[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la forme trigonométrique d'un nombre complexe, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Le module d'un nombre complexe est toujours un réel positif ou nul.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Par définition, $|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour $z = a + ib$. Une racine carrée d'un réel positif est toujours positive ou nulle. Géométriquement, le module est une distance ($OM$), donc nécessairement positive ou nulle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le module est défini par une racine carrée d'une somme de carrés : $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ est toujours positif ou nul. Géométriquement, c'est la distance $OM$ du point image à l'origine.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \geqslant 0$, et $|z|$ représente la distance $OM$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le nombre complexe $0$ admet un argument.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
L'argument de $z$ est défini comme une mesure de l'angle $(\vec{u}\,;\, \overrightarrow{OM})$. Si $z = 0$, alors $M = O$ et le vecteur $\overrightarrow{OM}$ est nul : on ne peut pas définir d'angle. C'est pourquoi seuls les complexes non nuls admettent un argument.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Quand $z = 0$, son image est confondue avec l'origine $O$. Le vecteur $\overrightarrow{OM}$ étant nul, aucun angle ne peut être défini : $0$ n'a pas d'argument.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Seuls les complexes non nuls ont un argument, car l'angle $(\vec{u}\,;\, \overrightarrow{OM})$ n'est défini que si $\overrightarrow{OM}$ est non nul.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère $z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$.

Affirmation : On a $|z| = 2$ et un argument de $z$ vaut $\dfrac{\pi}{3}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'écriture $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r > 0$ est la forme trigonométrique : on lit directement le module $r = 2$ et un argument $\theta = \dfrac{\pi}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand un complexe est déjà donné sous la forme $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r > 0$, le module et un argument se lisent immédiatement.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La forme $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r > 0$ donne directement $|z| = r$ et $\arg(z) = \theta$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $|z| = 1$, alors $z = 1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La condition $|z| = 1$ caractérise tous les points du cercle de centre $O$ et de rayon $1$ (cercle trigonométrique). Il y a une infinité de complexes de module $1$ : $1$, $-1$, $i$, $-i$, $\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$… Le complexe $1$ n'en est qu'un parmi une infinité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
$|z| = 1$ signifie que l'image de $z$ est sur le cercle unité, pas qu'elle est forcément en $(1\,;\, 0)$. Tout complexe $e^{i\theta}$ pour un réel $\theta$ vérifie $|z| = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $|z| = 1$ est l'équation du cercle unité ; il y a une infinité de complexes vérifiant cette condition (par exemple $i$, $-1$, $\dfrac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)$…).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout nombre complexe $z$, on a $|\overline{z}| = |z|$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour $z = a + ib$, on a $\overline{z} = a - ib$. Donc $|\overline{z}| = \sqrt{a^{2} + (-b)^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = |z|$.
Géométriquement, $z$ et $\overline{z}$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses : ils sont à même distance de $O$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le module ne fait intervenir que les carrés des parties réelle et imaginaire : changer le signe de la partie imaginaire ne change pas le module.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La symétrie par rapport à l'axe $(O\vec{u})$ conserve les distances à $O$, donc $|\overline{z}| = |z|$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un argument d'un nombre complexe non nul est unique.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'argument est défini modulo $2\pi$ : si $\theta$ est un argument de $z$, alors $\theta + 2k\pi$ pour tout entier $k$ l'est aussi. Par exemple, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{9\pi}{4}$, $-\dfrac{7\pi}{4}$ sont tous des arguments du même complexe $1 + i$.
On parle de la mesure principale (dans $]-\pi\,;\, \pi]$) pour avoir une valeur unique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'argument est défini à un multiple de $2\pi$ près, car les angles sont définis modulo $2\pi$. Il y a une infinité d'arguments pour un même complexe non nul.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les arguments d'un complexe non nul forment une classe d'équivalence modulo $2\pi$ : ils sont en infinité (un même $z$ a tous les arguments $\theta + 2k\pi$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $z = 2(\cos\pi + i\sin\pi)$, alors $z = -2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\cos\pi = -1$ et $\sin\pi = 0$, donc $z = 2 \times (-1 + 0) = -2$.
On vérifie : $-2$ est un réel négatif de module $2$ et d'argument $\pi$, ce qui correspond bien.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Substituer les valeurs $\cos\pi = -1$ et $\sin\pi = 0$ dans la forme trigonométrique : $z = 2 \times (-1 + 0 \cdot i) = -2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\cos\pi = -1$, $\sin\pi = 0$, donc $z = 2 \times (-1) = -2$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur la forme trigonométrique d'un nombre complexe : argument, conversion entre forme algébrique et forme trigonométrique, argument du conjugué. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Un argument du nombre complexe $z = 1 + i$ est :
[qcm]
[option]$\dfrac{\pi}{3}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{\pi}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{\pi}{6}$[/option]
[option]$\dfrac{\pi}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On a $|z| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$. Un argument $\theta$ vérifie $\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Ces valeurs correspondent à $\theta = \dfrac{\pi}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\pi}{3}$"]Non.
À $\dfrac{\pi}{3}$ on a $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ : ces valeurs sont différentes de celles données par $z = 1 + i$. Recalculer le rapport $\dfrac{a}{|z|}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\pi}{6}$"]Non.
À $\dfrac{\pi}{6}$ on a $\cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{1}{2}$. Ces valeurs ne sont pas symétriques comme attendu pour $z = 1 + i$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\pi}{2}$"]Non.
À $\dfrac{\pi}{2}$ on a $\cos\theta = 0$ et $\sin\theta = 1$ : cela correspond à un imaginaire pur, donc à $z = i$ et non à $z = 1 + i$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord $|z|$, puis chercher $\theta$ tel que $\cos\theta = \dfrac{a}{|z|}$ et $\sin\theta = \dfrac{b}{|z|}$. Pour des parties réelle et imaginaire égales et positives, l'angle est connu.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un argument du nombre complexe $z = -i$ est :
[qcm]
[option]$\dfrac{\pi}{2}$[/option]
[option correct="true"]$-\dfrac{\pi}{2}$[/option]
[option]$\pi$[/option]
[option]$0$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le point d'affixe $-i$ a pour coordonnées $(0\,;\, -1)$ : il est sur l'axe des ordonnées, en dessous de l'origine. L'angle $(\vec{u}\,;\, \overrightarrow{OM})$ vaut donc $-\dfrac{\pi}{2}$ (modulo $2\pi$).[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\pi}{2}$"]Non.
$\dfrac{\pi}{2}$ est l'argument de $i$, pas de $-i$. Les deux points sont symétriques par rapport à $O$, donc leurs arguments diffèrent de $\pi$.[/reponse]
[reponse motif="$\pi$"]Non.
$\pi$ est l'argument d'un nombre réel strictement négatif (comme $-1$), pas d'un imaginaire pur négatif.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$0$ est l'argument d'un nombre réel strictement positif. Mais $-i$ est un imaginaire pur, son image n'est pas sur le demi-axe positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Représenter le point d'affixe $-i$ dans le plan complexe : il est sur l'axe des ordonnées en dessous de $O$. Son argument est l'angle entre $\vec{u}$ et $\overrightarrow{OM}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une forme trigonométrique du nombre complexe $z = 2$ est :
[qcm]
[option correct="true"]$2(\cos 0 + i\sin 0)$[/option]
[option]$2(\cos\pi + i\sin\pi)$[/option]
[option]$2\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right)$[/option]
[option]$z$ n'admet pas de forme trigonométrique car réel.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$z = 2$ est un réel strictement positif : son module vaut $2$ et son argument est $0$ (modulo $2\pi$). On a bien $2(\cos 0 + i\sin 0) = 2(1 + 0) = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$2(\cos\pi + i\sin\pi)$"]Non.
Cette forme donne $2(\cos\pi + i\sin\pi) = 2 \times (-1 + 0) = -2$, et non $+2$. L'argument $\pi$ correspond à un réel négatif.[/reponse]
[reponse motif="$2\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right)$"]Non.
Cette forme donne $2(0 + i) = 2i$, qui est un imaginaire pur, pas un réel.[/reponse]
[reponse motif="$z$ n'admet pas de forme trigonométrique car réel."]Non.
Tout nombre complexe non nul admet une forme trigonométrique, y compris les réels. Un réel positif a pour argument $0$, un réel négatif a pour argument $\pi$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La forme trigonométrique s'écrit $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$. Pour un réel positif, $r$ vaut le nombre lui-même et $\theta = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le module et un argument de $z = -\sqrt{3} + i$ sont :
[qcm]
[option]$|z| = 2$, $\arg(z) = \dfrac{\pi}{6}$[/option]
[option correct="true"]$|z| = 2$, $\arg(z) = \dfrac{5\pi}{6}$[/option]
[option]$|z| = 2$, $\arg(z) = -\dfrac{5\pi}{6}$[/option]
[option]$|z| = 4$, $\arg(z) = \dfrac{5\pi}{6}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$|z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3 + 1} = 2$.
Pour l'argument : $\cos\theta = \dfrac{-\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{1}{2}$. L'image de $z$ est dans le deuxième quadrant : $\theta = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$.[/reponse]
[reponse motif="$|z| = 2$, $\arg(z) = \dfrac{\pi}{6}$"]Non.
Le signe de la partie réelle a été ignoré : avec $a < 0$ et $b > 0$, l'image de $z$ est dans le deuxième quadrant, pas le premier. L'argument $\dfrac{\pi}{6}$ correspondrait à $\sqrt{3} + i$ et non à $-\sqrt{3} + i$.[/reponse]
[reponse motif="$|z| = 2$, $\arg(z) = -\dfrac{5\pi}{6}$"]Non.
Le bon module a été trouvé, mais le mauvais quadrant pour l'argument : $-\dfrac{5\pi}{6}$ a un sinus négatif, ce qui ne correspond pas à $b = +1 > 0$.[/reponse]
[reponse motif="$|z| = 4$, $\arg(z) = \dfrac{5\pi}{6}$"]Non.
Erreur sur le module : la racine carrée a été oubliée. On obtient $|z|^{2} = (-\sqrt{3})^{2} + 1 = 4$, donc $|z| = \sqrt{4} = 2$ (et non $4$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$, puis identifier $\theta$ avec $\cos\theta = \dfrac{a}{|z|}$ et $\sin\theta = \dfrac{b}{|z|}$. Le signe de $a$ et $b$ donne le quadrant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La forme algébrique du nombre complexe $z = 3\left(\cos\dfrac{2\pi}{3} + i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)$ est :
[qcm]
[option]$\dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}i$[/option]
[option]$-\dfrac{3\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{2}i$[/option]
[option correct="true"]$-\dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}i$[/option]
[option]$-\dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}i$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On a $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ et $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (deuxième quadrant).
Donc $z = 3\left(-\dfrac{1}{2} + i \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}i$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}i$"]Non.
Le signe de $\cos\dfrac{2\pi}{3}$ a été perdu. Comme $\dfrac{2\pi}{3}$ est dans le deuxième quadrant, $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ (et non $+\dfrac{1}{2}$).[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{3\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{2}i$"]Non.
Les valeurs de $\cos$ et de $\sin$ ont été interverties : $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ donne la partie réelle, et $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ donne le coefficient de $i$.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}i$"]Non.
Le signe de $\sin\dfrac{2\pi}{3}$ est positif (deuxième quadrant). On a $\sin\dfrac{2\pi}{3} = +\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et non $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique, remplacer $\cos\theta$ et $\sin\theta$ par leurs valeurs et distribuer le module $r$. Les angles $\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}$ ont des cosinus et sinus à connaître.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $z$ un complexe non nul tel que $|z| = 4$ et $\arg(z) = \dfrac{\pi}{3}$. Un argument du conjugué $\overline{z}$ est :
[qcm]
[option]$\dfrac{\pi}{3}$[/option]
[option correct="true"]$-\dfrac{\pi}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{2\pi}{3}$[/option]
[option]$\pi - \dfrac{\pi}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La règle est $\arg(\overline{z}) = -\arg(z)$ (modulo $2\pi$). Géométriquement, l'image de $\overline{z}$ est le symétrique de l'image de $z$ par rapport à l'axe des abscisses : son angle est l'opposé.
Ici, $\arg(\overline{z}) = -\dfrac{\pi}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\pi}{3}$"]Non.
$z$ et $\overline{z}$ ne sont pas égaux (sauf si $z$ est réel) : leurs arguments sont opposés, pas identiques.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2\pi}{3}$"]Non.
$\dfrac{2\pi}{3}$ correspond à un argument doublé en valeur, ce qui n'a pas de sens ici. Le conjugué change le signe de l'argument, pas son module.[/reponse]
[reponse motif="$\pi - \dfrac{\pi}{3}$"]Non.
$\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$ est l'argument du symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (c'est-à-dire $-\overline{z}$), pas du conjugué.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La règle clé est $\arg(\overline{z}) = -\arg(z)$. Visuellement, $\overline{z}$ est le symétrique de $z$ par rapport à l'axe $(O\vec{u})$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]