Résumé statistique complet

[enonce]
Lors d'un tournoi de basket, un professeur d'EPS a relevé le nombre de paniers marqués par chacun des $30$ élèves de sa classe. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

Paniers	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Effectif	$2$	$5$	$7$	$8$	$5$	$3$

Effectuer le résumé statistique complet de cette série : moyenne, médiane, quartiles et étendue.
[/enonce]

[etape]
Calculer la moyenne de cette série.
Moyenne = [[moy]]
[math id="moy" attendu="2.6"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\bar{x} = \dfrac{0 \times 2 + 1 \times 5 + 2 \times 7 + 3 \times 8 + 4 \times 5 + 5 \times 3}{30} = \dfrac{78}{30} = 2{,}6$
Les élèves ont marqué en moyenne $2{,}6$ paniers.[/reponse]
[reponse motif="2.5"]Valeur proche mais inexacte. Vérifier le calcul de la somme des produits.[/reponse]
[reponse motif="78"]Il reste à diviser par l'effectif total. La somme $78$ est le numérateur, pas la moyenne.[/reponse]
[reponse motif="13"]Attention, $\dfrac{78}{6} = 13$ correspond à une division par le nombre de valeurs distinctes, pas par l'effectif total.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer la somme $0 \times 2 + 1 \times 5 + 2 \times 7 + 3 \times 8 + 4 \times 5 + 5 \times 3$, puis diviser par $30$.[/reponse]
[aide essai="2"]Calculer chaque produit : $0$, $5$, $14$, $24$, $20$, $15$. Additionner puis diviser par $30$.[/aide]
[aide essai="3"]La somme vaut $0 + 5 + 14 + 24 + 20 + 15 = 78$. Calculer $\dfrac{78}{30}$.[/aide]
[/math]
[solution]$\bar{x} = \dfrac{0 + 5 + 14 + 24 + 20 + 15}{30} = \dfrac{78}{30} = 2{,}6$[/solution]
[/etape]

[etape]
L'effectif total est $30$ (nombre pair). Quelles sont les positions des deux valeurs centrales ?
[qcm]
[option]La 14e et la 15e valeur[/option]
[option correct="true"]La 15e et la 16e valeur[/option]
[option]La 16e et la 17e valeur[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$N = 30$ est pair. La médiane est la moyenne des valeurs en positions $\dfrac{30}{2} = 15$ et $\dfrac{30}{2} + 1 = 16$.[/reponse]
[reponse motif="La 14e et la 15e valeur"]Non.
Quand $N$ est pair, les positions centrales sont $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2} + 1$.[/reponse]
[reponse motif="La 16e et la 17e valeur"]Non.
Quand $N$ est pair, la première position centrale est $\dfrac{N}{2}$, pas $\dfrac{N}{2} + 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand $N$ est pair, la médiane est la moyenne des valeurs en positions $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2} + 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Déterminer la médiane de cette série.
Médiane = [[med]]
[math id="med" attendu="3"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Effectifs cumulés : 2, 7, 14, 22, 27, 30.
La 15e valeur est $3$ et la 16e valeur est aussi $3$.
Médiane $= \dfrac{3 + 3}{2} = 3$.[/reponse]
[reponse motif="2"]Attention, la valeur $2$ occupe les rangs 8 à 14. La 15e valeur est au-delà.[/reponse]
[reponse motif="2.5"]Non. Vérifier les effectifs cumulés : la 15e et la 16e valeur sont dans le même groupe.[/reponse]
[reponse motif="2.6"]La médiane n'est pas la moyenne. Il faut repérer les valeurs centrales dans la série ordonnée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer les effectifs cumulés pour trouver dans quel groupe tombent la 15e et la 16e valeur.[/reponse]
[aide essai="2"]Effectifs cumulés : $2$, $7$, $14$, ... Continuer pour trouver le groupe contenant la 15e valeur.[/aide]
[aide essai="3"]Effectifs cumulés : $2$, $7$, $14$, $22$, $27$, $30$. La 15e valeur est dans le groupe qui va du rang 15 au rang 22.[/aide]
[/math]
[solution]Effectifs cumulés : 2, 7, 14, 22, 27, 30.
Les 15e et 16e valeurs sont toutes les deux $3$. Médiane $= 3$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Déterminer le premier quartile $Q_1$.
$Q_1 = $ [[q1]]
[math id="q1" attendu="2"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\dfrac{30}{4} = 7{,}5$. On arrondit à l'entier supérieur : rang $8$.
La 8e valeur de la série ordonnée est $2$, donc $Q_1 = 2$.[/reponse]
[reponse motif="1"]Non. La valeur $1$ occupe les rangs 3 à 7. Le rang cherché est au-delà.[/reponse]
[reponse motif="7.5"]Ce n'est pas la valeur du quartile mais le résultat de $\dfrac{30}{4}$. Il faut arrondir à l'entier supérieur et lire la valeur correspondante.[/reponse]
[reponse motif="7"]Attention, $7$ est l'effectif cumulé de la valeur $1$. Il faut trouver la valeur au rang $8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\dfrac{N}{4}$, arrondir à l'entier supérieur, puis lire la valeur à ce rang dans les effectifs cumulés.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{30}{4} = 7{,}5$. L'entier supérieur est $8$. Chercher la 8e valeur dans la série ordonnée.[/aide]
[aide essai="3"]Effectifs cumulés : 2, 7, 14... La 8e valeur se situe dans le groupe qui commence au rang 8 (juste après le rang 7).[/aide]
[/math]
[solution]$\dfrac{30}{4} = 7{,}5$, arrondi à $8$. La 8e valeur est $2$, donc $Q_1 = 2$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Déterminer le troisième quartile $Q_3$.
$Q_3 = $ [[q3]]
[math id="q3" attendu="4"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$\dfrac{3 \times 30}{4} = 22{,}5$. On arrondit à l'entier supérieur : rang $23$.
La 23e valeur est $4$, donc $Q_3 = 4$.[/reponse]
[reponse motif="3"]Non. La valeur $3$ occupe les rangs 15 à 22. Le rang cherché est au-delà.[/reponse]
[reponse motif="5"]Non. La valeur $5$ commence au rang 28. Le rang cherché est avant.[/reponse]
[reponse motif="22.5"]Ce n'est pas la valeur du quartile mais le résultat de $\dfrac{3 \times 30}{4}$. Arrondir et lire la valeur correspondante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\dfrac{3 \times N}{4}$, arrondir à l'entier supérieur, puis lire la valeur à ce rang.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{3 \times 30}{4} = 22{,}5$. L'entier supérieur est $23$. Chercher la 23e valeur.[/aide]
[aide essai="3"]Effectifs cumulés : 2, 7, 14, 22, 27, 30. La 23e valeur se situe dans le groupe qui commence au rang 23.[/aide]
[/math]
[solution]$\dfrac{3 \times 30}{4} = 22{,}5$, arrondi à $23$. La 23e valeur est $4$, donc $Q_3 = 4$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Compléter la phrase suivante :
Au moins 75% des élèves ont marqué [[interp]] paniers ou moins.
[select id="interp"]
[option]$3$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$5$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$Q_3 = 4$ signifie qu'au moins 75% des élèves ont marqué $4$ paniers ou moins.
Résumé complet : moyenne $= 2{,}6$, médiane $= 3$, $Q_1 = 2$, $Q_3 = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
C'est le troisième quartile $Q_3$ qui indique la valeur en dessous de laquelle se trouvent au moins 75% des données.[/reponse]
[aide essai="2"]« Au moins 75% » correspond à la définition du troisième quartile.[/aide]
[aide essai="3"]$Q_3 = 4$. Par définition, au moins 75% des valeurs sont inférieures ou égales à $Q_3$.[/aide]
[/select]
[/etape]

QCM : Quartiles et représentations graphiques

[enonce]
Ce QCM porte sur les quartiles, l'écart interquartile et les représentations graphiques. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Voici les 20 notes d'une classe, rangées par ordre croissant :
$3$ ; $5$ ; $5$ ; $6$ ; $7$ ; $8$ ; $8$ ; $9$ ; $10$ ; $10$ ; $11$ ; $12$ ; $12$ ; $13$ ; $14$ ; $15$ ; $16$ ; $17$ ; $18$ ; $20$
Quelle est la valeur du premier quartile $Q_1$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$7$[/option]
[option]$5$[/option]
[option]$6$[/option]
[option]$8$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On calcule $\dfrac{N}{4} = \dfrac{20}{4} = 5$. Le résultat est un entier, donc $Q_1$ est la valeur au rang $5$.
La 5e valeur est $7$, donc $Q_1 = 7$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Attention, $5$ est le rang du quartile (la position dans la série ordonnée), pas sa valeur. Il faut lire quelle note occupe cette position dans la liste.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6$ est la 4e valeur. Il ne faut pas arrondir vers le bas. Le calcul donne $\dfrac{20}{4} = 5$, donc $Q_1$ est la valeur au rang $5$, pas au rang $4$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
$8$ est la 6e valeur. Le calcul donne $\dfrac{20}{4} = 5$, donc $Q_1$ est au rang $5$, pas au rang $6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On calcule $\dfrac{20}{4} = 5$. Comme le résultat est entier, $Q_1$ est la valeur au rang $5$ dans la série ordonnée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
En reprenant la même série de 20 notes :
$3$ ; $5$ ; $5$ ; $6$ ; $7$ ; $8$ ; $8$ ; $9$ ; $10$ ; $10$ ; $11$ ; $12$ ; $12$ ; $13$ ; $14$ ; $15$ ; $16$ ; $17$ ; $18$ ; $20$
Quelle est la valeur du troisième quartile $Q_3$ ?
[qcm]
[option]$15$[/option]
[option]$13$[/option]
[option correct="true"]$14$[/option]
[option]$16$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On calcule $\dfrac{3 \times 20}{4} = 15$. Le résultat est un entier, donc $Q_3$ est la valeur au rang $15$.
La 15e valeur est $14$, donc $Q_3 = 14$.[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
$15$ est le rang du troisième quartile, pas sa valeur. Il faut repérer quelle note occupe la 15e position dans la série ordonnée.[/reponse]
[reponse motif="$13$"]Non.
$13$ est la 14e valeur, pas la 15e. Le rang du troisième quartile est $\dfrac{3 \times 20}{4} = 15$, pas $14$.[/reponse]
[reponse motif="$16$"]Non.
$16$ est la 17e valeur. Le rang du troisième quartile est $\dfrac{3 \times 20}{4} = 15$, pas $16$ ou $17$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On calcule $\dfrac{3 \times N}{4} = \dfrac{60}{4} = 15$. Le rang est $15$ : il faut lire la 15e valeur dans la série ordonnée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Avec $Q_1 = 7$ et $Q_3 = 14$, quel est l'écart interquartile de cette série ?
[qcm]
[option]$21$[/option]
[option]$10{,}5$[/option]
[option]$17$[/option]
[option correct="true"]$7$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'écart interquartile est la différence entre le troisième et le premier quartile :
$Q_3 - Q_1 = 14 - 7 = 7$[/reponse]
[reponse motif="$21$"]Non.
$21 = 14 + 7$. L'écart interquartile est une différence, pas une somme. Il faut calculer $Q_3 - Q_1$.[/reponse]
[reponse motif="$10{,}5$"]Non.
$10{,}5 = \dfrac{7 + 14}{2}$. Il ne faut pas calculer la moyenne des quartiles. L'écart interquartile mesure l'écart entre $Q_3$ et $Q_1$, donc c'est $Q_3 - Q_1$.[/reponse]
[reponse motif="$17$"]Non.
$17 = 20 - 3$ est l'étendue de la série (plus grande valeur $-$ plus petite valeur). L'écart interquartile est $Q_3 - Q_1$, pas la différence des valeurs extrêmes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'écart interquartile se calcule par $Q_3 - Q_1 = 14 - 7$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans une enquête portant sur 60 personnes, une catégorie compte 15 individus.
Quel est l'angle du secteur de cette catégorie dans un diagramme circulaire ?
[qcm]
[option]$15^{\circ}$[/option]
[option correct="true"]$90^{\circ}$[/option]
[option]$54^{\circ}$[/option]
[option]$270^{\circ}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On calcule l'angle à partir de l'effectif :
$\dfrac{15}{60} \times 360 = \dfrac{1}{4} \times 360 = 90^{\circ}$[/reponse]
[reponse motif="$15^{\circ}$"]Non.
L'angle n'est pas égal à l'effectif. Il faut utiliser la formule : angle $= \dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}} \times 360^{\circ}$.[/reponse]
[reponse motif="$54^{\circ}$"]Non.
$54^{\circ} = \dfrac{15}{100} \times 360$. Attention, il ne faut pas diviser par $100$ mais par l'effectif total ($60$). La fréquence est $\dfrac{15}{60}$, pas $\dfrac{15}{100}$.[/reponse]
[reponse motif="$270^{\circ}$"]Non.
$270^{\circ}$ correspond au secteur du complémentaire : $\dfrac{45}{60} \times 360 = 270^{\circ}$. La question porte sur la catégorie de 15 individus, pas sur le reste.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'angle se calcule par : $\dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}} \times 360 = \dfrac{15}{60} \times 360$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux classes ont passé le même devoir. Dans les deux classes, la médiane est $12$.
La classe A a un écart interquartile de $3$ et la classe B a un écart interquartile de $10$.
Que peut-on en conclure ?
[qcm]
[option]Les notes de la classe A sont plus dispersées[/option]
[option correct="true"]Les notes de la classe B sont plus dispersées autour de la médiane[/option]
[option]La classe A a de meilleurs résultats[/option]
[option]On ne peut rien conclure car les médianes sont égales[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'écart interquartile mesure la dispersion des $50\%$ centraux de la série. Plus il est grand, plus les notes sont étalées autour de la médiane.
Ici $10 > 3$, donc les notes de la classe B sont plus dispersées que celles de la classe A.[/reponse]
[reponse motif="Les notes de la classe A sont plus dispersées"]Non, c'est l'inverse.
Un écart interquartile plus grand signifie une plus grande dispersion. Ici la classe A a un écart de $3$ (notes resserrées) et la classe B un écart de $10$ (notes étalées).[/reponse]
[reponse motif="La classe A a de meilleurs résultats"]Non.
L'écart interquartile ne renseigne pas sur le niveau des notes. Les deux classes ont la même médiane ($12$) : on ne peut pas dire que l'une a de meilleurs résultats. L'écart interquartile mesure la dispersion, pas la performance.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut rien conclure car les médianes sont égales"]Non.
Même si les médianes sont égales, les écarts interquartiles sont différents. L'écart interquartile apporte une information supplémentaire : il mesure comment les valeurs sont dispersées autour de la médiane.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'écart interquartile $= Q_3 - Q_1$ mesure la dispersion des valeurs centrales. Plus il est grand, plus les notes sont étalées.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Voici le tableau des notes d'un devoir :

Note	$5$	$8$	$10$	$12$	$15$
Effectif	$2$	$5$	$8$	$3$	$2$

Quel pourcentage d'élèves a obtenu $10$ ou moins ?
[qcm]
[option correct="true"]$75\%$[/option]
[option]$40\%$[/option]
[option]$35\%$[/option]
[option]$25\%$[/option]
[reponse statut="correct"]Bien joué !
L'effectif total est $2 + 5 + 8 + 3 + 2 = 20$.
L'effectif cumulé des notes $\leqslant 10$ est $2 + 5 + 8 = 15$.
Le pourcentage est $\dfrac{15}{20} = 75\%$.[/reponse]
[reponse motif="$40\%$"]Non.
$40\% = \dfrac{8}{20}$. C'est la fréquence des élèves ayant obtenu exactement $10$, pas « $10$ ou moins ». Il faut cumuler les effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales à $10$.[/reponse]
[reponse motif="$35\%$"]Non.
$35\% = \dfrac{7}{20}$. Cela correspondrait aux élèves ayant eu strictement moins de $10$ ($2 + 5 = 7$). La question dit « $10$ ou moins » : il faut inclure les élèves ayant eu exactement $10$.[/reponse]
[reponse motif="$25\%$"]Non.
$25\% = \dfrac{5}{20}$. C'est la fréquence des élèves ayant eu plus de $10$ ($3 + 2 = 5$ élèves). C'est l'événement contraire de celui demandé.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
« $10$ ou moins » regroupe les notes $5$, $8$ et $10$. L'effectif cumulé est $2 + 5 + 8 = 15$ sur un total de $20$ élèves.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Statistiques : performances au lancer de poids

Le professeur d'EPS doit choisir une classe pour représenter le collège au tournoi inter-collèges de lancer de poids. Il compare les résultats (en mètres) des élèves de deux classes de 3e.

Classe A (24 élèves) :

Distance (m)	3	4	5	6	7	8	9
Effectif	1	3	5	6	5	3	1

Classe B (24 élèves) :

Distance (m)	3	4	5	6	7	8	9
Effectif	3	2	4	3	4	5	3

Pour chaque classe, calculer la distance moyenne obtenue.
Pour chaque classe, déterminer la médiane de la série.
Déterminer le premier quartile $ Q_1 $ et le troisième quartile $ Q_3 $ pour chacune des deux classes. En déduire l'écart interquartile $ Q_3 - Q_1 $ de chaque série.
Léa, élève de la classe B, affirme : « Notre classe est meilleure car notre moyenne est plus élevée. »
Hugo, élève de la classe A, répond : « Non, c'est notre classe la meilleure car nos résultats sont plus réguliers. »
Qui a raison ? Justifier en utilisant les résultats précédents.
Le tournoi ne sélectionne que les 6 meilleurs élèves de chaque classe. Calculer la distance moyenne des 6 meilleurs lanceurs de chaque classe. Quelle classe obtient alors les meilleures performances ?

Corrigé

On calcule la moyenne pondérée pour chaque classe.

Classe A :
$ \bar{x}_A = \dfrac{3 \times 1 + 4 \times 3 + 5 \times 5 + 6 \times 6 + 7 \times 5 + 8 \times 3 + 9 \times 1}{24} $
$ \bar{x}_A = \dfrac{3 + 12 + 25 + 36 + 35 + 24 + 9}{24} = \dfrac{144}{24} $

La moyenne de la classe A est 6 m.

Classe B :
$ \bar{x}_B = \dfrac{3 \times 3 + 4 \times 2 + 5 \times 4 + 6 \times 3 + 7 \times 4 + 8 \times 5 + 9 \times 3}{24} $
$ \bar{x}_B = \dfrac{9 + 8 + 20 + 18 + 28 + 40 + 27}{24} = \dfrac{150}{24} = 6{,}25 $

La moyenne de la classe B est 6,25 m.
L'effectif total est 24 (pair) pour les deux classes. La médiane est la moyenne des valeurs en positions 12 et 13.

Classe A :

Distance (m) 3 4 5 6 7 8 9

effectif 1 3 5 6 5 3 1

eff. cumulé 1 4 9 15 20 23 24

Les 12e et 13e valeurs se situent toutes les deux dans le groupe « 6 m » (l'effectif cumulé passe de 9 à 15).
$ M_A = \dfrac{6 + 6}{2} = 6 $

La médiane de la classe A est 6 m.

Classe B :

Distance (m) 3 4 5 6 7 8 9

effectif 3 2 4 3 4 5 3

eff. cumulé 3 5 9 12 16 21 24

La 12e valeur se situe dans le groupe « 6 m » (l'effectif cumulé atteint 12 à cette valeur).
La 13e valeur se situe dans le groupe « 7 m » (l'effectif cumulé passe de 12 à 16).
$ M_B = \dfrac{6 + 7}{2} = 6{,}5 $

La médiane de la classe B est 6,5 m.
Pour chaque classe, on calcule $ \dfrac{24}{4} = 6 $ : le premier quartile est la 6e valeur. On calcule $ \dfrac{3 \times 24}{4} = 18 $ : le troisième quartile est la 18e valeur.

Classe A :
D'après le tableau des effectifs cumulés, la 6e valeur est dans le groupe « 5 m » (l'effectif cumulé passe de 4 à 9).
La 18e valeur est dans le groupe « 7 m » (l'effectif cumulé passe de 15 à 20).
Donc $ Q_1 = 5 $ et $ Q_3 = 7 $.
L'écart interquartile vaut $ 7 - 5 $ = 2 m.

Classe B :
La 6e valeur est dans le groupe « 5 m » (l'effectif cumulé passe de 5 à 9).
La 18e valeur est dans le groupe « 8 m » (l'effectif cumulé passe de 16 à 21).
Donc $ Q_1 = 5 $ et $ Q_3 = 8 $.
L'écart interquartile vaut $ 8 - 5 $ = 3 m.
Les deux élèves ont en partie raison.

Léa a raison de dire que la classe B a une moyenne plus élevée : $ 6{,}25 > 6 $. La médiane de la classe B est également supérieure : $ 6{,}5 > 6 $.

Hugo a raison de dire que la classe A a des résultats plus réguliers : son écart interquartile est de 2 m contre 3 m pour la classe B. Les performances de la classe A sont donc plus homogènes (les résultats sont plus resserrés autour de la médiane).

En résumé, la classe B est en moyenne légèrement meilleure, mais la classe A est plus régulière.
Les 6 meilleurs lanceurs sont ceux qui ont obtenu les distances les plus grandes.

Classe A :
En partant des plus grandes distances : 1 élève à 9 m, 3 élèves à 8 m et 2 élèves à 7 m (soit $ 1 + 3 + 2 = 6 $ élèves).
$ \bar{x} = \dfrac{9 + 8 + 8 + 8 + 7 + 7}{6} = \dfrac{47}{6} \approx 7{,}8 $

La moyenne des 6 meilleurs de la classe A est d'environ 7,8 m.

Classe B :
En partant des plus grandes distances : 3 élèves à 9 m et 3 élèves à 8 m (soit $ 3 + 3 = 6 $ élèves).
$ \bar{x} = \dfrac{9 + 9 + 9 + 8 + 8 + 8}{6} = \dfrac{51}{6} = 8{,}5 $

La moyenne des 6 meilleurs de la classe B est 8,5 m.

Si le tournoi ne sélectionne que les 6 meilleurs élèves, la classe B obtient de meilleures performances car ses meilleurs éléments sont plus nombreux à atteindre des distances élevées.

Statistiques : notes au brevet blanc

Les 25 élèves d'une classe de 3e ont passé un brevet blanc de mathématiques noté sur 40 points. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

Note	12	16	20	24	28	32	36
Effectif	2	3	5	6	4	3	2

Calculer la note moyenne de cette classe. Arrondir au dixième.
Déterminer la médiane de cette série.
Déterminer le premier quartile $ Q_1 $ et le troisième quartile $ Q_3 $ de cette série.
Le professeur considère que les élèves ayant obtenu une note supérieure ou égale à 24 ont un « niveau satisfaisant ». Quel pourcentage d'élèves a un niveau satisfaisant ?

Corrigé

On calcule la moyenne pondérée :
$ \bar{x} = \dfrac{12 \times 2 + 16 \times 3 + 20 \times 5 + 24 \times 6 + 28 \times 4 + 32 \times 3 + 36 \times 2}{25} $
$ \bar{x} = \dfrac{24 + 48 + 100 + 144 + 112 + 96 + 72}{25} $
$ \bar{x} = \dfrac{596}{25} = 23{,}84 $

La note moyenne est de 23,8 sur 40 (arrondie au dixième).
L'effectif total est 25 (impair). La médiane est la valeur en position $ \dfrac{25 + 1}{2} = 13 $.

On calcule les effectifs cumulés croissants :

Note 12 16 20 24 28 32 36

effectif 2 3 5 6 4 3 2

eff. cumulé 2 5 10 16 20 23 25

La 13e valeur se situe dans le groupe « 24 » (l'effectif cumulé passe de 10 à 16).

La médiane est 24 sur 40.
Pour le premier quartile, on calcule $ \dfrac{25}{4} = 6{,}25 $, que l'on arrondit à l'entier supérieur : 7.
Le premier quartile $ Q_1 $ est la 7e valeur de la série ordonnée.
D'après le tableau des effectifs cumulés, la 7e valeur se situe dans le groupe « 20 » (l'effectif cumulé passe de 5 à 10).

Donc $\mathbf{Q_1 = 20}$.

Pour le troisième quartile, on calcule $ \dfrac{3 \times 25}{4} = 18{,}75 $, que l'on arrondit à l'entier supérieur : 19.
Le troisième quartile $ Q_3 $ est la 19e valeur de la série ordonnée.
D'après le tableau, la 19e valeur se situe dans le groupe « 28 » (l'effectif cumulé passe de 16 à 20).

Donc $\mathbf{Q_3 = 28}$.

Au moins 25% des élèves ont obtenu 20 ou moins, et au moins 75% ont obtenu 28 ou moins.
Les élèves ayant obtenu 24 ou plus sont ceux dans les groupes 24, 28, 32 et 36.
Leur effectif est :
$ 6 + 4 + 3 + 2 = 15 $

Le pourcentage correspondant est :
$ \dfrac{15}{25} \times 100 = 60 $

60% des élèves ont un niveau satisfaisant.

Vrai/Faux : Médiane, quartiles et interprétation

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la médiane, les quartiles et l'interprétation de données statistiques, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : La médiane partage une série statistique ordonnée en deux groupes de même effectif.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
C'est la définition de la médiane : la valeur qui sépare la série ordonnée en deux moitiés de même taille.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La médiane est précisément définie comme la valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif.
Il y a autant de valeurs en dessous qu'au-dessus de la médiane.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La médiane sépare la série ordonnée en deux groupes de même effectif.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère une série de 20 valeurs rangées par ordre croissant.

Affirmation : La médiane de cette série est la 10e valeur.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Avec 20 valeurs (nombre pair), la médiane est la moyenne des 10e et 11e valeurs, pas simplement la 10e.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Quand l'effectif total est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.
Ici : $\dfrac{N}{2} = 10$ et $\dfrac{N}{2} + 1 = 11$, donc la médiane est la moyenne des 10e et 11e valeurs.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Avec un effectif pair de 20, la médiane est la moyenne des 10e et 11e valeurs.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère une série de 15 valeurs rangées par ordre croissant.

Affirmation : Le premier quartile $Q_1$ est la 3e valeur de la série.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On calcule $\dfrac{15}{4} = 3{,}75$. On arrondit à l'entier supérieur : 4.
Le premier quartile est donc la 4e valeur, pas la 3e.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Pour trouver $Q_1$, on calcule $\dfrac{N}{4}$ et on arrondit à l'entier supérieur.
Ici : $\dfrac{15}{4} = 3{,}75$, arrondi à 4. Le premier quartile est la 4e valeur.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\dfrac{15}{4} = 3{,}75$, arrondi supérieur = 4. $Q_1$ est la 4e valeur, pas la 3e.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour toute série statistique, on a $Q_1 \leqslant \text{médiane} \leqslant Q_3$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le premier quartile sépare les 25% les plus petites valeurs, la médiane les 50%, et le troisième quartile les 75%.
Par construction, $Q_1$ est toujours inférieur ou égal à la médiane, elle-même inférieure ou égale à $Q_3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Les quartiles et la médiane sont des indicateurs de position ordonnés.
$Q_1$ correspond au quart inférieur, la médiane à la moitié, et $Q_3$ aux trois quarts : on a toujours $Q_1 \leqslant \text{médiane} \leqslant Q_3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Par construction, $Q_1 \leqslant \text{médiane} \leqslant Q_3$ pour toute série.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si la moyenne d'une série est 10, alors au moins la moitié des valeurs sont supérieures ou égales à 10.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
C'est la médiane, et non la moyenne, qui sépare la série en deux moitiés.
Par exemple, la série 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 46 a pour moyenne 10, mais seule une valeur sur cinq dépasse 10.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre moyenne et médiane.
La médiane sépare la série en deux moitiés égales, pas la moyenne.
Contre-exemple : la série 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 46 a pour moyenne $\dfrac{50}{5} = 10$, mais 4 valeurs sur 5 sont inférieures à 10.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La moyenne ne sépare pas la série en deux moitiés : c'est le rôle de la médiane.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'étendue d'une série statistique ne dépend que de la plus grande et de la plus petite valeur.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'étendue est définie comme la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale. Les autres valeurs n'interviennent pas dans ce calcul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'étendue se calcule uniquement à partir des deux valeurs extrêmes : maximum moins minimum.
Les valeurs intermédiaires n'ont aucune influence sur l'étendue.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. L'étendue = valeur max - valeur min, les autres valeurs n'interviennent pas.
[/solution]
[/etape]