[reponse motif="-14"]Attention : on multiplie l'encadrement de $x^2$ par $2$, ce qui donne $0 \leqslant 2x^2 \leqslant 50$. Puis on retranche $7$.[/reponse]
[reponse motif="0"]On ne retranche pas $7$ de $7$. La borne inférieure de $2x^2$ est $2 \times 0 = 0$, donc la borne inférieure de $2x^2 - 7$ est $0 - 7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Multiplier les bornes de l'encadrement de $x^2$ par $2$ (positif, donc l'ordre est conservé), puis retrancher $7$.[/reponse]
[aide essai="2"]$0 \leqslant x^2 \leqslant 25$, donc $0 \leqslant 2x^2 \leqslant 50$, puis $0 - 7 \leqslant 2x^2 - 7 \leqslant 50 - 7$.[/aide]
[aide essai="3"]La borne inférieure de $2x^2 - 7$ est $2 \times 0 - 7$.[/aide]
[/math]
[math id="esup" attendu="43"]
[reponse statut="correct"]Parfait !
$0 \leqslant x^2 \leqslant 25$, donc $0 \leqslant 2x^2 \leqslant 50$, d'où $-7 \leqslant 2x^2 - 7 \leqslant 43$.[/reponse]
[reponse motif="50"]Il ne faut pas oublier de retrancher $7$ : $50 - 7 = 43$.[/reponse]
[reponse motif="18"]Vérifier le calcul : la borne supérieure de $2x^2$ est $2 \times 25 = 50$, pas $25$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]La borne supérieure de $2x^2$ est $2 \times 25 = 50$. Puis retrancher $7$.[/reponse]
[aide essai="2"]$2 \times 25 = 50$ et $50 - 7 = ?$[/aide]
[aide essai="3"]$50 - 7 = 43$.[/aide]
[/math]
[solution]$0 \leqslant x^2 \leqslant 25$
$0 \leqslant 2x^2 \leqslant 50$ (multiplication par $2 > 0$)
$-7 \leqslant 2x^2 - 7 \leqslant 43$ (soustraction de $7$)[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Fonctions carré et cube

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : fonction carré, fonction cube et position relative des courbes. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Parmi les affirmations suivantes, laquelle est correcte ?
[qcm]
[option]La fonction carré admet un maximum en $x = 0$[/option]
[option]La fonction cube admet un minimum en $x = 0$[/option]
[option correct="true"]La fonction carré admet un minimum en $x = 0$[/option]
[option]La fonction carré n'admet pas d'extremum[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
La fonction carré est décroissante puis croissante, avec un changement en $x = 0$. Elle admet donc un minimum en $x = 0$, et ce minimum vaut $0^2 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="La fonction carré admet un maximum en $x = 0$"]Non.
La fonction carré est décroissante puis croissante : elle forme un « creux » en $x = 0$, pas un « sommet ». C'est un minimum, pas un maximum.[/reponse]
[reponse motif="La fonction cube admet un minimum en $x = 0$"]Non.
La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier. Elle n'admet pas d'extremum : elle n'a ni minimum ni maximum.[/reponse]
[reponse motif="La fonction carré n'admet pas d'extremum"]Non.
La fonction carré change de sens de variation en $x = 0$. Ce changement (décroissante puis croissante) correspond à un extremum.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Observer les variations de chaque fonction et identifier si elles changent de sens de variation.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'équation $x^2 = 7$ a pour solutions :
[qcm]
[option]$x = \sqrt{7}$ uniquement[/option]
[option]$x = 3{,}5$[/option]
[option]$x = 49$[/option]
[option correct="true"]$x = \sqrt{7}$ ou $x = -\sqrt{7}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Comme $7 > 0$, l'équation $x^2 = 7$ admet deux solutions :
$x = \sqrt{7}$ et $x = -\sqrt{7}$.[/reponse]
[reponse motif="$x = \sqrt{7}$ uniquement"]Non.
Il manque une solution. Vérifier : $(-\sqrt{7})^2 = 7$ aussi. Quand $a > 0$, l'équation $x^2 = a$ a toujours deux solutions.[/reponse]
[reponse motif="$x = 3{,}5$"]Non.
On cherche $x$ tel que $x \times x = 7$, pas $x$ tel que $2x = 7$. La racine carrée est l'opération inverse du carré, pas la division par $2$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 49$"]Non.
On a calculé $7^2 = 49$ au lieu de résoudre $x^2 = 7$. La racine carrée est l'opération inverse : chercher $x$ tel que $x^2 = 7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la propriété : si $a > 0$, l'équation $x^2 = a$ a deux solutions $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $-2 \leqslant x \leqslant 3$. Quel est le minimum de $x^2$ sur cet intervalle ?
[qcm]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]$4$[/option]
[option]$-4$[/option]
[option]$9$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'intervalle $[-2\,;\,3]$ contient $0$. Comme $x^2 \geqslant 0$ pour tout réel $x$ et que $0^2 = 0$, le minimum de $x^2$ est $0$, atteint en $x = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$(-2)^2 = 4$ est le carré de la borne inférieure, mais ce n'est pas le minimum. L'intervalle contient $0$, et $0^2 = 0 < 4$.[/reponse]
[reponse motif="$-4$"]Non.
Un carré est toujours positif ou nul. $(-2)^2 = 4$, pas $-4$. Le minimum de $x^2$ ne peut pas être négatif.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$3^2 = 9$ est le maximum de $x^2$ sur cet intervalle, pas le minimum. Chercher la plus petite valeur que $x^2$ peut prendre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand l'intervalle contient $0$, le minimum de $x^2$ est atteint en $x = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour $x = 3$, quelle est la position relative des courbes $y = x$, $y = x^2$ et $y = x^3$ ?
[qcm]
[option]$x^3 < x^2 < x$[/option]
[option]$x^2 < x < x^3$[/option]
[option correct="true"]$x < x^2 < x^3$[/option]
[option]$x = x^2 = x^3$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Pour $x = 3 > 1$ : $x = 3$, $x^2 = 9$ et $x^3 = 27$.
On a bien $3 < 9 < 27$, soit $x < x^2 < x^3$.[/reponse]
[reponse motif="$x^3 < x^2 < x$"]Non.
Cet ordre est valable pour $0 < x < 1$, pas pour $x > 1$. Calculer : $3^2 = 9$ et $3^3 = 27$. Comparer avec $x = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$x^2 < x < x^3$"]Non.
Calculer : $x = 3$, $x^2 = 9$ et $x^3 = 27$. Ranger les trois valeurs dans l'ordre croissant.[/reponse]
[reponse motif="$x = x^2 = x^3$"]Non.
L'égalité $x = x^2 = x^3$ n'est vraie que pour $x = 0$ et $x = 1$, pas pour $x = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $x > 1$, la règle est : $x < x^2 < x^3$. Vérifier en calculant $3$, $3^2$ et $3^3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La fonction $f : x \mapsto x^2$ vérifie $f(-x) = f(x)$. La fonction $g : x \mapsto x^3$ vérifie $g(-x) = -g(x)$. Quelles sont les symétries de leurs courbes ?
[qcm]
[option]$f$ : symétrie par rapport à l'origine ; $g$ : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées[/option]
[option correct="true"]$f$ : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées ; $g$ : symétrie par rapport à l'origine[/option]
[option]Les deux courbes sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées[/option]
[option]Les deux courbes sont symétriques par rapport à l'origine[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$f(-x) = f(x)$ signifie que $f$ est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
$g(-x) = -g(x)$ signifie que $g$ est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.[/reponse]
[reponse motif="$f$ : symétrie par rapport à l'origine ; $g$ : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées"]Non.
C'est l'inverse. $f(-x) = f(x)$ caractérise une fonction paire (symétrie / axe des ordonnées). $g(-x) = -g(x)$ caractérise une fonction impaire (symétrie / origine).[/reponse]
[reponse motif="Les deux courbes sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées"]Non.
Seule la fonction paire ($f(-x) = f(x)$) a une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. La fonction $g$ vérifie $g(-x) = -g(x)$ : c'est une autre symétrie.[/reponse]
[reponse motif="Les deux courbes sont symétriques par rapport à l'origine"]Non.
Seule la fonction impaire ($g(-x) = -g(x)$) a une symétrie par rapport à l'origine. La fonction $f$ vérifie $f(-x) = f(x)$ : c'est une autre symétrie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Retenir : $f(-x) = f(x)$ (paire) correspond à la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. $g(-x) = -g(x)$ (impaire) correspond à la symétrie par rapport à l'origine.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour $x = -2$, comparer les valeurs de $f(x) = x^2$ et $g(x) = x^3$.
[qcm]
[option]$f(-2) < g(-2)$[/option]
[option]$f(-2) = g(-2)$[/option]
[option]Les deux courbes se coupent en $x = -2$[/option]
[option correct="true"]$f(-2) > g(-2)$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On calcule : $f(-2) = (-2)^2 = 4$ et $g(-2) = (-2)^3 = -8$.
Comme $4 > -8$, on a $f(-2) > g(-2)$. La parabole est au-dessus de la courbe cubique en $x = -2$.[/reponse]
[reponse motif="$f(-2) < g(-2)$"]Non.
Calculer : $f(-2) = (-2)^2 = 4$ (positif) et $g(-2) = (-2)^3 = -8$ (négatif). Un nombre positif est toujours supérieur à un nombre négatif.[/reponse]
[reponse motif="$f(-2) = g(-2)$"]Non.
Calculer : $(-2)^2 = 4$ et $(-2)^3 = -8$. Ces deux valeurs sont différentes.[/reponse]
[reponse motif="Les deux courbes se coupent en $x = -2$"]Non.
Les courbes se coupent quand $x^2 = x^3$, c'est-à-dire en $x = 0$ et $x = 1$ uniquement. En $x = -2$, les deux valeurs sont distinctes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer séparément $(-2)^2$ et $(-2)^3$, puis comparer les résultats.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Encadrements et comparaisons

[enonce]
Ce QCM porte sur les encadrements et les comparaisons utilisant les fonctions carré et cube. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Si $-3 \leqslant x \leqslant 5$, quel est l'encadrement de $x^2$ ?
[qcm]
[option]$9 \leqslant x^2 \leqslant 25$[/option]
[option correct="true"]$0 \leqslant x^2 \leqslant 25$[/option]
[option]$-9 \leqslant x^2 \leqslant 25$[/option]
[option]$0 \leqslant x^2 \leqslant 9$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
L'intervalle $[-3\,;\,5]$ contient $0$. Le minimum de $x^2$ est donc $0$ (atteint en $x = 0$).
Le maximum est $\max\left((-3)^2\,;\,5^2\right) = \max(9\,;\,25) = 25$.
D'où $0 \leqslant x^2 \leqslant 25$.[/reponse]
[reponse motif="$9 \leqslant x^2 \leqslant 25$"]Non.
Attention, l'intervalle $[-3\,;\,5]$ contient $0$, et $0^2 = 0$. Le minimum de $x^2$ n'est pas $9$ mais $0$. Quand un intervalle contient $0$, le minimum du carré est toujours $0$.[/reponse]
[reponse motif="$-9 \leqslant x^2 \leqslant 25$"]Non.
Un carré est toujours positif ou nul : $x^2 \geqslant 0$. L'encadrement ne peut pas contenir de valeur négative. Recalculer $(-3)^2$.[/reponse]
[reponse motif="$0 \leqslant x^2 \leqslant 9$"]Non.
Le maximum de $x^2$ sur $[-3\,;\,5]$ est atteint à la borne la plus éloignée de $0$ en valeur absolue. Comparer $(-3)^2 = 9$ et $5^2 = 25$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand l'intervalle contient $0$, le minimum de $x^2$ est $0$ et le maximum est le plus grand des carrés des bornes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Si $-6 \leqslant x \leqslant -2$, quel est l'encadrement de $x^2$ ?
[qcm]
[option]$-36 \leqslant x^2 \leqslant -4$[/option]
[option]$0 \leqslant x^2 \leqslant 36$[/option]
[option correct="true"]$4 \leqslant x^2 \leqslant 36$[/option]
[option]$2 \leqslant x^2 \leqslant 6$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les deux bornes sont négatives. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, donc elle inverse l'ordre :
$(-6)^2 = 36$ et $(-2)^2 = 4$, d'où $4 \leqslant x^2 \leqslant 36$.[/reponse]
[reponse motif="$-36 \leqslant x^2 \leqslant -4$"]Non.
Un carré est toujours positif ou nul. Les valeurs $-36$ et $-4$ ne peuvent pas être des carrés. Calculer $(-6)^2$ et $(-2)^2$.[/reponse]
[reponse motif="$0 \leqslant x^2 \leqslant 36$"]Non.
L'intervalle $[-6\,;\,-2]$ ne contient pas $0$, donc $x^2$ ne peut pas valoir $0$. Le minimum de $x^2$ est atteint à la borne la plus proche de $0$.[/reponse]
[reponse motif="$2 \leqslant x^2 \leqslant 6$"]Non.
Les valeurs $2$ et $6$ sont les valeurs absolues des bornes, pas leurs carrés. Calculer $(-6)^2$ et $(-2)^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les bornes sont négatives : la fonction carré est décroissante. Calculer les carrés des deux bornes et inverser l'ordre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Comparer $\sqrt{7}$ et $2{,}5$.
[qcm]
[option]$\sqrt{7} = 2{,}5$[/option]
[option]On ne peut pas comparer[/option]
[option correct="true"]$\sqrt{7} > 2{,}5$[/option]
[option]$\sqrt{7} < 2{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les deux nombres sont positifs. On compare leurs carrés :
$(\sqrt{7})^2 = 7$ et $(2{,}5)^2 = 6{,}25$.
Comme $7 > 6{,}25$ et la fonction carré est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, on conclut $\sqrt{7} > 2{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{7} = 2{,}5$"]Non.
Vérifier en élevant au carré : $(2{,}5)^2 = 6{,}25 \neq 7$. Comparer les carrés des deux nombres.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas comparer"]Non.
On peut comparer en élevant au carré. Les deux nombres sont positifs, donc la fonction carré conserve l'ordre.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{7} < 2{,}5$"]Non.
Élever au carré : $(\sqrt{7})^2 = 7$ et $(2{,}5)^2 = 6{,}25$. Comme la fonction carré est croissante sur les positifs, le plus grand nombre a le plus grand carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour comparer deux nombres positifs, élever les deux au carré et utiliser la croissance de la fonction carré sur $[0\,;\,+\infty[$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $-5 < a < -3$. Comparer $a^2$ et $9$.
[qcm]
[option]$a^2 < 9$[/option]
[option correct="true"]$a^2 > 9$[/option]
[option]$a^2 = 9$[/option]
[option]On ne peut pas comparer sans connaître $a$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Comme $-5 < a < -3$ et les nombres sont négatifs, on utilise les valeurs absolues : $3 < |a| < 5$.
La fonction carré est croissante sur les positifs, donc $9 < a^2 < 25$. En particulier, $a^2 > 9$.[/reponse]
[reponse motif="$a^2 < 9$"]Non.
Attention, la fonction carré est décroissante sur les négatifs. Comme $a < -3$, on a $|a| > 3$ et donc $a^2 > 9$. L'ordre est inversé.[/reponse]
[reponse motif="$a^2 = 9$"]Non.
$a^2 = 9$ correspondrait à $a = -3$, or $a < -3$ strictement. Utiliser la décroissance de la fonction carré sur les négatifs.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas comparer sans connaître $a$"]Non.
Les variations de la fonction carré permettent de comparer sans calculer. Utiliser la décroissance sur les négatifs : si $a < -3$, que peut-on dire de $a^2$ par rapport à $(-3)^2$ ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la décroissance de la fonction carré sur $]-\infty\,;\,0]$ : si $a < -3 < 0$, comparer $a^2$ et $(-3)^2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Si $0 < x < 1$, comparer $x$, $x^2$ et $x^3$.
[qcm]
[option]$x < x^2 < x^3$[/option]
[option]$x^2 < x^3 < x$[/option]
[option correct="true"]$x^3 < x^2 < x$[/option]
[option]$x^3 < x < x^2$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour $0 < x < 1$ : en multipliant $x < 1$ par $x > 0$, on obtient $x^2 < x$.
En multipliant $x^2 < x$ par $x > 0$, on obtient $x^3 < x^2$.
D'où $x^3 < x^2 < x$.[/reponse]
[reponse motif="$x < x^2 < x^3$"]Non.
Cet ordre est valable pour $x > 1$, pas pour $0 < x < 1$. Tester avec $x = 0{,}5$ : $x = 0{,}5$, $x^2 = 0{,}25$, $x^3 = 0{,}125$.[/reponse]
[reponse motif="$x^2 < x^3 < x$"]Non.
Tester avec $x = 0{,}5$ : $x^2 = 0{,}25$ et $x^3 = 0{,}125$. On a bien $x^3 < x^2$, pas l'inverse.[/reponse]
[reponse motif="$x^3 < x < x^2$"]Non.
Tester avec $x = 0{,}5$ : $x^2 = 0{,}25 < 0{,}5 = x$. Le carré d'un nombre entre $0$ et $1$ est plus petit que le nombre lui-même.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester avec une valeur comme $x = 0{,}5$ : calculer $x$, $x^2$ et $x^3$, puis ranger dans l'ordre croissant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les courbes de $y = x^2$ et $y = x^3$ se coupent en :
[qcm]
[option]$x = 0$ uniquement[/option]
[option]$x = 1$ uniquement[/option]
[option]$x = 0$, $x = 1$ et $x = -1$[/option]
[option correct="true"]$x = 0$ et $x = 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On résout $x^2 = x^3$, soit $x^2 - x^3 = 0$, soit $x^2(1 - x) = 0$.
Cela donne $x = 0$ ou $x = 1$. Les points d'intersection sont $(0\,;\,0)$ et $(1\,;\,1)$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 0$ uniquement"]Non.
Vérifier pour $x = 1$ : $1^2 = 1$ et $1^3 = 1$. Les courbes se coupent aussi en ce point. Résoudre $x^2 = x^3$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 1$ uniquement"]Non.
Vérifier pour $x = 0$ : $0^2 = 0$ et $0^3 = 0$. Les courbes se coupent aussi en ce point. Résoudre $x^2 = x^3$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 0$, $x = 1$ et $x = -1$"]Non.
Vérifier pour $x = -1$ : $(-1)^2 = 1$ et $(-1)^3 = -1$. Comme $1 \neq -1$, les courbes ne se coupent pas en $x = -1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre l'équation $x^2 = x^3$ en factorisant : $x^2(1 - x) = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Comparaisons avec les fonctions carré et cube

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les comparaisons avec les fonctions carré et cube, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Comme $-3 < -2$, on peut en déduire que $(-3)^2 < (-2)^2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(-3)^2 = 9$ et $(-2)^2 = 4$, donc $(-3)^2 > (-2)^2$. La fonction carré est décroissante sur les négatifs : l'ordre est inversé.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : sur les nombres négatifs, la fonction carré est décroissante. Quand on élève deux nombres négatifs au carré, l'ordre s'inverse.
Ici $(-3)^2 = 9 > 4 = (-2)^2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, donc $-3 < -2$ implique $(-3)^2 > (-2)^2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\sqrt{5} < 3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les deux nombres sont positifs. En élevant au carré : $(\sqrt{5})^2 = 5$ et $3^2 = 9$. Comme $5 < 9$ et la fonction carré est croissante sur les positifs, on a bien $\sqrt{5} < 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour comparer $\sqrt{5}$ et $3$, on peut élever au carré car les deux sont positifs. On obtient $5$ et $9$. Comme $5 < 9$ et que la fonction carré est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, on en déduit $\sqrt{5} < 3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En comparant les carrés : $(\sqrt{5})^2 = 5 < 9 = 3^2$, donc $\sqrt{5} < 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $-2 \leqslant x \leqslant 3$ alors $4 \leqslant x^2 \leqslant 9$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'intervalle $[-2\,;\,3]$ contient $0$. Or $0^2 = 0$, donc $x^2$ peut valoir $0$. Le minimum de $x^2$ sur cet intervalle est $0$, pas $4$. L'encadrement correct est $0 \leqslant x^2 \leqslant 9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est d'élever mécaniquement les bornes au carré. Quand l'intervalle contient $0$, le minimum de $x^2$ est $0$ (atteint en $x = 0$), et non $(-2)^2 = 4$.
L'encadrement correct est $0 \leqslant x^2 \leqslant 9$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'intervalle contient $0$, donc le minimum de $x^2$ est $0$, pas $4$. L'encadrement correct est $0 \leqslant x^2 \leqslant 9$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $(-1)^3 > (-2)^3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Comme $-1 > -2$, on en déduit $(-1)^3 > (-2)^3$, soit $-1 > -8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Contrairement à la fonction carré, la fonction cube est croissante partout. L'ordre est toujours conservé quand on élève au cube :
$-1 > -2$ donc $(-1)^3 > (-2)^3$, c'est-à-dire $-1 > -8$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$, donc $-1 > -2$ implique $(-1)^3 = -1 > -8 = (-2)^3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tous réels $a$ et $b$, si $a < b$ alors $a^2 < b^2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Contre-exemple : $-3 < 1$ mais $(-3)^2 = 9 > 1 = 1^2$. L'inégalité $a^2 < b^2$ n'est pas toujours vraie quand $a < b$ : il faut que $a$ et $b$ soient de même signe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Cette propriété n'est valable que si $a$ et $b$ sont tous les deux positifs (la fonction carré est alors croissante). Pour les négatifs, l'ordre est inversé, et pour des signes contraires, il faut calculer.
Contre-exemple : $-3 < 1$ mais $9 > 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Contre-exemple : $-3 < 1$ mais $(-3)^2 = 9 > 1 = 1^2$. L'ordre n'est pas toujours conservé par la mise au carré.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $2^3 < 3^2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$2^3 = 8$ et $3^2 = 9$. Comme $8 < 9$, on a bien $2^3 < 3^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il suffit de calculer chaque côté séparément : $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ et $3^2 = 3 \times 3 = 9$. Comme $8 < 9$, l'affirmation est vraie.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $2^3 = 8 < 9 = 3^2$.
[/solution]
[/etape]

Fonction carrée – Encadrements

Déterminer un encadrement de $ x^{2} $ dans chacun des cas suivants :

$ 1 \leqslant x \leqslant 2 $
$ - 3 \leqslant x \leqslant - 1 $
$ - 2 \leqslant x \leqslant 3 $

(on pourra s'aider d'un graphique ou d'un tableau de variations)

Corrigé

Si $ 1 \leqslant x \leqslant 2 $, alors $\mathbf{1 \leqslant x^{2} \leqslant 4}$
Si $ - 3 \leqslant x \leqslant - 1 $, alors $\mathbf{1 \leqslant x^{2} \leqslant 9}$
Si $ - 2 \leqslant x \leqslant 3 $, alors $\mathbf{0 \leqslant x^{2} \leqslant 9}$

Attention !

Il y a un piège ici ! La bonne réponse n'est pas $ 4 \leqslant x^{2} \leqslant 9 $ !

Par exemple, $ - 2 \leqslant 0 \leqslant 3 $ et pourtant l'encadrement $ 4 \leqslant 0^{2} \leqslant 9 $ est faux. Bien observer la figure ci-dessus pour comprendre pourquoi.