Déterminer un antécédent par le calcul

QCM Bilan : Notion de fonction

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : calcul d'images, antécédents, formules littérales et courbe représentative. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = (x+2)(x-3)$. Que vaut $f(2)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$-4$[/option]
[option]$4$[/option]
[option]$-1$[/option]
[option]$0$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$f(2) = (2+2)(2-3) = 4 \times (-1) = -4$. Le produit d'un nombre positif par un nombre négatif est négatif.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
Tu as obtenu le bon nombre mais avec le mauvais signe. Vérifie le signe du produit $4 \times (-1)$.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Tu as additionné $(2+2)$ et $(2-3)$ au lieu de les multiplier.
La formule contient un produit, pas une somme.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
Tu as peut-être remplacé toute l'expression par $0$ ou cherché une valeur qui annule le produit.
Pour $x = 2$, vérifie si l'un des deux facteurs s'annule.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplace $x$ par $2$ dans chaque facteur, puis effectue la multiplication.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = 2x^2 - 3x$. Que vaut $g(-1)$ ?
[qcm]
[option]$-1$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$-5$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$g(-1) = 2 \times (-1)^2 - 3 \times (-1) = 2 \times 1 - (-3) = 2 + 3 = 5$. Attention au signe lorsque l'on multiplie $-3$ par $-1$.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Tu as calculé $(-1)^2 = -1$, ce qui est incorrect.
$(-1)^2 = (-1) \times (-1) = 1$ : le carré d'un nombre négatif est positif.[/reponse]
[reponse motif="$-5$"]Non.
Tu as obtenu le bon nombre mais avec le mauvais signe. Vérifie le signe de $-3 \times (-1)$ : deux signes négatifs donnent un signe positif.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Tu as gardé un signe négatif dans la deuxième partie : $-3 \times (-1) = +3$, pas $-3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule $(-1)^2$ d'abord, puis $2 \times (-1)^2$, puis $-3 \times (-1)$, et fais la somme. Sois attentif aux signes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le périmètre $P$ d'un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ est $P = 2(L+\ell)$. La largeur d'un rectangle est fixée à $4$ cm. Quelle fonction exprime $P$ en fonction de $L$ ?
[qcm]
[option]$P(L) = 2L + 4$[/option]
[option correct="true"]$P(L) = 2L + 8$[/option]
[option]$P(L) = L + 4$[/option]
[option]$P(L) = 4L$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On remplace $\ell$ par $4$ dans la formule : $P(L) = 2(L+4) = 2L + 8$.[/reponse]
[reponse motif="$P(L) = 2L + 4$"]Non.
Tu as oublié de multiplier $4$ par $2$ dans la distributivité.
$2(L+4) = 2 \times L + 2 \times 4 = 2L + 8$.[/reponse]
[reponse motif="$P(L) = L + 4$"]Non.
Tu as oublié le coefficient $2$ devant la parenthèse.
La formule complète est $P = 2(L+\ell)$ : il faut développer cette parenthèse.[/reponse]
[reponse motif="$P(L) = 4L$"]Non.
Cette formule donnerait le périmètre d'un carré de côté $L$, pas d'un rectangle de largeur $4$.
Reprends la formule $P = 2(L+\ell)$ avec $\ell = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplace $\ell$ par $4$ dans $P = 2(L+\ell)$, puis développe la parenthèse en multipliant $2$ par chaque terme.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = 3x - 12$. Quel est l'antécédent de $0$ par $f$ ?
[qcm]
[option]$-12$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$-4$[/option]
[option]$12$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est exact !
On résout $f(x) = 0$, soit $3x - 12 = 0$. Donc $3x = 12$, d'où $x = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$-12$"]Non.
Tu as calculé $f(0) = -12$, qui est l'image de $0$, pas son antécédent.
Pour trouver un antécédent de $0$, on résout $f(x) = 0$, pas $f(0) = ?$.[/reponse]
[reponse motif="$-4$"]Non.
Tu as obtenu le bon nombre mais avec le mauvais signe. Vérifie l'équation $3x = 12$ : la solution est-elle positive ou négative ?[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
Tu as résolu $3x = 12$ mais tu as oublié de diviser par $3$.
$3x = 12$ donne $x = 12 \div 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour trouver un antécédent de $0$, résous l'équation $3x - 12 = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = -x^2 + 4$. Combien d'antécédents le nombre $0$ a-t-il par $g$ ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]une infinité[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On résout $-x^2 + 4 = 0$, soit $x^2 = 4$. Les nombres dont le carré vaut $4$ sont $2$ et $-2$ : le nombre $0$ a donc deux antécédents par $g$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
L'équation $x^2 = 4$ admet bien des solutions. Quels nombres ont pour carré $4$ ?[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Pas tout à fait.
Tu n'as trouvé qu'une seule solution. L'équation $x^2 = 4$ admet deux solutions : un nombre positif et son opposé.[/reponse]
[reponse motif="une infinité"]Non.
Pour un $x$ donné, $g(x)$ ne prend qu'une seule valeur. L'équation $x^2 = 4$ n'admet pas une infinité de solutions : il n'y en a que deux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résous $-x^2 + 4 = 0$, soit $x^2 = 4$. Combien de nombres ont pour carré $4$ ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 - 3x$. Lequel des points suivants appartient à la courbe représentative de $f$ ?
[qcm]
[option]$A(1\,;\,4)$[/option]
[option correct="true"]$B(-1\,;\,4)$[/option]
[option]$C(2\,;\,2)$[/option]
[option]$D(3\,;\,6)$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
On calcule $f(-1) = (-1)^2 - 3 \times (-1) = 1 + 3 = 4$. L'ordonnée du point $B$ est bien $4$, donc $B$ appartient à la courbe de $f$.[/reponse]
[reponse motif="$A(1\,;\,4)$"]Non.
On calcule $f(1) = 1^2 - 3 \times 1 = 1 - 3 = -2$, et non $4$. Le point $A$ n'est pas sur la courbe.[/reponse]
[reponse motif="$C(2\,;\,2)$"]Non.
On calcule $f(2) = 2^2 - 3 \times 2 = 4 - 6 = -2$, et non $2$. Vérifie le signe de $-3x$ pour $x = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$D(3\,;\,6)$"]Non.
On calcule $f(3) = 3^2 - 3 \times 3 = 9 - 9 = 0$, et non $6$. Tu as peut-être oublié de soustraire $3x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour vérifier qu'un point $M(a\,;\,b)$ appartient à la courbe, calcule $f(a)$ et compare avec $b$. Teste chaque option en substituant la première coordonnée dans la formule.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Antécédents et tableau de valeurs

[enonce]
Ce QCM porte sur la recherche d'antécédents par lecture dans un tableau de valeurs et par calcul. On considère la fonction $f$ donnée par le tableau ci-dessous.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$3$	$4$
$f(x)$	$5$	$0$	$-3$	$0$	$6$	$5$

Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
D'après le tableau, l'image de $1$ par $f$ est :
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]$-1$[/option]
[option]$-3$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On lit dans la colonne où $x = 1$ : la deuxième ligne donne $f(1) = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Tu as donné la valeur de $x$ au lieu de la valeur de $f(x)$.
L'image se lit sur la ligne du dessous, dans la même colonne.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Tu as lu la colonne où $x = -1$. La question demande l'image de $1$, pas de $-1$.[/reponse]
[reponse motif="$-3$"]Non.
Tu as lu la valeur correspondant à $x = 0$ au lieu de $x = 1$. Repère bien la bonne colonne.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Cherche la colonne du tableau où $x = 1$, puis lis la valeur de $f(x)$ en dessous.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
D'après le tableau, quels sont tous les antécédents de $5$ par $f$ ?
[qcm]
[option]$5$[/option]
[option]$-2$ uniquement[/option]
[option]$4$ uniquement[/option]
[option correct="true"]$-2$ et $4$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est exact !
On cherche dans la deuxième ligne toutes les colonnes où $f(x) = 5$. On trouve $f(-2) = 5$ et $f(4) = 5$ : les antécédents de $5$ sont $-2$ et $4$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Tu as donné la valeur cherchée elle-même.
Un antécédent de $5$ est un nombre $x$ tel que $f(x) = 5$ : il faut le lire sur la ligne des $x$.[/reponse]
[reponse motif="$-2$ uniquement"]Pas tout à fait.
$-2$ est bien un antécédent de $5$, mais ce n'est pas le seul : continue à parcourir le tableau.[/reponse]
[reponse motif="$4$ uniquement"]Pas tout à fait.
$4$ est bien un antécédent de $5$, mais ce n'est pas le seul. As-tu vérifié toutes les colonnes du tableau ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Parcours toute la deuxième ligne et repère toutes les colonnes où $f(x) = 5$. Lis ensuite les valeurs de $x$ correspondantes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
D'après le tableau, combien d'antécédents le nombre $0$ a-t-il par $f$ ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$3$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La valeur $0$ apparaît deux fois dans la ligne des images : $f(-1) = 0$ et $f(1) = 0$. Le nombre $0$ a donc deux antécédents.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$0$ apparaît bien dans la ligne des images. As-tu vérifié toute la ligne ?[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Pas tout à fait.
Tu n'en as repéré qu'un seul. La valeur $0$ apparaît plus d'une fois dans la ligne des images.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Tu en as compté un de trop. Vérifie attentivement combien de fois $0$ apparaît dans la deuxième ligne.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compte le nombre de colonnes du tableau dans lesquelles la valeur de $f(x)$ vaut $0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = 4x - 5$. Quel est l'antécédent de $7$ par $g$ ?
[qcm]
[option]$23$[/option]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[option]$-3$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On cherche $x$ tel que $g(x) = 7$, c'est-à-dire $4x - 5 = 7$.
$4x = 12$, donc $x = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$23$"]Non.
Tu as calculé $g(7) = 4 \times 7 - 5 = 23$, qui est l'image de $7$, pas son antécédent.
Pour trouver un antécédent de $7$, il faut résoudre l'équation $g(x) = 7$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
Tu as résolu $4x = 7 - 5 = 2$. Attention : pour passer de $4x - 5 = 7$ à une équation sans le $-5$, il faut ajouter $5$ aux deux membres, pas le retrancher.[/reponse]
[reponse motif="$-3$"]Non.
Tu as obtenu le bon nombre mais avec le mauvais signe. Vérifie ton équation $4x = 7 + 5$ : quel est le résultat ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour trouver un antécédent de $7$ par $g$, on résout l'équation $g(x) = 7$, soit $4x - 5 = 7$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $h$ définie par $h(x) = x^2 + 1$. Combien d'antécédents le nombre $5$ a-t-il par $h$ ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On résout $h(x) = 5$, soit $x^2 + 1 = 5$, donc $x^2 = 4$.
Les nombres dont le carré vaut $4$ sont $2$ et $-2$ : le nombre $5$ a deux antécédents par $h$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
L'équation $x^2 = 4$ a bien des solutions. Quels nombres ont pour carré $4$ ?[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Pas tout à fait.
Tu as trouvé une solution mais tu as oublié l'autre. L'équation $x^2 = 4$ a deux solutions : un nombre positif et son opposé.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
Tu as donné la valeur de $x^2$ obtenue lors de la résolution. La question demande combien d'antécédents existent, pas la valeur de $x^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour trouver les antécédents de $5$, résous $x^2 + 1 = 5$. Combien de nombres ont le même carré ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $h$ définie par $h(x) = x^2 + 1$. Combien d'antécédents le nombre $-2$ a-t-il par $h$ ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]une infinité[/option]
[option correct="true"]$0$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On résout $h(x) = -2$, soit $x^2 + 1 = -2$, donc $x^2 = -3$.
Or un carré est toujours positif ou nul : aucun nombre ne convient. Le nombre $-2$ n'a aucun antécédent par $h$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Pour trouver un antécédent, il faut résoudre $x^2 + 1 = -2$, soit $x^2 = -3$.
Cette équation a-t-elle vraiment une solution ?[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Tu as raisonné comme pour la question précédente, mais ici la valeur cherchée est négative.
Calcule $x^2 + 1 = -2$ et regarde le signe que devrait avoir $x^2$.[/reponse]
[reponse motif="une infinité"]Non.
La quantité $x^2$ ne peut prendre qu'une valeur unique pour un $x$ donné. Vérifie si l'équation $x^2 = -3$ peut admettre une solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résous l'équation $x^2 + 1 = -2$ et regarde si $x^2$ peut prendre la valeur obtenue.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]