[enonce]
Ce QCM porte sur les sections de solides et les propriétés de la sphère. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Un plan coupe une sphère en passant par son centre. Quelle est la nature de la section obtenue ?

[qcm]
[option]Un cercle de rayon inférieur à celui de la sphère[/option]
[option correct="true"]Un grand cercle de même rayon que la sphère[/option]
[option]Un disque de même rayon que la sphère[/option]
[option]Une ellipse[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Lorsqu'un plan passe par le centre de la sphère, la section est un grand cercle, c'est-à-dire un cercle de même centre et de même rayon que la sphère.[/reponse]
[reponse motif="Un cercle de rayon inférieur à celui de la sphère"]Non.
Un cercle de rayon plus petit est obtenu quand le plan ne passe pas par le centre. Ici le plan passe par le centre, donc la section a le même rayon que la sphère.[/reponse]
[reponse motif="Un disque de même rayon que la sphère"]Pas tout à fait.
La section d'une sphère (surface) par un plan est un cercle, pas un disque. Le disque correspondrait à la section d'une boule (solide plein).[/reponse]
[reponse motif="Une ellipse"]Non.
La section d'une sphère par un plan est toujours un cercle, jamais une ellipse. L'ellipse apparaît dans la section d'un cylindre par un plan oblique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La section d'une sphère par un plan passant par le centre est un grand cercle : un cercle de même rayon que la sphère.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une sphère de centre $O$ et de rayon $5$ cm est coupée par un plan situé à $3$ cm du centre. Calculer le rayon $r$ du cercle de section.

[qcm]
[option correct="true"]$4$ cm[/option]
[option]$\sqrt{34}$ cm[/option]
[option]$2$ cm[/option]
[option]$16$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le triangle $OIM$ est rectangle en $I$. D'après le théorème de Pythagore :
$OM^2 = OI^2 + IM^2$
$5^2 = 3^2 + r^2$
$25 = 9 + r^2$
$r^2 = 16$, donc $r = 4$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{34}$ cm"]Non.
Il faut soustraire les carrés, pas les additionner. Le rayon de la sphère est l'hypoténuse du triangle rectangle $OIM$, donc $r^2 = R^2 - d^2$.[/reponse]
[reponse motif="$2$ cm"]Non.
Le rayon de la section ne s'obtient pas en soustrayant directement les longueurs ($5 - 3$). Il faut utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle $OIM$.[/reponse]
[reponse motif="$16$ cm"]Non.
Il ne faut pas oublier de prendre la racine carrée. On trouve $r^2 = 16$, donc $r = \sqrt{16} = 4$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle $OIM$ rectangle en $I$ : $r^2 = R^2 - d^2 = 25 - 9 = 16$, donc $r = 4$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On coupe un cube par un plan parallèle à l'une de ses faces. Quelle est la nature de la section ?

[qcm]
[option]Un rectangle[/option]
[option]Un losange[/option]
[option correct="true"]Un carré de mêmes dimensions que la face[/option]
[option]Un hexagone régulier[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La section d'un cube par un plan parallèle à une face est un carré de mêmes dimensions que cette face. Chaque côté de la section est parallèle et égal au côté correspondant de la face.[/reponse]
[reponse motif="Un rectangle"]Pas tout à fait.
Un carré est bien un rectangle particulier, mais la réponse la plus précise est qu'il s'agit d'un carré. Un cube ayant toutes ses faces carrées, la section parallèle à une face est aussi un carré.[/reponse]
[reponse motif="Un losange"]Non.
Un losange a quatre côtés égaux mais pas forcément quatre angles droits. Ici, la section a quatre côtés égaux et quatre angles droits : c'est un carré.[/reponse]
[reponse motif="Un hexagone régulier"]Non.
On obtient un hexagone lorsqu'on coupe un cube par un plan diagonal passant par les milieux de six arêtes. Ici, le plan est parallèle à une face, donc la section est un carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La section d'un cube par un plan parallèle à l'une de ses faces est un carré identique à cette face.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer l'aire de la sphère de rayon $5$ cm.

[qcm]
[option]$25\pi$ cm²[/option]
[option correct="true"]$100\pi$ cm²[/option]
[option]$\dfrac{500\pi}{3}$ cm²[/option]
[option]$20\pi$ cm²[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'aire d'une sphère est $\mathscr{A} = 4\pi r^2$.
$\mathscr{A} = 4 \times \pi \times 5^2 = 4 \times 25\pi = 100\pi$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$25\pi$ cm²"]Non.
La valeur $\pi r^2 = 25\pi$ est l'aire d'un disque de rayon $5$, pas l'aire de la sphère. L'aire de la sphère est quatre fois plus grande.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{500\pi}{3}$ cm²"]Non.
La formule $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ donne le volume de la boule, pas l'aire de la sphère. L'aire est $\mathscr{A} = 4\pi r^2$.[/reponse]
[reponse motif="$20\pi$ cm²"]Non.
Le rayon doit être élevé au carré dans la formule. L'aire de la sphère est $4\pi r^2 = 4\pi \times 25$, pas $4\pi \times 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'aire d'une sphère de rayon $r$ est $\mathscr{A} = 4\pi r^2$. Avec $r = 5$ : $\mathscr{A} = 100\pi$ cm².[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On coupe le cône de révolution ci-dessous par un plan parallèle à la base, à mi-hauteur depuis le sommet. Quel est le rayon du cercle de section ?

[qcm]
[option]$2$ cm[/option]
[option correct="true"]$4$ cm[/option]
[option]$8$ cm[/option]
[option]$\dfrac{8}{\sqrt{2}}$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La section est une réduction de la base. À mi-hauteur depuis le sommet, le rapport est $k = \dfrac{1}{2}$.
Le rayon de la section est $8 \times \dfrac{1}{2} = 4$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$2$ cm"]Non.
Le rapport de réduction $k = \dfrac{1}{2}$ s'applique directement aux longueurs. Le rayon de la section est $8 \times \dfrac{1}{2} = 4$ cm, et non $8 \times \dfrac{1}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$8$ cm"]Non.
La section par un plan parallèle à la base est une réduction de cette base. Le rayon est plus petit que celui de la base, sauf si le plan passe par la base elle-même.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{8}{\sqrt{2}}$ cm"]Non.
Le rapport de réduction est $\dfrac{1}{2}$, pas $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. Les longueurs sont directement proportionnelles à la distance au sommet.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La section d'un cône par un plan parallèle à la base situé à mi-hauteur est un cercle de rayon moitié : $r = 8 \times \dfrac{1}{2} = 4$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une sphère de centre $O$ et de rayon $10$ cm est coupée par un plan situé à $8$ cm du centre. Calculer le rayon du cercle de section.

[qcm]
[option]$\sqrt{164}$ cm[/option]
[option]$2$ cm[/option]
[option]$36$ cm[/option]
[option correct="true"]$6$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le triangle $OIM$ est rectangle en $I$. D'après le théorème de Pythagore :
$r^2 = OM^2 - OI^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$
Donc $r = 6$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{164}$ cm"]Non.
Il faut soustraire les carrés, pas les additionner. Le rayon de la sphère ($OM = 10$) est l'hypoténuse, donc $r^2 = 10^2 - 8^2$.[/reponse]
[reponse motif="$2$ cm"]Non.
Le rayon de la section ne s'obtient pas par soustraction directe ($10 - 8 = 2$). Il faut appliquer le théorème de Pythagore.[/reponse]
[reponse motif="$36$ cm"]Non.
On trouve $r^2 = 36$, mais il ne faut pas oublier de prendre la racine carrée pour obtenir $r = \sqrt{36} = 6$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On utilise le théorème de Pythagore : $r^2 = R^2 - d^2 = 100 - 64 = 36$, donc $r = 6$ cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les volumes et aires des solides, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On considère un cône de révolution et un cylindre ayant la même base et la même hauteur.

Affirmation : Le volume du cône est la moitié de celui du cylindre.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Le volume du cône n'est pas la moitié mais le tiers de celui du cylindre de même base et même hauteur.
$V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3} \times \pi R^2 \times h$ et $V_{\text{cylindre}} = \pi R^2 \times h$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, le coefficient qui relie le volume du cône à celui du cylindre n'est pas $\dfrac{1}{2}$ mais $\dfrac{1}{3}$.
Le volume du cône est le tiers (pas la moitié) de celui du cylindre de même base et même hauteur.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le volume du cône est le tiers (et non la moitié) de celui du cylindre de même base et même hauteur : $V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3} \times V_{\text{cylindre}}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On coupe une sphère de centre $O$ et de rayon $R$ par un plan passant par $O$.

Affirmation : La section obtenue est un cercle de même rayon $R$ que la sphère.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Lorsqu'un plan passe par le centre de la sphère, la section est un grand cercle, c'est-à-dire un cercle de même centre $O$ et de même rayon $R$ que la sphère.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La section d'une sphère par un plan est toujours un cercle. Quand le plan passe par le centre, ce cercle a le plus grand rayon possible : c'est un grand cercle, de même rayon $R$ que la sphère.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La section d'une sphère par un plan passant par son centre est un grand cercle de rayon $R$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'aire d'une sphère de rayon $3$ cm est $9\pi$ cm².

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$9\pi$ est l'aire du disque de rayon $3$ cm ($\pi r^2 = \pi \times 9$), pas celle de la sphère.
L'aire de la sphère est $4\pi r^2 = 4 \times \pi \times 9 = 36\pi$ cm².[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre l'aire du disque ($\pi r^2$) et l'aire de la sphère ($4\pi r^2$).
Ici : $\mathscr{A} = 4 \times \pi \times 3^2 = 36\pi$ cm², soit quatre fois l'aire du disque de même rayon.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'aire de la sphère de rayon $3$ cm est $4\pi \times 9 = 36\pi$ cm², pas $9\pi$ cm².
[/solution]
[/etape]

[etape]

Affirmation : Le volume de cette boule de diamètre $6$ cm est $36\pi$ cm³.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le diamètre est $6$ cm, donc le rayon est $r = 3$ cm.
$V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = \dfrac{4}{3} \times 27\pi = \dfrac{108\pi}{3} = 36\pi$ cm³.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est de confondre rayon et diamètre. Le diamètre vaut $6$ cm, donc le rayon est $r = 3$ cm.
$V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = \dfrac{108\pi}{3} = 36\pi$ cm³.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec un rayon de $3$ cm, $V = \dfrac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi$ cm³.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On coupe un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe.

Affirmation : La section obtenue est un rectangle.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La section d'un cylindre par un plan perpendiculaire à son axe est un cercle (de même rayon que la base).
C'est la section par un plan parallèle à l'axe qui donne un rectangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre coupe le cylindre selon un cercle, pas un rectangle.
Le rectangle apparaît quand le plan de coupe est parallèle à l'axe du cylindre.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La section d'un cylindre par un plan perpendiculaire à son axe est un cercle de même rayon que la base, pas un rectangle.
[/solution]
[/etape]

$ ABCDEFGH $ est un cube de côté $ 10\, \text{cm} $.

On coupe ce cube par un plan $ BEG $ et l'on retire le tétraèdre $ BEFG $ de façon à obtenir l'heptaèdre représenté ci-dessous.

1. Combien de sommets, de côtés, et de faces possède cet heptaèdre ?
2. 1. Que peut-on dire du triangle $ ABE $ ?
   2. Que peut-on dire du triangle $ BEG $ ?
3. Quelle est l'aire du triangle $ ABE $ ?
4. Calculer la hauteur du triangle $ BEG $ issue de l'un de ses sommets. En déduire l'aire du triangle $ BEG $. On donnera la réponse exacte puis la réponse en cm puis en cm$ ^2 $ arrondie au centième près.
5. En déduire l'aire totale de l'heptaèdre.