Écriture scientifique : des globules rouges à la distance Terre-Lune

[enonce]
Le corps humain contient environ $25\,000\,000\,000\,000$ globules rouges. Chacun a un diamètre d'environ $0{,}000\,007$ mètre.

On imagine que l'on aligne tous ces globules rouges les uns derrière les autres, en les faisant se toucher.

On cherche à estimer la longueur totale obtenue, puis à comparer son ordre de grandeur à la distance Terre-Lune, qui vaut environ $384\,400$ km. Suivre les étapes pour y parvenir.
[/enonce]

[etape]
Donner l'écriture scientifique du diamètre d'un globule rouge, en mètres.
[qcm]
[option]$7 \times 10^{6}$[/option]
[option correct="true"]$7 \times 10^{-6}$[/option]
[option]$0{,}7 \times 10^{-5}$[/option]
[option]$7 \times 10^{-5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le premier chiffre non nul est $7$. La virgule est déplacée de $6$ rangs vers la droite, et le nombre est plus petit que $1$, donc l'exposant est négatif.[/reponse]
[reponse motif="$7 \times 10^{6}$"]Attention au signe de l'exposant.
Le nombre $0{,}000\,007$ est plus petit que $1$ : quel signe doit alors avoir l'exposant ?[/reponse]
[reponse motif="$0{,}7 \times 10^{-5}$"]Rappel : dans une écriture scientifique $a \times 10^{n}$, le nombre $a$ doit vérifier $1 \leqslant a < 10$.
Or $0{,}7$ n'est pas dans cet intervalle.[/reponse]
[reponse motif="$7 \times 10^{-5}$"]Recompter les rangs.
Combien y a-t-il de positions entre la virgule de départ et sa nouvelle place, juste après le $7$ ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Repérer le premier chiffre non nul, placer la virgule juste après, puis compter le nombre de rangs et déterminer le signe de l'exposant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Donner l'écriture scientifique du nombre de globules rouges du corps.
[qcm]
[option correct="true"]$2{,}5 \times 10^{13}$[/option]
[option]$25 \times 10^{12}$[/option]
[option]$2{,}5 \times 10^{12}$[/option]
[option]$2{,}5 \times 10^{-13}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La virgule est placée après le premier $2$ pour obtenir $2{,}5$, et elle a été déplacée de $13$ rangs vers la gauche.[/reponse]
[reponse motif="$25 \times 10^{12}$"]Le calcul donne la bonne valeur, mais ce n'est pas une écriture scientifique.
Dans $a \times 10^{n}$, le nombre $a$ doit vérifier $1 \leqslant a < 10$ : est-ce le cas de $25$ ?[/reponse]
[reponse motif="$2{,}5 \times 10^{12}$"]Recompter les rangs séparant la nouvelle place de la virgule de sa position de départ.[/reponse]
[reponse motif="$2{,}5 \times 10^{-13}$"]Attention au signe de l'exposant.
Ce nombre est très grand : quel signe doit alors avoir l'exposant ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Placer la virgule juste après le premier chiffre non nul, puis compter les rangs et déterminer le signe de l'exposant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On imagine tous ces globules alignés bout à bout.

Calculer la longueur totale $L$, en mètres, et donner le résultat en écriture scientifique : $L = $ [[long]] m.
[math id="long" attendu="1.75 \times 10^{8}"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On multiplie les nombres entre eux et les puissances de $10$ entre elles : $7 \times 2{,}5 = 17{,}5$ et $10^{-6} \times 10^{13} = 10^{7}$, soit $17{,}5 \times 10^{7}$, que l'on réécrit en notation scientifique.[/reponse]
[reponse statut="format"]La valeur est correcte, mais elle n'est pas en écriture scientifique.
Le nombre placé devant la puissance de $10$ doit être compris entre $1$ et $10$.[/reponse]
[reponse motif="17.5 \times 10^{7}"]La valeur est juste, mais ce n'est pas une écriture scientifique.
Réécrire $17{,}5$ sous la forme $a \times 10^{n}$ avec $1 \leqslant a < 10$, puis regrouper les puissances de $10$.[/reponse]
[reponse motif="1.75 \times 10^{7}"]Vérifier la somme des exposants des puissances de $10$.
On additionne $-6$ et $13$ : quel est le résultat ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Regrouper d'un côté les nombres $7$ et $2{,}5$, de l'autre les puissances $10^{-6}$ et $10^{13}$, puis appliquer la règle du produit.[/reponse]
[aide essai="2"]Multiplier $7$ par $2{,}5$, et additionner les exposants $-6$ et $13$.[/aide]
[aide essai="3"]On obtient $17{,}5 \times 10^{7}$. Ce nombre n'est pas encore en écriture scientifique : réécrire $17{,}5$ sous la forme $1{,}75 \times 10^{1}$.[/aide]
[/math]
[solution]$L = 7 \times 10^{-6} \times 2{,}5 \times 10^{13} = (7 \times 2{,}5) \times 10^{-6+13} = 17{,}5 \times 10^{7} = 1{,}75 \times 10^{8}$ m.[/solution]
[/etape]

[etape]
On souhaite maintenant exprimer cette longueur en kilomètres. On rappelle qu'un kilomètre vaut $1\,000$ mètres.

Donner la longueur en kilomètres, en écriture scientifique : $L = $ [[longkm]] km.
[math id="longkm" attendu="1.75 \times 10^{5}"]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Passer des mètres aux kilomètres revient à diviser par $10^{3}$, donc à soustraire $3$ à l'exposant : $10^{8} \div 10^{3} = 10^{5}$.[/reponse]
[reponse statut="format"]La valeur est correcte, mais le nombre devant la puissance de $10$ doit être compris entre $1$ et $10$.[/reponse]
[reponse motif="1.75 \times 10^{11}"]Pour convertir des mètres en kilomètres, on divise par $1\,000$ : l'exposant doit-il augmenter ou diminuer ?[/reponse]
[reponse motif="1.75 \times 10^{8}"]La valeur est restée en mètres.
La conversion en kilomètres modifie la puissance de $10$ : par quoi divise-t-on pour passer des mètres aux kilomètres ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Diviser par $10^{3}$ revient à appliquer la règle du quotient sur les puissances de $10$ : on soustrait les exposants.[/reponse]
[aide essai="2"]Diviser par $1\,000 = 10^{3}$ : appliquer la règle du quotient $\dfrac{10^{8}}{10^{3}} = 10^{8-3}$.[/aide]
[aide essai="3"]Le nombre devant la puissance, $1{,}75$, ne change pas. Seul l'exposant passe de $8$ à $8 - 3$.[/aide]
[/math]
[solution]$L = \dfrac{1{,}75 \times 10^{8}}{10^{3}} = 1{,}75 \times 10^{8-3} = 1{,}75 \times 10^{5}$ km.[/solution]
[/etape]

[etape]
Déterminer l'ordre de grandeur de cette longueur, en kilomètres.
[qcm]
[option]$10^{6}$ km[/option]
[option correct="true"]$10^{5}$ km[/option]
[option]$2 \times 10^{5}$ km[/option]
[option]$10^{4}$ km[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le nombre placé devant la puissance de $10$ est inférieur à $5$, donc l'ordre de grandeur est la puissance de $10$ elle-même.[/reponse]
[reponse motif="$10^{6}$ km"]Comparer le nombre placé devant $10^{5}$ à $5$ : faut-il arrondir vers le haut ou conserver l'exposant ?[/reponse]
[reponse motif="$2 \times 10^{5}$ km"]Un ordre de grandeur est une puissance de $10$ seule, sans nombre devant (autre que $1$).[/reponse]
[reponse motif="$10^{4}$ km"]Repartir de l'écriture scientifique $a \times 10^{n}$ trouvée à l'étape précédente et examiner l'exposant $n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Écrire la longueur sous la forme $a \times 10^{n}$, puis comparer $a$ à $5$ pour conclure.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La distance Terre-Lune vaut environ $384\,400$ km, soit $3{,}844 \times 10^{5}$ km.

En comparant les ordres de grandeur, que peut-on conclure sur la longueur de la chaîne de globules rouges ?
[qcm]
[option]Elle est environ $1\,000$ fois plus grande que la distance Terre-Lune.[/option]
[option]Elle est environ $1\,000$ fois plus petite que la distance Terre-Lune.[/option]
[option correct="true"]Elle est du même ordre de grandeur que la distance Terre-Lune.[/option]
[option]Elle est exactement égale à la distance Terre-Lune.[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les deux longueurs ont le même ordre de grandeur, $10^{5}$ km : alignés, tous les globules rouges d'un corps couvriraient à peu près la distance qui sépare la Terre de la Lune.[/reponse]
[reponse motif="Elle est environ $1\,000$ fois plus grande que la distance Terre-Lune."]Comparer les exposants des deux longueurs écrites en notation scientifique : un écart de $1\,000$ correspondrait à un écart de $3$ entre les exposants.[/reponse]
[reponse motif="Elle est environ $1\,000$ fois plus petite que la distance Terre-Lune."]Comparer les exposants des deux longueurs : sont-ils très différents ou proches ?[/reponse]
[reponse motif="Elle est exactement égale à la distance Terre-Lune."]L'ordre de grandeur ne donne qu'une valeur approchée : il permet de comparer, pas d'affirmer une égalité exacte.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Comparer l'ordre de grandeur trouvé à l'étape précédente à celui de la distance Terre-Lune.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

La lumière dans l’univers : durées et ordres de grandeur

Dans le vide, la lumière se déplace à une vitesse $ c = 3{,}00 \times 10^{5} $ km/s. Le temps $ t $ mis par un rayon lumineux pour parcourir une distance $ d $ s'obtient par la formule $ t = \dfrac{d}{c} $.

On donne les distances suivantes :

distance Terre-Soleil : $ D_{S} = 1{,}50 \times 10^{8} $ km ;
distance Terre-Lune : $ D_{L} = 3{,}84 \times 10^{5} $ km ;
distance Terre-Proxima du Centaure (étoile la plus proche après le Soleil) : $ D_{P} = 4{,}02 \times 10^{13} $ km.

Calculer le temps $ t_{S} $ mis par la lumière du Soleil pour atteindre la Terre. Donner le résultat en secondes, en écriture scientifique, puis le convertir en minutes et secondes.
Calculer le temps $ t_{L} $ mis par la lumière réfléchie par la Lune pour atteindre la Terre. Donner son écriture scientifique et son ordre de grandeur.
Combien de fois la distance Terre-Proxima est-elle plus grande que la distance Terre-Soleil ? Donner la valeur sous la forme $ a \times 10^{n} $ (avec $ 1 \leqslant a < 10 $), puis l'ordre de grandeur de ce rapport.
Calculer le temps $ t_{P} $ mis par la lumière de Proxima du Centaure pour atteindre la Terre. En utilisant le fait qu'une année correspond à environ $ 3{,}15 \times 10^{7} $ secondes, exprimer $ t_{P} $ en années (à $ 0{,}1 $ année près).

Corrigé

On applique la formule $ t_{S} = \dfrac{D_{S}}{c} $.

$ t_{S} = \dfrac{1{,}50 \times 10^{8}}{3{,}00 \times 10^{5}} = \dfrac{1{,}50}{3{,}00} \times \dfrac{10^{8}}{10^{5}} = 0{,}5 \times 10^{8-5} = 0{,}5 \times 10^{3} $.

En écriture scientifique : $ t_{S} = 5 \times 10^{2} $ s, soit $ 500 $ s.

Pour convertir en minutes : $ 500 = 8 \times 60 + 20 $.

Donc la lumière du Soleil met environ $ 8 $ min $ 20 $ s pour atteindre la Terre.
On calcule de même $ t_{L} = \dfrac{D_{L}}{c} $.

$ t_{L} = \dfrac{3{,}84 \times 10^{5}}{3{,}00 \times 10^{5}} = \dfrac{3{,}84}{3{,}00} \times \dfrac{10^{5}}{10^{5}} = 1{,}28 \times 10^{0} $.

En écriture scientifique, $ t_{L} $ = $ 1{,}28 \times 10^{0} $ s (soit environ $ 1{,}28 $ s).

Comme $ 1{,}28 < 5 $, l'ordre de grandeur est $ 10^{0} = 1 $ s.
On calcule le rapport $ \dfrac{D_{P}}{D_{S}} $.

$ \dfrac{D_{P}}{D_{S}} = \dfrac{4{,}02 \times 10^{13}}{1{,}50 \times 10^{8}} = \dfrac{4{,}02}{1{,}50} \times 10^{13-8} = 2{,}68 \times 10^{5} $.

La distance Terre-Proxima est donc environ $ 2{,}68 \times 10^{5} $ fois plus grande que la distance Terre-Soleil (soit $ 268\,000 $ fois).

Comme $ 2{,}68 < 5 $, l'ordre de grandeur de ce rapport est $\mathbf{10^{5}}$, soit cent mille.
On calcule $ t_{P} = \dfrac{D_{P}}{c} $.

$ t_{P} = \dfrac{4{,}02 \times 10^{13}}{3{,}00 \times 10^{5}} = \dfrac{4{,}02}{3{,}00} \times 10^{13-5} = 1{,}34 \times 10^{8} $ s.

On divise par la durée d'une année :

$ \dfrac{t_{P}}{1 \text{ an}} = \dfrac{1{,}34 \times 10^{8}}{3{,}15 \times 10^{7}} = \dfrac{1{,}34}{3{,}15} \times 10^{8-7} \approx 0{,}425 \times 10^{1} \approx 4{,}25 $.

La lumière de Proxima du Centaure met donc environ $ 4{,}3 $ années pour atteindre la Terre.

Écriture scientifique et préfixes (du nano au giga)

Donner l'écriture scientifique des nombres suivants.
1. $ 47\,500 $
2. $ 0{,}000\,062 $
3. $ 836 \times 10^{4} $
4. $ 0{,}054 \times 10^{-3} $
Convertir chaque grandeur dans l'unité indiquée, puis donner son écriture scientifique.
1. La fréquence d'horloge d'un processeur est de $ 3{,}5 $ GHz. L'exprimer en hertz (Hz).
2. Le diamètre d'un cheveu humain est d'environ $ 80 $ μm. L'exprimer en mètres (m).
3. La longueur d'onde d'un rayon X est de $ 0{,}5 $ nm. L'exprimer en mètres.
4. La masse d'une fourmi est environ $ 4{,}5 $ mg. L'exprimer en kilogrammes (kg).
Une mémoire flash contient $ 256 $ Go (gigaoctets). Sachant qu'un fichier audio occupe en moyenne $ 8 $ Mo (mégaoctets), combien de fichiers peut-on stocker au maximum ?
On donnera le résultat sous forme d'un nombre entier.

Corrigé

On place la virgule juste après le premier chiffre non nul, puis on compte les rangs déplacés.
1. La virgule est déplacée de $ 4 $ rangs vers la gauche : $ 47\,500 $ = $\mathbf{4{,}75 \times 10^{4}}$.
2. La virgule est déplacée de $ 5 $ rangs vers la droite : $ 0{,}000\,062 $ = $\mathbf{6{,}2 \times 10^{-5}}$.
3. On part de $ 836 \times 10^{4} $. On écrit $ 836 = 8{,}36 \times 10^{2} $, puis :
  $ 836 \times 10^{4} = 8{,}36 \times 10^{2} \times 10^{4} = 8{,}36 \times 10^{6} $.
  Donc $ 836 \times 10^{4} $ = $\mathbf{8{,}36 \times 10^{6}}$.
4. On écrit $ 0{,}054 = 5{,}4 \times 10^{-2} $, puis :
  $ 0{,}054 \times 10^{-3} = 5{,}4 \times 10^{-2} \times 10^{-3} = 5{,}4 \times 10^{-5} $.
  Donc $ 0{,}054 \times 10^{-3} $ = $\mathbf{5{,}4 \times 10^{-5}}$.
On utilise les correspondances du tableau de préfixes : G $ = 10^{9} $, M $ = 10^{6} $, k $ = 10^{3} $, m $ = 10^{-3} $, μ $ = 10^{-6} $, n $ = 10^{-9} $.
1. $ 3{,}5 $ GHz $ = 3{,}5 \times 10^{9} $ Hz, ce qui est déjà en écriture scientifique : $ 3{,}5 \times 10^{9} $ Hz.
2. $ 80 $ μm $ = 80 \times 10^{-6} $ m. Or $ 80 = 8 \times 10^{1} $, donc :
  $ 80 \times 10^{-6} = 8 \times 10^{1} \times 10^{-6} = 8 \times 10^{-5} $ m.
  Le diamètre vaut $ 8 \times 10^{-5} $ m.
3. $ 0{,}5 $ nm $ = 0{,}5 \times 10^{-9} $ m. Or $ 0{,}5 = 5 \times 10^{-1} $, donc :
  $ 0{,}5 \times 10^{-9} = 5 \times 10^{-1} \times 10^{-9} = 5 \times 10^{-10} $ m.
  La longueur d'onde vaut $ 5 \times 10^{-10} $ m.
4. $ 4{,}5 $ mg $ = 4{,}5 \times 10^{-3} $ g. Pour passer aux kilogrammes, on divise par $ 1\,000 $ :
  $ 4{,}5 \times 10^{-3} $ g $ = 4{,}5 \times 10^{-3} \times 10^{-3} $ kg $ = 4{,}5 \times 10^{-6} $ kg.
  La masse vaut $ 4{,}5 \times 10^{-6} $ kg.
On exprime les deux capacités dans la même unité, par exemple en octets.

$ 256 $ Go $ = 256 \times 10^{9} $ octets et $ 8 $ Mo $ = 8 \times 10^{6} $ octets.

Le nombre maximal de fichiers est $ N = \dfrac{256 \times 10^{9}}{8 \times 10^{6}} $.

On simplifie : $ N = \dfrac{256}{8} \times \dfrac{10^{9}}{10^{6}} = 32 \times 10^{9-6} = 32 \times 10^{3} = 32\,000 $.

On peut donc stocker au maximum $ 32\,000 $ fichiers.

Vrai/Faux : Ordres de grandeur et comparaisons

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les ordres de grandeur et les comparaisons en écriture scientifique, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : L'ordre de grandeur de $4{,}2 \times 10^{5}$ est $10^{5}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La mantisse $a = 4{,}2$ est strictement inférieure à $5$, donc l'ordre de grandeur reste $10^{n} = 10^{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel de la règle : si $a < 5$, l'ordre de grandeur est $10^{n}$ ; si $a \geqslant 5$, c'est $10^{n+1}$.
Ici $4{,}2 < 5$, donc l'ordre de grandeur est bien $10^{5}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Comme $4{,}2 < 5$, l'ordre de grandeur de $4{,}2 \times 10^{5}$ est $10^{5}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'ordre de grandeur de $7{,}9 \times 10^{3}$ est $10^{3}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La mantisse $a = 7{,}9$ est supérieure ou égale à $5$, donc on augmente l'exposant d'un rang.
L'ordre de grandeur est $10^{n+1} = 10^{4}$, et non $10^{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à la règle d'arrondi : quand $a \geqslant 5$, l'ordre de grandeur est $10^{n+1}$.
Ici $7{,}9 \geqslant 5$, donc l'ordre de grandeur est $10^{4}$, pas $10^{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Comme $7{,}9 \geqslant 5$, l'ordre de grandeur est $10^{4}$, pas $10^{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un milliard se note $10^{9}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Un milliard correspond à $1\,000\,000\,000$, c'est-à-dire un $1$ suivi de $9$ zéros, soit $10^{9}$.
C'est la valeur du préfixe « giga ».[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : un milliard $= 1\,000\,000\,000 = 10^{9}$.
À ne pas confondre avec un million ($10^{6}$) ou mille milliards ($10^{12}$).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Un milliard $= 1\,000\,000\,000 = 10^{9}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
La masse de la Terre est environ $6 \times 10^{24}$ kg et celle de Mars environ $6 \times 10^{20}$ kg.

Affirmation : La Terre est environ $10\,000$ fois plus lourde que Mars.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule le rapport :
$\dfrac{6 \times 10^{24}}{6 \times 10^{20}} = 10^{24-20} = 10^{4} = 10\,000$.
La Terre est donc environ $10\,000$ fois plus lourde que Mars.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour comparer deux nombres en écriture scientifique, on calcule leur rapport.
$\dfrac{6 \times 10^{24}}{6 \times 10^{20}} = 10^{4} = 10\,000$, ce qui correspond à $10\,000$ fois.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{6 \times 10^{24}}{6 \times 10^{20}} = 10^{4} = 10\,000$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $3 \times 10^{-2}$ est plus petit que $4 \times 10^{-3}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On compare en écriture décimale :
$3 \times 10^{-2} = 0{,}03$ et $4 \times 10^{-3} = 0{,}004$.
Donc $3 \times 10^{-2} > 4 \times 10^{-3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de comparer uniquement les mantisses ($3 < 4$) en oubliant les exposants.
$10^{-2} = 0{,}01$ et $10^{-3} = 0{,}001$ : $10^{-2}$ est dix fois plus grand que $10^{-3}$. Donc $3 \times 10^{-2} > 4 \times 10^{-3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $3 \times 10^{-2} = 0{,}03$ et $4 \times 10^{-3} = 0{,}004$ : c'est $3 \times 10^{-2}$ qui est le plus grand.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'écriture scientifique facilite la comparaison de très grands nombres.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
En écriture scientifique, on compare d'abord les exposants : un grand exposant correspond à un grand nombre.
On évite ainsi de compter de longues séries de zéros, et on peut estimer rapidement les ordres de grandeur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : c'est l'un des avantages de l'écriture scientifique.
Pour comparer $3{,}2 \times 10^{12}$ et $9{,}9 \times 10^{8}$, il suffit de regarder les exposants $12 > 8$ : pas besoin d'écrire les nombres en entier.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La comparaison se fait d'abord sur les exposants, ce qui simplifie l'analyse des grands nombres.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Écriture scientifique et préfixes

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur l'écriture scientifique et les préfixes des unités, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $0{,}047$ s'écrit $4{,}7 \times 10^{-2}$ en écriture scientifique.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On place la virgule après le premier chiffre non nul : $a = 4{,}7$.
La virgule a été déplacée de $2$ rangs vers la droite, donc $n = -2$ : $0{,}047 = 4{,}7 \times 10^{-2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour un nombre $< 1$, l'exposant est négatif.
Ici, on déplace la virgule de $2$ rangs vers la droite pour obtenir $4{,}7$, donc $n = -2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $0{,}047 = 4{,}7 \times 10^{-2}$ : mantisse entre $1$ et $10$, exposant négatif.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $5\,300\,000$ s'écrit $53 \times 10^{5}$ en écriture scientifique.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La mantisse $a = 53$ est trop grande : en écriture scientifique, on doit avoir $1 \leqslant a < 10$.
La forme correcte est $5\,300\,000 = 5{,}3 \times 10^{6}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à la condition sur la mantisse : il faut $1 \leqslant a < 10$.
Ici $53 \geqslant 10$, donc l'écriture n'est pas scientifique. La forme correcte est $5{,}3 \times 10^{6}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $53$ ne respecte pas $1 \leqslant a < 10$. L'écriture scientifique correcte est $5{,}3 \times 10^{6}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $1$ kg est égal à $10^{3}$ g.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le préfixe « kilo » signifie « mille » : $1$ kg $= 1\,000$ g $= 10^{3}$ g.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : le préfixe « kilo » correspond à $10^{3}$, donc $1$ kg $= 10^{3}$ g $= 1\,000$ g.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le préfixe « kilo » correspond à $10^{3}$ : $1$ kg $= 10^{3}$ g.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $1$ μm est égal à $10^{-3}$ m.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le préfixe « micro » correspond à $10^{-6}$, pas $10^{-3}$.
$1$ μm $= 10^{-6}$ m, et $10^{-3}$ m correspond au préfixe « milli ».[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « micro » ($\mu$) et « milli » (m).
$1$ μm $= 10^{-6}$ m (un millionième de mètre) ; $1$ mm $= 10^{-3}$ m (un millième).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $1$ μm $= 10^{-6}$ m, et non $10^{-3}$ m (qui correspond à $1$ mm).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $2{,}5 \times 10^{-4}$ est un nombre négatif.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : il indique simplement un nombre petit.
$2{,}5 \times 10^{-4} = 0{,}000\,25 > 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de confondre exposant négatif et nombre négatif.
$10^{-4}$ signifie « inverse de $10^{4}$ », pas « opposé ». Donc $2{,}5 \times 10^{-4} = 0{,}00025$ est positif.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Un exposant négatif n'indique pas un nombre négatif : $2{,}5 \times 10^{-4} = 0{,}00025$ est positif.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans l'écriture scientifique $a \times 10^{n}$ d'un nombre positif, on doit avoir $1 \leqslant a < 10$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
C'est exactement la définition de l'écriture scientifique : la mantisse $a$ doit avoir un seul chiffre non nul avant la virgule, donc $1 \leqslant a < 10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : c'est précisément cette contrainte sur la mantisse qui rend l'écriture scientifique unique.
Sans cette condition, on aurait plusieurs écritures pour le même nombre (par exemple $30 \times 10^{2}$ et $3 \times 10^{3}$).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La mantisse doit vérifier $1 \leqslant a < 10$ : c'est la définition de l'écriture scientifique.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Puissances et écriture scientifique

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : puissances, écriture scientifique et ordres de grandeur. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est la forme simplifiée de $\dfrac{\left(10^{3}\right)^{2} \times 10^{-1}}{10^{4}}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$10^{1}$[/option]
[option]$10^{9}$[/option]
[option]$10^{-1}$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On simplifie étape par étape :
$\left(10^{3}\right)^{2} = 10^{6}$, puis $10^{6} \times 10^{-1} = 10^{5}$, puis $\dfrac{10^{5}}{10^{4}} = 10^{1}$.[/reponse]
[reponse motif="$10^{9}$"]Non.
On a additionné tous les exposants ($6 + (-1) + 4 = 9$) au lieu de soustraire l'exposant du dénominateur.
La règle du quotient utilise une soustraction.[/reponse]
[reponse motif="$10^{-1}$"]Non.
Erreur de signe lors de la soustraction : $6 + (-1) - 4 = 1$, pas $-1$.
Vérifier le calcul d'exposant final.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$1 = 10^{0}$ : il y a une erreur d'un rang dans le calcul de l'exposant.
$6 + (-1) - 4 = 1$, donc le résultat est $10^{1} = 10$, pas $10^{0} = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{10^{6} \times 10^{-1}}{10^{4}} = 10^{6-1-4} = 10^{1}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est l'écriture scientifique du résultat de $(3 \times 10^{-2}) \times (4 \times 10^{7})$ ?
[qcm]
[option]$12 \times 10^{5}$[/option]
[option]$7 \times 10^{5}$[/option]
[option]$12 \times 10^{-14}$[/option]
[option correct="true"]$1{,}2 \times 10^{6}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On multiplie les mantisses : $3 \times 4 = 12$, et on additionne les exposants : $-2 + 7 = 5$.
Donc le produit vaut $12 \times 10^{5}$, mais $12 \geqslant 10$ : il faut convertir en écriture scientifique.
$12 = 1{,}2 \times 10^{1}$, donc $12 \times 10^{5} = 1{,}2 \times 10^{6}$.[/reponse]
[reponse motif="$12 \times 10^{5}$"]Pas tout à fait.
La valeur est correcte, mais $12 \geqslant 10$, donc ce n'est pas une écriture scientifique valide.
Il faut ajuster la mantisse pour qu'elle soit entre $1$ et $10$.[/reponse]
[reponse motif="$7 \times 10^{5}$"]Non.
On a additionné les mantisses ($3 + 4 = 7$) au lieu de les multiplier.
La règle du produit demande $3 \times 4 = 12$ pour la mantisse.[/reponse]
[reponse motif="$12 \times 10^{-14}$"]Non.
On a multiplié les exposants ($-2 \times 7 = -14$) au lieu de les additionner.
Pour un produit de puissances de même base : $10^{-2} \times 10^{7} = 10^{-2+7} = 10^{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$(3 \times 10^{-2}) \times (4 \times 10^{7}) = 12 \times 10^{5} = 1{,}2 \times 10^{6}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ordre de grandeur de $4{,}3 \times 10^{7}$ ?
[qcm]
[option]$10^{8}$[/option]
[option]$4 \times 10^{7}$[/option]
[option correct="true"]$10^{7}$[/option]
[option]$10^{6}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La mantisse $a = 4{,}3$ est strictement inférieure à $5$, donc l'ordre de grandeur est $10^{n} = 10^{7}$.[/reponse]
[reponse motif="$10^{8}$"]Non.
On a arrondi par excès, mais la mantisse $4{,}3$ est inférieure à $5$.
Quand $a < 5$, l'ordre de grandeur reste $10^{n}$, sans augmenter l'exposant.[/reponse]
[reponse motif="$4 \times 10^{7}$"]Non.
Un ordre de grandeur est une puissance de $10$, pas un nombre quelconque.
On garde uniquement $10^{n}$ ou $10^{n+1}$.[/reponse]
[reponse motif="$10^{6}$"]Non.
On a diminué l'exposant d'un rang.
La règle est : $a < 5 \Rightarrow 10^{n}$ ; $a \geqslant 5 \Rightarrow 10^{n+1}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comme $4{,}3 < 5$, l'ordre de grandeur est $10^{7}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ordre de grandeur de $6{,}9 \times 10^{-3}$ ?
[qcm]
[option]$10^{-3}$[/option]
[option correct="true"]$10^{-2}$[/option]
[option]$7 \times 10^{-3}$[/option]
[option]$10^{-1}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La mantisse $a = 6{,}9$ est supérieure ou égale à $5$, donc l'ordre de grandeur est $10^{n+1} = 10^{-3+1} = 10^{-2}$.[/reponse]
[reponse motif="$10^{-3}$"]Non.
On a oublié d'augmenter l'exposant.
Quand $a \geqslant 5$, l'ordre de grandeur est $10^{n+1}$, donc l'exposant augmente d'un rang.[/reponse]
[reponse motif="$7 \times 10^{-3}$"]Non.
Un ordre de grandeur est une puissance de $10$, pas un nombre quelconque.
On garde uniquement $10^{n}$ ou $10^{n+1}$.[/reponse]
[reponse motif="$10^{-1}$"]Non.
L'exposant a été augmenté de deux rangs au lieu d'un seul.
La règle ajoute $+1$ à l'exposant quand $a \geqslant 5$, pas $+2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comme $6{,}9 \geqslant 5$, l'ordre de grandeur est $10^{-3+1} = 10^{-2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La masse d'un atome de carbone est environ $2 \times 10^{-26}$ kg. Quelle est cette masse exprimée en grammes ?

Rappel : $1$ kg $= 10^{3}$ g.
[qcm]
[option]$2 \times 10^{-29}$ g[/option]
[option]$2 \times 10^{-26}$ g[/option]
[option]$20 \times 10^{-26}$ g[/option]
[option correct="true"]$2 \times 10^{-23}$ g[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On multiplie la masse en kg par $10^{3}$ :
$2 \times 10^{-26} \times 10^{3} = 2 \times 10^{-26+3} = 2 \times 10^{-23}$ g.[/reponse]
[reponse motif="$2 \times 10^{-29}$ g"]Non.
Le signe a été inversé : on a fait $-26 - 3 = -29$ au lieu de $-26 + 3 = -23$.
Pour passer des kg aux grammes, on multiplie par $10^{3}$, donc on ajoute $3$ à l'exposant.[/reponse]
[reponse motif="$2 \times 10^{-26}$ g"]Non.
On a oublié la conversion : $1$ kg ne fait pas $1$ g.
Il faut multiplier par $10^{3}$ pour passer des kg aux grammes.[/reponse]
[reponse motif="$20 \times 10^{-26}$ g"]Non.
On a multiplié la mantisse par $10$ au lieu de modifier l'exposant.
Multiplier par $10^{3}$ ajoute $3$ à l'exposant, et la mantisse reste à $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$2 \times 10^{-26}$ kg $\times 10^{3} = 2 \times 10^{-23}$ g.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une bactérie mesure environ $2 \times 10^{-6}$ m. Combien faut-il de bactéries alignées côte à côte pour atteindre une longueur de $1$ mm ?

Rappel : $1$ mm $= 10^{-3}$ m.
[qcm]
[option correct="true"]$500$[/option]
[option]$2 \times 10^{9}$[/option]
[option]$200$[/option]
[option]$5 \times 10^{-9}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le nombre de bactéries vaut $\dfrac{1\text{ mm}}{2 \times 10^{-6}\text{ m}} = \dfrac{10^{-3}}{2 \times 10^{-6}} = \dfrac{1}{2} \times 10^{-3-(-6)} = 0{,}5 \times 10^{3} = 500$.[/reponse]
[reponse motif="$2 \times 10^{9}$"]Non.
On a multiplié les deux longueurs au lieu de diviser.
Pour savoir combien de fois une longueur entre dans une autre, on divise.[/reponse]
[reponse motif="$200$"]Non.
Le calcul d'exposant est incorrect : $-3 - (-6) = 3$, pas $2$.
Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé.[/reponse]
[reponse motif="$5 \times 10^{-9}$"]Non.
Le signe de l'exposant est incorrect.
Comme $1$ mm est plus grand qu'une bactérie, le nombre de bactéries est un grand nombre, donc l'exposant doit être positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{10^{-3}}{2 \times 10^{-6}} = 0{,}5 \times 10^{3} = 500$ bactéries.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Écriture scientifique

[enonce]
Ce QCM porte sur l'écriture scientifique d'un nombre décimal : passage entre écriture décimale et écriture scientifique, identification d'une écriture correcte. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est l'écriture scientifique de $47\,800$ ?
[qcm]
[option]$47{,}8 \times 10^{3}$[/option]
[option correct="true"]$4{,}78 \times 10^{4}$[/option]
[option]$478 \times 10^{2}$[/option]
[option]$4{,}78 \times 10^{-4}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On place la virgule juste après le premier chiffre non nul : $a = 4{,}78$.
La virgule a été déplacée de $4$ rangs vers la gauche, donc $n = 4$ :
$47\,800 = 4{,}78 \times 10^{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$47{,}8 \times 10^{3}$"]Non.
La mantisse $a = 47{,}8$ est trop grande : il faut $1 \leqslant a < 10$.
Il faut placer la virgule après le premier chiffre non nul.[/reponse]
[reponse motif="$478 \times 10^{2}$"]Non.
La mantisse $a = 478$ est trop grande : il faut $1 \leqslant a < 10$.
Il faut placer la virgule après le premier chiffre non nul.[/reponse]
[reponse motif="$4{,}78 \times 10^{-4}$"]Non.
Le signe de l'exposant est incorrect.
Pour un nombre $\geqslant 10$, l'exposant est positif. Pour un nombre $< 1$, il est négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$47\,800 = 4{,}78 \times 10^{4}$ (mantisse entre $1$ et $10$, exposant positif car nombre grand).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est l'écriture scientifique de $0{,}003\,5$ ?
[qcm]
[option]$3{,}5 \times 10^{3}$[/option]
[option]$35 \times 10^{-4}$[/option]
[option correct="true"]$3{,}5 \times 10^{-3}$[/option]
[option]$0{,}35 \times 10^{-2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On place la virgule juste après le premier chiffre non nul : $a = 3{,}5$.
La virgule a été déplacée de $3$ rangs vers la droite, donc $n = -3$ :
$0{,}0035 = 3{,}5 \times 10^{-3}$.[/reponse]
[reponse motif="$3{,}5 \times 10^{3}$"]Non.
Le signe de l'exposant est incorrect.
Pour un nombre $< 1$, l'exposant est négatif.[/reponse]
[reponse motif="$35 \times 10^{-4}$"]Non.
La mantisse $a = 35$ est trop grande : il faut $1 \leqslant a < 10$.
Il faut placer la virgule après le premier chiffre non nul.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}35 \times 10^{-2}$"]Non.
La mantisse $a = 0{,}35$ est trop petite : il faut $1 \leqslant a < 10$.
Il faut placer la virgule après le premier chiffre non nul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$0{,}0035 = 3{,}5 \times 10^{-3}$ (mantisse entre $1$ et $10$, exposant négatif car nombre petit).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Parmi ces écritures, laquelle est une écriture scientifique correcte ?
[qcm]
[option]$0{,}5 \times 10^{4}$[/option]
[option]$12 \times 10^{-2}$[/option]
[option correct="true"]$7{,}3 \times 10^{5}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2} \times 10^{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La mantisse $a = 7{,}3$ vérifie bien $1 \leqslant a < 10$, et l'exposant est un entier relatif.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5 \times 10^{4}$"]Non.
La mantisse $0{,}5$ est strictement inférieure à $1$.
En écriture scientifique, on doit avoir $1 \leqslant a < 10$.[/reponse]
[reponse motif="$12 \times 10^{-2}$"]Non.
La mantisse $12$ est supérieure ou égale à $10$.
En écriture scientifique, on doit avoir $1 \leqslant a < 10$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2} \times 10^{3}$"]Non.
La mantisse doit être un nombre décimal entre $1$ et $10$, pas une fraction inférieure à $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une écriture scientifique a la forme $a \times 10^{n}$ avec $1 \leqslant a < 10$ et $n$ entier relatif.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est l'écriture décimale de $6{,}02 \times 10^{-4}$ ?
[qcm]
[option]$60\,200$[/option]
[option]$0{,}006\,02$[/option]
[option correct="true"]$0{,}000\,602$[/option]
[option]$-60\,200$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'exposant est $-4$ : on déplace la virgule de $4$ rangs vers la gauche.
$6{,}02 \times 10^{-4} = 0{,}000\,602$.[/reponse]
[reponse motif="$60\,200$"]Non.
Le signe de l'exposant est négatif : la virgule se déplace vers la gauche, pas vers la droite.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}006\,02$"]Non.
La virgule a été déplacée de $3$ rangs au lieu de $4$.
$10^{-4}$ correspond à un décalage de $4$ rangs vers la gauche.[/reponse]
[reponse motif="$-60\,200$"]Non.
L'exposant négatif ne rend pas le nombre négatif.
Il signifie un décalage de la virgule vers la gauche.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$6{,}02 \times 10^{-4} = 0{,}000602$ (virgule décalée de $4$ rangs vers la gauche).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est l'écriture scientifique de $32\,000\,000$ ?
[qcm]
[option]$32 \times 10^{6}$[/option]
[option]$3{,}2 \times 10^{6}$[/option]
[option correct="true"]$3{,}2 \times 10^{7}$[/option]
[option]$0{,}32 \times 10^{8}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On place la virgule après le premier chiffre non nul : $a = 3{,}2$.
La virgule a été déplacée de $7$ rangs vers la gauche : $32\,000\,000 = 3{,}2 \times 10^{7}$.[/reponse]
[reponse motif="$32 \times 10^{6}$"]Non.
La mantisse $32$ est trop grande : il faut $1 \leqslant a < 10$.
Il faut décaler la virgule d'un rang supplémentaire.[/reponse]
[reponse motif="$3{,}2 \times 10^{6}$"]Non.
On a oublié un rang dans le décalage de la virgule.
Compter les chiffres après le premier : $32\,000\,000$ a $7$ rangs de décalage.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}32 \times 10^{8}$"]Non.
La mantisse $0{,}32$ est strictement inférieure à $1$.
En écriture scientifique, on doit avoir $1 \leqslant a < 10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$32\,000\,000 = 3{,}2 \times 10^{7}$ (la virgule se déplace de $7$ rangs vers la gauche).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est l'écriture scientifique du résultat de $(2 \times 10^{4}) \times (3 \times 10^{5})$ ?
[qcm]
[option]$5 \times 10^{9}$[/option]
[option correct="true"]$6 \times 10^{9}$[/option]
[option]$6 \times 10^{20}$[/option]
[option]$6 \times 10^{45}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On multiplie les mantisses entre elles et on additionne les exposants :
$(2 \times 10^{4}) \times (3 \times 10^{5}) = (2 \times 3) \times 10^{4+5} = 6 \times 10^{9}$.[/reponse]
[reponse motif="$5 \times 10^{9}$"]Non.
On a additionné les mantisses au lieu de les multiplier : $2 + 3 = 5$.
La règle du produit demande $2 \times 3 = 6$ pour la mantisse.[/reponse]
[reponse motif="$6 \times 10^{20}$"]Non.
On a multiplié les exposants au lieu de les additionner : $4 \times 5 = 20$.
Pour un produit de puissances de même base : $10^{4} \times 10^{5} = 10^{4+5} = 10^{9}$.[/reponse]
[reponse motif="$6 \times 10^{45}$"]Non.
On a concaténé les exposants $4$ et $5$ pour former $45$.
Pour un produit de puissances de même base, on additionne les exposants.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$(2 \times 10^{4}) \times (3 \times 10^{5}) = 6 \times 10^{9}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]