Comparer deux séries statistiques

[enonce]
Deux classes de 3e passent le même contrôle de mathématiques noté sur $20$. Les résultats sont regroupés dans les tableaux suivants :
Classe A ($20$ élèves) :

Note	$3$	$8$	$10$	$14$	$19$
Effectif	$2$	$3$	$6$	$5$	$4$

Classe B ($20$ élèves) :

Note	$8$	$10$	$11$	$12$	$14$
Effectif	$2$	$5$	$6$	$4$	$3$

Comparer les performances des deux classes en calculant les indicateurs statistiques.
[/enonce]

[etape]
Calculer la moyenne de la classe A.
Moyenne A = [[moyA]]
[math id="moyA" attendu="11.8"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\bar{x}_A = \dfrac{3 \times 2 + 8 \times 3 + 10 \times 6 + 14 \times 5 + 19 \times 4}{20} = \dfrac{236}{20} = 11{,}8$[/reponse]
[reponse motif="10.8"]Vérifier le calcul de la somme des produits. Attention au produit $19 \times 4$.[/reponse]
[reponse motif="236"]Il reste à diviser par l'effectif total ($20$).[/reponse]
[reponse motif="47.2"]Non. On divise par l'effectif total ($20$ élèves), pas par le nombre de valeurs distinctes ($5$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer la somme $3 \times 2 + 8 \times 3 + 10 \times 6 + 14 \times 5 + 19 \times 4$, puis diviser par $20$.[/reponse]
[aide essai="2"]Calculer chaque produit : $6$, $24$, $60$, $70$, $76$. Additionner puis diviser par $20$.[/aide]
[aide essai="3"]La somme vaut $6 + 24 + 60 + 70 + 76 = 236$. Calculer $\dfrac{236}{20}$.[/aide]
[/math]
[solution]$\bar{x}_A = \dfrac{6 + 24 + 60 + 70 + 76}{20} = \dfrac{236}{20} = 11{,}8$[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la moyenne de la classe B.
Moyenne B = [[moyB]]
[math id="moyB" attendu="11.1"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\bar{x}_B = \dfrac{8 \times 2 + 10 \times 5 + 11 \times 6 + 12 \times 4 + 14 \times 3}{20} = \dfrac{222}{20} = 11{,}1$[/reponse]
[reponse motif="222"]Il reste à diviser par l'effectif total ($20$).[/reponse]
[reponse motif="11"]Valeur proche mais inexacte. Vérifier le calcul de la somme des produits.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Même méthode que pour la classe A : somme des produits note $\times$ effectif, puis division par $20$.[/reponse]
[aide essai="2"]Calculer chaque produit : $16$, $50$, $66$, $48$, $42$. Additionner puis diviser par $20$.[/aide]
[aide essai="3"]La somme vaut $16 + 50 + 66 + 48 + 42 = 222$. Calculer $\dfrac{222}{20}$.[/aide]
[/math]
[solution]$\bar{x}_B = \dfrac{16 + 50 + 66 + 48 + 42}{20} = \dfrac{222}{20} = 11{,}1$[/solution]
[/etape]

[etape]
La classe A a une moyenne plus élevée ($11{,}8$) que la classe B ($11{,}1$). Peut-on conclure que la classe A a globalement mieux réussi ?
[qcm]
[option]Oui, la moyenne résume parfaitement les résultats[/option]
[option correct="true"]Non, car quelques notes extrêmes peuvent faire varier fortement la moyenne[/option]
[option]Non, car la moyenne est toujours un mauvais indicateur[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Dans la classe A, les $4$ notes à $19$ tirent la moyenne vers le haut, tandis que les $2$ notes à $3$ la tirent vers le bas. La moyenne seule ne suffit pas : il faut aussi examiner la médiane et l'étendue.[/reponse]
[reponse motif="Oui, la moyenne résume parfaitement les résultats"]Non.
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes. Dans la classe A, les notes de $3$ et $19$ sont très éloignées du centre.[/reponse]
[reponse motif="Non, car la moyenne est toujours un mauvais indicateur"]Non.
La moyenne est un indicateur utile, mais pas suffisant à lui seul. Elle est sensible aux valeurs extrêmes, ce qui rend nécessaire l'examen d'autres indicateurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Réfléchir à l'influence des notes très hautes ($19$) et très basses ($3$) sur le calcul de la moyenne.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Déterminer la médiane de la classe A ($20$ élèves).
Médiane A = [[medA]]
[math id="medA" attendu="10"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$N = 20$ (pair). On cherche les valeurs en positions $10$ et $11$.
Effectifs cumulés : 2, 5, 11, 16, 20.
La 10e valeur est $10$ et la 11e valeur est $10$.
Médiane $= \dfrac{10 + 10}{2} = 10$.[/reponse]
[reponse motif="11"]Attention, vérifier les effectifs cumulés. La valeur $10$ occupe les rangs 6 à 11.[/reponse]
[reponse motif="11.8"]La médiane n'est pas la moyenne. Il faut trouver les valeurs centrales de la série ordonnée.[/reponse]
[reponse motif="12"]Non. Bien cumuler les effectifs : $3$ occupe les rangs 1-2, $8$ les rangs 3-5, $10$ les rangs 6-11.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$N = 20$ est pair : la médiane est la moyenne des 10e et 11e valeurs. Calculer les effectifs cumulés pour les repérer.[/reponse]
[aide essai="2"]Effectifs cumulés de la classe A : $2$, $5$, $11$, ... La 10e valeur se situe dans quel groupe ?[/aide]
[aide essai="3"]Effectifs cumulés : $2$, $5$, $11$, $16$, $20$. La 10e et la 11e valeur sont toutes les deux dans le groupe du rang 6 au rang 11.[/aide]
[/math]
[solution]Effectifs cumulés : 2, 5, 11, 16, 20.
10e et 11e valeurs $= 10$. Médiane A $= 10$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Déterminer la médiane de la classe B ($20$ élèves).
Médiane B = [[medB]]
[math id="medB" attendu="11"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Effectifs cumulés : 2, 7, 13, 17, 20.
La 10e valeur est $11$ et la 11e valeur est $11$.
Médiane $= 11$.
La médiane de B ($11$) est supérieure à celle de A ($10$), alors que la moyenne de A était plus élevée ![/reponse]
[reponse motif="10"]Non. Bien cumuler les effectifs de la classe B : $8$ occupe les rangs 1-2, $10$ les rangs 3-7, $11$ les rangs 8-13.[/reponse]
[reponse motif="11.1"]La médiane n'est pas la moyenne. Repérer les valeurs centrales dans la série ordonnée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer les effectifs cumulés de la classe B et trouver les 10e et 11e valeurs.[/reponse]
[aide essai="2"]Effectifs cumulés de la classe B : $2$, $7$, $13$, ... La 10e valeur se situe dans quel groupe ?[/aide]
[aide essai="3"]Effectifs cumulés : $2$, $7$, $13$, $17$, $20$. La 10e valeur est dans le groupe du rang 8 au rang 13.[/aide]
[/math]
[solution]Effectifs cumulés : 2, 7, 13, 17, 20.
10e et 11e valeurs $= 11$. Médiane B $= 11$.[/solution]
[/etape]

[etape]
L'étendue de la classe A est $19 - 3 = 16$ et celle de la classe B est $14 - 8 = 6$. Quelle conclusion est la plus juste ?
[qcm]
[option]La classe A a de meilleurs résultats car sa moyenne est plus élevée[/option]
[option]Les deux classes ont des résultats équivalents[/option]
[option correct="true"]La classe B a des résultats plus homogènes et une médiane plus élevée, malgré une moyenne légèrement inférieure[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Récapitulatif :

Indicateur	Classe A	Classe B
Moyenne	$11{,}8$	$11{,}1$
Médiane	$10$	$11$
Étendue	$16$	$6$

La classe A a une moyenne un peu plus haute, tirée par les notes de $19$, mais sa médiane est plus basse et son étendue est très grande (notes très dispersées). La classe B est plus régulière : la moitié de ses élèves a au moins $11$, avec une étendue de seulement $6$.[/reponse]
[reponse motif="La classe A a de meilleurs résultats car sa moyenne est plus élevée"]Non.
La moyenne de A est gonflée par les $4$ notes à $19$. Mais la médiane de A ($10$) est inférieure à celle de B ($11$), et l'étendue de A ($16$) montre des résultats très dispersés.[/reponse]
[reponse motif="Les deux classes ont des résultats équivalents"]Non.
Les moyennes sont proches, mais les médianes et les étendues diffèrent nettement. Les deux classes n'ont pas le même profil de résultats.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comparer les trois indicateurs : moyenne, médiane et étendue. Quel profil se dégage pour chaque classe ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Résumé statistique complet

[enonce]
Lors d'un tournoi de basket, un professeur d'EPS a relevé le nombre de paniers marqués par chacun des $30$ élèves de sa classe. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

Paniers	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Effectif	$2$	$5$	$7$	$8$	$5$	$3$

Effectuer le résumé statistique complet de cette série : moyenne, médiane, quartiles et étendue.
[/enonce]

[etape]
Calculer la moyenne de cette série.
Moyenne = [[moy]]
[math id="moy" attendu="2.6"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\bar{x} = \dfrac{0 \times 2 + 1 \times 5 + 2 \times 7 + 3 \times 8 + 4 \times 5 + 5 \times 3}{30} = \dfrac{78}{30} = 2{,}6$
Les élèves ont marqué en moyenne $2{,}6$ paniers.[/reponse]
[reponse motif="2.5"]Valeur proche mais inexacte. Vérifier le calcul de la somme des produits.[/reponse]
[reponse motif="78"]Il reste à diviser par l'effectif total. La somme $78$ est le numérateur, pas la moyenne.[/reponse]
[reponse motif="13"]Attention, $\dfrac{78}{6} = 13$ correspond à une division par le nombre de valeurs distinctes, pas par l'effectif total.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer la somme $0 \times 2 + 1 \times 5 + 2 \times 7 + 3 \times 8 + 4 \times 5 + 5 \times 3$, puis diviser par $30$.[/reponse]
[aide essai="2"]Calculer chaque produit : $0$, $5$, $14$, $24$, $20$, $15$. Additionner puis diviser par $30$.[/aide]
[aide essai="3"]La somme vaut $0 + 5 + 14 + 24 + 20 + 15 = 78$. Calculer $\dfrac{78}{30}$.[/aide]
[/math]
[solution]$\bar{x} = \dfrac{0 + 5 + 14 + 24 + 20 + 15}{30} = \dfrac{78}{30} = 2{,}6$[/solution]
[/etape]

[etape]
L'effectif total est $30$ (nombre pair). Quelles sont les positions des deux valeurs centrales ?
[qcm]
[option]La 14e et la 15e valeur[/option]
[option correct="true"]La 15e et la 16e valeur[/option]
[option]La 16e et la 17e valeur[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$N = 30$ est pair. La médiane est la moyenne des valeurs en positions $\dfrac{30}{2} = 15$ et $\dfrac{30}{2} + 1 = 16$.[/reponse]
[reponse motif="La 14e et la 15e valeur"]Non.
Quand $N$ est pair, les positions centrales sont $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2} + 1$.[/reponse]
[reponse motif="La 16e et la 17e valeur"]Non.
Quand $N$ est pair, la première position centrale est $\dfrac{N}{2}$, pas $\dfrac{N}{2} + 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand $N$ est pair, la médiane est la moyenne des valeurs en positions $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2} + 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Déterminer la médiane de cette série.
Médiane = [[med]]
[math id="med" attendu="3"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Effectifs cumulés : 2, 7, 14, 22, 27, 30.
La 15e valeur est $3$ et la 16e valeur est aussi $3$.
Médiane $= \dfrac{3 + 3}{2} = 3$.[/reponse]
[reponse motif="2"]Attention, la valeur $2$ occupe les rangs 8 à 14. La 15e valeur est au-delà.[/reponse]
[reponse motif="2.5"]Non. Vérifier les effectifs cumulés : la 15e et la 16e valeur sont dans le même groupe.[/reponse]
[reponse motif="2.6"]La médiane n'est pas la moyenne. Il faut repérer les valeurs centrales dans la série ordonnée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer les effectifs cumulés pour trouver dans quel groupe tombent la 15e et la 16e valeur.[/reponse]
[aide essai="2"]Effectifs cumulés : $2$, $7$, $14$, ... Continuer pour trouver le groupe contenant la 15e valeur.[/aide]
[aide essai="3"]Effectifs cumulés : $2$, $7$, $14$, $22$, $27$, $30$. La 15e valeur est dans le groupe qui va du rang 15 au rang 22.[/aide]
[/math]
[solution]Effectifs cumulés : 2, 7, 14, 22, 27, 30.
Les 15e et 16e valeurs sont toutes les deux $3$. Médiane $= 3$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Déterminer le premier quartile $Q_1$.
$Q_1 = $ [[q1]]
[math id="q1" attendu="2"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\dfrac{30}{4} = 7{,}5$. On arrondit à l'entier supérieur : rang $8$.
La 8e valeur de la série ordonnée est $2$, donc $Q_1 = 2$.[/reponse]
[reponse motif="1"]Non. La valeur $1$ occupe les rangs 3 à 7. Le rang cherché est au-delà.[/reponse]
[reponse motif="7.5"]Ce n'est pas la valeur du quartile mais le résultat de $\dfrac{30}{4}$. Il faut arrondir à l'entier supérieur et lire la valeur correspondante.[/reponse]
[reponse motif="7"]Attention, $7$ est l'effectif cumulé de la valeur $1$. Il faut trouver la valeur au rang $8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\dfrac{N}{4}$, arrondir à l'entier supérieur, puis lire la valeur à ce rang dans les effectifs cumulés.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{30}{4} = 7{,}5$. L'entier supérieur est $8$. Chercher la 8e valeur dans la série ordonnée.[/aide]
[aide essai="3"]Effectifs cumulés : 2, 7, 14... La 8e valeur se situe dans le groupe qui commence au rang 8 (juste après le rang 7).[/aide]
[/math]
[solution]$\dfrac{30}{4} = 7{,}5$, arrondi à $8$. La 8e valeur est $2$, donc $Q_1 = 2$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Déterminer le troisième quartile $Q_3$.
$Q_3 = $ [[q3]]
[math id="q3" attendu="4"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$\dfrac{3 \times 30}{4} = 22{,}5$. On arrondit à l'entier supérieur : rang $23$.
La 23e valeur est $4$, donc $Q_3 = 4$.[/reponse]
[reponse motif="3"]Non. La valeur $3$ occupe les rangs 15 à 22. Le rang cherché est au-delà.[/reponse]
[reponse motif="5"]Non. La valeur $5$ commence au rang 28. Le rang cherché est avant.[/reponse]
[reponse motif="22.5"]Ce n'est pas la valeur du quartile mais le résultat de $\dfrac{3 \times 30}{4}$. Arrondir et lire la valeur correspondante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\dfrac{3 \times N}{4}$, arrondir à l'entier supérieur, puis lire la valeur à ce rang.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{3 \times 30}{4} = 22{,}5$. L'entier supérieur est $23$. Chercher la 23e valeur.[/aide]
[aide essai="3"]Effectifs cumulés : 2, 7, 14, 22, 27, 30. La 23e valeur se situe dans le groupe qui commence au rang 23.[/aide]
[/math]
[solution]$\dfrac{3 \times 30}{4} = 22{,}5$, arrondi à $23$. La 23e valeur est $4$, donc $Q_3 = 4$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Compléter la phrase suivante :
Au moins 75% des élèves ont marqué [[interp]] paniers ou moins.
[select id="interp"]
[option]$3$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$5$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$Q_3 = 4$ signifie qu'au moins 75% des élèves ont marqué $4$ paniers ou moins.
Résumé complet : moyenne $= 2{,}6$, médiane $= 3$, $Q_1 = 2$, $Q_3 = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
C'est le troisième quartile $Q_3$ qui indique la valeur en dessous de laquelle se trouvent au moins 75% des données.[/reponse]
[aide essai="2"]« Au moins 75% » correspond à la définition du troisième quartile.[/aide]
[aide essai="3"]$Q_3 = 4$. Par définition, au moins 75% des valeurs sont inférieures ou égales à $Q_3$.[/aide]
[/select]
[/etape]

Moyenne et médiane d’une série

[enonce]
On a interrogé les $25$ élèves d'une classe de 3e pour connaître le nombre d'animaux de compagnie qu'ils possèdent. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

Nombre d'animaux	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Effectif	$3$	$8$	$7$	$5$	$2$

Calculer la moyenne et la médiane de cette série statistique.
[/enonce]

[etape]
Calculer la moyenne de cette série.
Moyenne = [[moy]]
[math id="moy" attendu="1.8"]
[reponse statut="correct"]Correct !
On calcule la somme des produits valeur $\times$ effectif, puis on divise par l'effectif total :
$\bar{x} = \dfrac{0 \times 3 + 1 \times 8 + 2 \times 7 + 3 \times 5 + 4 \times 2}{25} = \dfrac{45}{25} = 1{,}8$[/reponse]
[reponse motif="9"]Attention, $9$ est la somme des produits divisée par le nombre de valeurs distinctes ($5$), pas par l'effectif total ($25$).[/reponse]
[reponse motif="2"]Ce n'est pas la bonne valeur. Il faut multiplier chaque nombre d'animaux par son effectif, additionner ces produits, puis diviser par $25$.[/reponse]
[reponse motif="45"]Il reste une étape : diviser la somme obtenue par l'effectif total.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il s'agit d'une moyenne pondérée : on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne, puis on divise par l'effectif total ($25$).[/reponse]
[aide essai="2"]Calculer : $0 \times 3 + 1 \times 8 + 2 \times 7 + 3 \times 5 + 4 \times 2$, puis diviser le résultat par $25$.[/aide]
[aide essai="3"]La somme des produits vaut $0 + 8 + 14 + 15 + 8 = 45$. Diviser $45$ par $25$.[/aide]
[/math]
[solution]$\bar{x} = \dfrac{0 \times 3 + 1 \times 8 + 2 \times 7 + 3 \times 5 + 4 \times 2}{25} = \dfrac{45}{25} = 1{,}8$[/solution]
[/etape]

[etape]
L'effectif total est $25$ (nombre impair). Quelle est la position de la médiane dans la série ordonnée ?
[qcm]
[option]La 12e valeur[/option]
[option correct="true"]La 13e valeur[/option]
[option]La 12e et la 13e valeur[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$N = 25$ est impair, donc la médiane est la valeur en position $\dfrac{25 + 1}{2} = 13$.[/reponse]
[reponse motif="La 12e valeur"]Non.
La position de la médiane quand $N$ est impair se calcule avec la formule $\dfrac{N + 1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="La 12e et la 13e valeur"]Non.
On utilise les deux valeurs centrales quand $N$ est pair. Ici $N = 25$ est impair.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand $N$ est impair, la médiane est la valeur en position $\dfrac{N + 1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Déterminer la médiane de cette série.
Médiane = [[med]]
[math id="med" attendu="2"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
En cumulant les effectifs : $0$ occupe les rangs 1 à 3, $1$ les rangs 4 à 11, $2$ les rangs 12 à 18.
La 13e valeur est donc $2$.[/reponse]
[reponse motif="1"]Attention, la valeur $1$ occupe les rangs 4 à 11.
La 13e valeur se situe au-delà du rang 11.[/reponse]
[reponse motif="3"]Non.
La valeur $3$ commence au rang 19. La 13e valeur est avant.[/reponse]
[reponse motif="1.8"]La médiane n'est pas la moyenne. C'est la valeur centrale de la série ordonnée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Cumuler les effectifs pour trouver dans quel groupe se situe la 13e valeur.[/reponse]
[aide essai="2"]Calculer les effectifs cumulés : $0$ va du rang 1 au rang 3, $1$ du rang 4 au rang $3 + 8 = 11$, $2$ du rang 12 au rang $11 + 7 = ?$[/aide]
[aide essai="3"]Effectifs cumulés : 3, 11, 18, 23, 25. La 13e valeur tombe dans le groupe qui va du rang 12 au rang 18.[/aide]
[/math]
[solution]Effectifs cumulés : 3, 11, 18, 23, 25.
La 13e valeur est $2$ (rangs 12 à 18). La médiane vaut $2$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Que signifie la valeur de la médiane trouvée ?
[qcm]
[option]Tous les élèves possèdent 2 animaux[/option]
[option correct="true"]Au moins la moitié des élèves possèdent 2 animaux ou moins[/option]
[option]La plupart des élèves possèdent exactement 2 animaux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La médiane sépare la série en deux groupes de même effectif : au moins 50% des élèves ont 2 animaux ou moins, et au moins 50% en ont 2 ou plus.[/reponse]
[reponse motif="Tous les élèves possèdent 2 animaux"]Non.
La médiane ne signifie pas que tout le monde a la même valeur. C'est la valeur qui partage la série en deux moitiés.[/reponse]
[reponse motif="La plupart des élèves possèdent exactement 2 animaux"]Non.
La médiane indique la position centrale, pas la valeur la plus fréquente (qui serait le mode).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La médiane est la valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Médiane et étendue

[enonce]
Ce QCM porte sur la médiane et l'étendue d'une série statistique. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Voici une série de 7 valeurs rangées par ordre croissant :
$5$ ; $8$ ; $10$ ; $13$ ; $15$ ; $17$ ; $20$
Quelle est la médiane de cette série ?
[qcm]
[option]$10$[/option]
[option correct="true"]$13$[/option]
[option]$12{,}5$[/option]
[option]$15$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'effectif total est $N = 7$ (impair). La médiane est la valeur en position $\dfrac{7 + 1}{2} = 4$, soit la 4e valeur.
La médiane est donc $13$.[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
$10$ est la 3e valeur, pas la 4e. Quand $N = 7$, la médiane est en position $\dfrac{7 + 1}{2} = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$12{,}5$"]Non.
Il ne faut pas faire la moyenne des 3e et 4e valeurs. Cette formule s'applique quand l'effectif total est pair. Ici $N = 7$ est impair, donc la médiane est directement la valeur en position $\dfrac{N + 1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
$15$ est la 5e valeur, pas la 4e. La position de la médiane se calcule avec $\dfrac{N + 1}{2}$, pas avec $\dfrac{N}{2} + 1$ quand $N$ est impair.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Avec $N = 7$ valeurs (impair), la médiane est la valeur en position $\dfrac{7 + 1}{2} = 4$. La 4e valeur de la série ordonnée est $13$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Voici une série de 6 valeurs rangées par ordre croissant :
$6$ ; $9$ ; $11$ ; $14$ ; $16$ ; $18$
Quelle est la médiane de cette série ?
[qcm]
[option]$11$[/option]
[option]$14$[/option]
[option]$13$[/option]
[option correct="true"]$12{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'effectif total est $N = 6$ (pair). La médiane est la moyenne des valeurs en positions $\dfrac{6}{2} = 3$ et $\dfrac{6}{2} + 1 = 4$.
La 3e valeur est $11$ et la 4e est $14$, donc :
$\text{médiane} = \dfrac{11 + 14}{2} = 12{,}5$[/reponse]
[reponse motif="$11$"]Non.
$11$ est la 3e valeur, mais quand $N$ est pair, la médiane n'est pas une seule valeur centrale. Il faut faire la moyenne des deux valeurs centrales.[/reponse]
[reponse motif="$14$"]Non.
$14$ est la 4e valeur, mais quand $N$ est pair, la médiane n'est pas la valeur juste après le milieu. Il faut faire la moyenne des 3e et 4e valeurs.[/reponse]
[reponse motif="$13$"]Non.
Attention, la médiane est la moyenne des 3e et 4e valeurs. Vérifier le calcul de cette moyenne.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Avec $N = 6$ (pair), la médiane est la moyenne des valeurs aux positions $\dfrac{6}{2} = 3$ et $4$. Repérer ces deux valeurs dans la série ordonnée et calculer leur moyenne.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On a relevé le nombre de frères et soeurs des 25 élèves d'une classe :

Nombre de frères et soeurs	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Effectif	$4$	$9$	$7$	$3$	$2$

Quelle est la médiane de cette série ?
[qcm]
[option correct="true"]$1$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$1{,}5$[/option]
[option]$9$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'effectif total est $N = 25$ (impair). La médiane est la valeur en position $\dfrac{25 + 1}{2} = 13$.
Les effectifs cumulés sont : $4$ ; $13$ ; $20$ ; $23$ ; $25$.
La 13e valeur correspond à la valeur $1$ (le cumul atteint $13$ à cette valeur).
La médiane est donc $1$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
La 13e valeur n'est pas dans la catégorie « $2$ frères et soeurs ». Recalculer les effectifs cumulés pour repérer dans quelle catégorie se situe la 13e valeur.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}5$"]Non.
La formule de la moyenne des deux valeurs centrales ne s'applique que si $N$ est pair. Ici $N = 25$ est impair, donc la médiane est directement la valeur en position 13.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9$ est l'effectif le plus grand (le mode en effectif), pas la médiane. La médiane est une valeur de la série, pas un effectif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Avec $N = 25$, la médiane est la 13e valeur. En cumulant les effectifs ($4$ ; $13$ ; $20$...), on repère que la 13e valeur se situe dans la catégorie « $1$ frère ou soeur ».[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un élève a obtenu les notes suivantes : $4$ ; $12$ ; $7$ ; $15$ ; $9$ ; $11$.
Quelle est l'étendue de cette série ?
[qcm]
[option]$4$[/option]
[option]$15$[/option]
[option correct="true"]$11$[/option]
[option]$9{,}67$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur :
$15 - 4 = 11$[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$4$ est la plus petite note, pas l'étendue. L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série.[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
$15$ est la plus grande note, pas l'étendue. L'étendue se calcule en soustrayant la plus petite valeur à la plus grande.[/reponse]
[reponse motif="$9{,}67$"]Non.
Ce résultat correspond à la moyenne de la série, pas à l'étendue. L'étendue mesure l'écart entre les valeurs extrêmes : plus grande valeur $-$ plus petite valeur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'étendue est la différence entre la plus grande valeur ($15$) et la plus petite valeur ($4$) de la série.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans une classe de 30 élèves, la note médiane est $12$.
Combien d'élèves au minimum ont obtenu $12$ ou moins ?
[qcm]
[option]$12$[/option]
[option]$16$[/option]
[option]$14$[/option]
[option correct="true"]$15$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La médiane partage la série en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane.
$\dfrac{30}{2} = 15$
Au moins $15$ élèves ont obtenu $12$ ou moins.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
Il ne faut pas confondre la valeur de la médiane ($12$) avec le nombre d'élèves en dessous. La médiane partage la série en deux moitiés : au moins $\dfrac{N}{2}$ valeurs lui sont inférieures ou égales.[/reponse]
[reponse motif="$16$"]Non.
$16 = \dfrac{30}{2} + 1$. La définition de la médiane garantit qu'au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales. Calculer $\dfrac{N}{2}$ avec la bonne valeur de $N$.[/reponse]
[reponse motif="$14$"]Non.
$14 = \dfrac{30}{2} - 1$. La médiane partage la série en deux : au moins $\dfrac{N}{2}$ valeurs (pas $\dfrac{N}{2} - 1$) lui sont inférieures ou égales.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La médiane sépare la série en deux moitiés. Au moins la moitié de l'effectif total a une note inférieure ou égale à la médiane. Calculer $\dfrac{N}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Voici le tableau des effectifs d'une série :

Valeur	$5$	$8$	$12$	$15$	$20$
Effectif	$3$	$5$	$7$	$4$	$1$

Quelle est l'étendue de cette série ?
[qcm]
[option]$17$[/option]
[option correct="true"]$15$[/option]
[option]$7$[/option]
[option]$12$[/option]
[reponse statut="correct"]Bien joué !
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur :
$20 - 5 = 15$
Les effectifs n'interviennent pas dans le calcul de l'étendue.[/reponse]
[reponse motif="$17$"]Non.
$17 = 20 - 3$. Attention, il faut soustraire la plus petite valeur (et non le plus petit effectif). L'étendue se calcule uniquement à partir des valeurs de la série.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
$7$ est l'effectif le plus élevé (celui de la valeur $12$), pas l'étendue. L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12$ est la valeur centrale du tableau, pas l'étendue. L'étendue se calcule en soustrayant la plus petite valeur à la plus grande valeur de la série.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur du tableau. Repérer ces deux valeurs extrêmes et calculer leur différence.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Statistiques : performances au lancer de poids

Le professeur d'EPS doit choisir une classe pour représenter le collège au tournoi inter-collèges de lancer de poids. Il compare les résultats (en mètres) des élèves de deux classes de 3e.

Classe A (24 élèves) :

Distance (m)	3	4	5	6	7	8	9
Effectif	1	3	5	6	5	3	1

Classe B (24 élèves) :

Distance (m)	3	4	5	6	7	8	9
Effectif	3	2	4	3	4	5	3

Pour chaque classe, calculer la distance moyenne obtenue.
Pour chaque classe, déterminer la médiane de la série.
Déterminer le premier quartile $ Q_1 $ et le troisième quartile $ Q_3 $ pour chacune des deux classes. En déduire l'écart interquartile $ Q_3 - Q_1 $ de chaque série.
Léa, élève de la classe B, affirme : « Notre classe est meilleure car notre moyenne est plus élevée. »
Hugo, élève de la classe A, répond : « Non, c'est notre classe la meilleure car nos résultats sont plus réguliers. »
Qui a raison ? Justifier en utilisant les résultats précédents.
Le tournoi ne sélectionne que les 6 meilleurs élèves de chaque classe. Calculer la distance moyenne des 6 meilleurs lanceurs de chaque classe. Quelle classe obtient alors les meilleures performances ?

Corrigé

On calcule la moyenne pondérée pour chaque classe.

Classe A :
$ \bar{x}_A = \dfrac{3 \times 1 + 4 \times 3 + 5 \times 5 + 6 \times 6 + 7 \times 5 + 8 \times 3 + 9 \times 1}{24} $
$ \bar{x}_A = \dfrac{3 + 12 + 25 + 36 + 35 + 24 + 9}{24} = \dfrac{144}{24} $

La moyenne de la classe A est 6 m.

Classe B :
$ \bar{x}_B = \dfrac{3 \times 3 + 4 \times 2 + 5 \times 4 + 6 \times 3 + 7 \times 4 + 8 \times 5 + 9 \times 3}{24} $
$ \bar{x}_B = \dfrac{9 + 8 + 20 + 18 + 28 + 40 + 27}{24} = \dfrac{150}{24} = 6{,}25 $

La moyenne de la classe B est 6,25 m.
L'effectif total est 24 (pair) pour les deux classes. La médiane est la moyenne des valeurs en positions 12 et 13.

Classe A :

Distance (m) 3 4 5 6 7 8 9

effectif 1 3 5 6 5 3 1

eff. cumulé 1 4 9 15 20 23 24

Les 12e et 13e valeurs se situent toutes les deux dans le groupe « 6 m » (l'effectif cumulé passe de 9 à 15).
$ M_A = \dfrac{6 + 6}{2} = 6 $

La médiane de la classe A est 6 m.

Classe B :

Distance (m) 3 4 5 6 7 8 9

effectif 3 2 4 3 4 5 3

eff. cumulé 3 5 9 12 16 21 24

La 12e valeur se situe dans le groupe « 6 m » (l'effectif cumulé atteint 12 à cette valeur).
La 13e valeur se situe dans le groupe « 7 m » (l'effectif cumulé passe de 12 à 16).
$ M_B = \dfrac{6 + 7}{2} = 6{,}5 $

La médiane de la classe B est 6,5 m.
Pour chaque classe, on calcule $ \dfrac{24}{4} = 6 $ : le premier quartile est la 6e valeur. On calcule $ \dfrac{3 \times 24}{4} = 18 $ : le troisième quartile est la 18e valeur.

Classe A :
D'après le tableau des effectifs cumulés, la 6e valeur est dans le groupe « 5 m » (l'effectif cumulé passe de 4 à 9).
La 18e valeur est dans le groupe « 7 m » (l'effectif cumulé passe de 15 à 20).
Donc $ Q_1 = 5 $ et $ Q_3 = 7 $.
L'écart interquartile vaut $ 7 - 5 $ = 2 m.

Classe B :
La 6e valeur est dans le groupe « 5 m » (l'effectif cumulé passe de 5 à 9).
La 18e valeur est dans le groupe « 8 m » (l'effectif cumulé passe de 16 à 21).
Donc $ Q_1 = 5 $ et $ Q_3 = 8 $.
L'écart interquartile vaut $ 8 - 5 $ = 3 m.
Les deux élèves ont en partie raison.

Léa a raison de dire que la classe B a une moyenne plus élevée : $ 6{,}25 > 6 $. La médiane de la classe B est également supérieure : $ 6{,}5 > 6 $.

Hugo a raison de dire que la classe A a des résultats plus réguliers : son écart interquartile est de 2 m contre 3 m pour la classe B. Les performances de la classe A sont donc plus homogènes (les résultats sont plus resserrés autour de la médiane).

En résumé, la classe B est en moyenne légèrement meilleure, mais la classe A est plus régulière.
Les 6 meilleurs lanceurs sont ceux qui ont obtenu les distances les plus grandes.

Classe A :
En partant des plus grandes distances : 1 élève à 9 m, 3 élèves à 8 m et 2 élèves à 7 m (soit $ 1 + 3 + 2 = 6 $ élèves).
$ \bar{x} = \dfrac{9 + 8 + 8 + 8 + 7 + 7}{6} = \dfrac{47}{6} \approx 7{,}8 $

La moyenne des 6 meilleurs de la classe A est d'environ 7,8 m.

Classe B :
En partant des plus grandes distances : 3 élèves à 9 m et 3 élèves à 8 m (soit $ 3 + 3 = 6 $ élèves).
$ \bar{x} = \dfrac{9 + 9 + 9 + 8 + 8 + 8}{6} = \dfrac{51}{6} = 8{,}5 $

La moyenne des 6 meilleurs de la classe B est 8,5 m.

Si le tournoi ne sélectionne que les 6 meilleurs élèves, la classe B obtient de meilleures performances car ses meilleurs éléments sont plus nombreux à atteindre des distances élevées.

Statistiques : notes au brevet blanc

Les 25 élèves d'une classe de 3e ont passé un brevet blanc de mathématiques noté sur 40 points. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

Note	12	16	20	24	28	32	36
Effectif	2	3	5	6	4	3	2

Calculer la note moyenne de cette classe. Arrondir au dixième.
Déterminer la médiane de cette série.
Déterminer le premier quartile $ Q_1 $ et le troisième quartile $ Q_3 $ de cette série.
Le professeur considère que les élèves ayant obtenu une note supérieure ou égale à 24 ont un « niveau satisfaisant ». Quel pourcentage d'élèves a un niveau satisfaisant ?

Corrigé

On calcule la moyenne pondérée :
$ \bar{x} = \dfrac{12 \times 2 + 16 \times 3 + 20 \times 5 + 24 \times 6 + 28 \times 4 + 32 \times 3 + 36 \times 2}{25} $
$ \bar{x} = \dfrac{24 + 48 + 100 + 144 + 112 + 96 + 72}{25} $
$ \bar{x} = \dfrac{596}{25} = 23{,}84 $

La note moyenne est de 23,8 sur 40 (arrondie au dixième).
L'effectif total est 25 (impair). La médiane est la valeur en position $ \dfrac{25 + 1}{2} = 13 $.

On calcule les effectifs cumulés croissants :

Note 12 16 20 24 28 32 36

effectif 2 3 5 6 4 3 2

eff. cumulé 2 5 10 16 20 23 25

La 13e valeur se situe dans le groupe « 24 » (l'effectif cumulé passe de 10 à 16).

La médiane est 24 sur 40.
Pour le premier quartile, on calcule $ \dfrac{25}{4} = 6{,}25 $, que l'on arrondit à l'entier supérieur : 7.
Le premier quartile $ Q_1 $ est la 7e valeur de la série ordonnée.
D'après le tableau des effectifs cumulés, la 7e valeur se situe dans le groupe « 20 » (l'effectif cumulé passe de 5 à 10).

Donc $\mathbf{Q_1 = 20}$.

Pour le troisième quartile, on calcule $ \dfrac{3 \times 25}{4} = 18{,}75 $, que l'on arrondit à l'entier supérieur : 19.
Le troisième quartile $ Q_3 $ est la 19e valeur de la série ordonnée.
D'après le tableau, la 19e valeur se situe dans le groupe « 28 » (l'effectif cumulé passe de 16 à 20).

Donc $\mathbf{Q_3 = 28}$.

Au moins 25% des élèves ont obtenu 20 ou moins, et au moins 75% ont obtenu 28 ou moins.
Les élèves ayant obtenu 24 ou plus sont ceux dans les groupes 24, 28, 32 et 36.
Leur effectif est :
$ 6 + 4 + 3 + 2 = 15 $

Le pourcentage correspondant est :
$ \dfrac{15}{25} \times 100 = 60 $

60% des élèves ont un niveau satisfaisant.

Statistiques : temps d’écran des collégiens

On a interrogé les élèves d'une classe de 3e sur leur temps d'écran quotidien (hors travail scolaire). Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

Temps d'écran (en h)	0	1	2	3	4	5
Effectif	2	5	8	7	5	3

Combien d'élèves ont été interrogés ?
Calculer l'étendue de cette série.
Calculer le temps d'écran moyen de cette classe. Arrondir au dixième.
Déterminer la médiane de cette série. Interpréter le résultat.

Corrigé

Pour déterminer le nombre d'élèves interrogés, on additionne tous les effectifs :
$ 2 + 5 + 8 + 7 + 5 + 3 = 30 $

Il y a 30 élèves dans cette classe.
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série :
$ 5 - 0 = 5 $

L'étendue est de 5 heures.
On calcule la moyenne pondérée :
$ \bar{x} = \dfrac{0 \times 2 + 1 \times 5 + 2 \times 8 + 3 \times 7 + 4 \times 5 + 5 \times 3}{30} $
$ \bar{x} = \dfrac{0 + 5 + 16 + 21 + 20 + 15}{30} $
$ \bar{x} = \dfrac{77}{30} \approx 2{,}6 $

Le temps d'écran moyen est d'environ 2,6 heures par jour.
L'effectif total est 30 (pair). La médiane est la moyenne des valeurs en positions $ \dfrac{30}{2} = 15 $ et $ \dfrac{30}{2} + 1 = 16 $.

On calcule les effectifs cumulés croissants :

Temps (h) 0 1 2 3 4 5

effectif 2 5 8 7 5 3

eff. cumulé 2 7 15 22 27 30

La 15e valeur se situe dans le groupe « 2 heures » (l'effectif cumulé atteint 15 à cette valeur).
La 16e valeur se situe dans le groupe « 3 heures » (l'effectif cumulé passe de 15 à 22).

La médiane vaut donc :
$ M = \dfrac{2 + 3}{2} = 2{,}5 $

La médiane est 2,5 heures. Cela signifie qu'au moins la moitié des élèves passent 2,5 heures ou moins devant un écran, et au moins la moitié y passent 2,5 heures ou plus.

Vrai/Faux : Médiane, quartiles et interprétation

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la médiane, les quartiles et l'interprétation de données statistiques, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : La médiane partage une série statistique ordonnée en deux groupes de même effectif.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
C'est la définition de la médiane : la valeur qui sépare la série ordonnée en deux moitiés de même taille.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La médiane est précisément définie comme la valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif.
Il y a autant de valeurs en dessous qu'au-dessus de la médiane.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La médiane sépare la série ordonnée en deux groupes de même effectif.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère une série de 20 valeurs rangées par ordre croissant.

Affirmation : La médiane de cette série est la 10e valeur.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Avec 20 valeurs (nombre pair), la médiane est la moyenne des 10e et 11e valeurs, pas simplement la 10e.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Quand l'effectif total est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.
Ici : $\dfrac{N}{2} = 10$ et $\dfrac{N}{2} + 1 = 11$, donc la médiane est la moyenne des 10e et 11e valeurs.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Avec un effectif pair de 20, la médiane est la moyenne des 10e et 11e valeurs.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère une série de 15 valeurs rangées par ordre croissant.

Affirmation : Le premier quartile $Q_1$ est la 3e valeur de la série.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On calcule $\dfrac{15}{4} = 3{,}75$. On arrondit à l'entier supérieur : 4.
Le premier quartile est donc la 4e valeur, pas la 3e.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Pour trouver $Q_1$, on calcule $\dfrac{N}{4}$ et on arrondit à l'entier supérieur.
Ici : $\dfrac{15}{4} = 3{,}75$, arrondi à 4. Le premier quartile est la 4e valeur.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\dfrac{15}{4} = 3{,}75$, arrondi supérieur = 4. $Q_1$ est la 4e valeur, pas la 3e.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour toute série statistique, on a $Q_1 \leqslant \text{médiane} \leqslant Q_3$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le premier quartile sépare les 25% les plus petites valeurs, la médiane les 50%, et le troisième quartile les 75%.
Par construction, $Q_1$ est toujours inférieur ou égal à la médiane, elle-même inférieure ou égale à $Q_3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Les quartiles et la médiane sont des indicateurs de position ordonnés.
$Q_1$ correspond au quart inférieur, la médiane à la moitié, et $Q_3$ aux trois quarts : on a toujours $Q_1 \leqslant \text{médiane} \leqslant Q_3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Par construction, $Q_1 \leqslant \text{médiane} \leqslant Q_3$ pour toute série.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si la moyenne d'une série est 10, alors au moins la moitié des valeurs sont supérieures ou égales à 10.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
C'est la médiane, et non la moyenne, qui sépare la série en deux moitiés.
Par exemple, la série 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 46 a pour moyenne 10, mais seule une valeur sur cinq dépasse 10.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre moyenne et médiane.
La médiane sépare la série en deux moitiés égales, pas la moyenne.
Contre-exemple : la série 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 46 a pour moyenne $\dfrac{50}{5} = 10$, mais 4 valeurs sur 5 sont inférieures à 10.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La moyenne ne sépare pas la série en deux moitiés : c'est le rôle de la médiane.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'étendue d'une série statistique ne dépend que de la plus grande et de la plus petite valeur.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'étendue est définie comme la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale. Les autres valeurs n'interviennent pas dans ce calcul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'étendue se calcule uniquement à partir des deux valeurs extrêmes : maximum moins minimum.
Les valeurs intermédiaires n'ont aucune influence sur l'étendue.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. L'étendue = valeur max - valeur min, les autres valeurs n'interviennent pas.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Moyenne et médiane

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la moyenne et la médiane, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On considère la série : 8 ; 12 ; 10 ; 14 ; 6.

Affirmation : La moyenne de cette série est égale à 10.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
La moyenne vaut $\dfrac{8 + 12 + 10 + 14 + 6}{5} = \dfrac{50}{5} = 10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La moyenne se calcule en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par l'effectif total :
$\dfrac{8 + 12 + 10 + 14 + 6}{5} = \dfrac{50}{5} = 10$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{50}{5} = 10$ : la moyenne est bien égale à 10.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la série : 3 ; 8 ; 5 ; 12 ; 7.

Affirmation : La médiane de cette série est 5.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour déterminer la médiane, il faut d'abord ranger les valeurs par ordre croissant : 3 ; 5 ; 7 ; 8 ; 12.
La médiane est la 3e valeur (position $\dfrac{5+1}{2} = 3$), soit 7.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, il faut trier les valeurs avant de chercher la médiane.
La série ordonnée est : 3 ; 5 ; 7 ; 8 ; 12. La médiane est la valeur centrale, ici la 3e : c'est 7, pas 5.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La série triée est 3 ; 5 ; 7 ; 8 ; 12. La médiane est 7, pas 5.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'étendue d'une série statistique mesure la dispersion des données.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'étendue (différence entre la plus grande et la plus petite valeur) indique si les données sont regroupées ou dispersées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'étendue mesure l'écart entre les valeurs extrêmes d'une série.
Plus l'étendue est grande, plus les données sont dispersées.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. L'étendue est un indicateur de dispersion : elle mesure l'écart entre la plus grande et la plus petite valeur.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la série : 4 ; 6 ; 9 ; 11 ; 15 ; 18.

Affirmation : La médiane de cette série est 11.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La série comporte 6 valeurs (nombre pair). La médiane est la moyenne des 3e et 4e valeurs :
$\dfrac{9 + 11}{2} = 10$, et non 11.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Quand l'effectif total est pair, la médiane n'est pas simplement l'une des deux valeurs centrales.
Ici, avec 6 valeurs, la médiane est la moyenne des 3e et 4e valeurs : $\dfrac{9 + 11}{2} = 10$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Avec un effectif pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales : $\dfrac{9 + 11}{2} = 10$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si une série comporte 9 valeurs rangées par ordre croissant, la médiane est la 5e valeur.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'effectif total est 9 (impair). La médiane est en position $\dfrac{9 + 1}{2} = 5$, c'est bien la 5e valeur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand l'effectif total est impair, la médiane est la valeur en position $\dfrac{N+1}{2}$.
Ici : $\dfrac{9 + 1}{2} = 5$, la médiane est la 5e valeur.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec 9 valeurs, la médiane est en position $\dfrac{9+1}{2} = 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La moyenne et la médiane d'une série statistique sont toujours égales.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Ce sont deux indicateurs différents qui peuvent donner des résultats distincts.
Par exemple, la série 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 16 a pour médiane 1 et pour moyenne $\dfrac{20}{5} = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La moyenne et la médiane sont deux indicateurs de position distincts.
Par exemple, dans la série 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 16, la médiane est 1 mais la moyenne vaut $\dfrac{20}{5} = 4$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La moyenne et la médiane peuvent être différentes. Par exemple : série 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 16, médiane = 1, moyenne = 4.
[/solution]
[/etape]

Statistiques : nombre de buts marqués

Le tableau ci-dessous recense le nombre de buts marqués par match lors d'un tournoi de football :

Nb. buts	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Nb. matchs	6	8	6	4	2	2	2	1	2

Combien de matchs, au total, ont été disputés lors de ce tournoi ?
Clara affirme : « Dans plus de 10% des matchs, aucun but n'a été marqué ».
A-t-elle raison ? Justifier ta réponse.
Au total, combien de buts ont été marqués lors du tournoi ?
En moyenne, combien de buts par match ont été marqués ?
Quelle est la médiane de cette série ?
Comment peut-on interpréter cette médiane ?

Corrigé

Pour déterminer le nombre de matchs disputés au cours de ce tournoi, il suffit d'effectuer la somme :

$ 6 + 8 + 6 + 4 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 =33. $

33 matchs ont été disputés.
Aucun but n'a été marqué lors de 6 matchs sur 33. Pour vérifier l'affirmation de Clara, il suffit de convertir $ \dfrac{6}{33} $ en pourcentage :

$ \dfrac{6}{33} \approx 0{,}182 = 18{,}2 $ %.

Clara a donc raison lorsqu'elle affirme qu'aucun but n'a été marqué dans plus de 10% des matchs.
Pour déterminer le nombre total de buts marqués, on effectue, pour chacune des colonnes du tableau, le produit du nombre de buts par le nombre de matchs, puis on additionne le tout :
$ N = 0 \times 6 + 1 \times 8 + 2 \times 6 + 3 \times 4 + 4 \times 2 + 5 \times 2 + 6 \times 2 + 7 \times 1 + 8 \times 2 $
$ N = 0 + 8 + 12 + 12 + 8 + 10 + 12 + 7 + 16 $
$ N = 85 $

85 buts ont été marqués lors de ce tournoi.
Pour déterminer le nombre de buts marqués par match en moyenne, il suffit de diviser le résultat précédent par le nombre de matchs soit 33 :

$ m = \dfrac{85}{33} \approx 2{,}58. $

En moyenne, il y a eu 2,58 buts marqués par match.
Si l'on détaille le nombre de buts marqués pour chacun des 33 matchs (trié par ordre croissant), on obtient :

0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 6 ; 6 ; 7 ; 8 ; 8.

La médiane correspond à la valeur située « au milieu » de cette liste, c'est à dire en dix-septième position.
La médiane est donc égale à 2.

Cela signifie que, dans au moins la moitié des matchs, il y a eu 2 buts ou moins ; et que, dans au moins la moitié des matchs, il y a eu 2 buts ou plus.