[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la division euclidienne dans $\mathbb{Z}$, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Le reste de la division euclidienne d'un entier non nul par lui-même vaut $0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour $a \neq 0$, on a $a = a \times 1 + 0$ avec $0 \leqslant 0 < |a|$ : le quotient vaut $1$ et le reste vaut $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Tout entier non nul $a$ se divise lui-même : $a = 1 \times a + 0$. La condition $0 \leqslant 0 < |a|$ est satisfaite, donc le reste est bien $0$ et le quotient est $1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$a = 1 \times a + 0$ avec $0 \leqslant 0 < |a|$ : le reste de la division de $a$ par $a$ est nul.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $a = 5q + 2$ avec $q \in \mathbb{Z}$, alors le reste de la division euclidienne de $a$ par $5$ est $2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'écriture $a = 5q + 2$ vérifie les deux conditions de la division euclidienne : $a = 5q + r$ avec $r = 2$, et $0 \leqslant 2 < 5$. Le reste est donc bien $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour identifier un reste, vérifier que la partie constante respecte $0 \leqslant r < |b|$. Ici $r = 2$ et $|b| = 5$ : $0 \leqslant 2 < 5$, donc l'écriture est bien la division euclidienne.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
L'égalité $a = 5q + 2$ est la division euclidienne car $0 \leqslant 2 < 5$ : le reste est $2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le reste de la division euclidienne d'un entier par $3$ peut valoir $-1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Un reste vérifie toujours $0 \leqslant r < |b|$. Pour $b = 3$, les valeurs possibles sont $\{0, 1, 2\}$ : un reste négatif est exclu, même pour un dividende négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le reste d'une division euclidienne est toujours positif ou nul. La définition impose $0 \leqslant r < |b|$, et cette condition s'applique aussi quand le dividende est négatif.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
Le reste d'une division euclidienne est toujours dans $[0, |b|[$. Pour $b = 3$, les seuls restes possibles sont $0$, $1$ et $2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le quotient de la division euclidienne de $-7$ par $5$ vaut $-1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Avec $q = -1$, on aurait $5 \times (-1) + r = -7$, donc $r = -2$ : le reste serait négatif, ce qui est interdit. Le bon couple est $q = -2$, $r = 3$ : $-7 = 5 \times (-2) + 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Pour un dividende négatif, descendre le quotient d'une unité par rapport au quotient de la valeur absolue. Ici $-7 = 5 \times (-2) + 3$ : le quotient est $-2$ et le reste $3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$-7 = 5 \times (-2) + 3$ avec $0 \leqslant 3 < 5$. Le quotient vaut $-2$ et le reste $3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si on multiplie le dividende par $2$, alors le reste de la division euclidienne par $b$ est aussi multiplié par $2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Contre-exemple : la division de $8$ par $5$ donne $r = 3$. La division de $16$ par $5$ donne $r = 1$ (car $16 = 5 \times 3 + 1$). Si la propriété était vraie, le nouveau reste serait $6$, mais $6 \geqslant 5$ : il faut le réduire à $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La multiplication du dividende ne se répercute pas linéairement sur le reste, car celui-ci doit toujours rester dans $[0, b[$. Tester avec $a = 8$ et $b = 5$ : $r = 3$, mais pour $2a = 16$, $r = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
Pour $a = 8$, $b = 5$, le reste vaut $3$ ; pour $2a = 16$, le reste vaut $1$ (et non $6$). Les restes ne se multiplient pas mécaniquement, car ils doivent toujours être ramenés dans $[0, b[$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le quotient de la division euclidienne de $0$ par $7$ vaut $0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$0 = 7 \times 0 + 0$ avec $0 \leqslant 0 < 7$ : on a bien $q = 0$ et $r = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le dividende $0$ est divisible par tout entier non nul. La division euclidienne donne $q = 0$ et $r = 0$ : $0 = 7 \times 0 + 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$0 = 7 \times 0 + 0$ : le quotient et le reste valent tous deux $0$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur la division euclidienne dans $\mathbb{Z}$ : quotient, reste, encadrement du reste et cas des entiers négatifs. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
La division euclidienne de $50$ par $7$ donne :
[qcm]
[option]quotient $7$, reste $-1$[/option]
[option correct="true"]quotient $7$, reste $1$[/option]
[option]quotient $6$, reste $8$[/option]
[option]quotient $8$, reste $-6$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On cherche $(q, r)$ tel que $50 = 7q + r$ avec $0 \leqslant r < 7$.
$50 = 7 \times 7 + 1$ et $0 \leqslant 1 < 7$ : donc $q = 7$ et $r = 1$.[/reponse]
[reponse motif="quotient $7$, reste $-1$"]Non.
La condition $0 \leqslant r < 7$ impose un reste positif ou nul. Un reste négatif n'est jamais accepté dans une division euclidienne.[/reponse]
[reponse motif="quotient $6$, reste $8$"]Non.
On a bien $50 = 6 \times 7 + 8$, mais le reste $8$ ne respecte pas $r < |b| = 7$. Augmenter le quotient pour réduire le reste sous $7$.[/reponse]
[reponse motif="quotient $8$, reste $-6$"]Non.
$50 = 8 \times 7 - 6 = 56 - 6$ : l'égalité numérique est juste, mais $-6$ n'est pas un reste valide. Le reste doit toujours vérifier $0 \leqslant r < 7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les deux conditions doivent être vérifiées simultanément : $a = bq + r$ et $0 \leqslant r < |b|$. La seconde est la plus souvent oubliée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est le reste de la division euclidienne de $-29$ par $6$ ?
[qcm]
[option]$-1$[/option]
[option correct="true"]$1$[/option]
[option]$5$[/option]
[option]$-5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On cherche $(q, r)$ tel que $-29 = 6q + r$ avec $0 \leqslant r < 6$.
$-29 = 6 \times (-5) + 1 = -30 + 1$ et $0 \leqslant 1 < 6$. Le reste est donc $1$.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
On a écrit $-29 = 6 \times (-4) + (-5)$ ou un calcul du même type, donnant un reste négatif. Or le reste doit être positif ou nul.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
$5$ correspondrait à $-29 = 6 \times (-?) + 5$ : reprendre le calcul $6 \times (-5) = -30$, donc $-29 = -30 + 1$.[/reponse]
[reponse motif="$-5$"]Non.
Le calcul $-29 = 6 \times (-4) - 5$ est juste, mais $-5$ n'est pas un reste valide. Diminuer le quotient d'une unité (passer de $-4$ à $-5$) pour ramener le reste dans $[0, 6[$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour un dividende négatif, choisir $q$ légèrement inférieur au quotient « naturel » de manière que $bq \leqslant a < b(q+1)$. Le reste $r = a - bq$ sera alors positif.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le reste de la division euclidienne d'un entier $a$ par $5$ peut être :
[qcm]
[option]un entier de l'ensemble $\{1,2,3,4,5\}$[/option]
[option]un entier de l'ensemble $\{0,1,2,3,4,5\}$[/option]
[option correct="true"]un entier de l'ensemble $\{0,1,2,3,4\}$[/option]
[option]un entier négatif éventuellement[/option]
[reponse statut="correct"]C'est cela !
Le reste $r$ de la division euclidienne par $b = 5$ vérifie $0 \leqslant r < 5$. Les valeurs entières possibles sont donc $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ : exactement $5$ valeurs.[/reponse]
[reponse motif="un entier de l'ensemble $\{1,2,3,4,5\}$"]Non.
Deux erreurs : $0$ est un reste possible (cas où $a$ est divisible par $5$), et $5$ ne l'est pas (l'inégalité est stricte : $r < 5$).[/reponse]
[reponse motif="un entier de l'ensemble $\{0,1,2,3,4,5\}$"]Non.
$5$ ne peut pas être un reste : l'inégalité $r < |b|$ est stricte. Si $r = 5$, on peut écrire $a = 5q + 5 = 5(q+1) + 0$ et conclure que le reste vaut $0$.[/reponse]
[reponse motif="un entier négatif éventuellement"]Non.
La définition impose $r \geqslant 0$ : un reste n'est jamais négatif, même quand le dividende l'est.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La double inégalité $0 \leqslant r < |b|$ est stricte à droite et large à gauche. Pour $b = 5$, énumérer les entiers compatibles.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Si $a$ est divisible par $b$ (avec $b > 0$), alors le reste $r$ de la division euclidienne de $a$ par $b$ vaut :
[qcm]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[option]$b$[/option]
[option]$a$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$a$ divisible par $b$ signifie qu'il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $a = bk$. On peut donc écrire $a = bk + 0$ avec $0 \leqslant 0 < b$ : le reste est $0$. C'est même la caractérisation usuelle de la divisibilité.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$1$ n'est pas la réponse : la divisibilité signifie que la division « tombe juste », donc sans aucun reste résiduel.[/reponse]
[reponse motif="$b$"]Non.
$b$ ne peut pas être un reste : la condition $r < b$ est stricte. Si on obtenait $r = b$, on ajusterait le quotient ($+1$) pour ramener le reste à $0$.[/reponse]
[reponse motif="$a$"]Non.
Cela voudrait dire $a = bq + a$, soit $bq = 0$, donc $q = 0$ (puisque $b \neq 0$). Ce n'est cohérent que pour $a = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repartir de la définition : $a$ divisible par $b$ équivaut à dire que le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul (voir le cours).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le reste de la division euclidienne de $-100$ par $7$ vaut :
[qcm]
[option]$2$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$-2$[/option]
[option]$-5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On cherche $(q, r)$ avec $-100 = 7q + r$ et $0 \leqslant r < 7$.
$7 \times (-15) = -105$, donc $-100 = 7 \times (-15) + 5$. Comme $0 \leqslant 5 < 7$, le reste est $5$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
On a probablement calculé la division de $100$ par $7$ ($100 = 7 \times 14 + 2$) puis recopié le reste. Mais pour un dividende négatif, le quotient et le reste se calculent différemment.[/reponse]
[reponse motif="$-2$"]Non.
On a fait $-100 = 7 \times (-14) - 2$ : l'égalité est juste, mais $-2$ n'est pas un reste valide. Il faut décaler le quotient pour rendre le reste positif.[/reponse]
[reponse motif="$-5$"]Non.
Un reste ne peut jamais être négatif, même pour un dividende négatif. La condition $r \geqslant 0$ s'applique toujours.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour un dividende négatif, descendre le quotient d'un cran sous le « quotient naturel » jusqu'à ce que $bq \leqslant a$. Le reste $r = a - bq$ sera alors positif.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $n$ un entier relatif. Le reste de la division euclidienne de $4n + 11$ par $4$ vaut :
[qcm]
[option]$11$[/option]
[option]$0$[/option]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On a $4n + 11 = 4n + 8 + 3 = 4(n+2) + 3$, et $0 \leqslant 3 < 4$. Le reste est donc $3$.[/reponse]
[reponse motif="$11$"]Non.
$11$ ne respecte pas $r < 4$. L'écriture $4n + 11$ n'est pas une division euclidienne tant que la partie constante n'est pas réduite sous $4$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
Le reste vaudrait $0$ uniquement si la partie constante était divisible par $4$ : ici $11$ ne l'est pas.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$1$ correspondrait à un calcul du type $4(n+3) - 1$. Bien décomposer $11 = 4 \times 2 + 3$ pour faire apparaître un multiple de $4$ et un reste valide.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Décomposer $11$ comme $4 \times 2 + 3$ pour faire apparaître la forme $4q' + r$ avec $0 \leqslant r < 4$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

1. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de -1564 par 121
2. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de 1564 par -121
3. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de -1564 par -121