Dans le vide, la lumière se déplace à une vitesse $ c = 3{,}00 \times 10^{5} $ km/s. Le temps $ t $ mis par un rayon lumineux pour parcourir une distance $ d $ s'obtient par la formule $ t = \dfrac{d}{c} $.

On donne les distances suivantes :

• distance Terre-Soleil : $ D_{S} = 1{,}50 \times 10^{8} $ km ;
• distance Terre-Lune : $ D_{L} = 3{,}84 \times 10^{5} $ km ;
• distance Terre-Proxima du Centaure (étoile la plus proche après le Soleil) : $ D_{P} = 4{,}02 \times 10^{13} $ km.

1. Calculer le temps $ t_{S} $ mis par la lumière du Soleil pour atteindre la Terre. Donner le résultat en secondes, en écriture scientifique, puis le convertir en minutes et secondes.
2. Calculer le temps $ t_{L} $ mis par la lumière réfléchie par la Lune pour atteindre la Terre. Donner son écriture scientifique et son ordre de grandeur.
3. Combien de fois la distance Terre-Proxima est-elle plus grande que la distance Terre-Soleil ? Donner la valeur sous la forme $ a \times 10^{n} $ (avec $ 1 \leqslant a < 10 $), puis l'ordre de grandeur de ce rapport.
4. Calculer le temps $ t_{P} $ mis par la lumière de Proxima du Centaure pour atteindre la Terre. En utilisant le fait qu'une année correspond à environ $ 3{,}15 \times 10^{7} $ secondes, exprimer $ t_{P} $ en années (à $ 0{,}1 $ année près).

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : puissances, écriture scientifique et ordres de grandeur. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est la forme simplifiée de $\dfrac{\left(10^{3}\right)^{2} \times 10^{-1}}{10^{4}}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$10^{1}$[/option]
[option]$10^{9}$[/option]
[option]$10^{-1}$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On simplifie étape par étape :
$\left(10^{3}\right)^{2} = 10^{6}$, puis $10^{6} \times 10^{-1} = 10^{5}$, puis $\dfrac{10^{5}}{10^{4}} = 10^{1}$.[/reponse]
[reponse motif="$10^{9}$"]Non.
On a additionné tous les exposants ($6 + (-1) + 4 = 9$) au lieu de soustraire l'exposant du dénominateur.
La règle du quotient utilise une soustraction.[/reponse]
[reponse motif="$10^{-1}$"]Non.
Erreur de signe lors de la soustraction : $6 + (-1) - 4 = 1$, pas $-1$.
Vérifier le calcul d'exposant final.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$1 = 10^{0}$ : il y a une erreur d'un rang dans le calcul de l'exposant.
$6 + (-1) - 4 = 1$, donc le résultat est $10^{1} = 10$, pas $10^{0} = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{10^{6} \times 10^{-1}}{10^{4}} = 10^{6-1-4} = 10^{1}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est l'écriture scientifique du résultat de $(3 \times 10^{-2}) \times (4 \times 10^{7})$ ?
[qcm]
[option]$12 \times 10^{5}$[/option]
[option]$7 \times 10^{5}$[/option]
[option]$12 \times 10^{-14}$[/option]
[option correct="true"]$1{,}2 \times 10^{6}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On multiplie les mantisses : $3 \times 4 = 12$, et on additionne les exposants : $-2 + 7 = 5$.
Donc le produit vaut $12 \times 10^{5}$, mais $12 \geqslant 10$ : il faut convertir en écriture scientifique.
$12 = 1{,}2 \times 10^{1}$, donc $12 \times 10^{5} = 1{,}2 \times 10^{6}$.[/reponse]
[reponse motif="$12 \times 10^{5}$"]Pas tout à fait.
La valeur est correcte, mais $12 \geqslant 10$, donc ce n'est pas une écriture scientifique valide.
Il faut ajuster la mantisse pour qu'elle soit entre $1$ et $10$.[/reponse]
[reponse motif="$7 \times 10^{5}$"]Non.
On a additionné les mantisses ($3 + 4 = 7$) au lieu de les multiplier.
La règle du produit demande $3 \times 4 = 12$ pour la mantisse.[/reponse]
[reponse motif="$12 \times 10^{-14}$"]Non.
On a multiplié les exposants ($-2 \times 7 = -14$) au lieu de les additionner.
Pour un produit de puissances de même base : $10^{-2} \times 10^{7} = 10^{-2+7} = 10^{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$(3 \times 10^{-2}) \times (4 \times 10^{7}) = 12 \times 10^{5} = 1{,}2 \times 10^{6}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ordre de grandeur de $4{,}3 \times 10^{7}$ ?
[qcm]
[option]$10^{8}$[/option]
[option]$4 \times 10^{7}$[/option]
[option correct="true"]$10^{7}$[/option]
[option]$10^{6}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La mantisse $a = 4{,}3$ est strictement inférieure à $5$, donc l'ordre de grandeur est $10^{n} = 10^{7}$.[/reponse]
[reponse motif="$10^{8}$"]Non.
On a arrondi par excès, mais la mantisse $4{,}3$ est inférieure à $5$.
Quand $a < 5$, l'ordre de grandeur reste $10^{n}$, sans augmenter l'exposant.[/reponse]
[reponse motif="$4 \times 10^{7}$"]Non.
Un ordre de grandeur est une puissance de $10$, pas un nombre quelconque.
On garde uniquement $10^{n}$ ou $10^{n+1}$.[/reponse]
[reponse motif="$10^{6}$"]Non.
On a diminué l'exposant d'un rang.
La règle est : $a < 5 \Rightarrow 10^{n}$ ; $a \geqslant 5 \Rightarrow 10^{n+1}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comme $4{,}3 < 5$, l'ordre de grandeur est $10^{7}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ordre de grandeur de $6{,}9 \times 10^{-3}$ ?
[qcm]
[option]$10^{-3}$[/option]
[option correct="true"]$10^{-2}$[/option]
[option]$7 \times 10^{-3}$[/option]
[option]$10^{-1}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La mantisse $a = 6{,}9$ est supérieure ou égale à $5$, donc l'ordre de grandeur est $10^{n+1} = 10^{-3+1} = 10^{-2}$.[/reponse]
[reponse motif="$10^{-3}$"]Non.
On a oublié d'augmenter l'exposant.
Quand $a \geqslant 5$, l'ordre de grandeur est $10^{n+1}$, donc l'exposant augmente d'un rang.[/reponse]
[reponse motif="$7 \times 10^{-3}$"]Non.
Un ordre de grandeur est une puissance de $10$, pas un nombre quelconque.
On garde uniquement $10^{n}$ ou $10^{n+1}$.[/reponse]
[reponse motif="$10^{-1}$"]Non.
L'exposant a été augmenté de deux rangs au lieu d'un seul.
La règle ajoute $+1$ à l'exposant quand $a \geqslant 5$, pas $+2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comme $6{,}9 \geqslant 5$, l'ordre de grandeur est $10^{-3+1} = 10^{-2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La masse d'un atome de carbone est environ $2 \times 10^{-26}$ kg. Quelle est cette masse exprimée en grammes ?

Rappel : $1$ kg $= 10^{3}$ g.
[qcm]
[option]$2 \times 10^{-29}$ g[/option]
[option]$2 \times 10^{-26}$ g[/option]
[option]$20 \times 10^{-26}$ g[/option]
[option correct="true"]$2 \times 10^{-23}$ g[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On multiplie la masse en kg par $10^{3}$ :
$2 \times 10^{-26} \times 10^{3} = 2 \times 10^{-26+3} = 2 \times 10^{-23}$ g.[/reponse]
[reponse motif="$2 \times 10^{-29}$ g"]Non.
Le signe a été inversé : on a fait $-26 - 3 = -29$ au lieu de $-26 + 3 = -23$.
Pour passer des kg aux grammes, on multiplie par $10^{3}$, donc on ajoute $3$ à l'exposant.[/reponse]
[reponse motif="$2 \times 10^{-26}$ g"]Non.
On a oublié la conversion : $1$ kg ne fait pas $1$ g.
Il faut multiplier par $10^{3}$ pour passer des kg aux grammes.[/reponse]
[reponse motif="$20 \times 10^{-26}$ g"]Non.
On a multiplié la mantisse par $10$ au lieu de modifier l'exposant.
Multiplier par $10^{3}$ ajoute $3$ à l'exposant, et la mantisse reste à $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$2 \times 10^{-26}$ kg $\times 10^{3} = 2 \times 10^{-23}$ g.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une bactérie mesure environ $2 \times 10^{-6}$ m. Combien faut-il de bactéries alignées côte à côte pour atteindre une longueur de $1$ mm ?

Rappel : $1$ mm $= 10^{-3}$ m.
[qcm]
[option correct="true"]$500$[/option]
[option]$2 \times 10^{9}$[/option]
[option]$200$[/option]
[option]$5 \times 10^{-9}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le nombre de bactéries vaut $\dfrac{1\text{ mm}}{2 \times 10^{-6}\text{ m}} = \dfrac{10^{-3}}{2 \times 10^{-6}} = \dfrac{1}{2} \times 10^{-3-(-6)} = 0{,}5 \times 10^{3} = 500$.[/reponse]
[reponse motif="$2 \times 10^{9}$"]Non.
On a multiplié les deux longueurs au lieu de diviser.
Pour savoir combien de fois une longueur entre dans une autre, on divise.[/reponse]
[reponse motif="$200$"]Non.
Le calcul d'exposant est incorrect : $-3 - (-6) = 3$, pas $2$.
Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé.[/reponse]
[reponse motif="$5 \times 10^{-9}$"]Non.
Le signe de l'exposant est incorrect.
Comme $1$ mm est plus grand qu'une bactérie, le nombre de bactéries est un grand nombre, donc l'exposant doit être positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{10^{-3}}{2 \times 10^{-6}} = 0{,}5 \times 10^{3} = 500$ bactéries.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]